Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов
Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать
определенную нагрузку без разрушений.
Под жесткостью подразумевают способность конструкции и ее элементов незначительно изменять
форму и размеры при нагружении, т.е. при заданных нагрузках деформации не должны превышать
определенной величины, устанавливаемой в соответствии с требованиями, предъявляемыми к
конструкции.
Устойчивостью называют способность конструкции или ее элементов сохранять исходную форму
упругого равновесия при действии нагрузки.
Сила – мера физического взаимодействия двух тел. Характеризуется точкой приложения,
величиной и направлением действия.
Внешними силами называют силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции
и связанными с ним телами.
Если внешние силы являются результатом, контактного взаимодействия данного тела с другими
телами, то они приложены только к точкам поверхности тела в месте контакта и называются
поверхностными силами.
Величина нагрузки, приходящаяся на единицу
площади, называется интенсивностью нагрузки. Она
обозначается обычно р и измеряется в кг/см2, кг/м2 или т/м2.
Часто нагрузку, распределенную по поверхности, приводят
к главной плоскости, в результате чего получается
нагрузка, распределенная по линии, или погонная нагрузка.
Интенсивностью такой нагрузки (кг/см, кг/м, т/м) называют
величину нагрузки, приходящуюся на единицу длины
линии. Интенсивность может быть переменной по этой
длине. Характер изменения нагрузки обычно показывают в виде эпюры (графика) q. В случае
равномерно распределенной нагрузки (рис. 36, а) эпюра q прямоугольная (рис. 36, б). При действии
гидростатического давления эпюра нагрузки q треугольная (рис. 37). Встречаются эпюры q и более
сложного вида.
Равнодействующая распределенной нагрузки численно равна площади ее эпюры и приложена в
центре ее тяжести.
Сосредоточенная сила – нагрузка, приложенная по участку, размеры которого значительно
меньше размеров поверхности тела. Кроме того, встречаются нагрузки, которые могут быть
представлены в виде сосредоточенного момента (пары). Моменты обозначают М (кг • см или т • м).
В зависимости от характера приложения сил во времени различают нагрузки статические и
динамические. Нагрузка считается статической, если она сравнительно медленно и плавно (хотя
бы в течение нескольких секунд) возрастает от нуля до своего конечного значения, а затем остается
неизменной. При этом можно пренебречь ускорениями деформируемых масс, а значит, и силами
инерции.
Динамические
нагрузки
сопровождаются
значительными
ускорениями
как
деформированного тела, так и взаимодействующих с ним тел. При этом возникают силы инерции
Л.5 Метод сечений. Виды деформации деталей машин.
Под внутренними силами, будем иметь в виду дополнительные силы взаимодействия, возникающие
в результате нагружения тела. Внутренние силы часто называют усилиями. Одним из основных
методов выявления и вычисления внутренних сил является метод сечений.
На каждой стороне сечения получим шесть внутренних силовых
факторов (рис. 40, б): три силы (N, Qу, Qz) и три момента (Мх, Муи Мz).
Эти величины называют внутренними усилиями в сечении стержня.
Усилие N вызывает продольную деформацию стержня (растяжение
или сжатие); Qу и Qz — сдвиг сторон сечения соответственно в
направлении осей у и z, Мх — кручение стержня; Му и Mz — изгиб
стержня в главных плоскостях (zх и ух). Поэтому для усилий и
моментов в сечении приняты следующие названия: N —
продольная или осевая (направленная по оси стержня) сила; Qу и
Qz — поперечные (реже — перерезывающие) силы; Мх = МКр —
крутящий момент; Му, Mz—изгибающие моменты.
N численно равно алгебраической сумме проекций на ось стержня
(на нормаль к сечению) всех внешних сил, действующих на одну
из частей (левую или правую) рассеченного стержня; Qу — то же,
но на ось у; Qz — то же, но на ось z; Мкр численно равен
алгебраической сумме моментов относительно оси стержня всех
внешних сил, действующих на одну из частей (левую или правую)
рассеченного стержня; Му — то же относительно оси у; Mz — то же, но относительно оси z.
Для учета направлений внутренних сил будем считать их положительными, если они
направлены: -продольная сила – в сторону от сечения; -поперечная сила – в левой части бруса вверх,
а в правой части вниз; -продольные и поперечные моменты – в левой части бруса по часовой стрелке,
в правой – против. Таким образом, метод сечений позволяет найти все усилия и моменты в любом
сечении стержня при действии любой нагрузки. Для этого нужно:
1)найти главные центральные оси поперечных сечений стержня; (Если сечение имеет ось симметрии,
то эта ось всегда главная; любая ось, перпендикулярная оси симметрии – 2-я гл.ось для точки их
пересечения; главные оси, проходящие через центр тяжести сечения – главные центральные оси);
2)мысленно
провести
поперечное
сечение стержня в том месте, где
нужно найти усилия и моменты;
3)вычислить силы N, Qу, Qz и моменты
Мкр, Му, Mz как алгебраические суммы
проекций и моментов внешних сил,
действующих на одну из частей (левую
или правую по отношению к сечению)
рассеченного стержня (обычно на ту,
где проекции и моменты вычисляются
проще).
Напряжение. Для характеристики закона изменения внутренних усилий вводят интенсивность
внутренних усилий – величина нагрузки на единицу площади.
Эти величины называют напряжениями в точке у, z
проведенного сечения стержня, причем 
—

нормальное напряжение;
— касательное напряжение.
Таким образом, напряжением называется внутренняя сила, отнесенная к единице площади в данной
точке рассматриваемого сечения.
Кроме нормальных напряжений  и касательных  рассматривают еще и
полное напряжение, т. е. величину полного усилия, приходящегося на единицу
площади.
Деформации. Для определения деформации в какой-либо точке А проведем в недеформированном
теле отрезок прямой АВ, исходящий из этой точки в произвольном
направлении и имеющий длину s. После деформации точки А и В
переместятся и займут положения А1 и В1 соответственно, а
расстояние s между ними изменится на величину s . Отношение
s / s   cp
называется
средней
относительной
линейной
деформацией отрезка АВ. Приближая точку В к точке А, т. е.
уменьшая длину отрезка s, в пределе получим
lim s / s   AB
s0
.
 AB представляет собой относительную линейную деформацию в точке А по направлению
АВ. Если известно, что расстояние между точками A и B увеличивается, то  AB называют
Величина
относительным удлинением, при уменьшении этого расстояния—относительным укорочением.
Для полной характеристики деформации в точке вводят еще и угловые
деформации. Если до деформации тела из точки А провести два отрезка
АВ и АС, образующих прямой угол, то после перемещения точек
вследствие деформации тела отрезки займут положения А 1 В 1 и А1С1, а угол
между ними изменится на величину  ВАС—  В 1 А 1 С1. Приближая
точки B и С к точке А, в пределе получим изменение первоначально
прямого угла на величину
lim(  ВАС—  В 1 А 1 С1)=  BAC .
Это изменение прямого угла, выраженное в радианах, называется относительной угловой
деформацией в точке А в плоскости, где лежат отрезки АВ и АС. В той же точке А относительные
угловые деформации в различных плоскостях различны. Обычно относительные угловые
деформации определяют в трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостях. Тогда их
обозначают соответственно через  xy ,  xz ,  yz .
Деформированное состояние в точке тела полностью определяется шестью компонентами
деформации — тремя относительными линейными деформациями  x ,  y ,  z и тремя
относительными угловыми деформациями
 xy ,  xz ,  yz .
Л.6 Растяжение и сжатие. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии.
Растяжение или сжатие стержня вызывается силами, действующими вдоль его оси.
Касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения равны нулю.
(1) - статическая сторона;
(2) - геометрическая сторона.
Физическая сторона рассматриваемой задачи заключается в установлении
зависимости деформаций от напряжений. При упругих деформациях эта зависимость линейна и
называется законом Гука, где Е — коэффициент пропорциональности,
называемый модулем продольной упругости, модулем упругости первого
рода или модулем Юнга.
Учитывая постоянство модуля упругости Е для однородного и изотропного материала, а также
выражения (2) и (3), находим:
Относительное удлинение:
В пределах призматического участка стержня длиной l, выполненного из однородного материала (Е
= соnst), в сечениях которого действуют одинаковые продольные силы N, удлинение каждой
единицы длины одинаково и, следовательно, абсолютное удлинение:
Произведение EF в знаменателе называется жесткостью поперечного сечения стержня при
растяжении и сжатии и имеет размерность силы. Величину EF/l называют жесткостью cтержня.
Разность соответствующих поперечных размеров после деформации и до нее
назовем абсолютной поперечной деформацией.
Относительная поперечная деформация для изотропных материалов по всем поперечным
направлениям одинакова:
Между поперечной и продольной относительными деформациями при простом
растяжении и сжатии в пределах применимости закона Гука существует постоянное
отношение. Абсолютная величина этого отношения назвается коэф. Пуассона:
Величины наибольших напряжений из условия надежности работы детали необходимо ограничивать
некоторыми допустимыми значениями. Их называют допускаемыми напряжениями. При растяжении
и сжатии допускаемые напряжения обозначают соответственно [  +] и [  _]. Расчет на прочность:
на растянутых или сжатых участках стержня находят опасные сечения, в которых напряжения
достигают наибольших значений по абсолютной величине, и для этих
сечений записывают условие прочности.
Используя условие прочности, можно решать три типа задач: по известным нагрузкам для
выбранного материала найти надежные с точки зрения прочности размеры поперечного сечения
стержня (проектировочный расчет); по известным размерам и материалу детали проверить, может ли
она выдержать заданную нагрузку (проверочный расчет); 3)по известным размерам детали,
материалу и схеме нагружения определить допустимую величину нагрузки.
Л.7 Построение эпюр
Графики (диаграммы), показывающие, как изменяются внутренние усилия при переходе от
сечения к сечению, называют эпюрами. Правила, применяемые при построении эпюр:
1. Ось (базу), на которой строится эпюра, всегда выбирают так, чтобы она была параллельна или
просто совпадала с осью стержня.
2. Ординаты эпюры откладывают от оси эпюры по перпендикуляру.
3. Штриховать эпюры принято линиями, перпендикулярными к базе.
4. Для усилий и моментов выбирают некоторый масштаб. Ординаты откладывают строго в масштабе.
Кроме того, на эпюрах проставляют числа, показывающие величины характерных ординат, а в поле
эпюры в кружочке ставят знак усилия.
Продольная (осевая) сила
считается положительной, если
она вызывает растяжение, и
отрицательной, если вызывает
сжатие. Внешние силы сами по
себе ни положительны, ни
отрицательны, по каждая дает в
выражении для N слагаемое
определенного знака.
Л.8 Сдвиг и срез
Чистый сдвиг возникает тогда, когда из шести компонентов главного вектора внутренних сил и
главного момента лишь поперечные силы Q y и Q z не равны нулю.
Поперечная сила в сечении Qy  P . Будем считать, что касательные
напряжения  равномерно распределены по площади поперечного
сечения A полосы, тога
 
P
(1)
A
Величину S (рис.) называют абсолютным сдвигом. Из BAB1 :
tg 
S
; учитывая малость угла  , можно принять tg   , откуда следует:
a
 
S
(2),
a
где  называют относительным сдвигом или углом сдвига.
Закон Гука при чистом сдвиге:
  G (3),
где G  модуль упругости при сдвиге или модуль упругости второго рода (МПа).
Относительное удлинение диагонали:  
Тогда, при упругом материале: G 
Абсолютный сдвиг: S  a 

G
a

2

E
21   
Qa
(5)
GA
Условие прочности на срез:  max    (6).
Условие прочности на смятие:  max    (7)

2G
(4).
Л.9–10 Кручение. Эпюры моментов. Напряжения и деформации при кручении. Условия
прочности и жесткости. Расчёт деталей машин при кручении.
Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях
возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Все остальные внутренние
усилия – нормальная и поперечная силы, изгибающий момент при кручении отсутствуют.
Построение эпюры моментов:
1) Разобьем вал на участки: I, II, III,
IV и V.
2. Пользуясь правилом для
определения крутящих моментов,
находим: M êðI  0 ;
M êðII  M1  10 кНм;
M êðIII  M1  M 2  10  30  20 кНм;
M êðIV  M 4  5 кНм;
M êðV  0 .
Касательные напряжения:
  G  G
d
d
r (1);    G   G
 (2)
dx
dx
M êð    dA     G 2
A
  dA  J
A
2
p
d
dA (3)
dx
(4) - полярный момент инерции
A
M 
d
(5), Т.о.    êð (6) – закон распределения касательных
dx
Jp
напряжений вдоль радиуса сечения, позволяет определить касательное напряжение в любой точке
поперечного сечения.
поперечного сечения -> M êð  GJ p
 max 
M êð r

M êð
(7), где Wp 
Jp
- полярный момент сопротивления круглого сечения при
r
Jp
Wp
кручении, характеризует влияние размеров сечения на способность скручиваемого элемента
сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.
Если вал имеет постоянный диаметр, а крутящий момент по всей длине стержня не меняется, то
M l
угол закручивание будет иметь вид l  êð (8). GJ p называется жесткостью поперечного сечения
GJ p
вала при кручении. Для ступенчатых стержней или же стержней, у которых крутящий момент
меняется по длине скачкообразно, угол закручивания между начальным и конечным сечениями вала
n Mi l
M êð
êð i
определяется как сумма углов закручивания с постоянным отношением
: l  
(9)
i
Jp
i 1 GJ p
Для оценки жесткости скручиваемого стержня применяется относительный угол закручивания
M
  êð (10).
GJ p
M êð
Условие прочности:  max 
Wp
   (11).
Условие прочности позволяет решать три задачи:
1. Первая задача состоит в проверке напряжений при заданном моменте и известном диаметре вала.
2. Вторая задача заключается в определении допускаемой величины для момента при заданном
диаметре вала и известном допускаемом напряжении.
3. Третья задача, наиболее важная, является задачей проектировочного расчета: при заданном
моменте и допускаемом напряжении необходимо найти диаметр вала.
Jp 
Для сплошного сечения вала:
d 4
32
J p d 3
Wp 

d
16
2
;
Для полого вала (кольцевое сечение) с внешним диаметром D и внутренним d :
Jp 

D
32
Условие жесткости:  
4

 d4 
M êð
GJ p
D 4
32
1   
4
( 
d
);
D
Wp 
D3
16
1   
4
   (12),
где   относительный угол закручивания;    допускаемый относительный угол закручивания
вала в радианах деленных на метр, нормируемый техническими условиями.
Таким образом, для одного и того же вала диаметр определяется дважды: один раз – из условия
прочности, второй  из условия жесткости. Из двух полученных размеров берется больший!
Мощность представляет собой работу в единицу времени (секунду), которая равна работе
внешнего момента AP  M , где   угол, на который повернется шкив за одну секунду. За одну
n
2n
n
секунду шкив совершит
оборотов, следовательно,  
. Т.о. AP  M
 75 N (кНм/cек), где
60
60
30
N
N  мощность в лошадиных силах. Т.о. M  7,162 (кНм). Учитывая, что одна л.с. равна 0,736 кВт и
n
K
выражая внешний момент через мощность K , заданную в киловаттах, получим: M  9,736 (кНм).
n
Для проектирования можно рекомендовать следующий порядок расчета валов на прочность и
жесткость при кручении. По схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят
эпюру крутящих моментов по отдельным участкам. Выбирают материал для рассчитываемого вала и
определяют для этого материала допускаемое напряжение [  ]. Записывают условие прочности для
участка вала с максимальным значением крутящего момента (согласно эпюре моментов).