2.2. энергетические характеристики магнитного пол

2.2. Энергетические характеристики магнитного поля
Наряду с магнитной индукцией для энергетического описания магнитного поля используется векторная величина, именуемая напряжённостью магнитного поля, которая определяется соотношением
r
r B
H=
.
(2.49)
μ0
r
Используя величину напряжённости магнитного поля, для элемента тока Id l можно записать следующие уравнения
r r
r r
r
1 I dl × r
1 Idl sin d l; r
, dH =
(2.50)
dH =
4π r 3
4π
r2
Для прямолинейного проводника с током напряжённость поля представится в виде
I
H=
.
(2.51)
2πR
В центре кругового витка, по которому течёт ток постоянной величины, напряжённость
магнитного поля запишется как
I
H=
.
(2.52)
2R
Столь простая взаимосвязь между векторами индукции и напряжённости магнитного поr
ля имеет место только для вакуума, в средах она усложняется и возможности переход от H
r
к B и наоборот усложняется ввиду наличия в среде физических процессов не наблюдаемых
в вакууме.
Как видно из приведенных ранее рис. 2.1 − 2.3 линии индукции магнитного поля непрерывны и замкнуты, они не имеют начала и конца, такие поля называются вихревыми. Напомним, что электростатические поля не являются вихревыми, потому что линии напряжённости всегда разомкнуты, они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Это
обстоятельство позволяет предполагать отсутствие в природе изолированных магнитных
зарядов, как и магнитного тока. Напомним, так же, что работа электрического поля по замкнутому контуру эквивалентна нулю, что позволило ввести понятие его потенциальности.
Энергетическое состояние точек электростатического поля (потенциал точек) определяется
положением этих точек относительно зарядов, генерирующих поле. Например, разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 при перемещении единичного заряда вдоль линии напряжённости определяется уравнением
(
)
(
)
2
U1→2 = ∫ Edl .
(2.53)
1
По аналогии с уравнением (2.53) определим величину магнитного напряжения
U m = ∫ H l dl ,
l
(2.54)
где dl − элемент длины контура, H l − проекция вектора напряжённости на направление
перемещения dl . В отличие от электрического поля перемещение по замкнутому контуру
не приводит к работе эквивалентной нулю, другими словами, работа, производимая силами
магнитного поля, зависит от формы контура L и не зависит только от взаимного расположения точек начала и конца этого контура.
Рассмотрим прямолинейный длинный проводник с постоянным током величины I, проходящий перпендикулярно плоскости чертежа в сторону от наблюдателя (рис. 2.12). Рассмотрим первоначально контур, совпадающий с одной из круговых линий магнитной индукции, на которой расположим начальную точку 1 и конечную точку 2. Как следует из
83
уравнения (2.51) во всех точках этого контура напряжённость поля будет одинаковой, потому что они
равноудалены от проводника на расстояние r. Магнитное напряжение между точками 1 и 2 представится
следующим образом
I (
l,
(2.55)
2πr
(
где l − длина дуги четверти окружности, которая в
угловом эквиваленте равна
Рис. 2.12. Определение магнитного
(
l
π
напряжения вблизи проводника
(2.56)
=ϕ= .
r
2
Перепишем уравнение магнитного напряжения с учётом соотношения (2.56)
Iϕ
.
(2.57)
Um =
2π
Далее рассмотрим в пределах четверти окружности часть произвольного контура L. Магr
нитное напряжение вдоль элемента контура d l определится так
I
cos αdl .
dU m = H l dl = H cos αdl =
(2.58)
2πr
Сократим число переменных в последнем соотношении на основании того, что
cos αdl
= dϕ .
(2.59)
r
Таким образом
ϕ
I
Iϕ
Um =
dϕ =
,
(2.60)
∫
2π 0
2π
т.е. величина магнитного напряжения при перемещении по контуру L совпала с уравнением
(2.57). Если выбрать замкнутые контуры L1 или L2, полностью охватывающие проводник,
так чтобы угол ϕ = 2π (рис. 6.28). В этом случае возможно для напряжённости записать следующее уравнение
(2.61)
∫ H l dl = I .
Um =
Уравнение (6.58) выражает одно из основных свойств магнитного поля: магнитное напряжение вдоль замкнутого контура равно полной величине тока, протекающего сквозь поверхность, ограниченную рассматриваемым контуром.
Из этого уравнения видно, что магнитное напряжение измеряется в тех же единицах, что и величина
электрического тока. Использование полученных особенностей позволяет упростить процесс расчёта напряжённости.
В качестве примера рассмотрим поле тороидальной
катушки (рис. 2.2), содержащей N витков, по которым
протекает постоянный ток величиной I. Из соображений симметрии можно принять, что напряжённость
магнитного поля Н одинакова во всех точках окружности с центром, совпадающим с центром тора и равна
NI
Рис. 2.13. Контуры, охватывающие
H=
,
(2.62)
проводник с током
2πr
где r − радиус средней окружности тора.
При рассмотрении магнитных полей часто встречаются замкнутые токи, размеры которых существенно меньше расстояния до точки наблюдения. Такие токи называют элементарными. В качестве элементарного тока, например, может рассматриваться атом, в котором
84
непременно присутствуют движущиеся (в классическом варианте) по замкнутым орбитам
электроны, которые и являются причиной тока.
Рассмотрим круговой ток радиусом R и величиной I с
целью нахождения напряжённости магнитного поля в
точке А (рис. 2.14), расположенной на оси тока на расстоянии r. Все элементы рассматриваемого тока перпендикулярны радиус-векторам ρ, в связи, с чем в уравнении
r r
(2.50) sin d l; r = 1 .
Если выделить два элементарных тока, расположенных в диаметрально противоположных точках кругового Рис. 2.14. Круговой виток с током
тока, то видно, что результирующая напряжённость поля
r
r
в выбранной точке А будет представляться в виде геометрической суммы dH1 + dH 2 , приr
чём, результирующий вектор dH будет направлен по оси кругового тока. Один k-тый элемент тока, таким образом, создаёт поле напряжённость
1 Idl sin β 1 IdlR
.
(2.63)
dH k =
=
4π ρ 2
4π ρ3
Результирующая напряжённость от всех элементов тока получится путём интегрирования по
длине последнего уравнения
IR
IR
IS
H=
dl =
2πR =
,
(2.64)
3 ∫
3
2πρ l
4πρ
2πρ3
(
)
где S = πR2 − площадь кругового тока. При условии ρ >> R можно считать в первом приближении, что ρ ≅ r. Вводя новую величину
p m = IS ,
(2.65)
именуемую магнитным моментом тока, уравнение напряжённости представится в виде
p
H = m3 .
(2.66)
2πr
Отметим, что если электрический диполь расположить в плоскости кругового тока, то он имел бы электрический момент, совпадающий по направлению с магнитным моментом рассматриваемого
тока. По аналогии с электрическим моментом, магнитному моменту тока тоже придают векторные свойства. Вектор магнитного момента тока совмещают с направлением единичного вектора внешr
ней нормали n к плоскости витка (рис. 2.15)
r
r
p m = ISn .
(2.67)
В системе СИ магнитный момент тока измеряется в соответствии с уравнением (2.65) в А⋅м2. Магнитное действие элементарного
замкнутого тока определяется его магнитным моментом. Примени- Рис. 2.15. Магнитный
тельно к магнитному состоянию среды, её можно охарактеризомомент тока
вать, задав магнитный момент элементарного объёма, эта величина
называется элементом намагничивания ζ
1 i= N r
(2.68)
ζ = lim ∑ p mi ,
V →0 V
i =1
r
где N − число частиц (атомов, ионов, молекул) вещества в рассматриваемом объёме, p mi −
магнитный момент i-й частицы.
На всякий проводник с током, помещённый в магнитное поле, действует сила Ампера
r
r
r r
dFA = I dl × B , FA = IlB sin l; B .
Очевидно, в этой связи предположить, что при перемещении проводника в магнитном
поле станет совершаться механическая работа. Рассмотрим прямолинейный проводник длиной l, который может без трения перемещаться по контактным дорожкам, подключённым к
источнику тока (рис. 2.16). Вся конструкция помещена в однородное магнитное поле пер-
(
)
( )
85
пендикулярное плоскости чертежа в сторону наблюдателя. Если проводник из положения 1 передвинуть
параллельно в положение 2, т.е. на расстояние dx, то
r r
работу силы Ампера, с учётом того, что l; B = π 2
можно представить уравнением
δA = FA dx = IBldx ,
(2.69)
или
(2.70)
δA = IBdS ,
где dS = ldx − площадь магнитного поля пересекаемая
Рис. 2.16. Механическая работа
проводником, по которому протекает ток величиной I.
Из уравнения (2.70) связи механической работы с направлением поля не просматривается,
r r
хотя ясно, что если проводник не будет пересекать линии магнитной индукции, т.е. sin l; B
r
= 0, в этом случае FA = 0 , соответственно и работа совершаться не будет. При промежуточr r
ном значении угла l; B рекомендуется вектор магнитной индукции разложить на две соr
r
ставляющие, одна из которых Bn − нормальна к dS, а вторая Bl располагается в плоскости
r
перемещения проводника. Составляющая силы Ампера обусловленная Bl работы производить не будет, т.к. она направлена параллельно проводнику и перпендикулярную dx
δA = IBn dS .
(2.71)
Так, например, при вращении проводника вокруг оси,
проходящей через один из его концов перпендикулярно образующей (рис. 2.17), элементарная площадь при повороте
на малый угол dα определится как
dS = ldαdl ,
(2.72)
где l расстояние от элемента длины проводника до оси вращения. Сила Ампера, действующая на элемент длины, при
его перемещении на угол dα определится как
FAn = IdlBn ,
(2.73)
где Bn − составляющая напряжённости, нормальная к dS.
Работа
в этом случае запишется уравнением
Рис. 2.17. Вращение проводника
δA = IdlB n ldα = IBn dS ,
(2.74)
что совпадает с уравнением (2.70), которое было получено для случая прямолинейного движения проводника с током в магнитном поле. Как известно из механики, любое плоское движение можно свести в поступательному и вращательному, что делает уравнения справедливыми для любого типа плоского движения.
Полученные выше уравнения работы могут быть упрощены, если ввести понятие магнитного потока. Представим
себе плоскую площадку площадью S (рис. 2.18), располоr
женную в однородном магнитном поле с индукцией B произвольным образом.
Магнитным потоком или потоком вектора магнитной
индукции через площадку S называется величина
Φ m = BS cos α = Bn S ,
(2.75)
Рис. 2.18. Магнитный поток
где α − угол между вектором индукции и внешней нормалью к рассматриваемой площадке, Вn − проекция вектора индукции на направление нормали. Магнитный поток, как следует из уравнения (2.75) является скалярной величиной, численно равный полному количеству линий магнитной индукции, пронизывающих данную
поверхность.
Так как в уравнение магнитного потока входит cosα, то поток может быть положительным, отрицательным или нулевым, в зависимости от величины угла между вектором индукции и внешней нормалью.
( )
( )
( )
86
Чаще всего понятие магнитного потока используется при рассмотрении замкнутых проводящих контуров с электрическим током, которые ограничивают рассматриваемые поверхr
ности. Положительное направление нормали n связывают с направлением токов, применяя
правило правостороннего буравчика. Если вращать буравчик, штопор, винт (как больше
нравится) в направлении течения тока, то поступательное движение образующей укажет направление нормали. Из этого обстоятельства, в частности, следует, что если магнитное поле
создаётся током замкнутого контура, то поток собственного магнитного поля через ограничивающую контуром поверхность всегда положительный. В случае неоднородного поля или не плоской поверхности (рис. 2.19) то её разбивают на множество
элементарных площадок dS так, чтобы в их пределах
поверхности можно было считать плоскими, а поле
однородным. Поток через элементарную площадку
определится как
dΦ m = Bn dS ,
а суммарный магнитный поток запишется в виде интеграла
Рис. 2.19. Магнитный поток через
выпуклую поверхность
Φ m = ∫ Bn dS .
(2.76)
S
Если магнитную индукцию выражать в теслах, а площадь в квадратных метрах, то получится единица потока
[Φ m ] = Тл ⋅ м 2 = Вб (вебер) .
(2.77)
Используя понятие магнитного потока можно выразить элементарную механическую
работу (2.71), совершаемую при перемещении контура следующим образом
δA = IdΦ m .
(2.78)
Полная работа представится в виде произведения величины тока на изменение потока
A = I(Φ m 2 − Φ m1 ) = IΔΦ m .
(2.79)
Важное прикладное значение имеет анализ механических сил, действующих на внесённый в магнитное поле замкнутый контур с током. Во многих технических устройствах осуществляется преобразование энергии магнитного поля в кинетическую энергию вращения.
Рассмотрим контур в виде прямоугольной рамки, по которой течёт постоянный ток величиной I, рамка помещена в однородное магнитное поле
r
с индукцией B (рис. 2.20). Силы, действующие на стороны а, в соответствие с законом Ампера будут стремиться растянуть или сжать рамку в вертикальных направлениях. Силы, действующие на стороны b, стремятся
вращать рамку вокруг вертикальной оси z, т.к. по сути
это типичная пара сил с моментом M z (F1 , F2 ) . Если магнитный момент контура p m = IS считать постоянным, то
Рис. 2.20. Контур с током
элементарная механическая работа, производимая силав магнитном поле
ми Ампера при повороте контура на угол dα, определится как
r r
δA = M z F1 , F2 dα .
Поскольку магнитный поток, проходящий через площадь контура s равен
Φ m = SB cos α ,
то его изменение при повороте контура на угол dα запишется следующим образом
dΦ m = SB sin αdα .
Используя уравнение (2.71) последнее уравнение можно переписать так
r r
M z F1 , F2 dα = ISB sin αdα ,
откуда
r r r
r
r
M z F1 , F2 = p m × B .
(2.80)
(
(
)
)
(
) (
87
)