03_аналит_геом

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Направление подготовки
Механика и математическое моделирование
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
(бакалавр, магистр, дипломированный специалист)
Форма обучения
Очная
(очная, очно-заочная и др.)
г.__________ – 200____ г.
1. Цели освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины (модуля) "Аналитическая геометрия" являются:
формирование геометрической культуры студента, начальная подготовка в области
алгебраического анализа простейших геометрических объектов, овладение классическим математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.
Аналитическая геометрия входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части.
Для ее успешного изучения достаточно знаний и умений, приобретенных в средней школе.
Освоение аналитической геометрии является основанием для успешного освоения как
дальнейших базовых курсов – линейной алгебры и геометрии, функционального анализа,
дифференциальной геометрии, механики, так и специальных курсов, к примеру, алгебраической геометрии, компьютерной геометрии; приобретенные знания также могут помочь в
научно-исследовательской работе.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля): ОК-5, ОК-6, ОК-7, ОК-8, ОК-11, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7,
ПК-8, ПК-9, ПК-10, ПК-11, ПК-12, ПК-16, ПК-22, ПК-27, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать: основные понятия аналитической геометрии, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном моделировании геометрических объектов и явлений.
2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области геометрии трехмерного евклидова (аффинного) пространства и проективной плоскости, доказывать утверждения.
3) Владеть: математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими
методами исследования геометрических объектов.
4. Структура и содержание дисциплины.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5-7 зачетных единиц.
Примерная программа дисциплины:
1
Предмет курса аналитической геометрии. Краткий исторический обзор.
2
Векторная алгебра. Равенство направленных отрезков. Понятие свободного
вектора. Сложение векторов. Отношение отрезков. Умножение вектора на число. Координаты на прямой. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базис и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах.
3
Координаты на плоскости и в пространстве. Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и направленный угол (на плоскости) между векторами.
Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы и реперы. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.
4
Преобразование координат, ориентированные площади и объем. Преобразование аффинных координат вектора и точки. Ортогональные матрицы. Преобразование прямоугольных координат вектора и точки. Ориентации плоскости и пространства. Ориентированные площади и объем параллелепипеда. Векторное и смешанное произведение векторов.
5
Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение прямой с
угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой и плоскости. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных. Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости.
Собственные и несобственные пучки прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.
Разбиение плоскости прямой и пространства плоскостью. Расстояния от точки до прямой, от
точки до плоскости, от прямой до прямой. Угол между прямыми, плоскостями, прямыми и
плоскостями.
6
Эллипс, парабола, гипербола. Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы. Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к каноническому виду. Виды линий второго порядка.
7
Линии и поверхности второго порядка. Алгебраические линии и поверхности.
Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие
поверхностей. Приведение многочлена второго порядка от трех переменных к каноническому виду. Виды поверхностей второго порядка. Асимптотические направления линий и поверхностей второго порядка. Центры линий и поверхностей второго порядка.
8
Аффинные и изометрические преобразования. Преобразование векторов при
аффинном преобразовании. Основные свойства аффинных преобразований, формулы аффинного преобразования. Сохранение отношения площадей и объемов при аффинных преобразованиях. Изометрические преобразования и движения. Классификация движений плоскости. Подобие и гомотетия. Аффинная классификация линий второго порядка. Метрическая
классификация линий второго порядка.
9
Проективная плоскость. Пополненная плоскость и связка. Однородные координаты на проективной плоскости. Теорема Дезарга. Проективные системы координат. Проективные преобразования. Линии второго порядка в однородных координатах.
5. Образовательные технологии: активные и интерактивные формы проведения занятий.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому
семинару. В семестре проводится 3 контрольные работы (на семинарах). В каждой группе,
как правило, дается несколько вариантов одной и той же работы. В качестве образца приведем работы, составленные на основе задачника П.С.Моденова, А.С.Пархоменко (см. п.3
списка основной литературы).
Контрольная работа №1.
1. Даны четыре вектора a  {1 5 3} , b  {6 4 2} , c  {0 5 7} , d  {20 27 35} . Подобрать числа  ,  и  так, чтобы векторы  a ,  b ,  c и d образовывали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.
2. Даны две смежные вершины A  (1 3) B  (21) параллелограмма ABCD . Найти две
другие его вершины при условии, что диагональ AC параллельна оси Ox , а диагональ BD
параллельна оси Oy .
3. Даны точки A  {8 6 7} и B  {201510}. Установить, пересекает ли прямая AB какую-нибудь из осей координат.
4. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA B C  D  находится в точке A  (1 2 3) , а концы выходящих из нее ребер — в точках B  (9 6 4) , D  (3 0 4) , A  (5 2 6) . Найти длину d
диагонали AC' этого параллелепипеда и угол, образуемый AC' с ребром AB.
5. Даны два вектора a  {011} и b  {11 0} . Найти вектор c длины 1, перпендикулярный
к вектору a , образующий c вектором b угол 4 и направленный так, чтобы упорядоченная
тройка векторов a , b , c имела положительную ориентацию. Система координат прямо-
угольная.
6. Написать уравнение прямой x  y  5  0 в системе координат, осями которой служат
прямые 2x-y+7=0 (ось O’y’), x+y-4=0 (ось O’x’), а единичной точкой — точка (0 0) .
Контрольная работа №2.
В задачах 1,3,4,5,6 система координат прямоугольная.
1. Дан треугольник ABC : A  (4 4) , B  (61) , C  (2 4) . Написать уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине C .
2. Даны вершины тетраэдра: A  (21 0) , B  (1 3 5) , C  (6 3 4) , D  (0 7 8) . Написать
уравнение плоскости, проходящей через прямую AB и равноудаленной от вершин C и D .
Система координат аффинная.
3. Найти ортогональную проекцию точки (1 3 5) на прямую 2 x  y  z  1  0 ,
3x  y  2 z  3  0 .
4. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1 2) , асимптотами которой
1
служат прямые y   x
2
5. Написать уравнение линии второго порядка, центр которой находится в точке (1 2) , а
одной из директрис служит прямая x  2 , зная, что линия проходит через точку (5 6) .
6. Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую
систему координат:
8 x 2  6 xy  26 x  12 y  11  0
Контрольная работа №3.
1. Определить вид поверхности z=xy и ее расположение относительно системы координат, пользуясь поворотом системы координат вокруг одной из осей.
2. Составить уравнение цилиндра, образующие которого касаются сферы x 2  y 2  z 2  1
и составляют равные углы с осями координат. Система координат прямоугольная.
3. По какой линии плоскость x  y  z  3  0 пересекает двуполостный гиперболоид
2
x  y 2  z 2  4 ?
4. Найти касательную плоскость к поверхности
,
параллельную плоскости x+2y+2=0.
5. Найти аффинное преобразование, являющееся произведением сжатия к прямой x+y1=0 с коэффициентом ½ и симметрии относительно этой прямой. Система координат прямоугольная.
6. Сторонами A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 базисного треугольника проективной системы координат
на проективной - аффинной плоскости являются прямые, заданные относительно аффинной
системы координат уравнениями
x  4  0 y  3  0 3 x  4 y  12  0
Единичной точкой E проективной системы координат A1 A2 A3 E является точка
E  (3 2) . Найти:
1) проективные координаты точки M , аффинные координаты которой (1, 1);
2) аффинные координаты точки N , проективные координаты которой (4:3:-6).
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
а) основная литература:
1. П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии, М.: Наука, 1968.
2. В.В.Федорчук, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Энас, 2003.
3. П.С.Моденов, А.С.Пархоменко, Сборник задач по аналитической геометрии, М., 2005
(изд-е стер.).
б) дополнительная литература:
1. М.М.Постников, Аналитическая геометрия, М.: Наука, 1979.
2. В.В.Прасолов, В.М.Тихомиров, Геометрия. М.: МЦНМО, 1997.
3. Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен, Нагляднаяя геометрия. М.: Наука, 1981.
4. М.Берже, Геометрия. М.: Мир, 1984.
5. Б.А.Розенфельд, Аполлоний Пергский. М.: МЦНМО, 2004.
6. Э.Артин, Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы: не требуются.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий.
Авторы: д.ф.-м.н., доцент А.П.Комбаров; к.ф.-м.н., ассистент О.Д.Фролкина