Интерференция волновых импульсов 4

УДК 530.1
Интерференция волновых импульсов
Ю.Н.Зайко
ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и
государственной службы при Президенте РФ»
Поволжский институт управления им. П.А. Столыпина,
410031, Саратов, Россия.
e-mail: [email protected]
Аннотация. В статье численно исследованы осцилляции амплитуды перекрывающихся импульсов – прямоугольного и гауссова в результате интерференции узкополосных составляющих импульсов. Исследовано расплывание квантового волнового пакета при распаде стационарного состояния для гармонического осциллятора и прямоугольной потенциальной
ямы.
Ключевые слова: импульс, узкополосная составляющая, фурье-гармоника, дисперсия.
Abstract. Numerical analysis of amplitude oscillations of overlapping pulses (rectangular and
Gaussian) due to interference of narrowband components of pulses is presented. Spreading of quantum wave packets in the process of decay of stationary state of harmonic oscillator and rectangular
potential well have been investigated.
Key words: рulse, narrowband component, Fourier-harmonics, dispersion.
Введение
Интерференция – типичное явление в физике волн. При распространении
волновых импульсов оно также имеет место, но подчас его проявления весьма
необычны и поэтому встречают недоверие среди специалистов - практиков.
Прежде чем анализировать интерференционные явления для импульсов следует
определить четко, что с чем интерферирует. Обычно в экспериментах по интерференции волн присутствуют две волны, которые при наложении и дают интерференционную картину. В случае с импульсами картина усложняется тем,
что сам импульс представляет собой результат сложения большого числа составляющих его волн – т.н. узкополосных составляющих или гармоник. Представление импульса в виде интеграла Фурье дает картину распределения этих
составляющих по частотному спектру. Надо представлять различие тех и дру-
2
гих. Фурье-гармоника – это узкополосная составляющая с бесконечно узкой
шириной спектра и, вообще говоря, является математической абстракцией. Узкополосная же составляющая – это физическое понятие, используемое, например, при синтезе радиочастотных фильтров. Математический аппарат, позволяющий представить сигнал и, в частности, импульс, как сумму узкополосных
составляющих не разработан1, поэтому приходится пользоваться фурьеанализом. В настоящей статье, как, впрочем, и в остальной литературе, эти понятия до некоторой степени используются как синонимы.
1. Интерференция классических импульсов
Исходный импульс E(z = 0, t), заданный в точке z = 0 среды уже представляет результат интерференции. В дальнейшем, распространяясь в диспергирующей среде, импульс искажается в результате изменившихся условий сложения его спектральных составляющих. Поскольку у большинства импульсов,
например, у прямоугольных, число узкополосных составляющих велико, то и
картина их взаимодействия, т.е. интерференции, выглядит сложной и запутанной. Однако можно подобрать условия, при которых интерферировать будет
небольшое число составляющих импульса, или импульсов, например, наблюдая
взаимодействие двух импульсов.
Рассмотрим задачу о наложении двух импульсов, распространяющихся в
диспергирующей среде. Задача о распространении радиоимпульса заданного в
точке z = 0 описывается выражениями
1
E ( z, t ) =
2π
E (ω ) =
T0 / 2
∞
∫ E (ω )e
− iωt + ih (ω ) z
−∞
∫ E ( z = 0, t )e
dω
(1)
iωt
dt
−T0 / 2
h(ω) – закон дисперсии волн из которых составлен импульс. Для импульса с
прямоугольной огибающей E ( z = 0, t ) = sin ω0t для t ≤ T0 / 2 и E ( z = 0, t ) = 0 для
1
Его разработка очень напоминала бы попытки разработать систему счисления, учитывающую конечную точность представления чисел - “неевклидову” арифметику (см. например, статью B. Rotman. The Truth about
Counting. The Sciences, 1997, V. 37, № 6, pp. 34 – 39).
3
t < −T0 / 2, t > T0 / 2 , T0 - длительность импульса, ω0 - несущая частота. В случае
произвольного закона дисперсии эта задача не имеет аналитического решения и
может быть исследована лишь численно. Для достаточно длительных импульсов (T0ω0 >> 1) с хорошей точностью можно использовать т.н. приближения
теории дисперсии, когда точное выражение для h(ω) заменяют его разложением
в ряд Тейлора вблизи несущей частоты заполнения импульса ω0. Так, например,
для прямоугольного импульса во втором приближении теории дисперсии для
E(z,t) получено выражение [1]
E ( z, t ) =
1− i
exp[i (ω 0 t − zh0 )] F * (u ) + F * (v)
2
{
}
(2)
где
u=
θ
πz h
''
0
,v =
h0 = h(ω 0 ), h0′ =
T0 − θ
πz h
''
0
, θ = t − zh0′ + T0 / 2
(3)
dh(ω 0 )
d h(ω 0 )
, h0′′ =
dω
dω 2
2
а F- интеграл Френеля:
 π

F ( x) = ∫ exp i y 2 dy
 2 
0
x
(4)
На рис. 1 представлены результаты расчета по формуле (2) для случая распространения двух одинаковых прямоугольных импульсов длительностью T0, генерируемых в точке z = 0 с интервалом времени 2T0 и двигающихся в одну сторону.
|E1,2|
z
τ
4
Рис. 1. Характер поведения амплитуд |E1| и |E2| импульсов без учета интерференционных явлений. Показаны импульсы при значениях N=10 (нижний ряд), N=4 (средний ряд), N=1.6
(верхний ряд). Масштаб по оси z произвольный, τ = (t − zh0′ ) / T0 .
На рисунке показаны амплитуды импульсов |E1(z,t)| и |E2(z,t)| при разных значениях пройденного ими расстояния. Искажения импульсов определяются параметром N = d / z , где d = T02 / π h0′′ , который убывает с ростом пройденного импульсами расстояния. Начальное значение N(z << d) = 10, два других последовательно равны 4 и 1.6. Когда перекрытие импульсов мало (малые z, N = 10)
интерференционными эффектами можно пренебречь. Но при значительном перекрытии этого делать нельзя и картину распределения амплитуды нужно рассчитывать, складывая поля E1(z,t) и E2(z,t)импульсов и лишь затем вычисляя их
общую амплитуду. Результат этого расчета показан на рис. 2
|E1+E2|
z
τ
Рис. 2. То же, что на рис. 1 с учетом интерференции импульсов (сплошные линии). Точками
показано поведение | E1| + |E2| для соответствующих импульсов.
Распределение амплитуды на рис. 2 явно демонстрирует интерференцию импульсов.
Обратим внимание на то, что даже когда импульсы перекрываются незначительно, их амплитуда также содержит осциллирующую составляющую.
Она появляется даже для одного импульса. По ее поводу существуют различные мнения. С точки зрения практической радиотехники – это результат “существенно разного соотношения между низкочастотными и высокочастотными
5
составляющими в их текущих спектрах” [2]. По утверждению приверженцев
теории аналитического сигнала – это некий артефакт [3, 4], связанный с недостатками теории комплексного сигнала (по терминологии [5]). В работе [4] высказано предположение, что эти осцилляции также являются результатом интерференции узкополосных составляющих импульса.
Идеальным с точки зрения теории аналитического сигнала является гауссов импульс 2, который при распространении в диспергирующей среде не обнаруживает никаких осцилляций амплитуды. С точки зрения интерференционной
теории [4] отсутствие осцилляций амплитуды у гауссова импульса связано с
тем, что он, грубо говоря, представляет единственную узкополосную составляющую, которой не с чем интерферировать. В то же время импульсы со сложной
огибающей, например, прямоугольные, содержат большое число узкополосных
составляющих, которые и в случае одного импульса дают осцилляции, интерферируя между собой.
Для доказательства интерференционной причины появления осцилляций,
покажем, что они могут наблюдаться и для гауссовых импульсов. Рассмотрим
два гауссовых импульса генерируемых в точке z = 0, причем второй импульс
задержан относительно первого на время T
{
[
E (0, t ) = exp(−iω 0 t ) exp(−at 2 ) + exp − a (t − T ) 2
]}
(5)
Величина 1 / a << T представляет собой полуширину импульса по уровню 1/е.
Импульсы узкополосные, т.е. ω 0 / a >> 1 . Расчет искажения выполняется по
формулам (1), в которых второй интеграл по времени вычисляется в пределах
от - ∞ до + ∞, поскольку гауссов импульс отличен от нуля всюду. По мере распространения импульсы расплываются и начинают перекрываться. В тех же
обозначениях, что и выше, получим
 − a (t − T − zh0′ ) 2  
eih0 z −iω0t   − a (t − zh0′ ) 2 
E ( z, t ) =
exp 
 + exp 

1 − 2ih0′′az   1 − 2ih0′′az 
 1 − 2ih0′′az

(6)
С помощью (6) можно получить выражение для амплитуды | E(z,t)|
2
Хотя, как отмечено в [5], гауссов импульс не является аналитическим сигналом, он стремится к нему при
сужении его спектральной ширины.
6
{
E ( z , t ) = (1 + µ ) −1 / 4 e − 2δσ + e − 2δ (σ −T ) + 2e −δ [σ
δ=
2
2
2
+ ( σ −T ) 2 ]
}
cos µδ [σ 2 − (σ − T ) 2 ]
1/ 2
a
, µ = 2k 0′′za, σ = t − zk 0′
1+ µ 2
(7)
На рис. 3 показана амплитуда импульсов для различных значений параметра μ
= 2h0′′za . Для малых μ импульсы не перекрываются и осцилляции отсутствуют.
Для больших μ в области перекрытия возникают осцилляции амплитуды благодаря интерференции. Из (6) также следует, что для одного импульса осцилляций нет, что согласуется с их интерференционной природой.
|E|
z
τ
Рис. 3. Амплитуда двух гауссовых импульсов до перекрытия (внизу, μ =0.5), для малого перекрытия (μ = 3.5) и большого перекрытия (вверху, μ = 5.5). Задержка импульсов aT = 10 ; τ = a (t − zh0′ ) , z = µ / 2h0′′a .
Полученные результаты, во-первых, подтверждают интерференционную
картину искажения импульсов и, во-вторых, позволяют убедить приверженцев
теории аналитического сигнала, противопоставляющих ее теории “комплексного сигнала”, т.е. комплексному анализу, в ее приближенном характере, допускающем использовать ее только для грубых оценок, но не расчетов3.
2. Расплывание квантовых пакетов.
3
“Преимущества” аналитического сигнала связывались, в основном, с обширными практическими приложениями. При этом на такие “мелочи”, как нарушение причинности, просто не обращали внимание.
7
В работе [4] было высказано предположение, что при развале связанного
состояния, описываемого волновой функцией Ψ (z, t) могут наблюдаться осцилляции амплитуды Ψ, подобные описанным выше. Это утверждение требует
уточнения.
Напомним постановку задачи. Волновая функция Ψ(z, t) связанного состояния удовлетворяет уравнению Шредингера с потенциалом U(z,t) = U(z) для
t ≤ 0 и U(z,t) = 0 для t > 0. Если потенциал U(z)достаточно плавный, то она не
имеет разрывов и отлична от нуля всюду, напоминая тем самым гауссов импульс. В этом смысле она представляет собой единственную узкополосную составляющую и при освобождении от потенциала U, в котором она существовала до момента t = 0, не должна давать осцилляций. Физической причиной их
отсутствия является отсутствие условий для интерференции.
Рассмотрим задачу об эволюции волнового пакета, который до момента
времени t = 0 представлял волновую функцию n - го связанного состояния гармонического осциллятора A(z, t = 0) =Ψn (z), где
 mω 
Ψn ( z ) = 

 πh 
1/ 4
 mω 2   mω 
exp −
z H n  z
h 
 2h
 
2 n n!
1
(8)
Hn – полином Эрмита, m, ω – масса и частота осциллятора, ћ – постоянная
Планка [6]. При развале потенциала, волновой пакет эволюционирует как волновая функция свободной частицы в соответствии с формулами
1
A( z , t ) =
2π
A(k ) =
∞
∞
∫ A(k )e
− iω ( k ) t + ikz
dk
−∞
∫ A( z,0)e
− ikz
dz
(9)
−∞
hk 2
E
ω ( k ) ≈ ω0 +
, ω0 = 0 , n >> 1
2m
h
которые являются аналогом выражений (1) для поставленной задачи; E0 = hω / 2
– энергия основного связанного состояния осциллятора, ћ2k2/2m – энергия свободной частицы, k – волновое число. После выполнения необходимых вычислений получим окончательное выражение
8
A( z , t ) ≈
exp(−iωt / 2 + imz 2 / 2ht − iπ / 4) 4
 m z
m
, ωt >> 1
H n 
2

πhωt
ω
h
t


2 n n!
(10)
Из (10) видно, что при фиксированных t у импульса наряду с ожидаемым расплыванием появляется дополнительная пространственная квадратичная модуляция фазы. Никаких дополнительных осцилляций амплитуды, о которых говорилось выше, в соответствии с интерференционной теорией нет.
Можно получить общую формулу, пригодную для исследования динамики разваливающегося состояния при любой форме потенциала U(z). Комбинируя первые две формулы в (9) получим (величина ω0 опущена)
A( z , t ) = ∫ A( z ′,0)∆( z − z′, t )dz′
(11)
m
m


exp − i
( z − z′) 2 
2πiht
 2 ht

∆( z − z′, t ) =
Интегрирование в (11) выполняется по области, в которой A(z,0) отлично от нуля. Функция ∆( z − z′, t ) удовлетворяет условию ∆( z − z′, t ) t→
 δ ( z − z′) , где δ→0
дельта-функция Дирака. Формулу (11) можно применить для решения задачи в
случае потенциала U(z), не удовлетворяющего условию плавности, например
для потенциала в виде прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными
стенками. Легко показать, что решение в этом случае можно выразить с помощью тех же интегралов Френеля (4), что и в классическом случае (см. формулу
(2)). Например, для n – го состояния в бесконечно глубокой потенциальной яме,
когда A( z,0) = 2 / a sin nπz / a [6], где a - ширина ямы, из (11) получим с точностью до несущественного фазового множителя
A( z , t ) ~
{
[
]
[
1
ei ( x + ∆x ) F * ( x + ∆x) + F * (b − x − ∆x) − ei ( x − ∆x F * ( x − ∆x) + F * (b − x + ∆x)
2a
m
m
2n
x=
z, b =
a, ∆x =
πht
πht
b
]}
(12)
F (z ) - интеграл Френеля (4). Расчеты показывают, что в этом случае появятся те
же осцилляции амплитуды, что и в классическом случае.
Заключение.
9
На основании результатов статьи и предыдущих работ
4
можно утвер-
ждать, что наличие или отсутствие осцилляций квадратурных компонент сигнала (импульса) – амплитуды и мгновенной частоты, связано с существованием
узкополосных составляющих сигнала и интерференцией между ними. При этом
ситуация одинакова как для классической, так и для квантовой физики. Вопрос
о связи узкополосных составляющих сигнала и спектральных составляющих
Фурье-спектра продолжает оставаться интересным и требующим дальнейшего
исследования.
Литература.
1. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.:
Наука, 1967.-683 с.
2. Вербин Ю.П. Об оценке скорости распространения радиосигнала//РЭ.1995.- Т. 40, № 8, с. 1169 – 1176.
3. Вакман Д.Е. О быстрых осцилляциях параметров колебаний//РЭ.-1986, Т.
31, № 7, с. 1459-1462.
4. Зайко Ю.Н. История одного «артефакта»// Известия СГУ, сер. Физика,
2012, Т. 12, вып. 1, с. 3-12.
5. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Амплитуда, фаза, частота – основные понятия теории колебаний//УФН, 1977, Т. 123, Вып. 4, с. 657-682.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М. : Наука, 1974.-752 с.
4
См. библиографию в [4].