Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с
реклама
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202–208 Прикладная математика и информатика УДК 539.3:534.26 Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием ∗ Л. А. Толоконников Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции цилиндрических звуковых волн на цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием. Ключевые слова: дифракция, цилиндрические звуковые волны, цилиндр, неоднородное упругое покрытие. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородных изотропных упругих цилиндрах рассматривалось в работах [1, 2]. Исследованию рассеяния плоских звуковых волн анизотропными неоднородными полыми цилиндрами посвящены работы [3, 4]. Решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости получено в [5]. В работе [6] изучена дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями. Дифракция монохроматических звуковых волн на цилиндрических телах с неоднородными упругими покрытиями рассматривалась в работах [7, 8]. В [7] изучалась дифракция плоской звуковой волны на абсолютно жестком цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием. В [8] была решена задача о рассеянии плоской звуковой волны, падающей наклонно на упругий цилиндр, покрытый радиально-неоднородным упругим слоем. Представление первичного акустического поля в виде плоской волны справедливоо только тогда, когда расстояние от источника звука до рассеивателя много больше длины звуковой волны. На практике это условие часто не выполняется. В этом случае нельзя не учитывать криволинейность фронта падающей волны. Расходимость падающей волны приводит не только к количественным, но и качественным изменениям дифракционной картины. Наибольший интерес представляет изучение дифракции звуковых волн, излучаемых цилиндрическими и сферическими источниками. С * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514). Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с упругим покрытием 203 помощью таких источников можно моделировать акустические поля сложных излучателей. В настоящей работе рассматривается задача дифракции цилиндрических звуковых волн на абсолютно жестком цилиндре с радиально-неоднородным покрытием. 1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный абсолютно жесткий цилиндр радиуса r2 , покрытый неоднородным изотропным упругим слоем, внешний радиус которого равен r1 . Цилиндрическая система координат r, ϕ, z выбрана таким образом, что координатная ось z является осью вращения цилиндра. Полагаем, что модули упругости λ и µ материала неоднородного цилиндрического слоя описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты r, а плотность ρ — непрерывной функцией координаты r. Окружающая цилиндр жидкость является идеальной. Ее плотность и скорость звука соответственно равны ρ1 и c. Пусть из внешнего пространства на цилиндр с покрытием падает монохроматическая цилиндрическая волна. Падающая волна излучается бесконечно длинным цилиндрическим источником, на поверхности которого возбуждена одна из мод и ось которого параллельна оси цилиндра. В цилиндрической системе координат r, ϕ, z, связанной с рассеивателем, ось источника имеет координаты (r0 , ϕ0 ). Выберем дополнительную цилиндрическую систему координат R, θ, z, связанную с источником так, чтобы полярные оси основной и дополнительной систем координат были одинаково ориентированы. Тогда потенциал скоростей гармонической звуковой волны, излучаемой цилиндрическим источником порядка n, может быть представлен в виде Ψ0 = A0 Hn (kR) exp[i(nθ − ωt)], где A0 — амплитуда волны; k = ω/c — волновое число; ω — круговая частота; Hn (x) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка n; R = [r2 + r02 − 2rr0 cos(ϕ − ϕ0 )]1/2 . Структура цилиндрических волн существенно сложнее структуры плоских волн. Простейшая монохроматическая симметричная цилиндрическая волна, излучаемая бесконечно длинным линейным источником, параллельным оси z, описывается с помощью цилиндрической функции Ханкеля первого рода нулевого порядка. Потенциал скоростей такой волны представляется в виде Ψ0 = A0 H0 (kR) exp(−iωt). В дальнейшем временной множитель e−iωt будем опускать. Определим отраженную от цилиндра волну. В рассматриваемой постановке задача является двумерной. 204 Л. А. Толоконников 2. Определение волновых полей. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [9] ∆Ψ + k 2 Ψ = 0, где Ψ = Ψ0 + Ψs ; Ψs — потенциал скоростей рассеянной волны. При этом скорость частиц v и акустическое давление p в жидкости определяются по формулам: v = gradΨ, p = iρ1 ωΨ. Воспользовавшись теоремой сложения для цилиндрических функций Бесселя, представим потенциал скоростей падающей волны в основной системе координат в виде [10] Ψ0 = A0 (−1)n exp(inϕ0 ) ∞ X m=−∞ × ½ (−1)m exp[im(ϕ − ϕ0 )]× Hn−m (kr0 )Jm (kr), Jn−m (kr0 )Hm (kr), r < r0 ; r > r0 , (1) где Jm (x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка m. Учитывая, что [11] J−m (x) = (−1)m Jm (x), H−m (x) = (−1)m Hm (x), из (1) для симметричной цилиндрической волны получаем следующее разложение: ½ ∞ X Hm (kr0 )Jm (kr), r < r0 ; exp[im(ϕ − ϕ0 )] Ψ0 = A0 Jm (kr0 )Hm (kr), r > r0 . m=−∞ Потенциал скоростей рассеянной волны является решением уравнения Гельмгольца. С учетом условий излучения на бесконечности [9] функцию Ψs будем искать в виде Ψs = ∞ X m=−∞ Am Hm (kr) exp[im(ϕ − ϕ0 )]. (2) Уравнения движения упругого неоднородного слоя в случае установившихся колебаний описываются общими уравнениями движения сплошной среды в напряжениях, которые в цилиндрической системе координат имеют вид [12] σrr − σϕϕ ∂σrr 1 ∂σrϕ + + = −ω 2 ρur ; ∂r r ∂ϕ r ∂σrϕ 1 ∂σϕϕ 2 + + σrϕ = −ω 2 ρuϕ , ∂r r ∂ϕ r (3) Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с упругим покрытием 205 где ur , uϕ — компоненты вектора смещения u в цилиндрической системе координат; σij — компоненты тензора напряжений; ρ = ρ(r). Используя закон Гука [12], запишем уравнения (3) через компоненты вектора смещения: µ ¶ ∂ 2 ur λ + µ ∂ 2 uϕ µ ∂ 2 ur λ + 2µ ∂ur ′ ′ (λ + 2µ) 2 + + 2 + λ + 2µ + + ∂r r ∂r∂ϕ r ∂ϕ2 r ∂r µ ¶ µ ′ ¶ 1 λ + 3µ ∂uϕ λ + 2µ λ ′ 2 + λ − + − + ω ρ ur = 0; r r ∂ϕ r r2 (4) ∂ 2 uϕ λ + µ ∂ 2 ur λ + 2µ ∂ 2 uϕ ³ ′ µ ´ ∂uϕ + + + µ + + µ ∂r2 r ∂r∂ϕ r2 ∂ϕ2 r ∂r µ ¶ µ ¶ 1 µ′ µ λ + 3µ ∂ur 2 ′ + + − − 2 + ω ρ uϕ = 0. µ + r r ∂ϕ r r Здесь λ = λ(r); µ = µ(r), а штрих означает дифференцирование по r. Компоненты вектора смещения u в упругом слое являются периодическими функциями координаты ϕ с периодом 2π. Поэтому функции ur (r, ϕ) и uϕ (r, ϕ) будем искать в виде рядов Фурье ur (r, ϕ) = ∞ X m=−∞ u1m (r)eim(ϕ−ϕ0 ) ; uϕ (r, ϕ) = ∞ X u2m (r)eim(ϕ−ϕ0 ) . (5) m=−∞ Подставляя выражения (5) в уравнения (4), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций u1m (r) и u2m (r) для каждого m. В матричном виде система имеет вид Ãm U′′m + B̃m U′m + C̃m Um = 0, (6) где Um = (u1m , u2m )T ; µ ¶ µ ′ ¶ λ + 2µ 0 (λ + 2µ′ )r2 + (λ + 2µ)r im(λ + µ)r 2 Ãm = r ; B̃m = ; 0 µ im(λ + µ)r µ′ r2 + µr µ ′ ¶ λ r − λ − (2 + m2 )µ + ω 2 ρr2 im (λ′ r − λ − 3µ) C̃m = . im (µ′ r + λ + 3µ) ; −µ′ r − m2 λ − (2m2 + 1)µ + ω 2 ρr2 Коэффициенты Am разложения (2) и функции u1m (r), u2m (r) из разложений (5) подлежат определению из граничных условий на внешней и внутренней поверхностях неоднородного упругого покрытия. Граничные условия на внешней поверхности тела заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения. Граничные условия на внутренней поверхности неоднородного слоя заключаются в равенстве нулю вектора смещения частиц упругой среды. 206 Л. А. Толоконников Таким образом, при r = r1 −iωur = vr ; при r = r2 σrr = −p; ur = 0; σrϕ = 0; uϕ = 0. Из условия равенства нормальных скоростей при r = r1 находим коэффициенты Am , выраженные через величины u1m (r1 ): Am = − ′ (kr ) + iωu A0 (−1)n+m Hn−m (kr0 ) exp(inϕ0 )kJm 1 1m (r1 ) , ′ kHm (kr1 ) (7) где штрихи означают дифференцирование по аргументу. Из оставшихся неиспользованными граничных условий получаем четыре краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (6): ¶¯ µ ¯ 1 ′ = Em ; Ãm Um + Dm Um ¯¯ 2 (8) r r=r1 Um |r=r2 = 0, где à 2A in ρ ω ! λ ω 2 ρ1 Hm (kr) imλ 0 1 r + kH ′ (kr) r ′ m . ; E = Dm = πkr H (kr m 1 m 1) µ imµ 0 − r r Коэффициенты Am могут быть вычислены по формуле (7) лишь после решения краевой задачи (6), (8). Краевая задача может быть решена различными методами. (см., например, [13]). Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ханкеля первого рода при больших значениях аргумента (kr ≫ 1) [11] r h ³ πm π ´i 2 exp i kr − − Hm (kr) ≈ , (9) πkr 2 4 из (2) находим Ψs = где F (ϕ) = √ r h ³ π ´i r1 F (ϕ), exp i kr − 2r 4 ∞ X 2 (−im )Am exp[im(ϕ − ϕ0 )]. πkr1 m=−∞ Анализ амплитуды рассеяния | F (ϕ) | позволяет изучить звукоотражающие свойства тела в различных направлениях. С помощью неоднородного упругого покрытия можно изменять характеристики рассеяния цилиндрического тела. При этом радиально- Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с упругим покрытием 207 неоднородным слоем можно моделировать систему достаточно тонких однородных слоев, в которой механические параметры меняются от слоя к слою. Список литературы 1. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 6. С. 762–766. 2. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060–1063. 3. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134–138. 4. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4–5. С. 11–14. 5. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 63–72. 6. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474–483. 7. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850–857. 8. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265–274. 9. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с. 10. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника. 1968. 584 с. 11. Справочник по специальным функциям / под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с. 12. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с. 13. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с. Толоконников Лев Алексеевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет. 208 Л. А. Толоконников Diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a non-uniform elastic coating L. A. Tolokonnikov Abstract. Analytical solution of problems of diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a radially non-uniform elastic covering is obtained. Keywords: diffraction, cylindrical sound waves, cylinder, non-uniform elastic coating. Tolokonnikov Lev ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University. Поступила 11.09.2013
