Бондаренко. Бирациональная композиция квадратичных форм

БИРАЦИОНАЛЬНАЯ КОМПОЗИЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ НАД КОНЕЧНЫМ
ПОЛЕМ
А.А.Бондаренко
Введение. Пусть K — поле характеристики
≠ 2 , X (=
=
x1 , , xm ), Y ( y1 , , yn ) и
Z = ( z1 , , zm + n ) — независимые наборы переменных над K ,
f ( X ) и g (Y ) —
невырожденные квадратичные формы над полем K .
Определение. Если произведение f ( X ) ⋅ g (Y ) бирационально эквивалентно над K
квадратичной форме h ( Z ) над K , т.е. f ( X ) ⋅ g (Y ) представляется квадратичной K формой h ( Z ) над K ( X , Y ) и xi , y j ∈ K ( Z ) , то будем говорить, что квадратичные
формы f ( X ) и g (Y ) образуют бирациональную композицию h ( Z ) над полем K .
Первые результаты по проблеме композиции восходят к Гурвицу, который изучал
задачу о “сумме квадратов”: найти наименьшее t при заданных m и n , чтобы
выполнялось тождество
(
x12 + ... + xm2
) ( y12 + ... + yn2 ) =Φ12 + ... + Φt2 , где
Φ i — билинейные
формы от x1 ,..., xm и y1 ,..., yn над K . Классические результаты Гурвица и Радона по этой
задаче хорошо известны (см. [1] , [ 2] ). Обзор [3] посвящен результатам и методам в
изучении такой композиции квадратичных форм. Пфистер продолжил рассматривать
такие тождества, но полагал, что Фi — рациональные функции от x1 , , xm , y1 , , yn . Им
описаны мультипликативные квадратичные формы [4] . В [5] получены общие теоремы о
бирациональной композиции квадратичных форм над полем K .
Полное решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм над
локальным полем получено в [6] .
Основная цель настоящей статьи – решение проблемы бирациональной композиции
квадратичных форм над конечным полем.
Решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм f ( X ) и g (Y ) над
конечным полем Fq , если f ( X ) либо g (Y ) изотропны над Fq , следует из теоремы 1
статьи [5] : произведение f ( X ) ⋅ g (Y ) , бирационально эквивалентно h ( Z ) над Fq тогда и
только тогда, когда h ( Z ) - любая ненулевая квадратичная форма размерности m + n ,
невырожденная часть которой изотропна над Fq .
Полоное решение проблемы бирациональной композиции, когда обе квадратичные формы
f ( X ) и g (Y ) анизатропны над кнечным полем Fq дает
Теорема.
Проблема композиции квадратичных форм сформулирована в [ 2] следующим образом:
“Пусть
f1 , f 2 — квадратичные формы от независимых переменных xi , y j . Когда
произведение f1 f 2 бирационально эквивалентно квадратичной форме ψ от переменных
zl ?” В такой общей постановке эта проблема сформулирована впервые. Имеет место
Теорема 1. Пусть f ( X ) и g (Y ) — невырожденные квадратичные формы над
полем K размерности m и n , f ( X ) либо g (Y ) изотропна над K . f ( X ) и g (Y )
образуют бирациональную композицию h ( Z ) над K тогда и только тогда, когда h ( Z )
ненулевая квадратичная форма над K размерности m + n , невырожденная часть
которой изотропна над K .
Построены серии примеров существования бирациональной композиции и ее
отсутствия, если обе квадратичные формы
Справедлива
Теорема 2. Пусть
h(Z )
f ( X ) и g (Y ) анизотропные над K .
— бирациональная композиция над полем
K
квадратичных форм f ( X ) и g (Y ) анизотропных над K . Тогда h ( Z ) определена
однозначно с точностью до эквивалентности над K , и невырожденная часть h ( Z ) —
анизотропная квадратичная форма над K .
Обозначим через d ( f ) дискриминант f ( X ) , через DK ( f ) множество элементов
из K ∗ представимых f ( X ) над K . Получен критерий
f (X ) и
Теорема 3. Квадратичные формы
g (Y ) анизотропные над
K
размерности 2 образуют бирациональную композицию h ( Z ) над K тогда и только
тогда,
когда
d ( f ) d (g)∈ K∗ .
2
И
с
точностью
до
K -эквивалентности
d( f )
.
a2
1. Lam K.Y. Quadratic and hermition forms. Conf. Proc. 1983.V 4 Providence, Rhod
Island, p.173-192.
2. Платонов В.П., Черноусов В.И. ДАН СССР. 1980, т.252, № 4, с. 796-800.
h ( z1 , z2 , z=
ab ( z12 + dz22 ) , где a ∈ DK ( f ) , b ∈ DK ( g ) и d =
3 , z4 )