Аналитическое задание аффинных преобразований. 1.

Аналитическое задание аффинных преобразований.
Л и т е р а т ур а : [1], §8, 9, 10;§57.
1. Аффинное преобразование плоскости задано формулами:
x' = x + 5y – 7,
y' = x – 4y +1.
(1)
Найти координаты образа точки М(2,1); найти координаты прообраза точки М(2,1).
Р е ш е н и е . Для того чтобы найти координаты точки М', соответствующей точке
М(2,1), достаточно в формулы (1) подставить x = 2 и y = 1. Получим x' = 0 и y' = 1. Итак,
точка М', соответственная точке М, имеет координаты (0,-1).
Для того чтобы найти координаты прообраза точки М, т. е. той точки, которая сама
преобразуется в точку М, достаточно в формулы (1) подставить x' = 2 и y' = 1 и решить
систему относительно x и y. После подстановки получим систему линейных уравнений:
x + 5y – 0 = 0,
x – 4y = 0
с определителем, отличным от нуля. Такая система всегда имеет единственное решение;
решая её, найдём: x = 4,y = 1. Итак, прообразом точки М (2,1) является точка М1 (4,1).
2. Написать уравнение прямой, в которую переходит прямая с уравнением
x + 2y -1 = 0 при аффинном преобразовании, заданном невырожденной системой
линейных уравнений:
x' = x + 4y -7,
y' = x + 3y +1.
(1)
Р е ш е н и е . Выразив из системы уравнений (1) x и y через x' и y', получим:
x = -3x' +4y' – 25,
y = x' - y' + 8.
В уравнении прямой x + 2y -1 = 0 подставим x = -3x' + 4y'- 25 и y = x' - y' + 8,
получим: -x' + 2y' - 10 = 0, или x' -2y' +10 = 0. Итак, образом прямой с уравнением
x + 2y -1 = 0 при заданном преобразовании будет прямая с уравнением x – 2y + 10 = 0.
3. Написать формулы аффинного преобразования, которое точки А(1,2), В(2,1),
С(0,0) преобразует соответственно в точки А'(3,7), В'(4,6) и С'(-1,2).
Р е ш е н и е . Аффинное преобразование на плоскости выражается линейной
невырожденной системой:
x' = a11x + a12y + a13,
y' = a21x + a22y + a23.
(1)
Аффинное преобразование будет определено, если будут определены шесть
коэффициентов aik системы уравнений (1). Шесть коэффициентов определятся из шести
линейных уравнений, которые можно получить, подставляя в уравнения (1) координаты
соответственных пар точек А и А' , В и В', С и С':
{
{
{
3 = а11 + 2а12 + а13,
7 = а11 + 2а22 + а23,
4 = 2а11 + а12 + а13,
6 = 2а21 + а22 + а23,
-1 = а13,
2 =а23.
Эта система распадается на две отдельные системы уравнений:
{
3 = а11 + 2а12 + а13,
4 = 2а11 + а12 + а13,
–1 = а13,
{
7 = а21 + 2а22 + а23,
6 = 2а21 + а22 + а23,
2 = а23.
Решая эти системы уравнений, получим:
а11 = 2, а12 =1, а13 = -1; а21 = 1, а22 = 2, а23 = 2. Таким образом, искомое аффинное
преобразование выражается формулами:
x' = 2x + y -1,
y' = x +2y +2.
4. Определить неподвижные (двойные) точки аффинного преобразования:
x' = x + y + 1,
y' = x -2y + 1.
(1)
Р е ш е н и е . Точка называется неподвижной (двойной) точкой преобразования, если
при этом преобразовании она преобразуется в себя. Для двойной точки x = x' и y = y'.
Подставляя в формулы (1) x = x' и y = y' , получим систему двух линейных уравнений:
x = x – y +1,
y = x - 2y + 1,
(2)
или
y – 1 = 0,
x -3y + 1 = 0.
(3)
Этой системе уравнений будут удовлетворять координаты всех двойных точек
преобразования. В свою очередь всякое решение системы (3) будет решением
эквивалентной ей системы (2), и следовательно, определит координаты неподвижной
точки преобразования (1). Итак, неподвижные точки преобразования определяются
решением системы уравнений (3).
В нашем случае система уравнений (3) совместна и имеет единственное решение:
x = 2, y = 1. Таким образом, точка М(2,1) будет единственной неподвижной точкой
преобразования (1). Преобразование, имеющее одну неподвижную точку, называется
центроаффинным.
Очевидно, в случае несовместности системы линейных уравнений, определяющей
неподвижные точки, преобразование не будет иметь неподвижных точек. В том же случае,
когда система линейных уравнений будет иметь бесчисленное множество решений,
преобразование будет иметь целую прямую неподвижных точек и, следовательно, будет
родственным.
5. Найти какое-нибудь аффинное преобразование плоскости, переводящее параболу
y = x 2 параболу y 2 + 1 = 4x.
Р е ш е н и е . Напишем формулы преобразования координат в общем виде:
x' = a1x + b1y + c1,
y' = a2x + b2y + c2.
(1)
Подставив значение x' и y' в уравнение первой параболы, получим:
a2x + b2y + c2 = (a1x + b1y + c1)2 ,
или
a2x + b2y + c2 = a12x2 + b12y2 + c12 + 2a1b1xy + 2a1c1x + 2b1c1y,
откуда
b12y2 + (c12 – c2) = (a2 – 2a1c1)x + (b2 – 2b1c1)y – a12x2 – 2a1b1xy.
(2)
Уравнение y2 + 1 = 4x и уравнение (2) суть уравнения одной и той же параболы,
поэтому
b12 = 1,
a1 = 0,
c12 – c2 = 1,
a2 – 2a1c1 = 4,
a1b1 =0,
b2 – 2b1c1 = 0.
(3)
Откуда получаем:
a1 = 0, a2 = 4, b1 = ±1, c12 – c2 = 1, b2 – 2b1c1 = 0.
(4)
Мы имеем всего шесть неизвестных коэффициентов ai, bi, ci (i =1,2) и пять
уравнений. Положим c2 = 0, а из двух значений b1 = ±1 возьмём только одно значение
b1 = 1. После чего из уравнений (4) получаем:a1 = 0; b1 = 1; c1 = 1 (берём только одно
значение c1 = 1 из двух значений с1 = ±1); a2 = 4; b2 = 2; c2 = 0.
Откуда искомое преобразование будет иметь вид:
x' = y + 1,
y' = 4x + 2y.
З а м е ч а н и е . Если коэффициенту с2 придать иное значение или знаки коэффициентов b1, c1 выбрать
иначе, то получим другие формулы преобразований. Таким образом, существует бесчисленное множество
аффинных преобразований, переводящих параболу y = x2 в параболу y2 +1 = 4x.
6. В какую точку перейдёт начало координат (0,0), какие прямые будут образами
осей координат x = 0 и y = 0 при аффинном преобразовании:
x' = 4x – y + 5,
y' = x + 2y - 1?
Какая точка преобразуется в точку (0,0), какие прямые преобразуются в оси
координат при этом же преобразовании?
7. Написать формулы аффинного преобразования плоскости, которое точкам А(0,1),
В(1,0), С(1,1) ставит в соответствие точки А'(1,0), В'(0,1), С'(1,1); найти неподвижные
точки такого преобразования.
8. Аффинное преобразование задано формулами:
x' = 5x + 2y - 5,
y' = 2x – 3y + 2.
Найти образ треугольника АВС, если А(1,1), В(2,-1), С(5,0) – его вершины. Выбрав
аффинную систему координат, построить треугольник АВС и его образ.
9. Доказать, что аффинное преобразование плоскости, определяемое формулами:
x' = 2x - 3y + 5,
y' = x - 2y + 1,
не имеет неподвижных точек.
10. Написать уравнение той линии, в которую перейдёт окружность
(x - 8)2 + (y + 3)2 = 102 при аффинном преобразовании, заданном в прямоугольной
декартовой системе координат формулами:
x' = 2x + 3y - 7,
y' = -5/2x + 5/2y – 3/2.
Доказать, что эта линия – эллипс.
11. Найти какое-либо аффинное преобразование, переводящее окружность
x2 + y2 = 1 в эллипс: 5x2 + 2y2 - 2xy + 2x + 2y + 1 = 0.
12. Найти главные направления аффинного преобразования, заданного в
прямоугольной декартовой системе координат формулами:
x' = 7/2x + 1/2y + 5/2,
y' = -5/2x + 5/2y – 3/2.
О т в е т . k1 = 1, k2 = -1 где k1 и k2 – угловые коэффициенты главных направлений.
У к а з а н и е . Главные направления – это направления взаимно перпендикулярных прямых одного
поля, переходящих аффиннитете во взаимно перпендикулярные прямые второго поля.
Пусть y = kx и y = -(1/k)x – уравнения двух взаимно перпендикулярных прямых l и l1, имеющих
главные направления и проходящих через начало координат. Угловой коэффициент k подлежит
определению. Так как l и l1 имеют главные направления, то их образы также должны быть взаимно
перпендикулярны. Поэтому если найти уравнения этих прямых и определить их угловые коэффициенты k' и
k1',которые выразятся через k, то k'*k1' = -1.
13. Написать формулы параллельного переноса, в котором точке М(3,1)
соответствует точка М'(1,-2).
14. Написать формулы преобразования гомотетии, центром которой служит начало
координат, а коэффициентом гомотетии – число k = -2.
15. Написать формулы преобразования гомотетии, для которой коэффициент k = 3, а
центром служит точка (3,-5).
16. Аффинные преобразования заданы формулами:
а) x' = 4x + y – 5, y' = 2x – 5y + 7;
б) x'= 7x – 4y + 2, y' = 3x – y + 1.
Будут ли эти преобразования родственными?
17. Родственное преобразование, имеющее направление соответствия, параллельное
оси родства x, называется сдвигом. Доказать, что формулы преобразования аффинных
координат при сдвиге имеют вид: x' = x +ky, y' = y.
18. Написать формулы родственного соответствия, для которого прямая
x + 2y – 1 = 0 является осью родства, а точка М'(5,3) соответствует точке М(1,1).
О т в е т . x' = 3x + 4y - 2, y' = x + 3y - 1.
19. Нетождественное аффинное преобразование, имеющее две двойные точки,
является родственным. Доказать.
20. Даны два аффинных преобразования S1 и S2 плоскости, заданных соответственно
уравнениями:
S1: x' = x,
y' = 2y;
S2: x' = 3x + 4y – 2, y' = x+ 3y – 1.
Доказать, что каждое из этих преобразований родственное. Найти формулы
преобразований координат произведения преобразований S1*S2 и S2*S1 и убедиться, что
ни одно из них не является родственным.