л сж пс × р

Théorie de Galois nie
Arnaud
Girand
3 mars 2011
On se donne dans toute la suite une orps K.
1 Extensions galoisiennes nies
Dénition 1.1 (Extension galoisienne)
Une extension nie de K est dite galoisienne si elle se diagonalise ellemême.
☞ On rappelle que pour qu'une extension L/K se diagonalise ellemême, il faut et il sut que :
cardEndKalg (L) = [L : K]
De plus, si L/K est nie, elle est algébrique et don EndK (L) = AutK (L), e qui nous permet de
"retrouver" la dénition "lassique" d'extension galoisienne.
Dénition 1.2 (Groupe de Galois)
Soit L/K une extension galoisienne.
Alors on appelle groupe de Galois de L sur K le groupe :
Gal(L/K) := AutK (L)
✌
Si nulle ambiguité n'est à raindre, on s'empressera d'érire "Gal(L)". C'est un abus ondamnable.
Proposition 1.1
Soit L/K une extension galoisienne.
Soit A/K une sous extension de L.
Alors L/A est galoisienne.
✖ Une extension galoisienne d'une extension galoisienne n'est pas néessairement galoisienne !
Proposition 1.2
Soit L/K une extension nie.
Soit Ω une lture algébrique de K ontenant L.
On pose :
d := [L : K] ;
G := AutK (L) ;
FixG (L) := {x ∈ L | ∀g ∈ G g(x) = x}.
On a alors l'équivalene entre les propriétés suivantes :
(i) L/K est galoisienne ;
(ii) card(G) = d ;
(iii) card(G) ≥ d ;
(iv) FixG (L) = K ;
(v) pour tout x ∈ L, les raines du polynme minimal de x sont simples et appartiennent à L.
Corollaire 1.2.1
Soient L et L′ deux extensions galoisiennes de K.
Soit Ω une lture algébrique de K.
On suppose que :
K ⊂ L′ ⊂ L ⊂ Ω
Posons :
1
G := Gal(L) ;
G′ := Gal(L′ ) ;
H := AutL′ (L).
Alors :
(i) H ⊳ G ;
(ii) G′ ∼
= G/H .
Corollaire 1.2.2 (Corps de déomposition d'un polynme séparable)
Soit P ∈ K[X] une polynme séparable.
Soit Ω une lture algébrique de K.
Alors la sousextension de Ω/K engendrée par les raines de P est galoisienne. On l'appelle orps
de déomposition de P .
Proposition 1.3
Soit P ∈ K[X] une polynme séparable.
Soit Ω une lture algébrique de K.
Soit E le orps de déomposition de P .
Alors :
G := Gal(E) opère transitivement sur l'ensemble X des raines de P dans Ω
⇔
P est irrédutible
2 Théorie de Galois nie
Proposition 2.1
Soit L un orps.
Soit H un groupe ni d'automorphismes de L.
On pose F := FixH (L).
Alors :
(i) L/F est une extension galoisienne ;
(ii) Gal(L/F ) = H .
Théorème 2.2 (Correspondane de Galois)
Soit L/K une extension nie galoisienne.
Soit G le groupe de Galois de L/K.
Alors :
(i) pour tout sousgroupe H de G, l'ensemble FixH (L) est un sousorps de L ontenant K et :
[FixH (L) : K] = (G : H) i.e [L : FixH (L)] = card(H)
(ii) pour tout sousorps E de L ontenant K, l'extension L/E est galoisienne et :
Gal(L/E) = {σ ∈ G | ∀x ∈ E, σ(x) = x}
(iii) les appliations H 7→ FixH (L) et E 7→ Gal(L/E) sont des bijetions réiproques, déroissantes pour l'inlusion, entre l'ensemble des sousgroupes de G et elui des sousorps de L
ontenant K.
Terminons par une (anti)équivalene
de atégories . . .
Soient L/K une extension galoisienne et G son groupe de Galois. On note G la atégorie des
ensembles nis sur lesquels G agit (les morphismes sont les appliations ϕ : X → Y X, Y ∈ G telles que ∀x ∈ X, ∀g ∈ G, ϕ(g.x) = g.ϕ(x)). Notons également D la atégorie des Kalgèbres
nies diagonalisées par L, i.e des Kalgèbres A telles que cardHomKalg (A, L) = [A : K]. Pour
A ∈ D, on pose :
S(A) := HomK (A, L)
Et pour A, B ∈ D et f ∈ HomD (A, B), on pose :
S(f ) : S(B) → S(A)
η 7→ η ◦ f
On dénit ainsi un fonteur ontravariant S : D → G . On a alors le résultat suivant :
2
Proposition 2.3
Le fonteur S : D → G est une antiéquivalene de atégories.
Démonstration :
f. [DD05℄, p. 309311.
Référenes
[DD05℄ Régine Douady and Adrien Douady. Algèbre et théories galoisiennes. Cassini, 2005.
3