§1. Сфера и шар

§1. Сфера и шар
Определение. Сферай называется поверхность,
образованная при повороте полуокружности с центром О и
радиуса R = ОА около диаметральной прямой АВ.
А
Точка О называется
центром сферы. Любой отрезок,
А
соединяющий центр сферы с каком-либо точкой сферы,
называется радиусом сферы.
Сфера з центром
О О и радиуса R обозначается W(O, R).
О
F
В
В
Прамая АВ называется
осью, а точки А и В – полюсами
сферы.
Определение. Шаром з центром в точке О и радиуса R
называется множество всех точек пространства, находящихся
от точки О на растоянии, не превосходящем R. А
О
F
В
Сфера W(O, R) является границей шара с центром в точке О и
радиуса R .
Теорема 1.
Сечение сферы плоскостью есть окружность.
О1
О
Сечение шара плоскастью есть круг, а основание
перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости
сечения, есть центр круга, полученного в сечении.
Плоскость, проходящая через центр сферы ( шара ), называется
диаметральной плоскастью.
диаметральная
плоскость
большой
круг
О
большая
окружнасть
Сечение шара диометральной плоскастью называется большим
кругом, а сечение сферы – большой окружностью.
Касательной плоскостью к сфере называется плоскасць, имеющая
со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется
точкой касания плоскости и сферы.
О
А
Теорема 2
Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через
конец, лежащий на сфере, касаются сферы.
А
О
Теорема 3
Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу,
проведенному в точку касания.
А
О
Сферичным ( шаравым ) сегментом называется часть
сферы ( шара ), отсекаемая от него плоскастью
Высотой шаравага сегмента называется длиная отрезка
дияметра, перпендикулярного основанию шаравога
сегмента, размещеного между основанием и сферой,
которая ограничивает шар
О
О1
основание
сферичных
сегментов
Шаровым слоем называется часть шара, расположенного
между двюмя паралельными секущими плоскостями
Высотой шаравага слоя называется растояние между
плоскастями
основание
шарового
слоя
О2
О
О1
основание
шарового
слоя
Сферычным поясм называется часть сферы, которая
расположена между двюмя паралельными секущими
плоскостями
О
Определение. Шаровым сектором называется тело,
полученное вращением кругового сектара ОАВ с углом ,
меншим за 90˚, вокруг прямой, которая совмещает один с
радиусав, которые ограничивают круговой сектор
А
О1
О
В
Высота шарового сектара называется высота части его
сферичной паверхности
Многогранник ( например, пирамида, призма ) называется
вписанным у сферу, если все его вершины лежат на сфере
F
В1
А1
В
В
А
С1
С
А
С
При этом сфера называется описанной около многогранника
( пирамиды, призмы)
F
В1
А1
О
О
В
А
С1
С
А
В
С
Центр О сферы W(O,R), описанной около многогранника,
расположен на растоянии, равном радиусу R сферы от кождой
вершины многогранника
Многогранник ( например, пирамида, призма ) называется
описанным сферы, если сфера (шар) касается всех граней
многогранника ( пирамиды, призмы )
F
В1
А1
В
В
А
С1
С
А
С
При этом сфера называется вписанной в многогранник
Глава 3. Задачи к § 1. Проверим домашнее задание
Задача 15. Через точку А, лежащую на сфере, радиус которой 10 см,
проведена плоскость.
Угол между этой плоскостью и радиусом, проведенным в точку А, равен 60˚.
Вычислите длину линии пересечения сферы с плоскостью.
C  2  O1 A
О1
60˚
О
10 см
А
O1 A  5 см
C  10 см
C  2R
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 14. Сфера радиуcом 4 см соприкасается с плоскостью.
Точка А лежит в этой плоскости на расстоянии 5 см от центра шара.
Вычислите расстояние от этой точки к точке касания.
О
4 см
О1
O1 A  3см
5 см
А
Мало знать,
надо и применять.
Мало хотеть,
надо и делать.
И. Гёте
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 13. Шар радиусом 10 см пересечен плоскостью, которая
расположена на расстоянии 8 см от центра.
Вычислите площадь сечения шара пересеченного плоскостью.
S ñå÷.    O1 K
O1K  OK  OO
2
О1
K
8 см
10 см
О
2
2
1
2
 
S ñå÷.  36 ñì
2
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 16. Расстояние от центра сферы радиусом 12 см к секущей
плоскости равной 8 см.
Вычислите высоту равностороннего треугольника, вписанного в
сечение сферы.
aR 3
h 
3R
2
3  O1 A
h
2
О
8
12 см
О1
h  6 5см
А
h
a 3
2
a 3
R
3
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 17. Радиус сферы равен 2 см. На расстоянии 3 см от ее
центра проведена плоскость. Вычислите длину стороны квадрата,
вписанного в сечение сферы плоскостью.
d
a
2
В
С
О1
2
a
 2 см 
2
1 см
А
3
K
2 см
О
А
В
2 см
К
С
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 18. Вершина равностороннего треугольника с стороной 6 см
лежат на сфере радиусом 10 см. Вычислите расстояние от центра сферы к
плоскости, в которой лежит треугольник.
R2 3
В
6 см
С
О1
x  100  12
О
х
10 см
x  2 22 см
А
a 3
R
3
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 19. Сфера радиусом 13 см пересечена плоскостью, которая
находится на расстоянии 5 см от центра сферы. Вычислите объём
пирамиды, вершиной которой является центр сферы, а основание есть
квадрат, вписанный в сечение.
1
V  S îñí .  H
3
В
С
О1
S îñí .  288 ñì
12 см
А
K
5
V  480 см3
13 см
О
А
В
24 см
Sîñí .  0,5d
2
2К
С
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 20. Сфера радиусом 10 см пересечена плоскостью, а в
полученное сечение вписан прямоугольный треугольник, длины катетов
которого равны 6 см и 8 см. Вычислите объём пирамиды, основанием
которой является данный треугольник, а вершина совпадает с центром
сферы.
1
V  S îñí .  H
3
S îñí .  24 ñì
О
В
10
5
В
О1
А
OO1  5 3 см
2
С
5
О1
6
5
А
8
С
V  40 3 см3
Глава 3. Задачи к § 1.
Задача 24. Плоскость, перпендикулярная диаметру сферы, делит его
на отрезки 4 см и 16 см. Вычислите длину линии пересечения сферы и
плоскости
С  2R
AO1  8см
С  16
16 см
О
6
О1
4 см
10 см
А
Задачи цэнтрализованного тэстирования
Задача . В треугольной пирамиде SABC рёбра ВС = 6 см, АВ = 4 и
SВ = 12. Если эти рёбра взаимно перпендикулярны, то радиус шара,
описанного около пирамиды, равен
1) 3,5
2) 2 3
3) 3 2
4) 6 2
5) 7
S
12
В
4
А
6
О1
C
Крупное
математическое
открытие дает решение
крупной проблемы, но и
в решении любой задачи
присутствует
крупица
открытия.
Д. Пойа.