1 Корневые многочлены Пусть K − поле и K − алгебраическое

Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
1
УДК 519.642.8
UDC 519.642.8
КОРНЕВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
ROOT POLYNOMIALS
Сергеев Александр Эдуардович
к.ф.-м.н, доцент
Sergeev Alexander Eduardovich
Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor
Сергеев Эдуард Александрович
к.ф.-м.н, доцент
Кубанский Государственный Университет,
Краснодар, Россия
Sergeev Eduard Alexandrovich
Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor
Kuban State University,
Krasodar, Russia
В статье получен явный вид корневых
многочленов для циклических многочленов
третьей степени над полями характеристики 2.
Приводится также обзор известных результатов по
корневым многочленам над произвольными
полями
The article obtained the explicit form of root
polynomials for cyclic polynomials of degree three
over fields of characteristic 2. We also give an
overview of known results on the root polynomials
over arbitrary fields
Ключевые слова: НОРМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН,
КОРНЕВОЙ МНОГОЧЛЕН, ЦИКЛИЧЕСКИЙ
МНОГОЧЛЕН
Keywords: NORMAL POLYNOMIAL, ROOT
POLYNOMIAL, CYCLIC POLYNOMIAL
Корневые многочлены
Пусть
− поле и
K
K
− алгебраическое замыкание
поля
K
.
Унитарный многочлен (многочлен со старшим коэффициентом, равным 1)
f (x)
из
K [x]
называется нормальным над
K
рациональным образом выражаются над
многочлена
f (x).
Пусть
f (x)
− нормальный многочлен над
, если все его корни
через любой корень
K
K
, т.е.
f ( x) = ( x − θ1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − θ n ),
где
θi ∈ K
и
θ i = g i (θ1 )
для всех
i = 1, 2, ... , n,
где
g i (x)
− многочлены из
K [x]
степени, меньшей n .
Многочлены
он неприводим в
K [x] ,
Заметим, что
S = {g1 = x, g 2 , ... , g n }.
g i (x)
однозначно определены многочленом
то их называют корневыми многочленами для
g1 ( x ) = x,
Если
f (x) .
f (x).
образуем множество корневых многочленов
Пусть степень
f (x),
равная
n,
будет больше двух и
K
−
формально вещественное поле. В этом случае H. Kleiman [3] доказал
следующие теоремы.
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
2
Теорема 1. Нормальный многочлен
n −1
f = x n + ∑ a ( n −1) − j x ( n −1) − j
фициентами в формально вещественном поле
множеством
T = {S , a n − 2 },
где
Кроме того, множество
S
K
однозначно определяется
− множество корневых многочленов для
многочлен, при условии что
n > 2.
Если множество
S
содержит корневой
многочлен степени два, то нормальный многочлен
Пусть
Φ n (x)
Φ n (x)
однозначно
f (x)
S.
− круговой многочлен порядка
степень многочлена
f (x).
содержит по крайней мере один нелинейный
S
определяется множеством
с коэф-
j =0
n, n > 6,
следовательно,
больше или равна 4.
Теорема 2. Каждый многочлен в классе круговых многочлен степени
≥4
однозначно определяется своими корневыми многочленами.
Теорема 3. Пусть
неприводимый над
K
− поле характеристики 0. Пусть
K
многочлен и все корни многочлена
линейными функциями от одного корня
многочлена
f (x)
α.
f ( x) ∈ K [ x]
f (x)
−
являются
Тогда поле разложения
есть циклическое расширение поля
K
и поле
K
содержит
первообразный корень n -ой степени из единицы.
H. Muthsam доказал следующее утверждение [4].
Теорема 4. Пусть
K
− формально вещественное поле,
неприводимый нормальный многочлен степени
которого линейно независимы над
многочленов для
f (x)
K.
n >1
из
Тогда множество
однозначно определяет
K [x],
S
f (x)
−
корни
корневых
f (x).
K. Girstmair [1] исследовал нормальные многочлены третьей степени
(т.е. циклические многочлены) над полями
K
характеристики неравной 2 и
3.
Пусть
f ( z ) = z 3 + a1 z 2 + a 2 z + a3
дискриминантом
D( f )
− циклический многочлен из
и корневыми многочленами:
w1 = z , w2 = ω 22 z 2 + ω 21 z + ω 20 , w3 = ω 32 z 2 + ω 31 z + ω 30 ,
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
K [x]
с
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
где
w2 , w3 ∈ K [ x], ω 22 ≠ 0, ω 32 ≠ 0 .
Теорема
Тогда справедлива теорема [3]:
Циклический
5.
3
кубический
многочлен
f ( z) ∈ K[ z]
однозначно определяется своими корневыми многочленами.
Если для простоты обозначим нетривиальный корневой многочлен
w2
в виде
w2 = ω 2 z 2 + ω1 z + ω 0 ,
то коэффициенты циклического многочлена
f ( z ) = z 3 + a1 z 2 + a 2 z + a3
можно
найти из соотношений:
a1 = −(ω 20 + ω 30 ),
a2 =
a 3 = a1a 2 −
a12ω 2 + a1 (1 − ω1 ) + 3ω 0
,
2ω 2
a13 a12ω1 − a 2 (1 + 2ω1 ) − a1ω 0
+
.
3
3ω 2
С этими условиями справедлива теорема [3].
Теорема 6. Пусть
− поле характеристики, неравной 2 и 3, и не
K
содержащее корней третьей степени из единицы. Тогда квадратный
многочлен
w = ω 2 z 2 + ω1 z + ω 0 ,
где
ω 2 ≠ 0,
ω 2 , ω1 , ϖ 0 ∈ K
, является корневым
многочленом некоторого циклического кубического многочлена
f (x)
только если элемент
r ( w) = (ω1 − 1) 2 − 4ω 0 ω 2 − 8
есть квадрат в поле
многочлена
K:
r ( w) = q 2 , q ∈ K .
В этом случае существуют два
f i ( z ) = z 3 + ai1 z 2 + a i 2 z + ai 3 , i = 1, 2 с
a11 =
и коэффициенты
3ω1 + 1 + q
,
2ω 2
a i 2 , ai 3 , i = 1, 2
соотношений (теорема 5).
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
a 21 =
корневым многочленом
w:
3ω1 + 1 − q
2ω 2
определяются с помощью
a11 , a 21
и
w
из
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
4
Построение корневых многочленов для некоторого кубического
циклического многочлена над полем
Пусть
над
K
K
− поле и
C3 ,
характеристики 2
− неприводимый многочлен
f ( x) = x 3 + ax + b
с циклической группой Галуа
K
то есть любые два корня этого
многочлена рациональным образом выражаются над полем
оставшийся корень. Пусть
α, β, γ
− корни
β = r2 (α ) = A + Bα + Cα 2 ,
где
A, B, C , A1 , B1 , С1
из поля
K
f (x) ,
через третий
K
тогда:
γ = r3 (α ) = A1 + B1α + C1α 2 ,
(1)
.
Нетрудно доказать, что в случае неприводимости многочлена
коэффициенты
C
и
C1
неравны нулю, при этом многочлены
r2 ( x)
и
f (x)
r3 ( x)
имеют вид:
r2 ( x) = A + Bx + Cx 2 ,
r3 ( x) = A1 + B1 x + C1 x 2 ,
(2)
и их называют корневыми многочленами для циклического многочлена
f (x) .
Пусть
D( f )
− дискриминант многочлена
f ( x) = x 3 + ax + b ,
то есть:
D ( f ) = −4a 3 − 27b 2 .
В случае циклического многочлена
d ∈ K,
и для поля
K
f (x)
дискриминант
D( f ) = d 2 ,
характеристики неравной 2 и 3, Girstmair [1] доказал,
что в равенствах (1) и (2) имеем:
r2 ( x) = −
2a 2  9b 1 
3a 2
x ,
+
− x −
d
d
 2d 2 
r3 ( x) =
2a 2  9b 1 
3a 2
x .
+
− x +
d
d
 2d 2 
Формулы (3) дают явный вид корневых многочленов для
формулы не имеют смысла, если поле
K
но эти
имеет характеристику 2 или 3.
Рассмотрим далее случай, когда поле
K [x]
f (x),
(3)
K
имеет характеристику 2 и в
существуют циклические многочлены третьей степени.
Всякий многочлен 3-ей степени над полем
K
с помощью
соответствующей линейной подстановки может быть приведен к виду:
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
5
f ( x) = x 3 + ax + b .
(4)
В работе [2] было доказано, что неприводимый над
вида (4) имеет циклическую группу Галуа над полем
K
многочлен
K
характеристики 2,
только если уравнение (5):
y 2 + by + a 3 + b 2 = 0
имеет корни в поле
K
(5)
.
Найдем в этом случае явный вид корневых многочленов. Пусть
α
− произвольный корень многочлена
поля
K
f ( x) = x 3 + ax + b ∈ K [ x] ,
равна 2 и группа Галуа многочлена
порядка. Тогда многочлен
f (x)
f (x)
характеристика
− циклическая третьего
примет вид:
f ( x) = x 3 + ax + b = ( x − α )( x 2 + αx + a + α 2 ) .
Пусть остальные два корня
α2
и
α3
многочлена
f (x)
(6)
представляются в
виде:
α 2 = A + Bα + Cα 2 ,
где
коэффициенты
многочлена
α 3 = M + Nα + S α 2 ,
A, B, C , M , N , S ∈ K ,
g ( x ) = x 2 + αx + a + α 2 .
а
Поэтому,
и
α2
(7)
являются корнями
α3
справедливы
следующие
соотношения:
α2 + α3 = α,
α2 ⋅α3 = a + α 2.
Из (8) ввиду неприводимости многочлена
B + N = 1,
A + M = 0, C + S = 0,
откуда
f (x)
(8)
над полем
g (α 2 ) = ( A + Bα + Cα 2 ) 2 + α ⋅ ( A + Bα + Cα 2 ) + a + α 2 = 0 ,
то, имеем:
A 2 + B 2α 2 + C 2α 4 + Aα + Bα 2 + Cα 3 + a + α 2 = 0.
Учитывая соотношения
α 3 = aα + b, α 4 = aα 2 + bα ,
получаем следующее равенство:
A 2 + B 2α 2 + C 2 (aα 2 + bα ) + Aα + Bα 2 + C ( aα + b) + a + α 2 = 0.
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
имеем:
Таким образом:
A = M , N = B + 1, C = S .
α 2 = A + Bα + Cα 2 , α 3 = A + ( B + 1)α + Cα 2 .
Так как
K
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
6
Отсюда имеем систему уравнение:
 A 2 + Cb + a = 0,

2
C b + A + Ca = 0,
 2
2
 B + C a + B + 1 = 0.
(9)
Из третьего уравнения системы получаем
a=
и так как
C ≠ 0,
B2 + B +1
C2
,
то из второго уравнения системы (9) имеем:
b=
A + Ca
C2
=
A+
B2 + B +1
CA + B 2 + B + 1
C
=
.
C2
C3
Тогда, из первого уравнения системы (9) следует равенство
A2 + C ⋅
CA + B 2 + B + 1
+
C3
B2 + B +1
C2
= 0.
Упрощая последнее равенство, получаем:
AC ( AC + 1) = 0.
(10)
Из последнего равенства, учитывая, что
возможности для
b=
B2 + B +1
C3
A:
или
или
A = 0,
и тогда, многочлен
f ( x) = x 3 +
f (x)
A=
1
.
C
имеем только две
C≠0
В первом случае
a=
B2 + B +1
C2
,
имеет вид:
B2 + B +1
C2
x+
B2 + B +1
C3
(11)
.
В этом случае корневыми многочленами являются:
r2 ( x) = Bx + Cx 2 ,
Если многочлен
f (x)
r3 ( x) = ( B + 1) x + Cx 2 .
вида (11) при данных
B, C ∈ K
(12)
неприводим над
K,
то
это − циклический многочлен.
Во втором случае, когда
многочлен
f (x)
принимает вид:
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
A=
1
C
имеем
a=
B2 + B +1
,
C
b=
B2 + B
C3
и
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
f ( x) = x 3 +
B2 + B +1
C
2
x+
B2 + B
C
3
7
= x 3 + ( B 2 + B + 1) A 2 x + ( B 2 + B ) A 3 .
(13)
В этом случае корневыми многочленами являются:
1 2
x ,
A
r2 ( x) = A + Bx +
Если многочлен
f (x)
r3 ( x) = A + ( B + 1) x +
вида (13) при данных
B, A ∈ K
1 2
x .
A
(14)
неприводим над
K,
то
это − циклический многочлен.
Таким образом, мы получили следующую теорему:
Теорема 1. Над полем
характеристики 2, допускающим
K
циклические расширения степени 3 циклические многочлены третьей
степени имеют вид (11) или (13), при этом для многочленов вида (11)
корневые многочлены описываются равенствами (12), а для многочленов
вида (13) корневые многочлены определяются равенствами (14).
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Пусть
1
K = Z 2 (t ), B = 1, C = ,
t
тогда
f ( x) = x 3 + t 2 x + t 3 .
Этот многочлен неприводим над
Z 2 (t ),
так как элементы
1, t , t 2 , t 3
не
являются его корнями. Поэтому этот многочлен является циклическим и
его корневые многочлены имеют вид:
1
1
r2 ( x) = x + x 2 , r3 ( x) = x 2 .
t
t
Нетривиальные автоморфизмы поля разложения многочлена
f (x)
над
определяются отображениями:
2
1 
1 


σ (m + nα + kα 2 ) = m + n ⋅  α + α 2  + k ⋅  α + α 2  =
t
t




n 2
1
n
k
= m + nα + α + kα 2 + 2 kα 4 = m + nα + α 2 + kα 2 + 2 t 2α 2 + t 3α =
t
t
t
t
(
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
)
K
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
8
n
n
= m + nα + α 2 + kα 2 + kα 2 + ktα = m + (n + kt )α + α 2 , m, n, k ∈ K ;
t
t
n 2
n

α + kα 2 + ktα = m + (kt )α +  + k α 2 , m, n, k ∈ K .
t
t

Пусть поле K = Z 2 (t ) , A = 1, B = t. Тогда из (13)
=m+
Пример 2.
имеем:
f ( x) = x 3 + (t 2 + t + 1) x + (t 2 + t ).
Этот многочлен неприводим в
Z 2 (t ) ,
так как элементы
1, t , t + 1
не являются
корнями этого многочлена, следовательно, это − циклический многочлен с
корневыми многочленами:
r2 ( x) = 1 + tx + x 2 ,
Если
α
r3 ( x) = 1 + (t + 1) x + x 2 .
− один корень многочлена
f (x),
то два других корня этого
многочлена есть:
β = r2 (α ) = 1 + tα + α 2 , γ = r3 (α ) = 1 + (t + 1)α + α 2
и нетривиальные автоморфизмы поля разложения многочлена
f (x)
над
K
определяются отображениями:
σ (m + nα + kα 2 ) = m + n(r2 (α )) + k (r2 (α )) 2 ,
σ 2 (m + nα + kα 2 ) = m + n(r3 (α )) + k (r3 (α )) 2 ,
где
m, n, k ∈ K .
Пусть
K
− поле характеристики 2, над которым существуют
циклические расширения степени 3, т.е. существуют циклические,
неприводимые над
K.
K
кубические многочлены с коэффициентами из поля
Покажем, что при определенных условиях на поле
K
циклические
многочлены третьей степени не имеют трех линейных корневых
многочленов.
Пусть
многочлен и
f ( x) = x 3 + px + q
α , aα + b, cα + d
− неприводимый над полем
− его корни, т.е.
его корневые многочлены.
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
K
x, ax + b, cx + d ,
циклический
где
a, b, c, d ∈ K
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
Так как
c = a + 1, b = d ,
α + (aα + b) + (cα + d ) = 0,
и значит,
то
9
a + c + 1 = 0,
α , aα + b, (a + 1)α + b
b + d = 0,
откуда получаем
− корни многочлена
f (x).
α ⋅ ( a + α ) + α ((a + 1)α + b) + (aα + b)((a + 1)α + b) = p.
Тогда:
(15)
Упрощая равенство (15), получаем:
(a 2 + a + 1)α 2 + bα + b 2 = p,
откуда
b = 0, p = 0, a 2 + a + 1 = 0.
Итак, в рассматриваемом случае (когда все три корневых многочлена
у
f (x)
циклические), имеем:
корень в поле
Поле
уравнение
f ( x) = x 3 + q
и уравнение
x2 + x +1 = 0
имеет
K.
K = Z 2 (t )
допускает циклические расширения третьей степени и
x2 + x +1 = 0 ,
очевидно, не имеет корней в поле
Z 2 (t ).
Таким
образом, циклические многочлены третьей степени с коэффициентами из
Z 2 (t )
имеют один линейный корневой многочлен
x
и два многочлена 2-ой
степени, так как, очевидно, двух линейных корневых многочленов и
одного 2-ой степени не может быть у циклического многочлена 3-ей
степени над полем любой характеристики.
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf
Научный журнал КубГАУ, №78(04), 2012 год
10
ЛИТЕРАТУРА
1. Girstmair K. On root polynomials of cyclic cubic equation // Arch. Math. Vol. 36,
1981. p. 313 – 326.
2. Сергеев А.Э. О задаче И. Капланского // Известия вузов; Северо-кавказский
регион. Естественные науки. 2001. № 1. с. 14 – 17.
3. Kleiman H. Methods for uniquely determining Galois polynomials and related
theorems // Monatshefte fur Mathematik, 73, 1969, p. 63 – 68.
4. Muthsam H. Eine bemerkung uber die wurzelpolynome Galoiisscher gleichungen
// Monatshefte fur Mathematik, 83, 1977, p. 155 – 157.
http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/67.pdf