просмотрите примеры решения задач

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.
Какой импульс получит атом водорода при излучении кванта света с
длиной волны равной 401 нм?
Дано:
= 4,01· 107 м;
h / c
34
h= 6,62∙10 Дж.с;
р
Найти: р.
Решение
В процессе излучения фотона, систему «атом-квант света» можно
считать изолированной и применять для нее законы сохранения энергии и
импульса. По закону сохранения импульса атом получит импульс отдачи, по
величине равный импульсу излученного кванта.
По закону сохранения энергии
h = Em En.
Умножив эквивалентную массу фотона
m*=(Em En)/c2
на скорость его движения с, получим выражение для импульса фотона
p* = m*c = (Em En)/c.
По условию задачи известна длина волны излучения атома, поэтому выразим
энергию фотона через длину волны:
(Em En) = h = hc/.
Окончательно будем иметь:
p  p* 
Проверим равенство размерностей:
hc h
 .
c 
[р] = (Дж·с)/м = (Н·м·с)/м = (кг·м·с)/с2 = кг·м/с,
что соответствует определению импульса как произведения массы частицы
вещества на скорость ее движения.
Выполним расчет и получим величину импульса отдачи атома.
6,62 10 34 6,62
р=

10  24  1,65 10  24 .
7
4,01
4,01 10
Ответ: 1,65∙10-24 кг.м/с.
Примечание. В тех случаях, когда известны номера орбит, между
которыми совершается переход электрона при одновременном излучении
фотона, для определения энергии фотона следует использовать соотношение
me .e 4 1
1
Em  En  2 2 ( 2  2 ) .
8 0 h m
n
Пример 2.
Электрон имеет кинетическую энергию равную 0,5 МэВ. Какую
относительную ошибку Вы сделаете, если рассчитаете для него длину волны
Дебройля по формуле с классическим выражением для импульса?
Анализ ситуации
Относительная ошибка
  ´, где ´ величина длины
волны Дебройля, определенная по классической формуле для импульса
частицы, а   точное значение, полученное с учетом релятивистского
увеличения массы частицы. Чтобы можно было рассчитывать импульс по
классической формуле, кинетическая энергия частицы должна быть меньше
энергии массы неподвижной частицы Е0 = m0с2. Значение кинетической
энергии, равное 5105 эВ, может быть получено после прохождения
электроном разности потенциалов 5105 В.
Решение
Энергия массы покоя для электрона равна Е0 = 0,511 МэВ, значит в
данном случае кинетическая энергия его немного меньше Е0, и можно
использовать классическую формулу. Чтобы узнать относительную величину
ошибки, которую мы при этом сделаем, необходимо также рассчитать точное
значение .
а) Расчет в приближении нерелятивистской частицы
Длина волны Дебройля определяется соотношением (7), где импульс p
следует выразить через заданное в условии задачи значение кинетической
энергии электрона.
В классической механике величина импульса определяется выражением p
= mV, кинетическая энергия равна
mV 2 p 2
T

.
2
2m
Отсюда можно получить для импульса:
p  2mT .
В классическом случае волна Дебройля будет определяться
звисимостью
h
h
  
.
p
2Tm0
Примечание. Если заряженная частица прошла (без начальной скорости)
разность потенциалов U в электростатическом поле, то её кинетическая
энергия будет равна
Т = еU,
где е - заряд частицы.
б) Расчет по точной формуле
Связь импульса и полной энергии релятивистской частицы выражает
формула (9). Преобразуем её, чтобы получить выражение для импульса.
E 2  E02  ( pc) 2

p
E 2  E02
c
.
Длину волны Дебройля найдем по формуле
hc
.

2
2
E  E0
Теперь определим величину относительной ошибки приближенного расчета.
hc
h
;
 

2
2
2Tm
E  E0
0

1 E 2  E02
1
.

c 2Tm0
С учетом зависимости E = E0 + T получим:

1 (T  m0c 2 )2  (m0c 2 )2
1 T  2m0c 2
1
1
.

c
2Tm0
c
2m0
При значениях кинетической энергии электрона меньших 0,5 МэВ
величина относительной ошибки будет уменьшаться. Наоборот, при
возрастании энергии, величина допускаемой ошибки увеличивается.
Для проверки размерностей достаточно внести скорость света под знак
корня. Тогда и в знаменателе и в числителе будут стоять размерности
энергии Дж. В результате в правой части будет безразмерная величина, что
соответствует левой части выражения для относительной ошибки.
Выполним расчет, учитывая, что 1 МэВ = 1,6 1013 Дж.

1
(0,5  2  0,511)1,6  10 13
 1
 1  0,96  0,04 .

3  108
2  0,911  10 30
Ответ: 4 %.
Пример 3.
Две звезды одинаковых размеров отличаются по спектрам теплового
излучения. В спектре одной из них максимум светимости приходится на
длину волны 560 нм, в спектре другой – на 420 нм. Во сколько раз
температура фотосферы одной звезды превосходит температуру излучающей
поверхности другой? Во сколько раз различаются их светимости?
Дано:
1= 420109 м;
2= 560109 м;
Найти: Т1/Т2=? L1/L2=?
Решение
Температуру излучающей поверхности звезды Т можно определить из
закона смещения Вина:
m T = b, b=2,9·10–3 мК,
где m – положение максимума спектра на шкале длин волн.
Т1 = b /m1; Т2 = b /m2 .
Отношение температур будет равно:
(Т1 / Т2)= (m2 /m1) = 560 нм / 420 нм = 1,33 .
Светимость звезды рассчитывают по формуле
L=4 r2 T 4.
Отношение светимостей будет равно:
(L1 / L2) = (Т1 / Т2)4= 1,334=3,16.
Ответ: различие температур в 1,33 раза, светимостей в 3,16 раза.
Пример 4.
Используя формулу эффекта Доплера для электромагнитных излучений,
получите выражение для оценки относительного изменения частот линий в
спектрах излучения удаляющегося источника.
Решение
Разность частот линий излучения от неподвижного источника и от
движущегося со скоростью V равна   0, где величина  определяется
по формуле
  0  (V/c) +1/2(V/c)2 .
Относительное изменение (смещение) частоты линии излучения равно
 /0 = (0 ) /0 = 1  /0 , или
 /0 = 1   (V/c) +1/2(V/c)2 .
Для удаляющегося источника в скобках необходимо выбрать знак минус.
Раскрыв скобки, получим:
 /0 = (V/c) – 1/2(V/c)2.
Как видно из полученного выражения, относительное смещение не
зависит от частоты линии излучения, поэтому все линии спектра смещаются
согласованно.
Ответ:
 /0 = (V/c) – 1/2(V/c)2.
Пример 5.
Ближайшая к Солнцу звезда расположена в нашей Галактике на
расстоянии около 4 световых лет. В какой мере может влиять
космологическое расширение Вселенной на взаимное движение звезд?
Дано:
R = 4 св. г.
Н = 100 км/( с·Мпс)
Найти: V = ?
Решение
Для ответа на поставленный вопрос сравним величины орбитального
движения Солнца в нашей галактике с величиной скорости разбегания двух
соседних звезд. Величина орбитальной скорости Солнца равна примерно
300 км/с. По закону Хаббла скорость разбегания V связана с расстоянием
между объектами Вселенной:
V = H r.
Величину постоянной Хаббла обычно выражают в км/( с·Мпс), поэтому
следует выразить расстояние между звездами не в световых годах, а в
мегапарсеках.
1 Мпс = 3,26 106 св. лет  1 св. год = 3,07 107 Мпс.
Найдем скорость взаимного удаления звезд:
V = 10043,07107 =1,23104
Проверим размерность:
км·(с·Мпс)–1·Мпс = км/с.
Как видно из результатов расчетов, скорость разбегания звезд в
Галактике на много порядков величины меньше величины орбитальных
скоростей звезд. Поэтому можно пренебрегать эффектом космологического
расширения при рассмотрении движения звезд в галактиках.
Ответ: V = 0,12 мм/с. Взаимным разбеганием звезд в галактике можно
пренебречь.