118 С. Н. Ковалев РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ СИЛЫ В ВОЗДУШНОМ

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 621.313
С. Н. Ковалев
РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ СИЛЫ
В ВОЗДУШНОМ ЗАЗОРЕ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРОВОДНИКА С ТОКОМ
Аннотация. Приводится расчет магнитной силы в воздушном зазоре электрической машины любого типа на основе введения понятия эквивалентного тока.
Ключевые слова: воздушный зазор, эквивалентный ток, расчет магнитной силы.
Abstract. The article provides an approach for calculating the magnetic force in the
air gap electric machine of any type on the basis of introducing the concept of
equivalent current.
Keywords: air gap, equivalent current, calculation magnetic force.
Введение
Основной задачей электромагнитного расчета электрической машины
любого типа является определение электромагнитной силы, приложенной
к подвижному активному элементу.
На основе теории электромагнетизма разработаны следующие способы
определения электромагнитной силы, использующие [1, 3]:
– вычисления изменения энергии или коэнергии при малом перемещении;
– вычисления тензора натяжений Максвелла;
– вычисления объемной и поверхностной плотности электромагнитных сил.
Если магнитное поле электрической машины рассчитано численным
методом и получена наглядная картина распределения величины напряженности магнитного поля в области воздушного зазора, то для нахождения
электромагнитной силы предпочтительно использовать второй и третий способы как более точные и менее трудоемкие. Как альтернатива приведенным
способам расчета электромагнитной силы предлагается способ, основанный
на методе эквивалентного проводника с током. Сущность данного метода
можно пояснить на примере одиночного проводника с током во внешнем
магнитном поле. Выдвинем гипотезу о том, что магнитная сила, действующая
на элемент, расположенный во внешнем магнитном поле, пропорциональна
степени искривления этого поля, возникающего по вине этого элемента.
Рассмотрим проводник с током во внешнем магнитном поле в декартовой системе координат при следующих условиях:
– вектор напряженности внешнего магнитного поля параллелен оси y;
– проводник с током расположен на плоскости, лежащей на оси x, и
данная плоскость перпендикулярна вектору напряженности внешнего магнитного поля;
– центр диаметра сечения проводника с током совпадает с нулевой точкой отсчета системы координат;
– диаметр сечения проводника с током бесконечно мал и сводится к точке.
Проверим справедливость гипотезы, сравнив результаты по предлагаемому способу расчета с результатом расчета по известной формуле Ампера:
FA  0 H  Il ,
118
(1)
№ 4 (16), 2010 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
где 0 – абсолютная магнитная проницаемость; H – напряженность внешнего
магнитного поля на значительном расстоянии от проводника с током, А/м;
I – сила тока внутри проводника, А; l – активная длина проводника.
При условиях, когда известно распределение составляющей результирующей напряженности магнитного поля Hx(x, y), введем понятие эквивалентной силы тока как силы тока одиночного проводника, равного эквивалентному, который искривляет магнитный поток по оси x аналогично исходной картине магнитного поля. Эквивалентный ток можно вычислить по следующей формуле:
 ( yпред )
I экв 

H x ( x, y )dy ,
(2)
0
(для вышеприведенного случая x = 0), следовательно, согласно формуле (1)
сила Ампера, действующая на одиночный проводник с током, равна

 ( yпред )
FA  0 H  l
0
H x ( y )dy .
(3)
Вышеприведенные условия были промоделированы в интерактивной
среде Comsol Multyphisics, пояснение вычислительного эксперимента представлено на рис. 1. Адекватность расчетных формул проверялась в режиме
постпроцессорной обработки результатов вычислительного эксперимента.
с током
Рис. 1. Пояснение вычислительного эксперимента
Поставленный вычислительный эксперимент показал адекватность расчетных формул (2) и (3) с погрешностью вычисления не более 5 %.
Если источником искривления не является проводник с током, то возникает необходимость определения места сосредоточения эквивалентного
тока. Для этого предлагается следующий способ.
Вычисляя по формуле (2) значение эквивалентного тока для различных
значений x в пределах заданной области (рис. 2), определяем его максимальное значение. Значение x, для которого Iэкв максимален, и есть место его сосредоточения.
119
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Эпюра распределения вычисленных токов в относительных единицах
Предлагается рассмотреть вторую гипотезу о том, что линейная нагрузка A, А/м, электрической машины [2]:
A
2mwI
,
D
(4)
равна среднему значению напряженности магнитного поля H x по оси x в области равномерного воздушного зазора электрической машины в декартовой
системе координат (рис. 3), когда поверхность сердечника якоря перпендикулярна оси y:
A  Hx 
1


H x ( x, y )dxdy ,
(5)
0 x
0 y 
где m – число фаз; w – число витков обмотки якоря; I – ток в обмотке якоря, А;
D – диаметр расточки якоря, м.
Следовательно согласно рис. 3 эквивалентная сила тока равна
I экв  H x  
1


H x ( x, y )dxdy .
(6)
0 x
0 y 
Для случая распределения напряженности магнитного поля в воздушном зазоре Hy(x, y) среднее значение напряженности магнитного поля
H y  H  в заданной области равно
H y  H 
1


H y ( x, y )dxdy .
(7)
0 x 
0 y 
Среднее значение произведения составляющих напряженностей магнитного поля H x H y в воздушном зазоре будет равно
120
№ 4 (16), 2010 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
HxH y 
1


H x ( x, y ) H y ( x, y )dxdy ,
(8)
0 x
0 y 
а магнитную силу можно выразить из выражения для силы Ампера с учетом
(1), (6), (7) и (8):
FM  0 H x H y l ,
(9)
или
 l
FM  0


H x ( x, y )H y ( x, y )dxdy .
(10)
0 x 
0 y 
Рис. 3. Элемент области воздушного зазора
Проверка адекватности формулы (10) проводилась в режиме постпроцесорной обработки результатов вычислительного эксперимента в интерактивной среде Comsol Multyphisics.
Вычислительный эксперимент показал, что погрешность расчета электромагнитной силы для данной интерактивной среды не превышает 5 %.
Для случая неравномерного воздушного зазора расчетная область разбивается на подобласти согласно рис. 4. Для данной расчетной области магнитная сила равна сумме магнитных сил, рассчитанных по формуле (10) для
подобластей.
Предлагаемый способ расчета магнитной силы может быть использован
не только для случая взаимодействия проводника с током в воздушном зазоре, но и для случая, когда элемент, являющийся источником искривления
магнитного поля, является постоянным магнитом или несимметричным относительно оси x магнитопроводящим материалом, который под действием механической силы внесен в рассматриваемую область.
121
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
n
Рис. 4. Расчетная область элемента неравномерного воздушного зазора
Недостатком данного способа является необходимость выполнять дополнительные построения в расчетной области для вычисления электромагнитной силы при неравномерном воздушном зазоре электрической машины.
Список литературы
1. И в а н о в- С м о л е н с к и й , А . В. Электромагнитные силы и преобразование
энергии в электрических машинах / А. В. Иванов-Смоленский. – М. : Высш. шк.,
1989. – 312 с.
2. Г о л ь д б е р г , О . Д . Инженерное проектирование и САПР электрических машин :
учебник для студ. высш. учебных заведений / О. Д. Гольдберг, И. С. Свириденко ;
под ред. О. Д. Гольдберга. – М. : Академия, 2008. – 560 с.
3. J a c e c , F . Gieras, Mitchell Wing, Permanent Magnet Motor Technology Design and
Applications / F. Jacec.  New York : Marcel Dekker, Inc., 2002. – 590 p.
Ковалев Сергей Николаевич
адъюнкт, ВУНЦ ВВС «Военновоздушная академия
им. профессора Н. Е. Жуковского
и Ю. А. Гагарина» (Москва)
Kovalev Sergey Nikolaevich
Postgraduate student, Zhukovsky
and Gagarin Air Force Academy (Moscow)
E-mail: [email protected]
УДК 621.313
Ковалев, С. Н.
Расчет магнитной силы в воздушном зазоре на основе метода эквивалентного проводника с током / С. Н. Ковалев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2010. – № 4 (16). –
С. 118–122.
122