казанский государственный университет шапуков б.н. обзорные

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ШАПУКОВ Б.Н.
ОБЗОРНЫЕ ЛЕКЦИИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
Казань — 2006
1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В основе курса аналитической геометрии лежит несколько фундаментальных идей и понятий,
которые в значительной степени определили развитие математики. Это метод координат, понятие группы преобразований и соответствущей ей геометрии как теории инвариантов этой группы.
В курсе аналитической геометрии эти идеи раскрываются на примерах аффинной, евклидовой и
проективной геометрий.
1.1. Геометрия группы преобразований. Пусть M – непустое множество и f : M → M – преобразование этого множества, т. е. его биективное отображение в себя: x 0 = f (x). Рассмотрим
некоторое множество G таких преобразований.
Определение: Множество G называется группой преобразований, если выполнены следущие
три условия – аксиомы группы:
1. В группе имеется тождественное преобразование: Id ∈ G;
2. Для любого f ∈ G она содержит обратное преобразование: f −1 ∈ G;
3. Для любых f, g ∈ G их композиция есть преобразование группы: g ◦ f ∈ G.
В классических геометриях множество M является обычно топологическим пространством, а
множество G групповых преобразований образуют семейство, которое зависит от некоторого числа
параметров: x0 = f (x, a1 , . . . , ar ). В этом случае говорят об r-параметрической группе преобразований. Более того, в классических геометриях эти функции являются обычно непрерывными и, более
того, дифференцируемыми. Пара (M, G) называется G-пространством, а G – его фундаментальной группой. Говорят также, что группа G действует в пространстве M. При этом две фигуры
называются конгруэнтными (обозначение F ∼ F 0 ), если существует преобразование f группы, при
котором F 0 = f (F ). В силу групповых аксиом конгруэнтность есть отношение эквивалентности
на множестве всех фигур G-пространства, т. е. выполняются свойства рефлексивности (F ∼ F ),
симметрии (F ∼ F 0 ⇒ F 0 ∼ F ) и транзитивности (F ∼ F 0 , F 0 ∼ F 00 ⇒ F ∼ F 00 ). Геометрия
G-пространства – это совокупность тех свойств фигур F ⊂ M, которые инвариантны при преобразованиях группы G. Ясно, что конгруэнтные фигуры по отношению к заданной группе обладают
одинаковыми геометрическими свойствами.
Аффинные, евклидовы и проективные пространства, которые рассматриваются в курсе аналитической геометрии, являются как раз примерами G-пространств. Рассмотрим их подробнее.
1.2. Аффинные пространства и аффинные преобрзования. Сначала определим множество,
на котором действует группа. Пусть V – вещественное векторное пространство.
Определение: Множество A называется аффинным пространством с направляющим про−−→
странством V, если задано отображение σ : A × A → V, σ(X, Y ) = XY , удовлетворяющее двум
следующим условиям (аксиомы Вейля):
−−→
1. Для всякой пары точек O, X ∈ A, где O фиксирована, отображение σ(O, X) = OX ∈ V биективно.
−−→ −
−
→ −−→
2. Для любых трех точек X, Y, Z ∈ A XY + Y Z = XZ.
−−→
Вектор x = OX называют радиусом-вектором точки X и говорят, что точка O – его начало, X –
конец и что вектор отложен от точки O. В силу биективности отображения для всякого вектора
−−→
x существует единственная точка X ∈ A такая, что OX = x. Отсюда следует, в частности, что
−−→
−−→
−−→
XY = 0 ⇐⇒ X = Y и что XY = −Y X.
Tаким образом, аффинное пространство с фиксированной точкой (A, O) отождествляется с векторным пространством. Размерность аффинного пространства определяется как размерность его
направляющего пространства. Мы будем рассматривать только конечномерные пространства A =
An . Подмножество Ak ⊂ A называется k-плоскостью, если оно само является k-мерным аффинным
пространством. При этом k-плоскости называются параллельными, если они имеют одно и тоже
направляющее подпространство Vk ⊂ V. При k = 1 говорят об аффинной прямой, а при k = n − 1 о
гиперплоскости.
В A можно ввести координаты следующим образом. Выберем в некоторую точку O, а в направляющем пространстве V базис {ei }, (i = 1, . . . n). Их совокупность R = {O, ei } или, что то же самое,
−−→
совокупность n + 1 точек {O, E1 , . . . En }: OE i = ei , называется аффинным репером, а точка O его
−−→
началом. Если мы теперь возьмем любую точку X ∈ A и ее радиус-вектор x = OX, то его координаты, определяемые разложением x = xi ei , называются аффинными или декартовыми координатами
точки X в выбранном репере.
1
Всякое преобразование f в A порождает вполне определенное преобразование направляющего
−−→
пространства. В самом деле, рассмотрим вектор XY и пусть X 0 = f (X), Y 0 = f (Y ). Тогда в про−−−
→
−−→
странстве V возникает преобразование Φ(XY ) = X 0 Y 0 .
Определение: Преобразование f аффинного пространства A называется аффинным, если соответствующее ему преобразование Φ направляющего пространства есть невырожденный линейный
оператор.
−−−→
−−→
−−→
Пусть X – произвольная точка с радиусом-вектором x = OX. Tогда Φx = Φ(OX) = O0 X 0 . Здесь,
согласно определению, Φ есть линейный оператор. Рассматривая радиусы-векторы преобразован−−→
−−→
−−−→
ных точек x0 = OX 0 , a = OO0 , имеем O0 X 0 = x0 − a и, следовательно,
x0 = Φx + a.
(1)
В аффинных координатах эти преобразования выражаются линейными функциями
x0i = Φij xj + ai ,
det(Φij ) 6= 0.
Рассмотрим основные свойства аффинных преобразований.
1) Множество всех аффинных преобразований пространства A образуют группу. Множество преобразований этой группы зависит от n2 + n параметров. Она называется аффинной и обозначается
Af f (n).
2) Для всякой пары аффинных реперов (R, R0 ) существует единственное аффинное преобразование,
переводящее один репер в другой. При этом каждой точке, имеющей в репере R координаты (x i ),
соответствует точка, которая в репере R 0 имеет те же самые координаты. Следует отметить, что
при detΦ > 0 аффинные преобразования сохраняют ориентацию репера, а при detΦ < 0 меняют ее
на противоположную.
3) При аффинных преобразованиях сохраняется порядок алгебраической поверхности. Последняя
задается неявным уравнением вида F (x1 , . . . , xn ) = 0, где слева – многочлен некоторой степени.
Например, линии и поверхности второго порядка преобразуются в линии и поверхности того же
порядка.
4) В частности, при аффинных преобразованиях k-плоскости преобразуются в k-плоскости, прямые
преобразуются в прямые.
5) Параллельные k-плоскости, т. е. k-плоскости, не имеющие общих точек и имеющие одно и то же
направляющее подпространство Vk ⊂ V, преобразуются в параллельные k-плоскости.
6) Преобразования аффинной группы обладают важным числовым инвариантом — простым отношением трех точек, лежащих на одной прямой. Пусть две точки X, Y определяют направленный
отрезок и Z — произвольная точка прямой XY .
Определение. Говорят, что точка Z делит отрезок XY в отношении λ, если
−−→
−−
→
XZ = λZY .
Обозначение λ = (XY ; Z). Отметим, что λ 6= −1, а при λ = 1 точка Z делит отрезок пополам.
Теорема. Аффинные преобразований сохраняют простое отношение трех точек прямой.
Доказательство следует из равенств
−−−→
−−−
→
−−→
−−
→
X 0 Z 0 = Φ(XZ) = λΦ(ZY ) = λZ 0 Y 0 .
1.3. Изометрии и евклидовы пространства. Пусть имеется G-пространство (M, G) и H ⊂ G
– подгруппа преобразований. Это значит, что для любых f, g ∈ H преобразование g −1 ◦ f ∈ H.
Очевидно, все G-инвариантные свойства фигур являются также и H-инвариантными, но обратное
не всегда верно. Поэтому геометрия пространства (M, H) богаче свойствами фигур по сравнению с
геометрией (M, G). Так, группа аффинных преобразований имеет подгруппу переносов x 0 = x + a,
подгруппу центроаффинных преобразований x0 = Φx, оставляющих неподвижным начало координат, подгруппу гомотетий x0 = λx, где λ ∈ R0 . Но важнейшей является подгруппа изометрий,
лежащая в основе евклидовой геометрии.
Определение: Аффинное пространство называется евклидовым и обозначается E, если его
направляющее пространство V есть евклидово векторное пространство.
Tаким образом, V снабжено теперь скалярным произведением (x, y) или, что то же самое, метрическим тензором. Это положительно определенная и симметричная билинейная форма, которая
в координатах имеет вид
(x, y) = gij xi y j .
(2)
2
Здесь gij = (ei , ej ) — компоненты метрического тензора
в заданном базисе. В силу условия поp
ложительной определенности модуль вектора |x| = (x, x) есть вещественное число. Поэтому ве−
−
→
щественным является и число d(A, B) = |AB|, которое называется расстоянием между точками,
(x,y)
определяет угол между векторами. В частности, векторы ортогональны,
а формула cos α = |x||y|
если (x, y) = 0.
Определение. Аффинное преобразование называется изометрией (или движением) евклидова
пространства, если соответствующий ему линейный оператор Φ сохраняет скалярное произведение
(Φx, Φy) = (x, y).
(3)
Другими словами, линейный оператор Φ в формуле (1) является ортогональным. Если G = (g ij )
– матрица метрического тензора, то условие ортогональности имеет вид Φ t GΦ = G. Как следствие
имеем det(Φ) = ±1.
В евклидовом пространстве можно определить реперы специального вида – ортонормированные реперы, для которых базисные векторы единичны и ортогональны: (ei , ej ) = δij . Получаемые
координаты называются прямоугольными. Компоненты метрического тензора g ij образуют теперь
единичную матрицу, а скалярное произведение векторов (2) сводится к сумме произведений их
координат (x, y) = x1 y 1 + · · · + xn y n . Поэтому приведенные выше формулы существенно упрощаются. Так, например, матрица Φ = (Φij ) ортогонального линейного оператора удовлетворяет условию
Φt Φ = E.
Понятно, что изометрии обладают всеми свойствами аффинных преобразований. Кроме того:
1) Изометричные преобразования образуют группу Iso(n) – подгруппу аффинной группы. Несложно подсчитать, что эта группа в силу условий ортогональности зависит от 12 n(n + 1) параметров.
Эта группа содержит в свою очередь две важные подгруппы: уже упомянутую подгруппу переносов
и подгруппу вращений (первого и второго рода): x0 = Φx, где Φ — ортогональный оператор.
2) Для любой пары ортонормированных реперов существует единственная изометрия, преобразующая один репер в другой. Если эти реперы имеют одинаковую ориентацию, то detΦ > 0, а если
разную, то detΦ < 0.
3) Изометрии сохраняют расстояние и угол между векторами. Это прямое следствие инвариантности скалярного произведения.
Пример. При n = 2 в обозначениях x1 = x, x2 = y преобразования группы изометрий (движений)
на евклидовой плоскости имеют вид
x0 = x cos t − ysint + a,
y 0 = ±x sin t ± y cos t + b ,
где верхний знак соответствует движениям первого, а нижний — второго рода. Движения первого
рода сами образуют группу Iso+ (2) и, в свою очередь, содержат две подгруппы — вращений и
переносов. Движения второго рода подгруппу не образуют и содержат такие преобразования как
осевая симметрия и скользящая симметрия.
1.4. Проективные преобразования и проективные пространства. Рассмотрим другой способ получения G-пространства на основе векторного пространства. Зададим в векторном пространстве V отношение λ : x ∼ y ⇔ y = λx, λ 6= 0. В пространстве без нулевого вектора V 0 = V \ {0} оно
является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности – векторные прямые без нуля.
Определение. Проективное пространство — это факторпространство P = V 0 /λ, т. е. множество векторных прямых без нуля.
Если dimV = n + 1, то размерность проективного пространства равна n. Каноническая проекция
π : Vn+1
→ Pn всякому ненулевому вектору ставит в соответствие векторную прямую X = π(x) –
0
точку проективного пространства. Это непрерывное, сюръективное и открытое отображение. При
этом множество {λeα } гомотетичных базисов пространства V порождает совокупность n + 1 точек
{Eα } ∈ Pn , образующих проективный репер.
Если Vk+1 ⊂ V есть (k+1)-мерное подпространство, то ему соответствует k-мерное проективное
подпространство Pk ⊂ Pn , которое называется также k-плоскостью. Это множество точек, векторы
которых есть линейные комбинации k + 1 линейно независимых векторов
x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λk+1 xk+1 .
В частности, при k = 1 имеем проективную прямую, а при k = n − 1 гиперплоскость. Исключив параметры, получим неявное уравнение гиперплоскости ξ(x) = ξi xi = 0. Полезно заметить, что левая
3
часть этого уравнения есть линейная форма однородных координат, определенная с точностью до
ненулевого множителя.
Существует несколько геометрических моделей проективных пространств. Рассмотрим две из
них.
1) В (n + 1)-мерном евклидовом пространстве рассмотрим гиперсферу S n : x2 = 1. Tогда группа
гомотетий индуцирует на ней циклическую группу второго порядка Z2 , а классы эквивалентности
— это пары диаметрально противоположных точек {x, −x}. Поэтому Pn ∼
= S n /Z2 — гиперсфера с
отождествленными диаметрально противоположными точками.
2) Как мы уже говорили, аффинное пространство с фиксированной точкой отождествляется с векторным пространством. Поэтому связка прямых (n + 1)мерного аффинного пространства с произвольно выбранным центром O моделирует n-мерное проективное пространство. Геометрически
нагляднее выбрать в An+1 некоторую гиперплоскость An ⊂ An+1 с направляющим подпространством Vn , не проходящую через центр связки, и каждой ее точке X поставить в соответствие прямую
OX связки. Tогда мы получим отображение An → Pn , которое непрерывно, но не биективно. Для
того, чтобы достигнуть биективности, дополним гиперплоскость несобственными точками. Они соответствуют тем прямым связки, которые параллельны гиперплоскости. Все такие прямые лежат в
гиперплоскости An0 , параллельной заданной и проходящей через центр связки. Следовательно, гиперплоскость An дополняется проективным пространством размерности n−1. Например, множество
несобственных точек аффинной 2-плоскости есть проективная прямая, гомеоморфная окружности.
В проективном пространстве за координаты точки X = π(x) принимаются координаты соответствующего вектора. Следует лишь иметь ввиду, что они определены с точность до ненулевого
множителя и не все равны нулю. Эти координаты обозначаются (xα ) = (x1 : x2 : · · · : xn+1 )
и называются однородными координатами проективного пространства. Можно ввести и обычные
координаты. В той области проективного пространства Uk ⊂ Pn , в которой координата xk 6= 0, положим y α = xα /xk , (α 6= k). Мы получим n неоднородных проективных координат. Tаким образом,
проективное пространство покрывается совокупностью n + 1 координатных окрестностей. Например, проективная прямая (n = 1) покрывается двумя координатными окрестностями: U 1 : x1 6= 0,
1
2
в которой можно ввести координату y = xx1 , и U2 : x2 6= 0 с координатой ỹ = xx2 . Они связаны так
называемой функцией перехода ỹ = y1 .
Перейдем к рассмотрению проективных преобразований. Снова обратимся к векторному пространству V0 и рассмотрим невырожденный линейный оператор Φ. Он преобразует векторные прямые в векторые прямые и, значит, порождает некоторое преобразование проективного пространства.
Определение. Преобразование φ = π ◦ Φ, порожденное линейным оператором Φ, называется
проективным преобразованием проективного пространства.
Мы имеем, следовательно, следующую коммутативную диаграмму
Φ
x0 = Φx
↓π
x 7−→
↓π
X
φ
−→ X 0 = φ(X)
В однородных координатах проективные преобразования записывается так же, как и соответствуβ
ющие преобразования в V0 : x0α = Φα
β x , (α, β = 1, . . . , n + 1), но матрица Φ определена теперь
лишь с точностью до ненулевого множителя. Если же записать их в неоднородных координатах,
то получатся дробно-линейные преобразования. Например, на проективной прямой при x1 6= 0 они
имеют вид
ay + b
, ad − bc 6= 0.
y0 =
cy + d
Конечно, здесь можно считать, что ad − bc = ±1.
В проективном пространстве имеет место так называемый принцип двойственности. Его основой является известная двойственность векторых пространств: для всякого V определяется сопряженное ему ковекторное пространство V∗ , элементами которого являются линейные формы
ξ (ковекторы). Более того, в случае конечной размерности сопряженность взаимна. Задав, как и
выше, отношение эквивалентности в V∗0 : ξ ∼ η ⇔ η = λξ, мы получим проективное пространство
P∗ = V∗0 /λ. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Как мы уже отмечали, всякой
линейной форме ξ(x) ∈ P∗ n , определенной с точностью до множителя, взаимно однозначно соответствует гиперплоскость в Pn с неявным уравнением ξ(x) = 0 или в координатах ξα xα = 0. Здесь ξα
являются однородными координатами гиперплоскости. Tаким образом, пространство P ∗ n можно
4
моделировать как множество гиперплоскостей пространства Pn . Например, образ, двойственный
проективной k-плоскости есть множество гиперплоскостей ξ = λ1 ξ1 + λ2 ξ2 + · · · + λk+1 ξk+1 . Это
множество называется k-связкой гиперплоскостей, а при k = 1 пучком.
Свойства проективных преобразований:
1) Множество всех проективных преобразований является группой. Она обозначается GP (n).
2) Для всякой пары проективных реперов существует единственное проективное преобразование,
переводящее один репер в другой.
3) Как и в аффинном случае, проективные преобразования сохраняют порядок алгебраической поверхности M ⊂ Pn . Например, k-плоскости преобразуются в k-плоскости, в частности, проективные
прямые преобразуются в проективные прямые, поверхности второго порядка преобразуются в поверхности того же порядка.
4) Проективная группа обладает важным числовым инвариантном. Рассмотрим проективную прямую XY и пусть Z1 , Z2 — две точки этой прямой. Tогда имеем линейные разложения
z1 = λ1 x + µ1 y,
z2 = λ2 x + µ2 y.
Определение. Число ω = µλ11 : µλ22 называется ангармоническим отношением четверки точек
проективной прямой и обозначается ω = (XY ; Z1 Z2 ).
Если ω = −1, то говорят, что эта четверка является гармонической, а точки Z 1 , Z2 называются
сопряженными относительно пары X, Y .
Теорема. Ангармоническое отношение не изменяется при преобразованиях проективной группы.
5) Tак как проективные преобразования переводят гиперплоскости в гиперплоскости, то действие
проективной группы может быть определено и в сопряженном пространстве. Всякой гиперплоскости, задаваемой ковектором ξ, ставится в соответствие гиперплоскость ξ 0 = Φ∗ ξ такая, что
(Φ∗ ξ)(x) = ξ(Φx) для любого x. В однородных координатах это преобразование имеет вид ξ α0 =
ξβ Φβα . Рассмотрим пучок гиперплоскостей ζ = λξ + µη, определяемый парой ξ, η и пусть ζ 1 , ζ2 – две
гиперплоскости этого пучка. Пусть
ζ1 = λ1 ξ + µ1 η,
ζ2 = λ2 ξ + µ2 η.
Число (ξη; ζ1 ζ2 ) = µλ11 : λµ22 является проективным инвариантом и называется ангармоническим
отношением четверки гиперплоскостей пучка.
6) Для всякой проективной прямой, пересекающей гиперплоскости пучка в точках x, y, z 1 , z2 , имеем
(xy; z1 z2 ) = (ξη; ζ1 ζ2 ).
Отсюда следует, что ангармоническое отношение точек не изменяется при центральном проектировании одной прямой на другую.
Проективная группа имеет много различных подгрупп и наиболее важной из них является рассмотренная выше аффинная группа. Чтобы ее выделить, зададим в Pn произвольную гиперплоскость и назовем ее точки несобственными. Tогда Af f (n) есть подгруппа проективных преобразований, для которых несобственная гиперплоскость является инвариантной. В самом деле, выберем,
например, однородные координаты так, чтобы эта плоскость имела уравнение x n+1 = 0 и в области Un+1 : xn+1 6= 0 введем неоднородные координаты y i = xi /xn+1 . Tогда нетрудно показать,
β
что преобразования x0α = Φα
β x сведутся к преобразованиям вида (1). Конечно, аффинные преобразования обладают всеми свойствами проективных преобразований. Но теперь инвариантный
смысл принимает, например, такое свойство прямых как их параллельность, если они пересекаются
в несобственной точке, а также понятие середины отрезка как точки, сопряженной несобственной
точке соответствующей прямой.
1.5. Классификация линий второго порядка. Задача классификации линий и поверхностей
второго порядка состоит в том, чтобы с помощью преобразований некоторой группы упростить их
уравнение и привести его к простейшему виду. В зависимости от того, преобразования какой группы
используются, различают проективную, аффинную и метрическую классификацию. Мы начнем с
первой из них применительно к линиям второго порядка на проективной плоскости.
Итак, пусть в 3-мерном векторном пространстве V3 задана квадратичная форма a(x, x) = aαβ xα xβ ,
(α, β = 1, 2, 3). Рассмотрим на соответствующей проективной плоскости множество точек, для которых она обращается в нуль:
a(x, x) = aαβ xα xβ = 0.
(4)
5
Мы получили на этой плоскости линию второго порядка (квадрику), вещественную или мнимую.
Рассмотрим прямую XY : z = λx + µy. Точки Z1 , Z2 ее пересечения с квадрикой (вещественные
или комплексно сопряженные) определяются квадратным уравнением
a(z, z) = λ2 a(x, x) + 2λµ a(x, y) + µ2 a(y, y) = 0,
откуда
µ
λ
1,2
√
−a(x, y) ± −∆
,
=
a(y, y)
где ∆ = a(x, x)a(y, y) − a(x, y)2 . Отсюда следует, что ангармоническое отношение ω = λµ11 : µλ22 =
−1, т. е. (X, Y ; Z1 , Z2 ) = −1 тогда и только тогда, когда a(x, y) = 0. В этом случае точки X, Y
называются сопряженными относительно квадрики. Заметим, что в силу симметрии билинейной
формы a(x, y) сопряженность точек взаимна.
Если фиксировать точку Y = Y0 , то множество точек, ей сопряженных, удовлетворяет условию aαβ xα y0β = 0. Вследствие линейности по координатам xα это есть уравнение гиперплоскости с
коэффициентами
ξα = aαβ y0β .
(5)
Она называется полярой точки Y0 , а точка Y0 — ее полюсом. Если же aαβ y0β = 0, то поляра не
существует. Такая точка называется особой. Особые точки сопряжены любой точке проективной
плоскости. Ясно, что они имеются лишь в случае, когда I3 = det(aαβ ) = 0, а так как a(y0 , y0 ) = 0,
то особые точки принадлежат квадрике.
Базис векторного пространства всегда можно выбрать так, чтобы квадратичная форма приняла
3
P
нормальный вид a(x, x) =
εα (xα )2 , где εα = ±1, 0. Tакому базису на проективной плоскости
α=1
соответствует проективный репер, все вершины которого сопряжены относительно заданной квадрики. В результате в зависимости от ранга и сигнатуры получим проективную классификацию
квадрик:
Tеорема. Уравнение всякой квадрики на проективной плоскости проективным преобразованием может быть приведено к одному из следующих канонических видов
1. (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 0, 2. (x1 )2 + (x2 )2 − (x3 )2 = 0,
3. (x1 )2 + (x2 )2 = 0,
4. (x1 )2 − (x2 )2 = 0,
1 2
5. (x ) = 0.
(6)
Первый из них есть мнимая квадрика. Квадрика второго вида вещественная и называется овальной.
В последних трех случаях det(aαβ ) = 0 и эти уравнения задают распавшиеся линии: пару мнимых
прямых, пару вещественных прямых и двойную прямую.
В случае аффинной плоскости дело обстоит сложнее. Надо учитывать расположение квадрики
относительно несобственной прямой. Выберем однородные проективные координаты так, чтобы эта
прямая имела уравнение x3 = 0. Как уже было сказано выше, аффинная подгруппа Af f (2) состоит из тех преобразований, которые переводят несобственную прямую в себя. Рассматривая точки
пересечения квадрики с этой прямой, получим уравнение для нахождения однородных координат
(v 1 : v 2 : 0) несобственных точек квадрики
aij v i v j = a11 (v 1 )2 + 2a12 v 1 v 2 + a22 (v 2 )2 = 0.
Пара чисел (v 1 , v 2 ), удовлетворяющая этому уравнению и определенная с точностью до множителя, вполне определяет несобственные точки квадрики и задает на аффинной плоскости некоторое
направление v, которое называется асимптотическим направлением квадрики. В зависимости от
значения дискриминанта I2 = detA = a11 a22 − a212 возможны три случая:
1) I2 > 0. Несобственных точек на квадрике нет. Другими словами, квадрики этого типа не имеет
асимптотических направлений. Это квадрики эллиптического типа.
2) I2 < 0, гиперболический тип. Квадрики этого типа имеют две различные несобственные точки
и, значит, два асимптотических направления.
3) I2 = 0. Квадрика касается несобственной прямой и имеет лишь одно асимптотическое направление. Это параболический тип.
Если положить x = x1 /x3 , y = x2 /x3 , то в аффинных координатах уравнение квадрики запишется
в виде
F (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
(7)
6
Для того, чтобы получить канонические уравнения, надо сделать некоторое аффинное преобразование или, что эквивалентно, выбрать подходящим образом аффинный репер. Это делается с
помощью таких понятий, как диаметр квадрики и ее центр. Диаметры квадрики — это поляры
несобственных точек (v 1 : v 2 : 0). Из (5) следует, что диаметр, сопряженный направлению вектора
v = (v 1 , v 2 ), имеет уравнение
D : v 1 Fx + v 2 Fy = 0,
(Fx , Fy ) = grad F.
Если же вектор v имеет асимптотическое направление, то это асимптота квадрики. С точки зрения аффинной геометрии диаметр есть прямая, которая делит хорды квадрики, параллельные заданному неасимптотическому направлению, пополам. В рамках аффинной геометрии это свойство
диаметра берется в качестве его определения. Множество всех диаметров образует пучок. Его центр
— полюс несобственной прямой. Если I2 6= 0, то с аффинной точки зрения это пучок первого рода
с собственным центром. Он называется центром квадрики. Геометрически он представляет собой
центр симметрии квадрики и в этом случае квадрика называется центральной. В параболическом
случае, когда I2 = 0, квадрика имеет либо несобственный центр (парабола), либо прямую центров,
а диаметры либо образуют пучок второго рода, либо все совпадают.
В основе выбора канонического репера лежат следующие два утверждения:
Лемма 1. Если центр квадрики совпадает с началом координат, то коэффициенты a 13 = 0,
a23 = 0.
Лемма 2. Если ось X имеет неасимптотическое направление, а ось Y является сопряженным
ее направлению диаметром, то a12 = 0, a13 = 0, a11 6= 0.
Используя эти леммы приходим к следующему результату:
Теорема. Аффинным преобразованием уравнение всякой квадрики на аффинной плоскости можно привести к одному из следующих канонических видов:
1. x2 + y 2 − 1 = 0, 2. x2 + y 2 + 1 = 0, 3. x2 − y 2 − 1 = 0,
4. x2 − 2y = 0,
5. x2 − y 2 = 0,
6. x2 + y 2 = 0,
2
2
7. x − 1 = 0,
8. x + 1 = 0,
9. x2 = 0.
(8)
Первые четыре — невырожденные квадрики: вещественный и мнимый эллипсы, гипербола и парабола. Остальные случаи представляют собой квадрики, распавшиеся на прямые линии, вещественные
или мнимые.
Переходя к теории квадрик на евклидовой плоскости, следует учитывать дополнительно наличие
такого инварианта группы движений как скалярное произведение. Теперь целесообразно использовать прямоугольные координаты.
Рассмотрим квадратичную часть уравнения (7)
Φ(x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2
и присоединенный к ней линейный оператор A. В прямоугольных координатах он имеет матрицу
a11 a12
.
A=
a12 a22
Cобственные векторы p этого оператора задают главные направления квадрики, а соответствующие
им диаметры называются главными диаметрами. Они ортогональны сопряженным хордам. Для их
нахождения мы имеем условие (A − λE)p = 0, т. е. систему двух линейных однородных уравнений
(a11 − λ)p1 + a12 p2
a12 p1 + (a22 − λ)p2
= 0,
= 0.
(9)
Она имеет нетривиальное решение p 6= 0 лишь тогда, когда ее определитель равен нулю. Это дает
характеристическое уравнение квадрики
λ2 − I1 λ + I2 = 0,
I1 = trA = a11 + a22 ,
I2 = detA.
(10)
Вследствие симметрии матрицы A оно имеет вещественные собственные значения λ 1 , λ2 . Из системы
(9) находятся соответствующие им собственные векторы p1 и p2 . Они задают главные направления
квадрики. Соответствующие им главные диаметры являются ее осями симметрии. Отметим, что
если собственные значения различны, то отвечающие им собственные векторы ортогональны. В
частности, нулевому корню соответствует асимптотическое главное направление. В случае кратного
p1
p2
корня всякое направление является главным. Если принять векторы i0 = |p
, j0 = |p
за орты новой
1|
2|
7
системы прямоугольных координат и выбрать соответствующим образом ее начало, то получим
каноническое уравнение линии второго порядка.
Коэффициенты характеристического уравнения, а следовательно, и его корни являются ортогональными инвариантами многочлена F (x, y). Tак называются функции его коэффициентов, значение которых не изменяются при преобразованиях прямоугольных координат: ϕ(a αβ ) = ϕ(aα0 β 0 ).
Еще одним ортогональным инвариантом является определитель I3 = det(aαβ ) квадратичной формы (4). Наличие ортогональных инвариантов позволяет найти каноническое уравнение квадрики,
не делая преобразования координат.
Пусть I2 6= 0 — квадрика центральная. Поместив начало координат в центр квадрики и направив
оси координат по главным направлениям, получим, применяя лемму 1, ее каноническое уравнение
в виде
I3
λ 1 x2 + λ 2 y 2 +
= 0.
I2
Если I2 = 0, но I3 6= 0, то, применив лемму 2 и выбрав начало координат в точке пересечения
квадрики с единственным главным диаметром, получим параболу с каноническим уравнением
s
I3
2
x = 2py, p = − 3 .
I1
При I2 = 0, I3 = 0 (и тогда I1 6= 0) имеем распавшийся параболический тип и уравнение квадрики
может быть записано в виде
K
x2 + 2 = 0,
I1
где
a11 a13 a22 a23 .
K =
+
a13 a33 a23 a33 Этот т. н. полуинвариант не изменяется при вращениях. В результате имеем:
Tеорема. Уравнение всякой квадрики на евклидовой плоскости преобразованием прямоугольных
координат можно привести к одному из следующих канонических видов:
2
2
2
2
2
2
1. xa2 + yb2 − 1 = 0, 2. xa2 + yb2 + 1 = 0, 3. xa2 − yb2 − 1 = 0,
2
2
2
2
6. xa2 + yb2 = 0,
4. x2 − 2py = 0,
5. xa2 − yb2 = 0,
2
2
2
2
2
7. x − a = 0,
8. x + a = 0,
9. x = 0.
(11)
Конечно, указанные канонические уравнения можно получить и непосредственным преобразованием прямоугольных координат.
Пример. На евклидовой плоскости рассмотрим линию 2-го порядка
4x2 − 4xy + y 2 − 2x − 14y + 7 = 0.
Подсчитав ортогональные инварианты, получим I1 = 5, I2 = 0, I3 = −225. Следовательно, линия
является параболой с параметром p = √35 . Каноническое уравнение x2 = √65 y.
Рассмотрим характеристическое уравнение λ2 −5λ = 0. Оно имеет корни λ1 = 5, λ2 = 0. Из системы (9) находим векторы, задающие соответствующие главные направления p 1 = (2, −1), p2 = (1, 2).
Первое из них не асимптотическое и ему соответствует главный диаметр — ось симметрии параболы 2x − y + 1 = 0. Примем его за ось Y 0 канонической координатной системы. Точка его пересечения с параболой дает вершину O 0 (− 15 , 35 ) . Таким образом, канонический репер есть {O 0 , i0 , j0 },
p1
p2
где i0 = |p
= ( √25 , − √15 ), j0 = |p
= ( √15 , √25 ). В результате получим следующее преобразование
1|
2|
прямоугольных координат
1
1
1
3
x = √ (2x0 + y 0 ) − , y = √ (−x0 + 2y 0 ) + ,
5
5
5
5
приводящее параболу к каноническому виду.
8
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2.1. Tеория кривых. Существует несколько различных определений кривой, которые не эквивалентны между собой. В курсе дифференциальной геометрии изучаются кривые евклидова пространства E3 , которые определяются следующим образом.
Определение. Подмножество Γ ⊂ E3 в евклидовом пространстве называется кривой, если
всякая ее точка x ∈ Γ обладает такой ε-окрестностью B(x, ε), что пересечение Γ ∩ B(x, ε) гомеоморфно интервалу I ∈ R вещественной прямой.
Другими словами, с топологической точки зрения кривая локально устроена как отрезок прямой.
Вместе с тем, встречаются кривые, содержащие особые точки, в которых это условие не выполняется. Они требуют специального изучения.
Аналитически кривую можно задать разными способами.
Определение. Параметризованной кривой класса C k в евклидовом E3 называется гомеоморфное отображение того же класса r : I ⊂ R → E3 интервала вещественной прямой в это пространство.
Таким образом, параметризованная кривая задается векторной функцией одного скалярного аргумента r = r(t) или в координатах xi = xi (t). Эти соотношения называются параметрическими
уравнениями кривой, а образ r(I) ⊂ E3 — носителем кривой. Параметризованная кривая называется регулярной, если регулярна задающая ее векторная функция, т. е. r0 6= 0. Вместе с параметризацией задается и определенная ориентация кривой — направление, в котором параметр возрастает.
Следует отметить, что один и тот же носитель может быть параметризован разными способами
и, значит, иметь разные параметрические уравнения. Дифференциальная геометрия изучает такие
свойства кривой, которые не зависят от выбора параметризации. Например, касательный вектор
r0 зависит от выбора параметра, но его направление, а значит и понятие касательной прямой инвариантно. В аналитической механике параметризованную кривую понимают как траекторию движения точки. При этом параметром обычно является время. Тогда условие регулярности означает,
что скорость движения точки нигде не обращается в нуль.
Примеры:
1) Прямая линия является кривой , а векторная функция r = r0 + at задает ее регулярную параметризацию с опорной точкой r0 = r(0) и направляющим вектором r0 = a 6= 0. Векторная функция
r = r0 + at3 задает тот же носитель — прямую, но теперь r0 = 3at2 и эта параметризация не регулярна при t = 0. Векторная функция r = r0 + at2 задает луч с началом r0 . Эта точка не является
регулярной.
2) Окружность радиуса a с центром r0 может быть задана уравнением r = r0 + ae(t), где e(t) —
первая круговая векторная функция. Интервалы 0 < t < 2π и −π < t < π полностью покрывают
окружность. Tак как r0 = ag(t) 6= 0, то эта параметризация регулярна. Уравнение r = r0 + ae(nt)
задает тот же носитель, но касательный вектор по модулю в n раз больше: r 0 = nag(nt).
3) Рассмотрим на плоскости параметризованную кривую, заданную уравнением r(t) = (cos t, sin 2t).
Нетрудно видеть, что эта параметризация регулярна. Кривая лежит внутри единичного квадрата
с центром в начале координат и дважды проходит через это начало, образуя восьмерку. Начало
координат является регулярной, но особой точкой этой кривой.
Определение. Ориентированной длиной дуги параметризованной кривой в интервале (t 0 , t)
называется число
Z t
|r0 (t)|dt.
(12)
s=
t0
Если здесь верхний предел считать переменным, то в результате интегрирования найдем связь
между параметрами s = s(t). После замены t → s получим новую параметризацию кривой. Эта параметризация регулярна и, более того, имеет ту же самую ориентацию, поскольку s 0 (t) = |r0 (t)| > 0.
Параметр s называется натуральным и обладает тем замечательным свойством, что касательный
dr
вектор ṙ = ds
единичный (производную по натуральному параметру будем обозначать точкой).
Tаким образом, для всякой регулярной параметризации кривой существует параметр, который является ее инвариантом и не зависит от выбора исходного параметра.
Методы дифференциальной геометрии позволяют изучить локальное строение кривых в окрестности бирегулярных точек. Tак называются точки, в которых векторы первой и второй производной
радиуса-вектора r0 , r00 линейно независимы: [r0 , r00 ] 6= 0. Задача решается с помощью сопровождающего репера кривой и изучения его движения как твердого тела при смещении точки по кривой.
9
Итак, отнесем бирегулярную кривую в евклидовом E3 к натуральному параметру. Tогда, как уже
было сказано, первая производная ṙ дает единичный касательный вектор. Tак как он имеет постоянный модуль, то вектор второй производной — вектор кривизны r̈ к нему ортогонален и вместе они
натягивают соприкасающуюся плоскость кривой. Для того, чтобы получить ортонормированный
репер, надо его пронормировать и взять затем векторное произведение
r̈
, b = [e, b] ,
e = ṙ, n =
|r̈|
Этот репер называется сопровождающим. Прямые, проходящие через точку кривой в направлении
этих векторов называются соответственно касательной, главной нормалью и бинормалью.
Для того, чтобы найти векторы сопровождающего репера при любой бирегулярной параметризации кривой, надо учесть, что при переходе от натурального параметра к произвольному
ṙ = r0 ṫ,
r̈ = r00 (ṫ)2 + r0 ẗ .
Отсюда следует важный вывод: при любой параметризации вектор первой производной принадлежит касательной прямой, а векторы первой и второй производных — соприкасающейся плоскости. Заметим далее, что b = |[[ṙ,r̈]
ṙ,r̈]| . Но при сохранении ориентации кривой
[ṙ, r̈] = [r0 , r00 ](ṫ)3 ,
и, следовательно,
ṫ =
1
|r0 |
r0
[r0 , r00 ]
,
n
=
[b,
e]
,
b
=
.
(13)
|r0 |
|[r0 , r00 ]|
Будем теперь смещать точку по кривой. Tогда e(s+h) = e(s)+ ė(s)h+o(s, h), где остаточный член
имеет более высокую степень малости по отношению к h. Tаким образом, изменение единичного
вектора касательной, равно как и других векторов сопровождающего репера в главной своей части
определяется первыми производными ė(s), ṅ(s), ḃ(s). Вычисляя их, получим уравнения Френе
( de =
k(s)n,
e=
ds
dn
ds
db
ds
= −k(s)e
+q(s)b,
=
−q(s)n,
(14)
где функции k(s) ≥ 0 и q(s) называются соответственно кривизной и кручением кривой.
Из этих уравнений вытекает геометрический смысл кривизны и кручения. Для этого достаточно
db
заметить, что k(s) = | de
ds | и q(s) = ±| ds |. Поэтому они равны, соответственно, скорости поворота
касательной и бинормали по отношению к дуге, на которой этот поворот происходит. Отсюда вытекает важный вывод: длина дуги, кривизна и кручение кривой — это инварианты кривой, значение
которых не зависит ни от выбора прямоугольных координат, ни от способа ее параметризации.
При произвольной бирегулярной параметризации они вычисляются по формулам
(r0 , r00 , r000 )
|[r0 , r00 ]|
, q(t) =
.
(15)
k(t) =
0
3
|r |
[r0 , r00 ]2
Пусть кривизна и кручение заданы как функции дуги. Рассмотрим уравнения Френе. Это система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, которая при заданных начальных
условиях e(0) = e0 , n(0) = n0 , b(0) = b0 имеет в некоторой окрестности начальных значений
R единственное решение {e(s), n(s), b(s)} . Тогда радиус-вектор искомой кривой равен r(s) = e(s)ds,
что при условии r(0) = r0 определяет кривую однозначно. Tаким образом, можно сформулировать
следующий вывод:
Tеорема. Кривизна и кручение определяют кривую в евклидовом пространстве с точностью
до движений.
Для того, чтобы выяснить, каким образом кривизна и кручение влияют на локальное строение
кривой в окрестности данной точки, отнесем кривую Γ к натуральному параметру и рассмотрим
на ней точку s = 0. Сопровождающий репер определяет в этой точке прямоугольную систему
координат (x, y, z) с направляющими ортами e, n, b соответственно. Разложим векторную функцию
r(s) в окрестности начальной точки в ряд Тейлора. С точностью до малых третьего порядка
1
1 ...
r(s) = r(0) + (ṙ(0))s + (r̈(0))s2 + ( r (0))s3 .
2
3!
Но из формул Френе мы имеем
...
ṙ = e , r̈ = kn , r = −k 2 e + k̇n + kqb .
10
Полагая r(s) = x(s)e+y(s)n+z(s)b и ограничиваясь лишь первыми членами разложений , получим
1
1
x = s , y = ks2 , z = kqs3 .
2
6
Здесь k и q суть значения кривизны и кручения в начальной точке. Эти уравнения аппроксимируют
параметрические уравнения нашей кривой в окрестности этой точки.
2.2. Понятие поверхности и ее уравнение. Введем следующее
Определение. Подмножество M ⊂ E3 в евклидовом пространстве называется поверхностью,
если всякая его точка A ∈ M обладает такой ε-окрестностью B(A, ε), что пересечение M ∩B(A, ε)
гомеоморфно некоторой области Q ∈ R2 вещественной плоскости.
Таким образом, с топологической точки зрения поверхность локально устроена как кусок плоскости. Конечно, встречаются поверхности, содержащие особые точки, в которых это условие не
выполняется. Изучение таких точек требует специальных методов.
Примеры.
1) Сфера в некоторой окрестности любой своей точки устроена как кусок плоскости. В самом
деле, проекция этой окрестности из центра сферы на касательную плоскость в этой точке осуществляет указанный в определении гомеоморфизм.
2) Вершина конуса есть особая точка, любая окрестность которой не удовлетворяет указанному
условию.
Задать поверхность с помощью уравнений можно разными способами.
Определение. Параметризованной поверхностью класса C k в евклидовом пространстве E3
называется гомеоморфное C k -отображение r : U ⊂ R2 → E3 области вещественной плоскости в
это пространство.
Образ r(U ) ⊂ E3 называется носителем поверхности. Таким образом, параметризованная поверхность задается векторной функцией двух скалярных аргументов r = r(u 1 , u2 ), (u1 , u2 ) ∈ U или
в координатах
x = x(u1 , u2 ), y = y(u1 , u2 ), z = z(u1 , u2 ).
(16)
1
Эти соотношения называются параметрическими уравнениями поверхности, а переменные u = u,
u2 = v криволинейными координатами. В дальнейшем предполагается, что отображение U → E 3 ,
задаваемое этими уравнениями, является регулярным. Это означает, что ранг якобиевой матрицы
∂1 x ∂1 y ∂ 1 z
(17)
J=
∂2 x ∂2 y ∂ 2 z
равен двум. При этом следует иметь ввиду, что один и тот же носитель может быть задан разными параметрическими уравнениями. Тогда возникают преобразования криволинейных координат,
определяемые гладкими функциями u0 = f (u, v), v 0 = g(u, v). Условие регулярности сохраняется,
если эти функции имеют ненулевой якобиан.
Пример. Сфера S 2 ⊂ E3 радиуса a с центром в начале прямоугольных координат может быть
задана параметрическим уравнением
r(θ, ϕ) = a(cos θe(ϕ) + sin θk) .
(18)
Углы θ и ϕ называются географическими координатами (широта и долгота). Однако, эта параметризация не всюду регулярна. Подсчитав якобиеву матрицу (17), мы увидим, что ее ранг падает при
θ = ± π2 . Tаким образом, указанная параметризация регулярна лишь в области, получаемой после
исключения этих двух диаметрально противоположных точек.
Поверхность можно задать также уравнением вида
F (x, y, z) = 0.
(19)
Оно называется ее неявным уравнением. Следует, однако, иметь ввиду, что такое уравнение не
всегда задает поверхность.
Tеорема. Множество M = {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0} евклидова пространства есть поверхность, если: 1) функция F дифференцируема; 2) в точках этого множества gradF |M 6= 0.
Действительно, при выполнении этих условий по теореме о неявной функции для каждой точки
этого множества существует окрестность, в которой уравнение (19) локально разрешимо относительно одной из переменных. Например, если в некоторой окрестности отлична от нуля производная
по z, то уравнение можно локально разрешить относительно переменной z. Уравнение z = f (x, y),
где функция f определена в некоторой области U ⊂ R2 , называется приведенным. Оно всегда задает простую поверхность с носителем M = {(x, y, f (x, y)) ∈ E3 }. Гомеоморфизм на область U в
11
плоскости XY задается ортогональной проекцией. От приведенного уравнения уже просто перейти
к параметрическому. Нужно x и y задать как гладкие функции двух параметров u, v с ненулевым
якобианом. Tогда получим
x = x(u, v), y = y(u, v), z = f (x(u, v), y(u, v)).
Иногда достаточно положить x = u, y = v.
Рассмотрим регулярную кривую γ в области U ⊂ R2 с параметрическими уравнениями u = u(t),
v = v(t). На поверхности ей соответствует параметризованная кривая Γ или путь с радиусомвектором r(t)=r(u(t),v(t)). В частности, семейству параллельных прямых v = c 2 = const в U соответствует на поверхности 1-параметрическое семейство линий с уравнениями r(u) = r(u, c 2 ). Аналогично, для семейства u = c1 = const получим 1-параметрическое семейство линий с уравнениями
r(v) = r(c1 , v). Эти семейства, вдоль которых изменяется только одна криволинейная координата,
называются координатными линиями. В совокупности они образуют так называемую координатную сеть.
Пример. Рассмотрим опять сферу (18). Линии, вдоль которых постоянна долгота (ϕ = const)
образуют на ней 1-параметрическое семейство меридианов с уравнениями r(θ) = a(cos θe(c 2 ) +
sin θk), а линии θ = c1 постоянной широты — 1-параметрическое семейство параллелей, уравнения
которых r(ϕ) = a(cos c1 e(ϕ) + sin c1 k). Эти линии образуют на сфере географическую сеть.
Определение. Вектор a называется касательным вектором поверхности в точке A ∈ M , если
он является касательным вектором некоторого пути r(t) на поверхности, проходящего через эту
точку: a = r0A .
Если точка A параметризованной поверхности регулярна, то множество всех касательных векторов в этой точке есть 2-мерное векторное пространство TA M , которое называется касательной
i
векторной плоскостью в этой точке. Оно образовано векторами r 0t = ru u0 + rv v 0 = ri du
dt . Векторы ri = ∂i r, (i = 1, 2) в силу условия регулярности линейно независимы и образуют базис этой
0
0
плоскости. При замене параметризации ui = f i (u1 , u2 ) получим другой базис (здесь и далее предполагается суммирование по повторяющемуся индексу, если один стоит внизу, а другой вверху)
∂f i
.
(20)
∂ui0
Определение. Плоскость, проходящая через точку поверхности A с направляющим пространством TA M , называется касательной плоскостью поверхности в этой точке.
Обозначим ее тем же символом TA M . Направляющие векторы ri этой плоскости имеют простой
смысл. Они являются касательными векторами координатных линий, проходящих через данную
точку. Репер {A, ri } касательной плоскости в отличие от других называется натуральным. Прямая с
опорной точкой A, ортогональная касательной плоскости, называется нормалью поверхности в этой
точке. Направляющий вектор нормали N = [ru , rv ] в регулярной точке отличен от нуля. Уравнение
касательной плоскости в точке A : r = r(u, v) имеет вид
ri0 = ri fii0 ,
fii0 =
(R − r(u, v), N) = 0 .
Рассмотрим случай, когда поверхность задана неявным уравнением. Нормальный вектор поверхности F (x, y, z) = 0 есть градиент gradF , вычисленный в данной точке этой поверхности. Если же в
этой точке gradF = 0, касательная плоскость становится неопределенной. Tакие точки называется
особыми.
Пример. На сфере радиуса 4 рассмотрим точку с географическими координатами θ = π3 , ϕ = π4 .
√ √ √
2, √
2, 2 3). Частные производные радиуса-вектора
Ее прямоугольные
координаты
( √
√
√
√ в этой точке
равны rθ = (− 6, − 6, 2), rϕ = (− 2, 2, 0). Поэтому√
нормальный
вектор
N
=
(1,
1,
6). Получаем
√
следующее уравнение касательной плоскости x + y + 6z − 6 2 = 0.
2.3. Первая фундаментальная форма поверхности. Для каждой пары касательных векторов a, b ∈ TA M поверхности M рассмотрим их скалярное произведение. В натуральном репере
{ri }, (i = 1, 2) эти векторы можно записать в координатах, например a = ai (u1 , u2 )ri . Tогда скалярное произведение равно
(a, b) = gij ai bj ,
gij (u1 , u2 ) = (ri , rj ).
(21)
Мы получили симметричную билинейную форму, которая называется первой фундаментальной
формой поверхности. При замене параметризации вследствие (20) ее коэффициенты преобразуются
12
по линейному и однородному закону
gi0 j 0 = gij fii0 fjj0 .
Tакой закон преобразования называется тензорным. С точки зрения тензорной алгебры (21) является тензором валентности (0, 2) и называется метрическим тензором поверхности, а функции gij (u1 , u2 ) его компонентами. Если положить b = a, то получим первую квадратичную форму a2 = gij ai aj . Она является положительно определенной и вследствие этого ее определитель
g = det(gij ) > 0. Первую квадратичную форму записывают также в другом виде, рассматривая
дифференциал радиуса-вектора поверхности dr = ri dui . Tогда его скалярный квадрат равен
dr2 = gij dui duj .
(22)
Примеры.
1) Если на плоскости выбрать прямоугольные координаты, то r = xi + yj и тогда dr 2 = dx2 + dy 2 .
Матрица (gij ) является единичной. В полярных координатах r = ρe(ϕ). Tогда dr = dρe(ϕ)+ρg(ϕ)dϕ
и в этом случае dr2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 .
2) Рассмотрим сферу (18). Вычисляя частные производные r1 , r2 и их скалярные произведения,
получим g11 = a2 , g12 = 0, g22 = a2 cos2 θ. Следовательно,
dr2 = a2 (dθ2 + cos2 θdϕ2 ) .
Первая фундаментальная форма дает возможность решать задачи на поверхности, связанные с
измерениями. Рассмотрим некоторые из таких задач.
Пусть на поверхности задана параметризованная кривая (путь). Для этого достаточно задать
уравнения ui = ui (t), которые будем называть внутренними. Подставляя их в уравнение поверхi
ности, получим r(t) = r(u1 (t), u2 (t)). По формуле (12) вычислим длину ее дуги. Tак как r0 = ri du
dt ,
то
Z t2 r
dui duj
dt .
(23)
gij (uk (t))
s=
dt dt
t1
Следующая задача — об измерении углов на поверхности. Пусть γ1 , γ2 — два пути на поверхности,
заданные внутренними уравнениями ui = ui (t) и ui = ũi (τ ). Радиусы-векторы этих путей равны
r(t) = r(u1 (t), u2 (t)) ,
r̃(τ ) = r(ũ1 (τ ), ũ2 (τ )) .
Если пути пересекаются, то должно быть выполнено условие ui (t) = ũi (τ ). Из этих двух уравнений
мы можем найти значения параметров t и τ , а значит и точку пересечения. Угол между кривыми
на поверхности — это угол между их касательными векторами в точке пересечения. Косинус этого
угла равен
(r0 , r̃0 )
gij dui dũj
p
cos θ = 0 0 = p
.
(24)
|r ||r̃ |
gij dui duj gij dũi dũj
Рассмотрим ее одну задачу — измерение площади связной области Q ⊂ M на поверхности,
ограниченной кусочно-гладкой замкнутой кривой. Схема ее решения такова. Разобьем эту область
конечной сетью координатных линий uα = const, (α = 1, . . . m) и vβ = const, (β = 1, . . . n) на малые
криволинейные параллелограммы Qαβ с вершинами
(uα , vβ ), (uα + ∆uα , vβ ), (uα , vβ + ∆vβ ), (uα + ∆uα , vβ + ∆vβ ) .
Пренебрегая малыми второго порядка, заменим их параллелограммами, натянутыми на векторы
r1 ∆uα и r2 ∆vβ , лежащие в касательной плоскости точки (uα , vβ ). Но площади последних можно
подсчитать с помощью векторного произведения, так что
∆σαβ = |[r1 , r2 ]|∆uα ∆vβ + 0αβ .
Составим интегральную сумму и перейдем к пределу при {∆uα , ∆uβ } → 0. В итоге получим двойной
интеграл по рассматриваемой области
Z
Z
√
g dudv , g = det(gij ) .
(25)
σ=
|[r1 , r2 ]|dudv =
Q
Q
Пример. Рассмотрим поверхность с первой фундаментальной формой dr 2 = du2 + a2 dv 2 , a =
const и найдем угол, под которым кривая ũ = bτ, ṽ = τ пересекает координатные линии u = t, v = c,
(b, c = const). Tочка пересечения имеет координаты (bc, c). Вычисляя дифференциалы, получим
du = 1, dv = 0, dũ = b, dṽ = 1. Tогда формула (24) дает: cos θ = √a2b+b2 . Эту задачу можно
смоделировать на прямом круговом цилиндре r = ae(v)+uk радиуса a. Tогда речь идет об угле, под
13
которым винтовая линия пересекает прямолинейные образующие цилиндра. Решение показывает,
что она пересекает их под постоянным углом, зависящим только от формы винтовой линии.
2.4. Отображение поверхностей. Изометрия и изгибание. Пусть M и M ∗ — две регулярно
параметризованные поверхности с уравнениями
r = r(ui ),
r∗ = r∗ (u∗i ) .
Рассмотрим отображение f : M → M ∗ , которое точке A(ui ) ∈ M ставит в соответствие точку
A∗ (u∗i ) ∈ M ∗
u∗i = f i (uj ) .
(26)
Отображение f называется дифференцируемым, если дифференцируемы представляющие его функции (26) и диффеоморфизмом, если оно биективно и обратное отображение f −1 также дифференцируемо.
Tеорема. Со всяким дифференцируемым отображением (26) однозначно связаны линейные
отображения df касательных пространств в соответствующих точках, которые относительно
натуральных реперов имеют матрицу
∂1 f 1 ∂2 f 1
= (fji ) .
(27)
J=
∂1 f 2 ∂2 f 2
Tак возникает дифференциал df данного отображения. Отображение f называется регулярным,
если якобиева матрица невырожденная. В этом случае отображения df касательных пространств
являются линейными изоморфизмами. Tогда в силу теоремы об обратной функции для каждой
точки существует окрестность U , в которой отображение fU является диффеоморфизмом. Поэтому
регулярные отображения поверхностей называют локальными диффеоморфизмами.
Tеорема. Если отображение регулярно, то локально параметризации можно выбрать так,
чтобы соответствующие точки имели одинаковые координаты.
Tогда локально отображение запишется в виде: fU : u∗i = ui . Tакие координаты называются
согласованными с отображением.
Пусть f — диффеоморфизм поверхности M на поверхность M ∗ .
Определение. Диффеоморфизм f : M → M ∗ называется изометрией, если его дифференциал
df : TA M → Tf (A) M ∗ сохраняет скалярное произведение:
(a, b) = (df (a), df (b)),
∀a, b ∈ TA M .
(28)
Отсюда следует, что диффеоморфизм является изометрией тогда и только тогда, когда компоненты метрических тензоров в согласованных координатах совпадают. Следующее утверждение
дает геометрическую характеристику изометрии.
Tеорема. Диффеоморфизм поверхностей является изометрией тогда и только тогда, когда
равны длины дуг соответствующих кривых.
Частным случаем изометрии является изгибание поверхности. Это такая ее гладкая деформация,
при которой сохраняются длины дуг дуг кривых на поверхности. Две поверхности называются
наложимыми, если существует изгибание одной поверхности в другую. Аналитически изгибание
задают формулой r = r(ui , λ), где векторная функция дифференцируема по параметру λ. Отметим,
что наложимые поверхности всегда изометричны. Обратное не всегда верно.
Примеры. Поверхность, наложимая на плоскость, называется развертывающейся. Все такие поверхности хорошо известны. Это цилиндрические и конические поверхности, наложимость которых
на плоскость очевидна, а также поверхности, образованные касательными прямыми пространственной кривой.
К.Ф.Гаусс среди всех свойств поверхности выделил те, которые зависят только от ее первой
фундаментальной формы. Совокупность таких свойств образуют ее внутреннюю геометрию. Tаким образом, изометричные (в частности, наложимые) поверхности имеют одинаковую внутреннюю
геометрию. Например, внутренняя геометрия развертывающихся поверхностей (и только их!) идентична внутренней геометрии плоскости. Внутренней геометрии поверхности принадлежат такие
понятия как длина дуги кривой на поверхности, угол между двумя кривыми в точке их пересечения, площадь области на поверхности.В дальнейшем мы приведем и другие свойства, относящиеся
к внутренней геометрии.
14
2.5. Деривационные уравнения поверхности. Изучая кривые в евклидовом пространстве, мы
присоединяли к каждой точке кривой сопровождающий репер и рассматривали его движение вдоль
кривой. Аналогичный метод применим и в случае поверхности. Пусть M : r = r(ui ) — регулярно
параметризованная поверхность. Начнем с построения сопровождающего репера.
Определение. Сопровождающим репером поверхности в точке A ∈ M называется репер
{r1 , r2 , m}, образованный векторами натурального репера касательной плоскости r i = ∂i r и единичным вектором нормали m.
При смещении из точки A(ui ) в точку A0 (ui + hi ) этот репер изменяется в соответствии со строением поверхности в окрестности исходной точки. Учитывая, что для всякой векторной функции
f (ui + hi ) = f (ui ) + hj ∂j f (ui ) + 0(ui , hi ),
в главной своей части это изменение определяется первыми производными векторов сопровождающего репера по криволинейным координатам. Разложим их в линейные комбинации по векторам
исходного репера. Учитывая, что производные единичного вектора нормали ортогональны ему и,
следовательно, принадлежат касательной плоскости, получим
a)
b)
∂ i rj =
Γsij rs
+ hij m ,
∂i m = −Wis rs .
(29)
Эти соотношения называются деривационными уравнениями поверхности. Их коэффициенты —
функции криволинейных координат (u1 , u2 ). Найдем эти коэффициенты.
2
Займемся сначала первой серией уравнений. Заметим, что так как производные ∂ i rj = ∂ij
r симметричны по индексам i, j, то симметричны по этим индексам и коэффициенты, стоящие в правой
части этих уравнений: Γkij = Γkji , hij = hji . Умножим эти уравнения скалярно на единичный вектор
нормали. Учитывая, что (rk , m) ≡ 0, получим следующий результат
hij = (m, ∂i rj ) .
(30)
Займемся коэффициентами Γkij . Умножим эти уравнения скалярно на векторы rk . Учтем их
ортогональность вектору нормали и то, что (rs , rk ) = gsk — компоненты первой фундаментальной
формы. Тогда получим
(rk , ∂i rj ) = Γsij gsk .
Приведем эти уравнения к несколько другому виду. Если продифференцировать скалярные произведения (rk , rj ) = gkj с помощью оператора ∂i , получим
(∂i rk , rj ) + (rk , ∂i rj ) = ∂i gkj .
Таким образом,
Γsik gsj + Γsij gsk = ∂i gkj .
(31)
Это система шести линейных неоднородных уравнений относительно шести искомых функций Γ sij .
Покажем, что она имеет единственное решение и найдем его. Делается это так. Перепишем уравнения (31) еще дважды, сделав циклическую перестановку нижних индексов: ijk → jki → kij
Γsji gsk + Γsjk gsi = ∂j gik ,
Γskj gsi + Γski gsj = ∂k gji .
Сложим все эти три соотношения со знаками + − +. С учетом симметрии коэффициентов g ij и Γsij
по нижним индексам, придем к уравнениям
2Γsik gsj = ∂i gkj + ∂k gji − ∂j gik .
Осталось сделать последний шаг, выразив отсюда коэффициенты Γsik . Заметим, что в этих уравнениях идет суммирование по повторяющемуся индексу s = 1, 2. Рассмотрим матрицу (g ij ), обратную
к матрице (gij ). Их компоненты связаны соотношением gsj g jm = δsm (символы Кронекера). Если
поэтому умножить полученные уравнения на g jm и просуммировать по индексу j (эта операция
называется свертыванием), то получим следующий результат
1 mk
g (∂i gjk + ∂j gik − ∂k gij ).
(32)
2
Эти коэффициенты называются символами Кристоффеля. Как видим, они выражаются только
через коэффициенты первой фундаментальной формы и их частные производные первого порядка.
Геометрический смысл и роль этих коэффициентов в теории поверхностей мы выясним позже.
Γm
ij =
15
Нам осталось рассмотреть уравнения (b) системы (29) и найти коэффициенты W jk . Умножив эти
уравнения скалярно на векторы rk , получим (∂i m, rk ) = −Wis gsk . Но (∂i m, rk ) = −(m, ∂i rk ) = −hik .
Поэтому
Wis gsk = hik ,
откуда
Wji = g ik hjk .
(33)
2.6. Вторая фундаментальная форма и оператор Вейнгартена. Введем следующее
Определение. Симметричная билинейная форма
h(a, b) = hij ai bj ,
(34)
коэффициенты которой определены формулой (30), называется второй фундаментальной формой
поверхности. Наряду с (34) рассматривают также вторую квадратичную форму поверхности h(a, a),
которую обычно записывают в виде
ϕ2 = hij dui duj .
Через h = det(hij ) будем обозначать определитель ее матрицы.
Примеры.
1) Для плоскости нормальный вектор m = const. Поэтому hij = −(∂i m, rj ) = 0.
2) Рассмотрим геликоид r = ue(v) + bvk. Производные первого и второго порядка равны
r1 = e(v), r2 = ug(v) + bk,
Единичный вектор нормали m =
мы, найдем
uk−bg
√
u2 +b2
r11 = 0, r12 = g(v), r22 = −ue(v).
. Вычисляя коэффициенты второй фундаментальной фор-
b
, h22 = 0.
+ b2
Для того, чтобы выяснить роль второй фундаментальной формы в теории поверхностей, рассмотрим бирегулярный путь на поверхности и пусть ui = ui (s) — ее внутренние уравнения, отнесенные
к натуральному параметру. Tогда r = r(ui (s)) — радиус-вектор этой кривой. Касательный вектор
e = ṙ лежит в касательной плоскости TA M поверхности. Рассмотрим вектор кривизны r̈ = k(s)n
пути. Он ортогонален касательному вектору, а его положение относительно касательной плоскости
определим следующей величиной:
Определение. Нормальной кривизной kn пути на поверхности называется ортогональная проекция его вектора кривизны на нормаль к поверхности.
Эта проекция равна
kn = (m, r̈).
(35)
h11 = 0,
Обратная величина Rn =
1
kn
h12 = − √
u2
называется радиусом нормальной кривизны. Tак как
r̈ = rij u̇i u̇j + ri üi ,
получим следующую формулу для вычисления нормальной кривизны
dui duj
.
ds ds
Этому выражению можно придать другой вид, если учесть (22) и то, что dr 2 = ds2 . Tогда
kn = hij
kn =
hij dui duj
.
gij dui duj
(36)
(37)
Из полученных формул (36) вытекает важный вывод:
Tеорема. Нормальная кривизна зависит лишь от точки поверхности и направления в этой
точке.
Значит, все пути, проходяие через данную точку и имеющие в этой точке общую касательную,
имеют одну и ту же нормальную кривизну. Достаточно следовательно, задать произвольный едиi
ничный вектор e = ( du
ds ) ∈ TA M и тогда, согласно (36),
kn (e) = h(e, e).
(38)
Определение. Направление, в котором нормальная кривизна обраается в нуль, называется
асимптотическим.
16
Подойдем к понятию нормальной кривизны с несколько другой точки зрения. Рассмотрим прямую в касательной плоскости TA M с направляющим ортом e и рассмотрим пучок плоскостей {Π},
осью которого является данная прямая. Пересекая ими поверхность, получим пучок плоских путей
{Γ}, для которых секущие плоскости являются соприкасающимися. Эти сечения имеют одну и ту
же нормальную кривизну (38). С другой стороны, каждое плоское сечение имеют некоторую кривизну k(s). Для того, чтобы установить связь между величинами kn и k, рассмотрим два сечения.
Одно из них нормальное, а другое наклоненное к нему под углом θ = ∠(m, n). Учитывая, что кривизна нормального сечения и нормальная кривизна при соответствующей ориентации поверхности
совпадают, придем к соотношению
kn = k(s) cos θ.
Если вместо кривизн рассмотреть их радиусы, то эта связь выразится формулой R = R n cos θ,
которая имеет простую геометрическую интерпретацию
Tеорема (Менье). Центр кривизны наклонного сечения поверхности есть ортогональная проекция центра кривизны нормального сечения на плоскость наклонного сечения.
Обратимся теперь к формуле (33). Запишем ее в виде
h(a, b) = (W a, b).
(39)
Следовательно, функции
являются компонентами линейного оператора W , присоединенного ко
второй фундаментальной форме. Он называется оператором Вейнгартена. Отметим, что в силу
симметрии второй фундаментальной формы оператор Вейнгартена является самосопряженным.
Wji
2.7. Главные направления и главные кривизны поверхности. Приступим к изучению величин, определяющих кривизну поверхности.
Определение. Главные направления поверхности в данной точке — это направления, задаваемые собственными векторами оператора Вейнгартена.
Как известно, собственные векторы определяются условием W p = λp. Следовательно, для нахождения координат собственных векторов имеем систему линейных однородных уравнений
(Wki − λδki )pk = 0,
(40)
где δki — символы Кронекера. Эта система имеет ненулевое решение лишь тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е. при условии
W11 − λ
W21 = 0.
W12
W22 − λ Это характеристическое уравнение оператора W . В развернутом виде оно имеет вид
с коэффициентами
λ2 − 2Hλ + K = 0
2H = trW = W11 + W22 ,
K = detW.
(41)
(42)
Величина 2H называется средней кривизной, а K — гауссовой или полной кривизной поверхности.
Собственные значения λ = k1 и λ = k2 называются главными кривизнами поверхности. Tак
как оператор W самосопряженный, то они всегда вещественные. По теореме Виета k 1 + k2 = 2H,
k1 k2 = K. Каждой из главных кривизн соответствует по крайней мере одно главное направление.
Оно задается решением p = (p1 , p2 ) системы (40), которое определяется с точностью до множителя.
Отметим, что при k1 6= k2 соответствующие главные направления ортогональны. Если же k1 = k2 ,
то всякое направление в касательной плоскости будет главным, а оператор Вейнгартена задает
гомотетию.
В силу формулы (33) среднюю и гауссову кривизну можно выразить через коэффициенты первой
и второй фундаментальных форм:
h
.
g
Особо важное значение в теории поверхностей имеет гауссова кривизна. Оказывается, справедлива
Tеорема (Гаусс). Гауссова кривизна поверхности может быть выражена через коэффициенты
только первой фундаментальной формы и их частные производные первого и второго порядка.
2H = g ij hij ,
17
K=
Другими словами, гауссова кривизна принадлежит внутренней геометрии поверхности. Это выражение довольно сложное и мы приведем его лишь для случая, когда координатная сеть на поверхности ортогональная и, следовательно, g12 = 0. Положив g11 = A2 , g22 = B 2 , имеем
A o
1 n Bu v
.
(43)
K =−
+
AB
A u
B v
Пример. Рассмотрим сферу радиуса a. Ее первая квадратичная форма в географических координатах (θ, ϕ) равна (см. п. 2.3)
dr2 = a2 (dθ2 + cos2 θdϕ2 ) .
Здесь координатная сеть ортогональна, A = a, B = a cos θ. Вычисляя гауссову кривизну, получим
K = a12 . Tаким образом, это поверхность постоянной положительной гауссовой кривизны.
2.8. Формула Эйлера. Локальное строение поверхности. Обозначим через e1 , e2 орты главных направлений, определяющих в касательной плоскости каждой точки поверхности прямоугольную систему координат. Tогда орт любого направления в этой точке можно задать вектором e =
cos ϕe1 + sin ϕe2 , где ϕ — угол между заданным и первым главным направлением. Рассмотрим
нормальную кривизну (38) в этом направлении: kn (e) = h(e, e). Учитывая билинейность второй
фундаментальной формы и ее симметрию, получим
kn (e) = h(e1 , e1 ) cos2 ϕ + 2h(e1 , e2 ) cos ϕ sin ϕ + h(e2 , e2 ) sin2 ϕ .
Здесь по определению оператора Вейнгартена
h(e1 , e1 ) = (e1 , W e1 ) = k1 e21 ,
h(e2 , e2 ) = (e2 , W e2 ) = k2 e22 ,
h(e1 , e2 ) = (e1 , W e2 ) = 0,
откуда следует формула Эйлера
kn (e) = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ.
(44)
Следствие. Главные кривизны поверхности суть значения нормальной кривизны в главных
направлениях.
Формула Эйлера позволяет разобраться в том, как устроена поверхность локально, в окрестности данной точки. Для этого ориентируем поверхность определенным образом, выбрав направление ее нормального вектора m. Рассмотрим пучок плоскостей, осью которого является нормаль
поверхности в рассматриваемой точке. Каждая из плоскостей этого пучка есть нормальное сечение
поверхности, которое определяется заданием орта e в касательной плоскости. Рассмотрим вектор
кривизны r̈ = kn этих сечений и учтем, что он всегда направлен в сторону вогнутости сечения. В
любом случае r̈ = ±km, где стоит знак плюс, если по отношению к нормали сечение вогнутое и
знак минус, если оно выпуклое. Обратимся теперь к формуле Эйлера (44) и рассмотрим различные
случаи.
1) Гауссова кривизна поверхности в данной точке K > 0. Tак как K = k1 k2 , то главные кривизны
имеют одинаковый знак. Пусть для определенности k1 = a12 > 0 и k2 = b12 > 0 (случай, когда они
обе отрицательны, приводит к аналогичному результату). Tогда формула Эйлера примет вид
cos2 ϕ sin2 ϕ
+
.
a2
b2
Tаким образом, в любом направлении kn (e) > 0, аимптотических направлений нет. Tогда kn =
(m, r̈) = km2 > 0. Поэтому все нормальные сечения вогнуты в сторону нормали. Это говорит о том,
что в окрестности эллиптической точки поверхность имеет чашеобразное строение. Tакая точка
называется точкой эллиптического типа. В частности, при k1 = k2 точка поверхности называется
сферической или омбилической.
2) Пусть в рассматриваемой точке K < 0. Главные кривизны имеют разный знак. Положив для
определенности k1 = a12 > 0, k2 = − b12 < 0, получим
kn (e) =
kn (e) =
cos2 ϕ sin2 ϕ
−
.
a2
b2
Значит, нормальная кривизна может иметь разный знак и обраается в нуль при tg ϕ = ± ab . Следовательно, имеем два различных асимптотических направления. Эти направления разбивают все
нормальные сечения на выпуклые и вогнутые по отношению к выбранному направлению нормали.
Значит, в окрестности данной точки поверхность имеет седлообразное строение. Говорят, что точка
имеет гиперболический тип.
18
3) Рассмотрим случай, когда K = k1 k2 = 0. Пусть, например, k1 =
2
1
a2
> 0, k2 = 0. Tогда
cos ϕ
a2
по формуле Эйлера kn (e) =
≥ 0. Мы имеем лишь одно асимптотическое направление. Все
нормальные сечения вогнуты в сторону нормали, кроме одного — асимптотического. В этом случае
говорят о точке параболического типа.
4) Если обе главные кривизны равны нулю, то kn (e) ≡ 0. Каждое направление в данной точке
является асимптотическим (и одновременно главным). Tакая точка называется точкой уплощения.
Например, из таких точек состоит плоскость.
Примеры:
1) Все развертывающиеся поверхности наложимы на плоскость и поэтому, в силу теоремы Гаусса,
имеют нулевую гауссову кривизну. Они состоят, следовательно, из точек параболического типа или
точек уплощения (плоскость).
2) Из поверхностей второго порядка эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический
параболоид имеют положительную гауссову кривизну. Поверхности отрицательной кривизны —
однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид.
4) Tор есть поверхность, образованная вращением окружности радиуса a, центр которой удален
от оси вращения на расстоянии b > a. Его параметрическое уравнение r(θ, ϕ) = (a cos θ + b)e(ϕ) +
b sin θk. Вычисляя гауссову кривизну по формуле (43), получим
cos θ
.
K=
a(a cos θ + b)
Ее знак зависит лишь от знака cos θ, откуда следует, что она положительна при − π2 < θ < π2 ,
π
отрицательна при π2 < θ < 3π
2 и обращается в нуль при ± 2 . Следовательно, на торе есть все три
типа точек: эллиптические точки образуют его внешнюю область, гиперболические — внутреннюю,
а параболические разделяют эти области двумя окружностями.
2.9. Геодезическая кривизна и геодезические пути на поверхности. Пусть Γ : u i = ui (s)
— путь на поверхности M , отнесенный к натуральному параметру, и r(s) = r(u i (s)) — его радиусвектор. Напомним, что рассматривая в п. 2.6 проекцию его вектора кривизны на нормаль к поверхности, мы пришли к понятию нормальной кривизны kn . Рассмотрим теперь другую проекцию.
Определение. Геодезической кривизной пути Γ на поверхности называется модуль проекции его
вектора кривизны r̈(s) на касательную плоскость:
kg = |prT r̈|.
(45)
(m, r0 , r00 ) = 0.
(47)
Для того, чтобы получить формулу для вычисления геодезической кривизны, рассмотрим единичный вектор a = [m, ṙ]. Он лежит в касательной плоскости и ортогонален касательной. Tогда
kg = |pra r̈| = |(a, r̈)| и, таким образом, kg = |(m, ṙ, r̈)|. Переходя к произвольной параметризации,
получим
|(m, r0 , r00 )|
kg =
.
(46)
|r0 |3
Определение. Путь Γ на поверхности называется геодезическим, если его геодезическая кривизна равна нулю. Следовательно, для нахождения геодезических на поверхности мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка
Непосредственно из определения следует, что путь на поверхности является геодезическим, если он
обладает одним из следующих свойств.
1) Вектор кривизны r̈ в каждой его точке направлен по нормали к поверхности.
2) Соприкасающаяся плоскость геодезического пути ортогональна касательной плоскости поверхности.
3) Кривизна геодезического пути равна модулю ее нормальной кривизны.
4) Всякая прямолинейная образующая на поверхности является геодезическим путем.
Пример. Найдем геодезические пути на прямом круговом цилиндре радиуса a: r(u, ϕ) = ae(ϕ) +
uk. Будем искать их в виде u = u(ϕ) с радиусом-вектором r(ϕ) = ae(ϕ) + u(ϕ)k. Уравнение (47)
имеет вид u00 = 0 с решением u(ϕ) = c1 ϕ + c2 . Подставив эту функцию в уравнение цилиндра,
получим
r(ϕ) = ae(ϕ) + (c1 ϕ + c2 )k.
Это винтовые линии. Заметим, что при наложении цилиндра на плоскость его геодезические переходят в прямые этой плоскости.
19
Запишем уравнениям геодезических в координатах. Имеем ṙ = ri u̇i , r̈ = rij u̇i u̇j + ri üi , откуда в
силу деривационных уравнений (29a)
r̈ = (ük + Γkij u̇i u̇j )rk + hij u̇i u̇j m .
Здесь первое слагаемое — касательная, а второе — нормальная составляющая вектора кривизны.
Отсюда согласно (45) вытекает, что
kg = |ük + Γkij u̇i u̇j | ,
(48)
а дифференциальные уравнения геодезических путей имеют вид
d 2 uk
dui duj
+ Γkij (um (s))
= 0.
2
ds
ds ds
(49)
Tак как в эти выражения входят только символы Кристоффеля, то мы получаем важный вывод: понятия геодезической кривизны и геодезического пути на поверхности относятся к ее внутренней
геометрии. Заметим также, что уравнения (49) сохраняют свой вид при линейной замене параметра
t = c1 s + c2 . Такой параметр называется каноническим.
Согласно теореме Коши о существовании и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида (49) при задании начальных условий u i (s0 ) = ui0 ,
dui
i
i
i
ds (s0 ) = a существует единственное решение u = u (s), определенное в некоторой окрестности
|s − s0 | < ε. Отсюда следует
Tеорема. Через всякую точку регулярно параметризованной поверхности в каждом заданном
направлении проходит единственный геодезический путь ui = ui (s).
Геодезические пути играют на поверхности ту же роль, что и прямые на плоскости — их дуги, по
крайней мере локально, являются кратчайшими среди всех дуг, соединяющих две точки. Для того,
чтобы доказать это, напомним метод решения простейшей вариационной задачи: на множестве {Γ}
всех гладких путей, соединяющих две данные точки A, B области в Rn , требуется найти ту, вдоль
которой функционал
Z t2
L(ui (t), u0i (t))dt
I(Γ) =
t1
принимает экстремальное значение. Здесь L(ui (t), u0i (t)) — гладкая функция (лагранжиан). Для того, чтобы значение интеграла не зависело от выбора параметризации кривых, эта функция должна
быть однородной первой степени по производным: L(ui , λu0i ) = λL(ui , u0i ). Решение задачи (если
оно существует) дают уравнения Лагранжа
d ∂L
∂L
(
)−
= 0.
dt ∂u0i
∂ui
Это система n обыкновенных дифференциальныx уравнений второго порядка относительно неизвестных функций ui (t). В нашем случае мы должны взять функционал длины (23). Для того,
чтобы упростить вычисления, заметим, что экстремали функционала с лагранжианом L 2 являются
экстремалями исходного функционала, а в случае канонического параметра они совпадают. Tогда
имеем
∂L2
d ∂L2
∂L2
0j
0k 0j
=
2g
u
,
=
∂
g
u
u
,
(
) = 2(∂k gij u0k u0j + gij u00j )
ij
i
kj
∂u0i
∂ui
dt ∂u0i
и уравнения Лагранжа принимают вид
1
gij u00j + (∂k gij − ∂i gkj )u0k u0j = 0 .
2
Отсюда после некоторых преобразований, полагая t = s приходим к уравнениям (49). Tаким образом, имеем следующий результат:
Tеорема. Геодезические являются путями минимальной длины среди всех кривых, соединяющих две точки A, B ∈ U области на поверхности.
Замечание. Принадлежность точек A, B одной области U , указанное в условии теоремы, существенно. В противном случае, как показывает пример сферы, дуга геодезической, соединяющей
точки, может быть не только наименьшей, но и наибольшей, либо решение задачи может быть не
единственным (когда точки сферы диаметрально противоположны).
20
2.10. Ковариантный дифференциал и параллельное перенесение на поверхности. Параллельное перенесение вектора в евклидовом пространстве имеет абсолютный характер в том смысле,
что оно не зависит от пути перенесения. Аналитически оно определяется условием da = 0. На поверхности такое перенесение невозможно, но можно определить аналог параллельного перенесения,
обладающий аналогичными свойствами. Для этого введем сначала некоторые понятия.
Определение. Векторное поле на поверхности M или в некоторой его области U ⊂ M — это
отображение a : A ∈ M → TA M , которое всякой точке поверхности ставит в соответствие вектор
aA в касательном пространстве этой точки.
С векторными полями можно производить обычные алгебраические операции: сложение векторных полей, умножение векторного поля на число, скалярное произведение (a, b). Более того,
векторное поле можно умножить на функцию f (A)aA . Все эти операции выполняются поточечно. В результате получим снова векторное поле. Векторное поле можно записать в координатах,
разложив его в каждой точке по векторам натурального репера a = ai (u1 , u2 )ri . Векторное поле
называется гладким если гладки его компоненты.
Если же мы рассмотрим операцию дифференцирования векторного поля, то ситуация изменяется: вектор da уже не принадлежит, вообще говоря, касательной плоскости и, значит, не является
векторным полем на поверхности. В самом деле, da = daj rj + aj drj . В силу деривационных уравнений
drj = ∂i rj dui = (Γkij rk + hij m)dui ,
откуда
da = (dak + Γkij dui aj )rk + (hij dui aj )m.
Как видим, здесь присутствует нормальная составляющая. Поэтому естественным является следующее
Определение. Ковариантным (или абсолютным) дифференциалом векторного поля называется проекция его дифференциала на касательные плоскости TA в соответствующих точках
∇a = prT da = (dak + Γkij dui aj )rk .
(50)
Это снова векторное поле на поверхности с компонентами ∇ak .
Если на поверхности задано векторное поле h, то вычисляя дифференциалы функций a k в направлении этого поля dak (h) = hi ∂i ak , получим из (50) векторное поле с компонентами
∇h ak = hi (∂i ak + Γkij aj )
(51)
Определение. Дифференциальный оператор ∇h называется ковариантной производной в направлении векторного поля h.
Заметим, что этот оператор линейно зависит от h:
∇f h1 +gh2 a = f ∇h1 a + g∇h2 a.
В частности, ковариантные производные в направлении векторов натурального репера r i = (δik )
сводятся к ковариантным производным
(52)
∇i ak = ∂i ak + Γkij aj .
Это аналог частных производных.
Ковариантный дифференциал обладает следующими свойствами:
1) ∇(a + b) = ∇a + ∇b ,
2) ∇(f a) = df a + f ∇a ,
3) d(a, b) = (∇a, b) + (a, ∇b) .
(53)
Аналогичными свойствами обладают и ковариантные производные.
Определим теперь параллельное перенесение на поверхности следующим образом. Пусть Γ —
путь на поверхности M и ui = ui (t) — его внутренние уравнения. Рассмотрим векторное поле a
в точках этого пути a(t) = a(us (t)) и его ковариантную производную в направлении касательного
i
вектора h : hj = du
dt . Тогда из (51) получим
dak
∇ak
dui j =
+ Γkij (us (t))
a (t) .
dt
dt
dt
Определение. Дифференциальный оператор
пути Γ.
∇
dt
21
(54)
называется ковариантной производной вдоль
Определение. Векторное поле a называется параллельным вдоль заданного пути Γ, если его
ковариантная производная вдоль этого пути равна нулю:
∇a
= 0.
(55)
dt
Tеорема. Пусть в точке A пути Γ задан вектор a. Tогда во всякой точке A(t) этого пути,
принадлежаей некоторой окрестности U 3 A, существует единственный вектор a(t), параллельный данному.
В самом деле, мы имеем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
dak
duj
∇ak
=
+ Γkij (us (t)) ai
=0
(56)
dt
dt
dt
k
k
k
k
относительно неизвестных функций a (t) с начальным условием a (t0 ) = a . Здесь u (t) — функции, определяющие путь Γ. По теореме Коши существует интервал |t−t0 | < ε, в котором определено
единственное решение системы ak (t). Определенное таким образом параллельное перенесение осуществляет отображение TA M → TA(t) M касательных пространств вдоль заданного пути. Tак как
система линейная, то это отображение линейно.
Tеорема (Риччи). Параллельное перенесение сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
является изометрией касательных пространств.
Это следует из свойств ковариантного дифференцирования (53).
Следствие. При параллельном перенесении сохраняется модуль вектора и угол между векторами.
Геодезические пути с точки зрения параллельного перенесения обладают тем же свойством, что
и прямые аффинного пространства:
Tеорема. Путь на поверхности является геодезическим тогда и только тогда, когда его единичный касательный вектор параллелен вдоль этого пути.
Действительно, отнесем его к натуральному параметру. Условием параллельности единичного
k
касательного вектора e = ( du
ds ) вдоль пути в соответствии с (56) является
∇ek
d 2 uk
dui duj
=
+ Γkij (um (s))
= 0,
2
ds
ds
ds ds
что совпадает с уравнениями (??).
Следствие. Путь на поверхности является геодезическим тогда и только тогда, когда его
вектор кривизны r̈ = de
ds ортогонален поверхности.
Пример. Рассмотрим геликоид r = ue(v) + vk. В точке A(1, 0) зададим вектор a = (1, 0) и будем
переносить его параллельно вдоль винтовой линии u = 1 , v = s. На ней точка A получается при
s = 0. Ненулевые символы Кристоффеля этой поверхности равны Γ122 = −u , Γ212 = u2u+1 . Вдоль
заданной винтовой линии Γ122 = −1 , Γ212 = 12 . Tогда система (56) принимает вид
da2
1
da1
− a2 = 0
+ a1 = 0 .
ds
ds
2
и легко интегрируется. Учитывая начальное условие, получим следующее решение
s
s
1
a1 (s) = cos √ , a2 (s) = − √ sin √ .
2
2
2
22
3. ТОПОЛОГИЯ
3.1. Tопологические пространства. Tопологическое пространство (X, τ ) — это множество X,
на котором задана топология τ . Последняя может задаваться разными способами. Обычно она
задается семейством τ открытых подмножеств U ⊆ X, удовлетворяющих следующим аксиомам:
A1. X и пустое множество ∅ открыты;
А2. Объединение любой совокупности открытых множеств открыто;
А3. Пересечение всякой конечной совокупности открытых множеств открыто.
На одном и том же множестве можно задать различные топологии. Если τ1 ⊂ τ2 , то говорят, что
топология τ1 слабее топологии τ2 , а τ2 сильнее, чем топология τ1 .
Окрестностью точки x ∈ (X, τ ) называется любое открытое множество U (x), содержащее эту
точку. Множество A ⊂ X открыто тогда и только тогда, когда вместе с каждой своей точкой содержит и некоторую ее окрестность. Точка x называется внутренней точкой произвольного множества A, если существует ее окрестность U (x) ⊂ A. Для всякого множества A можно определить
его внутренность A0 ⊂ A — множество всех его внутренних точек. Внутренность есть открытое множество. Более того, это наибольшее открытое множество, содержащееся в A. Окрестностью
произвольного множества A называют всякое открытое множество U (A), содержащее A.
Определение. Множество B ⊂ (X, τ ) называется замкнутым, если его дополнение CB = X\B
открыто.
Свойства замкнутых множеств можно положить в основу другого способа задания топологии
(X, λ) с помощью следующих аксиом:
B1. X и пустое множество ∅ замкнуты;
B2. Объединение конечной совокупности замкнутых множеств замкнуто;
B3. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.
Определение.Замыканием A множества A ⊂ (X, τ ) называется пересечение всех замкнутых
множеств, содержащих A.
Это множество замкнуто и, более того, является наименьшим замкнутым множеством, содержащим
A. Операция замыкания обладает следующими свойствами:
C1. ∅ = ∅;
C2. A ⊆ A;
C3. A = A;
C4. A ∪ B = A ∪ B.
Эти свойства вполне определяют замыкание и их можно положить в основу третьего способа
задания топологии, приняв в качестве аксиом. Смысл операции замыкания состоит в пополнении
точек данного множества A ⊂ (X, τ ) его предельными точками. Tак называется точка x ∈ X, любая
окрестность которой содержит хотя бы одну точку из A, отличную от x. При этом предельная точка
может как принадлежать множеству A, так и не принадлежать ему.
Определение. Множество ∂A = A ∩ CA называется границей множества A.
Определение. Множество A ⊂ (X, τ ) топологического пространства называется всюду плотным в X, если его замыкание совпадает с X: A = X.
Иногда целесообразно задавать не всю топологию, а лишь некоторую ее часть, по которой топология может быть восстановлена. Мы имеем ввиду ее один способ задания топологии с помощью
ее базы. Итак, пусть (X, τ ) — топологическое пространство.
Определение.Семейство β множеств называется базой топологии τ , если оно обладает следующими двумя свойствами:
D1. β ⊂ τ ;
D2. Для каждой точки x ∈ X и любой ее окрестности U существует такое открытое множество V ∈ β, что x ∈ V ⊂ U .
Tогда всякое непустое открытое множество может быть представлено как объединение множеств
из β. Например, на числовой прямой базу топологии образует семейство всех интервалов. Имеет
место следующий критерий:
Tеорема. Семейство множеств β, покрывающих множество X, является базой некоторой
топологии (X, τ ) тогда и только тогда, когда для любых двух множеств U, V ∈ β и каждой
точки x ∈ U ∩ V существует такое множество W ∈ β, что W ⊂ U ∩ V .
Определение. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме
счетности, если существует счетная база.
Например, на числовой прямой такой базой является семейство всех интервалов с рациональными
концами.
23
3.2. Метрические пространства. В связи с понятием базы рассмотрим один из важнейших классов топологических пространств — метрические пространства.
Определение. Метрическим пространством (X, ρ) называется множество X, на котором
задана метрика ρ.
Это значит, что каждой паре точек x, y ∈ X соответствует некоторое вещественное неотрицательное
число ρ(x, y), которое называется расстоянием. Оно удовлетворяет следующим условиям — аксиомам метрического пространства:
M1. ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;
M2. ρ(x, y) = ρ(y, x), (симметрия);
M3. ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) для любых x, y, z ∈ X, (аксиома треугольника).
Определение. Отображение f : (X, ρ) → (Y, ρ0 ) метрических пространств называется изометрией, если оно биективно и ρ0 (f (x1 ), f (x2 )) = ρ(x1 , x2 ).
Определение. Шар B(x0 , r) с центром x0 радиуса r в метрическом пространстве есть множество точек x ∈ (X, ρ), удовлетворяющих неравенству ρ(x, x0 ) < r.
При этом r-окрестностью точки называется любой содержащий ее шар радиуса r. Совокупность
всех шаров образует базу метрического пространства и, следовательно, на множестве X определяется некоторая топология.
В метрическом пространстве может быть определено понятие сходящейся последовательности.
Определение. Последовательность точек x1 , x2 , . . . , xn , . . . метрического пространства (X, ρ)
называется сходящейся к точке a ∈ X, если для любого числа ε > 0 существует такой номер n 0 ,
что при n ≥ n0 выполняется ρ(xn , a) < ε.
Пишут a = lim xn и точку a называют пределом последовательности. Последовательность называn→∞
ется фундаментальной, если вместо предыдущего выполняется более слабое условие: ρ(x n , xm ) < ε
при m, n > n0 . Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна, обратное не всегда верно. Метрическое пространство, в котором сходится любая фундаментальная последовательность,
называют полным.
Tеорема. Метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда пересечение любой
последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к
нулю, не пусто.
Примеры:
1) Пусть на множестве X семейство τ состоит из всех подмножеств в X. Другими словами, любое
множество в X открыто, а значит, одновременно и замкнуто. Получим топологию, которая называется дискретной. Это самая сильная топология из всех возможных топологий на X.
2) В n-мерном вещественном
Rn с точками x = (x1 , . . . , xn ) расстояние, определяеPn пространстве
2
2
мое формулой ρ(x, y) = i=1 (xi − yi ) задает топологию евклидова пространства. Эта топология
называется естественной. В частности, на вещественной прямой R1 естественная топология порождается метрикой ρ(x, y) = |x − y|. Открытыми являются интервалы (x, y) и их всевозможные
объединения.
3) Множество шаров B(x0 , r) с рациональными радиусами в вещественном евклидовом пространстве Rn задает базу естественной топологии этого пространства.
3.3. Непрерывные отображения топологических пространств. Пусть (X, τ ) и (Y, µ) — топологические пространства и f : X → Y — отображение.
Определение. Отображение f топологических пространств называется непрерывным, если
прообразом U = f −1 (V ) всякого открытого множества V ⊂ (Y, µ) является открытое множество в (X, τ ).
Понятие непрерывности можно сформулировать в разных эквивалентных формах в зависимости
от способа задания топологии:
1) Отображение f топологических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообразом
U = f −1 (V ) каждого замкнутого множества является замкнутое множество.
2) Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда образ замыкания произвольного множества A ⊂ X содержится в замыкании его образа: f (A) ⊂ f (A).
Полезно заметить, что в случае метрических пространств это эквивалентно определению непрерывности в терминах сходящихся последовательностей: f непрерывно тогда и только тогда, когда
f ( lim xn ) = lim f (xn );
n→∞
n→∞
3) Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда для любой окрестности V произвольной
24
точки y0 = f (x0 ) существует такая окрестность U 3 x0 , что f (U ) ⊂ V .
4) В частности, для метрических пространств непрерывность может быть сформулирована на языке
ε ∼ δ: отображение f : (X, ρ) → (Y, ρ0 ) непрерывно тогда и только тогда, когда для любой шаровой
окрестности B 0 (y, ε) точки y = f (x) существует δ-окрестность B(x, δ) точки x такая, что f (B) ⊂ B 0 .
Tем не менее, при непрерывном отображении образ открытого или замкнутого множества не
является, вообще говоря, таким же. Непрерывное отображение f называется открытым, если образ
всякого открытого множества открыт и замкнутым, если образ всякого замкнутого множества
замкнут.
Примеры.
1) Постоянное отображение непрерывно;
2) Если (X, τ ) — дискретное пространство, то его отображение f : X → Y непрерывно при любой
топологии на Y ;
1
3) Отображение f : R1 → R1 вида y = 1+x
2 имеет образ f (R) = (0, 1]. Оно непрерывно, но не
открыто и не замкнуто.
Tеорема. Пусть f : X → Y и g : Y → Z — непрерывные отображения. Tогда композиция
g ◦ f : X → Z есть непрерывное отображение. В частности, композиция открытых (замкнутых)
отображений есть отображение открытое (замкнутое).
Tеорема. Если отображение f : X → Y непрерывно и множество A ⊂ X, то ограничение
f|A : A → Y непрерывно в индуцированной топологии.
Пример. Отображение f : R1 → R2 вида f (x) = (x, 0) непрерывно, открыто и замкнуто в
f (R1 ) ⊂ R2 относительно индуцированной топологии.
Определение. Отображение f топологических пространств называется гомеоморфизмом,
если оно биективно, непрерывно и обратное отображение f −1 : Y → X также непрерывно.
Пример. Шар и куб в евклидовом пространстве гомеоморфны.
Отношение гомеоморфности на множестве всех топологических пространств рефлексивно, симметрично и транзитивно и называется топологической эквивалентностью. Поэтому это множество
разбивается на классы эквивалентности. Если два пространства топологически эквивалентны, то
они обладают одинаковыми топологическими свойствами. Это те свойства топологического пространства, которые сохраняются при гомеоморфных отображениях.
Рассмотрим, в частности, гомеоморфные преобразования топологического пространства. Ясно,
что они образуют группу. Tе свойства топологического пространства, которые сохраняются при гомеоморфных преобразованиях, называются топологическими инвариантами. Например, к ним относятся 2-я аксиома счетности, аксиомы отделимости, метризуемость и др. С этой точки зрения топологические пространства можно рассматривать в рамках "Эрлангенской программы" Ф.Клейна
как G пространства, соответствующие группе гомеоморфных преобразований.
3.4. Аксиомы отделимости. Определенное выше понятие топологического пространства обладает большой общностью и для того, чтобы их теория имела более глубокое геометрическое содержание, обычно вводят некоторые дополнительные условия. Ряд условий на топологию вводится с
помощью так называемых аксиом отделимости.
Определение (Аксиома Хаусдорфа). Tопологическое пространство называется хаусдорфовым,
если для любых двух различных точек существуют непересекающиеся окрестности.
Пример. Всякое метрическое пространство хаусдорфово.
Tеорема. Tопологическое пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда для каждой
его точки x пересечение замыканий всевозможных ее окрестностей есть x.
Отсюда, в частности, следует, что всякая точка хаусдорфова пространства есть замкнутое множество. Оказывается, что в топологических пространствах этого типа можно определить сходящиеся
последовательности, обладающие обычными свойствами. Например, всякая такая последовательность имеет единственный предел. Более того, само понятие топологии может быть описано в терминах сходимости последовательностей. Правда, теория сходимости может быть построена и в общих
топологических пространствах с помощью понятия фильтра, но ее свойства могут существенно
отличаться от обычных.
Более сильному условию удовлетворяют следующие пространства:
Определение. Хаусдорфово пространство называется регулярным, если для любого замкнутого множества и не принадлежаей ему точки существуют непересекающиеся окрестности.
25
В связи с этим представляет интерес теорема, дающая критерий метризуемости топологического
пространства. Это означает существование на (X, τ ) такой метрики, которая порождает топологию
этого пространства.
Tеорема. Tопологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно.
Еще более сильное требование заключено в следующем условии:
Определение. Хаусдорфово пространство называется нормальным, если для любых двух непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся окрестности.
Например, всякое метрическое пространство нормально. Таким образом, имеет место следующая
последовательность импликаций:
метризуемость ⇒ нормальность ⇒ регулярность ⇒ хаусдорфовость
Впрочем, всякое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, нормально.
Для нормальных пространств справедливо следующее утверждение:
Лемма Урысона. Пусть (X, τ ) — нормальное топологическое пространсто и A, B ⊂ X — два
замкнутых непересекающихся множества. Тогда существует непрерывная функция f : X → R
такая, что f|A ≡ 0, f|B ≡ 1 и 0 ≤ f (x) ≤ 1 для вского x ∈ X.
3.5. Топология подпространства и произведения. Фактор-топология. Пусть (X, τ ) — топологическое пространство, топология которого задана системой открытых множеств и пусть A ⊂
(X, τ ) — некоторое подмножество. Рассмотрим пересечения UA = U ∩ A ⊂ A этого подмножества
со всевозможными элементами топологии τ . Обозначим множество таких пересечений τ A . Tогда
справедлива
Tеорема. Семейство множеств τA определяет топологию на подмножестве A.
Эта топология называется индуцированной, а топологическое пространство (A, τ A ) называют подпространством в (X, τ ).
Пример. Рассмотрим вещественную прямую R1 с естественной топологией и единичный сегмент
I = [0, 1] ⊂ R1 . Tогда индуцированная топология на I образована пересечениями I∩U с интервалами
из R1 .
Теорема.Пусть A ⊂ X — подпространство с индуцированной топологией. Тогда отображение
включения i : A → X непрерывно. При этом индуцированная топология является слабейшей среди
всех топологий на A, для которых включение непрерывно.
Пусть (X, λ) и (Y, µ) — два топологических пространства. Рассмотрим множество X × Y пар
(x, y), x ∈ X, y ∈ Y . Отображения p : (X × Y ) → X и q : (X × Y ) → Y , при которых p(x, y) = x
и q(x, y) = y называются проекциями. Рассмотрим далее семейство всевозможных декартовых
произведений U × V открытых множеств этих пространств.
Теорема. Множества U × V образует базу некоторой топологии на произведении X × Y .
Tак мы получаем топологическое пространство (X × Y, τ ), которое называется топологическим
произведением заданных пространств.
Теорема. Пусть (X×Y, τ ) — топологическое произведение. Тогда его проекции на сомножители
непрерывны и открыты. При этом топология произведения является наиболее слабой среди всех
топологий, относительно которых проекции непрерывны.
Tеорема. Tопологическое произведение хаусдорфовых пространств есть хаусдорфово пространство, произведение регулярных пространств регулярно, произведение метризуемых пространств
метризуемо.
Операция произведения очевидным образом обобщается на произвольное конечное число сомножителей. Более того, топологическое произведение можно построить и для произвольного множества сомножителей, введя на нем топологию Tихонова.
Другой способ построения новых топологических пространств из заданных состоит в следующем.
Пусть в пространстве (X, τ ) задано отношение эквивалентности R. Рассмотрим множество X \ R
классов эквивалентности — фактор-множество и отображение p : X → X \ R, которое каждой
точке x ∈ X ставит в соответствие класс [x], содержащий эту точку. Оно называется проекцией.
Рассмотрим на X \ R множества V , прообразы которых p−1 (V ) открыты в (X, τ ).
Tеорема. Семейство множеств λ = {V } задает топологию на X \ R, причем эта топология
является сильнейшей среди всех топологий, относительно которых отображение p непрерывно.
Tем самым мы получаем топологическое пространство (X \ R, λ), которое называется факторпространством.
26
Теорема. Пусть X и Y — топологические пространства и X \ R — фактор-пространство. Тогда отображение f : X \ R → Y непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно отображение
F =f ◦p: X →Y.
Поскольку необходимость этого утверждения очевидна, то оно предствляет интерес с точки зрения
достаточности.
Tеорема. Если непрерывное отображение f топологического пространства (X, τ ) на топологическое пространство (Y, λ) открыто или замкнуто, то λ — фактор-топология.
Пример.
1) Рассмотрим вещественную прямую R1 , наделенную естественной топологией и окружность S
единичного радиуса в евклидовой плоскости с индуцированной топологией. Зададим сюръективное
отображение R1 → S формулой f (x) = e2πix . Это отображение непрерывно и открыто. Следовательно, топология на S совпадает с фактор-топологией. Класс эквивалентности точки x есть множество
x + Z, где Z — множество целых чисел. Поэтому точки x достаточно брать в сегменте [0, 1], отождествив его концы. Это соответствует представлению о том, что окружность можно получить из
отрезка прямой склеиванием концов.
2) Проективное пространство Pn моделируется связкой прямых евклидова пространства Rn+1
(см.
0
ч. I). Метрическую топологию в Pn можно определить с помощью угла 0 ≤ θ ≤ π2 между прямыми
связки. Рассмотрим в Rn+1
сферу S n с тем же центром и индуцированной топологией. Сюръектив0
n
n
ное отображение f : S → P , которое каждой точке сферы x ∈ S n ставит в соответствие прямую 0x,
непрерывно и открыто. При этом прообраз прямой есть пара диаметрально противоположных точек (x, −x) сферы. Поэтому проективное пространство гомеоморфно фактор-пространству S n \ Z2 ,
где Z2 — циклическая группа второго порядка.
3.6. Связные и линейно связные топологические пространства. Введем два важных класса
топологических пространств.
Определение. Tопологическое пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся открытых множеств: X = U ∪ V , U ∩ V = ∅.
Множество A ⊂ (X, τ ) называется связным, если оно связно в индуцированной топологии τ A . В
частности, открытое связное множество в (X, τ ) называют областью.
Tеорема.Замыкание связного множества связно.
Tеорема. Пусть для любой пары точек топологического пространства существует связное
множество, их содержащее. Tогда это пространство связно.
Теорема. Топологическое произведение связных пространств связно.
Tеорема. Образ f (X) ⊂ Y связного множества при непрерывном отображении f : X → Y
связен.
Следствие. Фактор-пространство связного топологического пространства связно.
Примеры. 1) Вещественное n-мерное пространство Rn с естественной топологией; 2) n-мерный
куб I n ⊂ Rn ; 3) n-мерная сфера S n ⊂ Rn+1 с индуцированной топологией; 4) n-мерное проективное
пространство P n .
Определение. Максимальное по включению связное множество C ⊂ X топологического пространства называется его компонентой связности.
Tеорема. Компонента связности есть замкнутое множество.
Tеорема. Всякое топологическое пространство есть дизъюнктное объединение своих связных
компонент.
Заметим, что если пространство имеет конечное число связных компонент, то они открыты.
Рассмотрим непрерывное отображение l : [a, b] → X отрезка вещественной прямой в топологическое пространство. Tакое отображение называется путем, соединяющим точки x = l(a) и y = l(b)
(начало и конец пути).
Определение. Пространство (X, τ ), любые две точки которого можно соединить путем, называется линейно связным.
На основании предыдущих теорем всякое линейно связное пространство связно. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Tеорема. Произведение линейно связных топологических пространств линейно связно.
Tеорема. Фактор-пространство линейно связного топологического пространства линейно связно.
Примеры.
1) Пространство Rn , сфера S n при n ≥ 1, проективное пространство P n линейно связны;
27
2) Приведем пример пространства связного, но не линейно связного. Пусть X ⊂ R 2 — множество
на плоскости, которое является дизъюнктным объединением X = S t A окружности r = e(ϕ) и
спирали r = (1 − e−ϕ )e(ϕ), 0 < ϕ < ∞. На X введем топологию, индуцированную естественной
топологией плоскости, в которой множества S и A связны. Очевидно, замыкание A = X. Поэтому
X связно. С другой стороны, X не является линейно связным.
3.7. Компактные топологические пространства. Еще один важный класс топологических пространств определяется следующим образом.
Определение. Tопологическое пространство (X, τ ) называется компактным, если любое его
открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.
Если к тому же оно хаусдорфово, то (X, τ ) называют компактом. Множество A ⊂ X называется
компактным, если оно компактно в индуцированной топологии.
Примеры.
1) Всякое замкнутое и ограниченное множество в евклидовом пространстве является компактом.
Например, замкнутый куб I n ⊂ Rn , в частности, отрезок I = [a, b] ⊂ R — компакты.
2) По той же причине шар B(x, r) и сфера S n в Rn+1 — компакты в индуцированной топологии.
3) Евклидово Rn не компактно. Например, семейство шаров B(x0 , n) с общим центром и целочисленными радиусами образует открытое покрытие, не содержащее конечного подпокрытия. В
частности, для R1 это семейство интервалов (−n, n).
Компактные пространства обладают рядом замечательных свойств:
Теорема. Всякое бесконечное множество компактного пространства имеет хотя бы одну предельную точку.
Теорема. Замкнутое множество компактного пространства компактно.
Теорема. Компактное множество хаусдорфова пространства замкнуто.
Tаким образом, в хаусдорфовых пространства понятия замкнутости и компактности совпадают.
Теорема.Всякий компакт является нормальным пространством.
Теорема.Непрерывный образ компактного пространства f (X) ⊂ Y есть компактное множество.
Следствие 1.Всякое непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство замкнуто.
Следствие 2. Фактор-пространство компактного топологического пространства компактно.
Пример. Проективное пространство P n = S n /Z2 компактно.
Теорема (Тихонова). Tопологическое произведение произвольного семейства компактных пространств есть компактное пространство.
Пример. Тор T n = S × S × · · · × S — компактное пространство.
Имеют место также следующие важные свойства:
Tеорема. Непрерывное и инъективное отображение компакта в хаусдорфово пространство
есть гомеоморфизм на свой образ.
Tеорема. Всякая непрерывная на компактном множестве топологического пространства функция f : A ⊂ (X, τ ) → R ограничена и достигает своих точной верхней и точной нижней граней.
Последнее утверждение есть обобщение известной теоремы Вейерштрасса о свойстве непрерывных
функций на отрезке вещественной прямой.
28
Список литературы
ОСНОВНАЯ:
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии — М.: Наука. – 1968.
2. Мищенко А.С., Фоменко А.T. Курс дифференциальной геометрии и топологии — М.: изд. МГУ. — 1980.
3. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. — М.: Высшая школа. — 1995.
4. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИФМЛ. — 1958.
5. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии — М.: Наука.
— 1964.
6. Сборник задач по дифференциальной геометрии (под ред. Феденко А.С.) — М.: Наука. — 1979.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:
1.
2.
—
3.
4.
5.
6.
Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия — М.: Наука. — 1986.
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука.
1979.
Дифференциальная геометрия (под ред. Феденко А.С.) — Минск: изд. БГУ. — 1982.
Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ. — 1956.
Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия — М.: Наука. — 1987.
Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия — М.: Факториал. — 1998.
29