Рабочая программа - Чувашский государственный университет

Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»
Технический институт
Факультет дизайна и компьютерных технологий
Кафедра компьютерных технологий
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
проф. ____________ А.Ю. Александров
«____» ___________________ 2010 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина ЕН.Ф.01.04 – МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ
АЛГОРИТМОВ
Направление 654600 – Информатика и вычислительная техника
Специальность 230102 – Автоматизированные системы обработки
информации и управления
БЮДЖЕТ ВРЕМЕНИ (ЧАС.)
Срок
обучения
Сем
4,5 г.об.
6 лет
3,5 г.об.
5 лет
3
3
3
3
Всего
100
100
100
100
Всего
ауд
18
18
51
68
Аудиторные занятия
Лек
Прак
10
10
34
34
8
8
17
34
Лаб
Сам.
раб.
-
82
82
49
32
Контр.
раб.
+
+
Расч.гр. раб.
Итоговый контроль
Зач.
Экз.
Курс. пр
(раб)
+
+
Курс.раб.
+
Курс.раб.
+
+
Рабочая программа составлена в соответствии с государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования направления подготовки дипломированного
специалиста 654600 – Информатика и вычислительная техника, специальности 230102 –
Автоматизированные системы обработки информации и управления, утвержденным 27 марта
2000г. (Регистрационный номер 224 тех/дс).
Составитель: ст.пр. кафедры КТ
Н.А. Кузнецова
Рабочая программа обсуждена, одобрена и рекомендована к использованию на заседании
кафедры компьютерных технологий, «___» ___________ 2010 г., протокол №___
Зав. кафедрой компьютерных технологий,
профессор
В.П. Желтов
Рассмотрена и одобрена методическим советом ФДиКТ
Декан, председатель методсовета факультета ДиКТ
Чебоксары 2010
В.П. Желтов
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью преподавания дисциплины является изучение теоретических и
алгоритмических основ базовых разделов математической логики и теории
алгоритмов.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- получить знания об основах логики высказываний, логики предикатов, нечеткой
логики и теории алгоритмов;
- знать и уметь использовать теоретические основы и прикладные средства
математической логики и теории алгоритмов;
- знать основные методы и алгоритмы математической логики, связанные с
моделированием и оптимизацией систем различной природы;
- иметь представление о тенденциях и перспективах развития инструментальных
средств математической логики и теории алгоритмов;
- уметь строить и анализировать алгоритмы для решения дискретных задач
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Содержание дисциплины по государственному образовательному стандарту.
Логика высказываний; логика предикатов; исчисления; непротиворечивость;
полнота; синтаксис и семантика языка логики предикатов. Клаузальная форма. Метод
резолюций в логике предикатов. Принцип логического программирования. Темпоральные
логики; нечеткая и модальные логики; нечеткая арифметика; алгоритмическая логика Ч.
Хоара. Логика высказываний. Логическое следование, принцип дедукции. Метод
резолюций. Аксиоматические системы, формальный вывод. Метатеория формальных
систем. Понятие алгоритмической системы. Рекурсивные функции. Формализация
понятия алгоритма; Машина Тьюринга. Тезис Черча; Алгоритмически неразрешимые
проблемы. Меры сложности алгоритмов. Легко и трудноразрешимые задачи. Классы
задач P и NP. NP – полные задачи. Понятие сложности вычислений; эффективные
алгоритмы. Основы нечеткой логики. Элементы алгоритмической логики.
Введение.
Организация учебного процесса. Рекомендуемая литература. Цели и задачи курса,
связь с другими дисциплинами.
1. Логика высказываний
1.1. Высказывания и логические операции над ними
Логика, ее задачи. Высказывание и его логическое значение. Логические
операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция,
импликация, эквивалентность и их таблицы истинности.
1.2. Формулы логики высказываний и их классификация
Пропозициональные переменные. Индуктивное определение формулы логики
высказываний. Подформулы. Составное высказывание и его логическое
значение. Классификация формул логики высказываний: выполнимые и
опровержимые формулы, тавтологии и противоречия.
1.3. Общезначимые формулы
Основные общезначимые формулы. Проверка общезначимости. Тавтологии,
выражающие свойства логических операций. Правила получения тавтологий:
заключения и подстановки.
1.4. Логическое следование формул (отношение логического следования
формул)
Логическое следование формул логики высказываний, проверка его
выполнения с помощью таблицы истинности. Признак логического следствия.
1.5. Равносильность формул (отношение равносильности)
Равносильные формулы, проверка равносильности двух формул с помощью
таблицы истинности. Признак равносильности формул. Основные
равносильности логики высказываний. Лемма о равносильной замене.
Равносильные преобразования формул.
1.6. Нормальные формы для формул алгебры высказываний
Конъюнктивные
и
дизъюнктивные
одночлены,
дизъюнктивные
и
конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы и
алгоритмы их нахождения. Теорема о единственности совершенных
нормальных форм.
1.7. Формализованное исчисление высказываний
Формальные теории. Построение формализованного исчисления высказываний:
алфавит, формулы, аксиомы, правила вывода. Вывод формулы из гипотез.
Теоремы.
1.8. Теорема о дедукции
Теорема о дедукции и следствия из нее. Применение теоремы о дедукции.
1.9. Полнота, непротиворечивость и разрешимость исчисления
высказываний
Полнота, непротиворечивость и разрешимость аксиоматических теорий.
Полнота формализованного исчисления высказываний. Теорема об
общезначимости всех доказуемых формул в исчислении высказываний.
Теорема о доказуемости всех тавтологий в логике высказываний. Теорема о
полноте исчисления высказываний. Непротиворечивость исчисления
высказываний, теорема о непротиворечивости. Разрешимость исчисления
высказываний, теорема о разрешимости.
2. Логика предикатов
2.1. Предикаты
Предикаты и предметы. Множество истинности предиката. Классификация
предикатов: тожественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и
опровержимые. Равносильность предикатов. Следствие предиката. Теоремы о
равносильности, следствии предикатов.
2.2. Логические и кванторные операции над предикатами
Логические операции над предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция,
импликация и эквивалентность и теоремы о множествах истинности
полученных предикатов. Кванторные операции: квантор всеобщности и квантор
существования.
Эквивалентность
экзистенциального
высказывания
дизъюнкции, универсального – конъюнкции высказываний. Свободные и
связанные вхождения переменных.
2.3. Формулы логики предикатов и их классификация
Предметные и предикатные переменные. Индуктивное определение формулы
логики предикатов. Атомарные и составные формулы, подформулы.
Классификация формул: выполнимые, опровержимые, тождественно истинные
и тождественно ложные. Основные тавтологии логики предикатов.
2.4. Равносильность и логическое следование формул логики предикатов
Равносильные формулы. Приведенная и предваренная формы для формул
логики предикатов. Теоремы о их существовании для каждой формулы логики
предикатов. Логическое следствие формулы.
2.5. Формализованное исчисление предикатов
Формализованное исчисление высказываний: алфавит, формулы, система
аксиом, правила вывода. Формулы, выводимые из гипотез, теоремы. Теорема о
дедукции. Теоремы о непротиворечивости, полноте и неразрешимости
исчисления предикатов.
3. Варианты логики и логическое программирование
3.1. Классическая логика и клаузальная логика
Классическая логика. Клаузальная форма записи. Преобразование предложений
из стандартной формы в клаузальную.
3.2. Логическое программирование. Клаузы Хорна и метод резолюций
Логическое программирование. Клауза Хорна. Правило резолюций. Сущность
метода резолюций.
3.3. Язык логического программирования Пролог
Основные синтаксические конструкции языка: атомы, переменные, термы,
список, предложения. Разделы программы на языке Пролог. Описание
предикатов и целевого утверждения, запись фактов и правил логического
вывода. Процедурная интерпретация клауз Хорна.
3.4. Модальная логика
Модальности, модальные операторы. Основные законы модальной логики.
Варианты модальной логики.
3.5. Нечеткая логика
Четкие и нечеткие множества. Операции над нечеткими множествами. Нечеткая
логика.
3.6. Темпоральная логика
Моменты времени, точечные события, аксиомы, правила вывода. Описание
ситуаций.
4. Алгоритмы и вычислимость
4.1. Задачи и алгоритмы
Массовая проблема и индивидуальная задача. Неформальное определение
алгоритма. Свойства алгоритма. Различные подходы к формализации понятия
алгоритма.
4.2. Машина Тьюринга
Неформальное описание машины Тьюринга. Внешний алфавит, алфавит
состояний, функциональная схема, принцип работы. Вычислимые по Тьюрингу
функции, основная гипотеза теории алгоритмов.
4.3. Рекурсивные функции
Описание класса рекурсивных функций: базисные функции (нуль-функция,
функция следования и функция-проектор), операторы суперпозиции,
примитивной рекурсии и минимизации. Примитивно-рекурсивные и частичнорекурсивные функции. Тезис Черча.
4.4. Нормальные алгоритмы Маркова
Алфавит, слова, простые и заключительные формулы. Подстановки и
нормальные алгоритмы Маркова. Нормально вычислимые функции, принцип
нормализации Маркова. Совпадение классов частично рекурсивных,
нормально вычислимых и вычислимых по Тьюрингу функций.
4.5. Алгоритмически неразрешимые проблемы
Алгоритмически неразрешимые проблемы. Нумерация алгоритмов, машин
Тьюринга. Проблемы распознавания самоприменимости и применимости.
Проблема остановки. 10-я проблема Гильберта. Проблема определения
общерекурсивности алгоритма. Проблема эквивалентности алгоритмов.
5. Анализ алгоритмов
5.1. Сравнительные оценки алгоритмов
Временная и емкостная сложность. Трудоемкость алгоритма, функции оценки
трудоемкости алгоритма: лучший, худший и средний случай.
5.2. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
Классификация алгоритмов по виду функции трудоемкости: количественнозависимые
по
трудоемкости
алгоритмы,
параметрически-зависимые,
количественно-параметрические, порядково-зависимые.
5.3. Трудоемкость основных алгоритмических конструкций
Элементарные
операции.
Трудоемкость
основных
алгоритмических
конструкций: следования, ветвления и цикла.
5.4. Переход к временным оценкам
Методики перехода к временным оценкам: пооперационный анализ, метод
Гиббсона, метод прямого определения среднего времени.
5.5. Сложностные классы задач
Теоретический предел трудоемкости задачи. Сложностные классы задач: класс
P (задачи с полиномиальной сложностью), класс NP (полиномиально
проверяемые задачи), класс NPC (NP – полные задачи).
5.6. Построение эффективных алгоритмов. Метод декомпозиции
Метод декомпозиции.
3. ТЕМЫ ЛЕКЦИЙ
№ Темы лекций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
11
12
13
Введение в дисциплину.
Логика высказываний. Высказывания и логические
операции над ними. Формулы логики высказываний
и их классификация.
Общезначимые формулы. Логическое следование
формул.
Равносильность формул. Нормальные формы для
формул алгебры высказываний.
Формализованное
исчисление
высказываний.
Теорема о дедукции. Полнота, непротиворечивость и
разрешимость исчисления высказываний.
Логика предикатов. Предикаты. Логические и
кванторные операции над предикатами.
Формулы логики предикатов и их классификация.
Равносильность и логическое следование формул
логики предикатов.
Формализованное исчисление предикатов.
Варианты
логики
и
логическое
программирование.
Классическая
логика
и
клаузальная логика.
Логическое программирование. Клаузы Хорна и
метод
резолюций.
Язык
логического
программирования Пролог
Модальная, нечеткая и темпоральная логики.
Алгоритмы и вычислимость. Задачи и алгоритмы.
Машина Тьюринга.
Рекурсивные функции.
Нормальные алгоритмы Маркова. Алгоритмически
неразрешимые проблемы.
5 лет,
дн.
3.5
года,
дн.
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4
4
6 лет,
заочн
.
4,5
года,
заочн.
3
3
2
2
1
1
2
2
14 Анализ алгоритмов. Сравнительные оценки
.
алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду
функции трудоёмкости.
15 Трудоемкость
основных
алгоритмических
.
конструкций. Переход к временным оценкам.
16 Сложностные
классы
задач.
Построение
.
эффективных алгоритмов. Метод декомпозиции.
4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
№ Темы практических работ
1.
2.
3.
5.
Определение значения истинности высказываний.
Построение составных высказываний.
Составление таблиц истинности для формул.
Равносильные
преобразования
высказываний.
Отыскание нормальных форм.
формул
логики
Упрощение систем высказываний. Правильные и
неправильные рассуждения. Логические задачи.
7. Доказательство теорем. Применение теоремы о
дедукции.
8. Записи на языке логики предикатов. Множества
истинности предикатов.
9. Равносильные
преобразования
формул
логики
предикатов. Логическое следование формул логики
предикатов.
10 Правильные и неправильные рассуждения в логике
.
предикатов.
6.
11 Метод резолюций в логике предикатов.
12 Построение выводов из аксиом и гипотез. Теорема о
дедукции.
13 Применение машин Тьюрига к словам.
14 Конструирование машин Тьюринга. Вычислимые по
Тьюрингу функции.
15 Рекурсивные функции.
16 Применение нормальных алгоритмов
Нормально вычислимые функции.
17 Оценка сложности алгоритмов.
к
словам.
4
4
2
2
2
2
5 лет
3.5
года
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
6 лет
4,5
года
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Основное учебного пособие:
Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. М.: Изд-во «Академия», 2006. – 304 с.
6. ТЕМЫ И ПРИМЕРНЫЕ ПЛАНЫ КУРСОВЫХ РАБОТ
Тема 1. Логическая игра
В курсовой работе предлагается осветить символический и графический методы
решения логических задач. Рекомендуется следующий план работы.
1. Рассмотреть основные понятия алгебры высказываний и логики предикатов (/1/,
с.10-35, 122-134).
2. Изучить приложение алгебры высказываний и логики предикатов к логикоматематической практике (/1/, с. 64-88, 195-221).
3. Изучить кванторные операции над предикатами (/1/, с. 157-165).
4. Рассмотреть решение "логических" задач на языке символов (/3/, с.60-65).
5 Разобрать графический способ решения задач подобного рода (/2/, с.9-56).
Разобрать решения всех задач из цитированных выше разделов указанных
литературных источников и решить задачи 3.58-3.61 из книги /3/. Выполнить 5 заданий из
упражнений 1-91 на с. 57-60 книги /2/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. – М.: Изд-во
«Академия», 2004. – 448 с.
2. Кэрролл Л. Логическая игра: Пер. с англ. Ю.А. Данилова. - М.: Наука, 1991. (М.:
"Квант"; Вып. 73).
3. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике: Учеб. пособие для
студентов-заочников физ.-мат. фак-в пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1986.
4. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории
алгоритмов. - М.: Изд-во «Академия», 2006. – 304 с.
Тема 2. Неразрешимость логики первого порядка
Одним из принципиально важных результатов математической логики является
доказательство неразрешимости в логике первого порядка проблем распознавания как
общезначимости, так и выполнимости ее предложений. В курсовой работе необходимо
изучить доказательства неразрешимости логики первого порядка. Рекомендуется
следующий план работы.
1.
Изучить основные понятия логики первого порядка (/1/, с. 130-151).
2. Рассмотреть понятие машины Тьюринга и доказать неразрешимость проблемы
остановки (/1/, с. 36-54).
3. Вывести неразрешимость логики первого порядка из неразрешимости проблемы
остановки (/1/, с. 152-160).
4. Разобрать доказательство неразрешимости логики первого порядка методом Геделя
(/1/, с. 160-166).
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
Решить задачи 3.6, 3.10 из упражнения на стр. 46-48 и задачи 10.1, 10.3 из упражнения
на стр. 164-165 в книге /1/.
Тема 3. Нестандартные модели арифметики
В любой математической теории принципиально важным является вопрос о
существовании и единственности модели формализации этой теории. В курсовой работе
необходимо проанализировать этот вопрос для элементарной теории арифметики.
Рекомендуется следующий план работы.
1. Рассмотреть язык логики узкого исчисления предикатов арифметики и его
стандартную интерпретацию в алгебре натуральных чисел(/1/, с. 131-151; /2/, с.
115-131).
2. Доказать теорему о существовании нестандартных моделей элементарной теории
арифметики (/1/, с. 252-260).
3. Изучить метод построения моделей элементарной теории арифметики с помощью
принципов нестандартного анализа (/1/, с. 25-32; /3/, с. 57-79).
Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи
17.1, 17.2 в /1/, а также задачи 1-3 на стр.131 в книге /2/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1971.
Тема 4. Метод диагонализации в математической логике
В математической логике, теории множеств и других разделах математики широко
применяется метод диагонализации, в основе которого лежит возможность построения
антидиагонального счетного множества для любой последовательности счетных
множеств. В курсовой работе необходимо изучить метод диагонализации и с его помощью
построить примеры невычислимых функций. Рекомендуется следующий план работы.
1. Рассмотреть понятие счетного множества и изучить метод диагонализации (/1/, с.
12-30).
2. Рассмотреть понятие машины Тьюринга и методом диагонализации построить
пример невычислимой функции (/1/, с. 36-45, 66-74).
3. Рассмотреть проблему остановки машины Тьюринга и с помощью тезиса Черча
доказать ее неразрешимость (/1/, с. 47-48, 74-76).
4. Рассмотреть понятие диагонализации выражения и доказать лемму о
диагонализации и теорему Черча о неразрешимости (/1/, с. 228-235).
Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов /1/ и решить задачи 3.9,
3.10 из упражнения на стр. 45-48 и задачи 5.1-5.4 из упражнения на стр. 76-77 в книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
Тема 5. Машины Тьюринга и невычислимые функции
Машина Тьюринга и вычислимость являются фундаментальными понятиями
математической логики. В курсовой работе необходимо изучить основные свойства
машины Тьюринга и с ее помощью построить невычислимую функцию. Рекомендуется
следующий план работы.
1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как машина
Тьюринга, вычислимая функция и тезис Черча (/1/, с. 36-54; /2/, с.228-229, 249-255).
2. Рассмотреть понятие продуктивности машины Тьюринга и доказать ее основные
свойства (/1/, с. 46, 55-60; /2/, с. 12-25).
3. Доказать невычислимость функции продуктивность машины Тьюринга (/1/, с. 6064).
4. Рассмотреть проблему остановки машины Тьюринга и доказать ее неразрешимость
(/1/, с. 47-48, 53-54, 64-65).
Разобрать решения всех примеров из литературных источников /1/,/2/ и решить задачи
3.1-3.10 из упражнения на стр. 45-48 в книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1971.
Тема 6. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции
Рекурсивная функция и вычислимость являются фундаментальными понятиями
математической логики. В курсовой работе необходимо изучить вычислимость на абаке,
вычислимость машиной Тьюринга и доказать их эквивалентность понятию рекурсивной
функции. Рекомендуется следующий план работы.
1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как машина
Тьюринга, рекурсивная функция и тезис Черча (/1/, с. 36-54).
2. Рассмотреть понятие «обычного» компьютера, введенное Иоахимом Ламбеком и
названное им абаком, доказать, что вычислимость функции абаком сводится к
вычислимости ее машиной Тьюринга (/1/, с. 78-95).
3. Доказать, что рекурсивные функции вычислимы на абаках (/1/, с. 100122).
4. Доказать, что вычислимые функции рекурсивны (/1/, с. 100-122).
Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи
6.1-6.4 из упражнения на стр. 96 в книге /1/.
Тема 7. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты
математической логики
Главными отрицательными результатами математической логики являются теорема
Черча о неразрешимости логики, теорема Тарского о неопределимости истинности и
первая теорема Геделя о неполноте систем арифметики. В курсовой работе необходимо
изучить доказательства этих теорем с помощью представления рекурсивных функций в
специальном расширении арифметики. Рекомендуется следующий план работы.
1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как язык
арифметики и рекурсивная функция (/1/, с. 103-108, 141-145).
2. Рассмотреть понятие представимости функций в теории и доказать представимость
рекурсивных функций в специальном непротиворечивом расширении Q
арифметики (/1/, с. 212-226).
3. Рассмотреть понятие геделевой нумерации и доказать главные отрицательные
результаты математической логики (/1/, с. 228-240).
Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи
14.1-14.2 из упражнения на стр. 226-227 и задачи 15.1-15.4 из упражнения на стр. 240 в
книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
Тема 8. Разрешимость арифметики сложения
Проблема разрешимости теорий имеет принципиальное значение для элементарно
аксиоматизируемых математических теорий и, в частности, для арифметики. В курсовой
работе необходимо проанализировать эту проблему для арифметики с различными
основными операциями. Рекомендуется следующий план работы.
1.Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как геделева
нумерация и разрешимое множество (/1/, с. 228-233, /2/, с. 151152).
2.Доказать неразрешимость арифметики со сложением и умножением (/1/, с. 234-236).
3.Доказать разрешимость арифметики со сложением, без умножения (/1/, с. 290-299).
Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книг /1/,/2/ и решить
задачи 1-3 из упражнения на стр. 152 в книге /2/.
Тема 9. Логика второго порядка и определимость в арифметике
Логика второго порядка существенно отличается от логики первого порядка и
позволяет всесторонне исследовать такую фундаментальную проблему математической
логики, как определимость арифметической истины. В курсовой работе необходимо
изучить основные методы логики второго порядка и с их помощью проанализировать
понятие определимости в арифметике. Рекомендуется следующий план работы.
1. Изучить основные понятия логики второго порядка и проанализировать ее главные
отличия от логики первого порядка (/1/, с. 261273).
2. Рассмотреть понятие определимого в теории множества и исследовать проблему
определимости множеств предложений первого порядка, истинных в стандартной
модели арифметики (/1/, с. 273, 274-280).
3. Рассмотреть введенный П. Коэном метод вынуждения и доказать с его помощью
теорему Дж. Аддисона о неопределимости в арифметике класса множеств,
определимых в арифметике (/1/, с. 281-289).
Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи
18.1-18.4 из упражнения на стр. 272-273 и задачи 20.1-20.10 из упражнения на стр. 289 в
книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1.
Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
Тема 10. Метод ультрапроизведений в теории моделей
Метод ультрапроизведений является одним из основных методов теории моделей раздела математической логики, изучающего связи между формальным языком и его
интерпретациями в алгебраических системах, называемых моделями. Цель курсовой
работы - изучить основы метода ультрапроизведений. Рекомендуется следующий план
работы.
1. Изучить такие основополагающие понятия теории моделей, как язык узкого
исчисления предикатов (УИП) и его интерпретация в моделях, разобрать примеры
теорий (/1/, с. 13-61; /2/, с. 103-118).
2. Рассмотреть понятие фильтра над множеством и доказать основные свойства
фильтров (/1/, с. 194-197; /2/, с. 83-87).
3. Рассмотреть понятие фильтрованного произведения алгебраических систем и
доказать основную теорему об ультрапроизведениях (/1/, с. 197-203; /2/, с. 119-124).
4. Разобрать такие приложения основной теоремы об ультрапроизведениях,
как
теорема
компактности, характеризация элементарного класса алгебраических
систем и другие (/1/, с. 203-207; /2/, с. 124-125, 172-173).
5. 5 Рассмотреть приложения теоремы Силова и примеры силовских подгрупп (/1/, с.
336-338; /2/, с. 92-96).
Разобрать все примеры из указанных выше литературных источников и решить задачи
1.4.1, 1.4.2, 1.4.9, 1.4.16 на стр.62, 4.1.1-4.1.7, 4.1.12-4.1.14 на стр.207 в /1/, а также задачи
1-4 на стр. 125-126 в /2/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей. - М.: Мир, 1977.
2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. - М.: Наука, 1979.
Тема 11. Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики
Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики по праву считается одним из
наиболее замечательных достижений математической логики, поскольку в своей
семантической формулировке устанавливает невозможность доказательства любого
истинного утверждения этой формальной теории. В курсовой работе необходимо изучить
основы формальной арифметики и разобрать доказательство семантической
формулировки теоремы Геделя о ее неполноте. Рекомендуется следующий план работы.
1. Изучить постановку задачи о неполноте формальной арифметики (/1/,с. 7-11).
2. Рассмотреть начальные понятия теории алгоритмов и примеры их применения (/1/,
с. 12-21).
3. Доказать простейшие критерии неполноты (/1/, с. 21-25).
4. Изучить основы формальной арифметики и доказать семантическую формулировку
теоремы Геделя о ее неполноте (/1/, с. 25-42).
Разобрать примеры./1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. - М.: Наука, 1982.
2. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. – М.: Изд-во
«Академия», 2004. – 448 с.
Тема 12. Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории
Проблема разрешимости теорий имеет принципиальное значение для элементарно
аксиоматизируемых математических теорий. В курсовой работе необходимо изучить
методы доказательства разрешимости и неразрешимости теорий, проиллюстрировав их
применение на известных важных примерах. Рекомендуется следующий план работы.
1 Разобрать такие основополагающие понятия теории моделей, как язык узкого
исчисления предикатов (УИП) и его интерпретация в моделях, рассмотреть
известные конструкции над алгебраическими системами (/1/, с. 103-118; /2/, с. 12-25).
2 Изучить методы доказательства разрешимости и неразрешимости теорий (/2/, с.
265-275).
3 Рассмотреть известные примеры доказательства разрешимости и неразрешимости
аксиоматических теорий (/2/, с. 275-292; /3/).
Разобрать решения всех примеров из литературных источников /1/, /2/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1 Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. - М.: Наука,1979.
2 Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. -М.: Наука, 1980.
3 Рабин М.О. Разрешимые теории. В кн.: Справочная книга по математической логике,
ч.3. Теория рекурсии. - М.: Наука, 1982. - с. 77-111.
4 Ершов Ю.Л., Лавров И.А., Тайманов А.Д., Тайцлин М.А. Элементарные теории //
УМН, 1965, 20, № 4, с. 37-108.
5 Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. – М.: Изд-во «Академия»,
2004. – 448 с.
Тема 13. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения
Интерполяционная лемма Крейга дает положительное решение следующей важной
задачи логики узкого исчисления предикатов (УИП): если из предложения A следует
предложение C, то существует предложение B, которое следует из A, из которого следует
C и которое содержит лишь нелогические символы, входящие как в A, так и в C. В
курсовой работе необходимо изучить доказательство интерполяционной леммы Крейга и
рассмотреть ее приложения к задаче о непротиворечивости объединения теорий и к задаче
об определимости понятий теории. Рекомендуется следующий план работы.
1 Разобрать доказательство интерполяционной леммы Крейга (/1/, с.
308-318).
2 Доказать теорему Робинсона о непротиворечивости объединения теорий (/1/, с. 319322).
3 Доказать теорему Бета об определимости понятий теории (/1/, с. 25-32).
Выполнить упражнение на с. 327 в книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1 Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
Тема 14 Машины Тьюринга
1. Дать определение машины Тьюринга.
2. Рассмотреть применения машины Тьюринга к словам. Конструирование машин
Тьюринга. Вычислимые по Тьюрингу функции.
3. Разобрать примеры.
Литература, рекомендуемая для изучения темы
1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. – М.: Изд-во
«Академия», 2004. – 448 с.
2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории
алгоритмов. - М.: Изд-во «Академия», 2006. – 304 с.
Образец оформления титульного листа:
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»
Факультет дизайна и компьютерных технологий
Кафедра компьютерных технологий
Курсовая работа
по дисциплине
«Математическая логики и теория алгоритмов»
по теме: Логическая игра
Выполнил(а): студент(ка)
гр. ЗДиКТ25-08
Иванова И. И.
Проверил преподаватель:
Иванов И. И.
Чебоксары 2010
7. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Высказывания и логические операции над ними
2. Формулы логики высказываний и их классификация
3. Общезначимые формулы
4. Логическое следование
5. Равносильность формул
6. Нормальные формы для формул алгебры высказываний
7. Формализованное исчисление высказываний
8. Теорема о дедукции
9. Полнота, непротиворечивость и разрешимость исчисления высказываний
10. Предикаты и их классификация.
11. Логические и кванторные операции над предикатами
12. Формулы логики предикатов и их классификация
13. Равносильность и логическое следование формул логики предикатов
14. Формализованное исчисление предикатов
15. Классическая логика и клаузальная логика
16. Логическое программирование. Клаузы Хорна и метод резолюций
17. Язык логического программирования Пролог
18. Модальная логика
19. Нечеткая логика
20. Темпоральная логика
21. Задачи и алгоритмы. Свойства алгоритма.
22. Машина Тьюринга
23. Рекурсивные функции
24. Нормальные алгоритмы Маркова
25. Алгоритмически неразрешимые проблемы
26. Сравнительные оценки алгоритмов
27. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
28. Трудоемкость основных алгоритмических конструкций
29. Переход к временным оценкам
30. Сложностные классы задач
31. Построение эффективных алгоритмов. Метод декомпозиции
8. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ (РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКУЮ).
ЗАДАНИЕ: Решить задачи по темам из таблицы 1 согласно своему варианту. Номера
задач приведены из учебного пособия: Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической
логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для высш. учеб. заведений. – М.: Издательский
центр «Академия», 2006. – 304 с. В пособии следует изучить примеры решения задач,
аналогичных задачам из таблицы. Номером варианта считать номер фамилии в списке группы.
Решение задач оформить в тетради.
Табл. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1.6 е
1.6 з
1.6 и
1.8 ж
1.6 к
1.8 з
1.8 и
1.8 к
1.6 ж
1.10 ж
1.10 з
1.8 е
1.10 и
1.10 к
1.10 е
1.56 д
1.56 а
1. б6 б
1.56 г
1.56 в
1.58 а
1. 59 г
1. 58 в
1.58 д
1. 59 в
1. 58 б
1.59 д
1.59 б
1. 59 а
1.58 г
2.4 з
2.2 к
2.2 и
2.12 к
2.2 з
2.2 ж
2.4 е
2.2 е
2.4 к
2.2 г
2.2 д
2.2 в
2.3 а
2.3 д
2.12 з
2.11 и
2. 11 а
2. 11 б
2.2 а
2.2 в
2.2 е
2.4 а
2.4 б
2.11 е
2.12 ж
2.12 з
2.11 к
2.12 б
2.12 а
2.2 б
3.34
3.37
3.42
3.30
3.55
3.56
3.59
3.61
3.33
2.38
3.39
3.31
3.40
3.41
3.29
4.17 а
4.22 к
4.22 е
4.17 б
4.17 в
4.17 г
4.22 з
4.17 д
4.22 д
4.17 е
4.18 ж
4.22 и
4.18 е
4. 18 д
4.18 г
5.12 к
5.13 ж
5.12 б
5.12 и
5.12 з
5.12 ж
5.13 и
5.12 е
5.12 в
5.12 д
5.12 г
5.13 з
5.12 а
5.13 к
5.7 и
7.6 г
7.4 в
7.6 в
7.6 д
7.6 е
7.7 д
7.6 а
7.7 и
7.6 ж
7.6 з
7.6 и
7.6 б
7.6 к
7.4 ж
7.4 к
7.26 в
7.26 а
7.26 д
7.26 ж
7.8 а
7.26 и
7.26 б
7.26 з
7.26 е
7.26 к
7.8 б
7.26 г
7.8 в
7.8 г
7.8 д
9.70 г
9.71 а
9.71 в
9.71 б
9.71 в
9.71 б
9.71 а
9.70 в
9.71 б
9.70 г
9.71 а
9.71 б
9.71 в
9.70 г
9.71 а
10.4 а
10.4 б
10.4 в
10.4 г
10.3 к
10.3 и
10.4 д
10.3 е
10.4 е
10.3 ж
10.3 з
10.4 ж
10.4 э
10.4 и
10.2 г
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
1
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
вар.1
вар.2
вар.3
вар.4
вар.5
вар.6
вар.7
вар.8
вар.9
вар.10
вар.11
вар.12
вар.13
вар.14
вар.15
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
№ варианта
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
№ задания
12
13
14
12.2 ж
12.2 в
12.2 е
12.2 з
12.2 б
12.6 д
12.1 г
12.2 а
12.2 г
12.6 в
12.6 г
12.1 ж
12.1 з
12.1 в
12.1 е
14.12 з
14.12 и
14.12 к
14.12 ж
14.14 к
14.14 в
14.12 е
14.14 б
14.12 д
14.14 д
14.14 г
14.12 г
14.12 в
14.12 б
14.12 а
14.23 б
14.23 г
14.23 ж
14.23 в
14.24 а
14.24 в
14.23 д
14.24 б
14.23 а
14.24 д
14.24 г
14.23 к
14.23 з
14.23 и
14.23 е
10. ЛИТЕРАТУРА
Основная литература.
1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие для студ.
высш. учеб. заведений / В.И. Игошин. – 2-е изд., стер. - М.: Академия, 2008. – 448 с.
2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов:
Учеб. Пособие для вузов / В.И. Игошин. – М.: Академия, 2005. – 304с.
3. Анкудинов Г.И., Анкудинов И.Г., Петухов О.А. Математическая логика и теория
алгоритмов: Учеб. пособие.– 2-е изд. − СПб.: СЗТУ, 2003. - 104 c.
4. И.Братко. Программирование на языке ПРОЛОГ для искусственного интеллекта.М.:Мир,1990.
5. Гамова Н. Математическая логика и теория алгоритмов. Саратов; Изд-во СГУ, 1999.-76с.
6. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие. – Омск:
Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2003. – 108с.
7. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. Учебное пособие. - СПб.: Лань,
2004. -336 с.
8. Ковальский Р. Логика в решении проблем. - М.: Наука, 1990. - 280 с.
9. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. – М.:
КомКнига, 2006. 240 с.
10. Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгоритмов. М.: Наука, 1984.
11. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. 320с
12. Мощенский С.С. Лекции по математической логике. М.: Наука, 1970
13. Л.Стерлинг, Э.Шапиро. Искусство программирования на языке ПРОЛОГ. М.:Мир, 1990
14. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теория алгоритмов.
Учебник. М.: Инфра-М, 2004. -224 с.
15. Ульянов М.В., Шептунов М.В. Математическая логика и теория алгоритмов, часть 1:
Математическая логика. – М.: МГАПИ, 2003. – 47 с.
16. Ульянов М.В., Шептунов М.В. Математическая логика и теория алгоритмов, часть 2:
Теория алгоритмов. – М.: МГАПИ, 2003. – 80 с.
17. Эдельман С.Л. Математическая логика: Учебное пособие для институтов / С.Л.
Эдельман. – М.: Высшая школа, 1975. – 176с.
Дополнительная литература
1. Анкудинов Г.И., Золотов О.А., Петухов О.А.
Логическое программирование на
языке Prolog: Учеб.пособие. – СПб.: СЗТУ, 2001. – 172с.
2. Бердж В. Методы рекурсивного программирования. - М., Машиностроение,1983.
3. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. – М.: Мир,
1982. – 416с.
4. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. - М.: Мир, 1991. - 568 с.
5. Матросов В.Л. Теория алгоритмов. - М.: Прометей, 1989.
6. Минский М.Вычисления и автоматы. - М.: Мир, 1971.
7. Нильсон Н. Искусственный интеллект. Методы поиска решений. - М.: Мир, 1973. - 270 с.
8. Тей А. и др. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к
логическому программированию. - М.: Мир, 1990. - 432 с.
9. Уинстон П.Искусственный интеллект. - М.-:Мир, 1990.
10. Успенский В.А. Машина Поста. - М.: Наука, 1988.
11. Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987.
ТЕСТ
1. Квантор общности обозначается символом:
1)¬; 2)^; 3)  ; 4) 
2. Контрарными являются суждения:
1. совместимые по ложности, но несовместимые по истинности
2. несовместимы ни по истинности, ни по ложности
3. совместимые по истинности, но несовместимые по ложности
4. совместимы и по истинности, и по ложности
___
___
___
___
3. Формула A V B  B V A представляет собой закон:
1)идемпотентности
3)ассоциативности
2)коммутативности
4)тавтологии
4. Совершенные числа – это числа:
1) которые равны сумме своих делителей
2) все натуральные числа
3) простые числа
4) взятые по модулю
5. Основная проблема теории сложности алгоритмов это:
1) P = NP;
2)P < NP;
3)P > NP;
4)P <> NP
6. Теорема: «Невозможно эффективно распознать точки
вычислимой частичной арифметической функции» является теоремой
1)Поста; 2)Черча;
3)Тьюринга; 4)Маркова
неопределенности
7. Рекурсивная функция– это:
1) функция, значение которой в данной точке нельзя определить через ее
значения в предшествующих точках
2) функция, значение которой в данной точке можно определить через ее
значения в предшествующих точках
3) функция, значение которой в данной точке можно определить через ее
значения в последующих точках
4) невычислимая функция
8. Рациональные числа – это:
1) числа, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел: p/q,
где q не равно 0
2) числа, которые являются суммой сходящихся рядов
3) упорядоченная пара натуральных чисел (m,n)
4) числа, которые являются суммой расходящихся рядов
9. Постовское пространство символов – это:
1) конечная лента ячеек;
3)единичная ячейка;
2) бесконечная лента ячеек;
4)метод параллельного программирования
10. Парадигма для предоставления знаний с целью использования этих знаний
компьютером называется:
1) экспертной системой; 2)базой знаний; 3)фреймом; 4) генетическим алгоритмом
11. Структура для представления знаний в виде узлов, соединенных дугами,
называется:
1) экспертной системой; 2) базой знаний; 3) фреймом; 4) семантической сетью
12. Компьютерная программа, содержащие накопленные знания специалистов в
определенной предметной области, называется:
1) экспертной системой; 2) базой знаний; 3) фреймом; 4) генетическим алгоритмом
13. Объединение множеств обозначается символом:
1) +;
2)–; 3)\;
4)|
14. Какое из следующих равенств с множествами А и В является ложным:
1) A  B  B  A ; 2)(А  В)  С=А  (В  С); 3) Если A  B , то А  В= А; 4)А  Ø= А.
15. Какое из следующих равенств с множествами А и В является ложным:
1) A  B  B  A ; 2)(А  В)  С=А  (В  С); 3)Если A  B , то А  В= В; 4)А  Ø= Ø;
16. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N называется:
1) алгебраическим;
2)тригонометрическим; 3)несчетным;
4)счетным
17. Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначение АВ, читается: А или В)
называется высказывание:
1) истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А и В, и ложное, если
и А и В ложны
2) ложное в случае, если А истинно, а В ложно, и истинное в остальных случаях
3) истинное тогда, когда истинны оба высказывания А и В, и ложное в остальных
случаях
4) истинное тогда, когда оба высказывания А и В либо истинны, либо ложны, и
ложное если одно из высказываний А, В истинно, а другое ложно
18. Какое из следующих свойств логических операций является неверным:
1) (  А)  (А); 2) (  (АВ))  (АВ); 3)(  (АВ))  (АВ); 4) ((АВ)С) 
(А(ВС))
19. К базовым функциям не относится:
1)функция константа; 2)тождества; 3) следования; 4) суперпозиции
20. К числу элементарных операций не относят операцию:
1)константы; 2)суперпозиции; 3)рекурсии; 4)минимизации
f(3):
21.Пусть g(х)=Ci(х)=0; h(х;у;f (х; у)) = J3,2=y. Пользуясь схемой примитивной рекурсии найти
1)0; 2)1; 3)2; 4)5
22. Пусть g(x)=J1,1=x; h (х; у; f (х; у)) =  (J3,3) = f (x; у) + 1
Пользуясь схемой примитивной рекурсии найти f(3;6):
1)3;
2)6; 3)9; 4)12
23. Пусть
g(x) = I1,1 = x; h (х; у; f (х; у)) = -1 (J3,3) = f (x; у) – 1
Пользуясь схемой примитивной рекурсии найти f(6;3):
1)3;
2)6; 3)9; 4)12
24. Информационная ленты, считывающая и записывающая головка и управляющее
устройство – это состав машины:
1)Черча; 2)Маркова; 3)Паскаля; 4)Тьюринга
25.. Какое из следующих равенств с множествами А и В является ложным:
1) A  B  B  A ; 2) (А  В)  С=А  (В  С); 3) Если A  B , то А  В= А; 4)А  Ø= Ø
26. В искусственном интеллекте сложились две оппонирующие базовые парадигмы
моделирования мышления:
1. Репрезентативная и коннекционистская
2. Репрезентативная и лингвистическая
3. Коннекционистская и лингвистическая
4. Рекурсивная и лингвистическая
27. Неразрешимость проблемы разрешения
предложений логики предикатов установил:
1)Черч; 2) Марков; 3) Паскаль; 4) Тьюринг
для
множества
всех
истинных
28. Упорядоченная последовательность правил подстановки называется:
1)рекурсией;
2)протоколом; 3)детерминантом; 4)алфавитом
29. Функция следования обозначается:
1) Jn,m ;
2)  (x);
3) y; 4)R(g(n) ; h(n+2))
30. Оператор минимизации обозначается:
1) Jn,m ;
2)  (x);
3) y; 4)R(g(n) ; h(n+2))
№ вопроса
№ отв.
№ вопроса
№ отв.
1
4
16
4
2
1
17
1
3
2
18
1
4
1
19
4
5
1
20
1
6
2
21
3
7
2
22
3
8
1
23
1
9
2
24
3
10
3
25
3
11
4
26
1
12
1
27
1
13
1
28
2
14
1
29
2
15
2
30
3