Проекция и система координат Гаусса

УДК 528.236.3
К.Ф. Афонин
СГГА, Новосибирск
О ВЫБОРЕ РАЗМЕРОВ ЗОН В ПРОЕКЦИИ ГАУССА-КРЮГЕРА
K.F. Afonin
SSGA, Novosibirsk
CHOOSING ZONES DIMENSIONS IN GAUSS-KRUGER PROJECTION
It was impossible to make up the uniform system of planimetric rectangular coordinates in
Gauss-Kruger projection (as in any other projection). That caused the necessity of dividing the
surface of the ellipsoid of revolution into some longitudinal zones and introducing proper systems
of planimetric rectangular coordinates for each of them. To determine the zone dimensions one had
to compromise between the contradictory conditions.
Nowadays, with state-of-the art total stations, digital terrain models and electronic maps being
available for all the users of topographical and geodetic information, we think, the problem of
choosing zones dimensions in Gauss-Kruger projection should be revised and the dimensions
significantly enlarged.
Проекция и система координат Гаусса-Крюгера были введены в СССР в
1930 году [2]. Так как в этой проекции (как и в любой другой) нельзя было
установить единую систему плоских прямоугольных координат, то возникала
необходимость разделения поверхности эллипсоида вращения на какое-то
количество долготных зон, в каждой из которых была введена своя система
плоских прямоугольных координат. При определении размеров зон
приходилось искать компромисс между противоречивыми требованиями и
руководствоваться следующими соображениями.
Во-первых, количество зон на территории государства должно быть
минимально. Минимизация числа зон позволяла в свою очередь уменьшить
объем вычислительных работ по преобразованию координат Гаусса-Крюгера из
одной зоны в другую. При математической обработке результатов
высокоточных геодезических измерений на компьютере размеры зон могут
быть практически любыми. Впервые об этом сказал В.П. Морозов в [3].
Необходимо лишь использовать рабочие формулы позволяющие решать задачи
по преобразованию координат и редуцированию результатов измерений с
поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера с
необходимой точностью. Такие формулы приведены в учебниках [1,3]. Конечно,
при увеличении размеров зон должна возрастать точность, с которой
необходимо знать приближенные координаты определяемых пунктов для
редуцирования измеренных величин, и возможно усложняться технология
решения этой задачи в плане увеличения количества итераций в системе
«приближенные координаты - поправки в измеренные величины».
По-иному обстояло дело в топографии. Геодезисты стремились к тому,
чтобы при создании съемочного обоснования на объекте, размеры которого по
ординате не превышали десяти километров (∆у=10 км), масштаб изображения
оставался практически постоянным [2]. Это значительно упрощало технологию
редуцирования расстояний с поверхности эллипсоида на плоскость.
Дифференцирование формулы масштаба изображения по ординате дает
dm 
ydy
.
R2
(1)
Отсюда средняя ордината у объекта не должна превышать величины,
вычисляемой по формуле
y
mR 2
.
y
(2)
Теодолитные ходы могут прокладываться с предельными относительными
погрешностями 1/3000 [5], поэтому логично потребовать, чтобы изменение
масштаба ∆m было хотя бы в 5 раз меньше. Принимая, что R=6400 км величина
максимального удаления объекта от осевого меридиана зоны будет равна 273
км. Поэтому максимальный размер зоны вдоль параллели не должен превышать
546 км, что для южных границ России (на широте в 41о 08’) составит 6,5о.
Третье соображение связано с выполнением топографических съемок.
Размер зоны должен быть таким, чтобы при съемке рельефа и ситуации не
учитывать поправки за редуцирование расстояний на плоскость проекции
Гаусса-Крюгера. Относительные линейные искажения на краю 6о зон для
южных регионов России могут достигать величины порядка 1/1280. Такими
искажениями можно пренебрегать при выполнении топосъемки 1:10000 и
мельче. При производстве съемок более крупных масштабов приходится
уменьшать размеры зон до 3о (при этом искажения будут уменьшаться до
1/5120), а в особых случаях делать их еще уже.
Четвертый способ обоснования размеров зон опирался на существующие
требования по выполнению картометрических работ [1,3,4]. Это требование
заключается в том, чтобы расстояние, измеренное по топографической карте на
бумажной основе и умноженное на знаменатель масштаба этой карты, было бы
практически равно расстоянию на местности.
Применение в геодезическом производстве современных электронных
тахеометров, а также использование цифровых моделей местности и
электронных карт всеми пользователями топогеодезической информации
позволяет, на наш взгляд, по-иному решать вопрос о выборе размеров зон в
проекции Гаусса-Крюгера и значительно их увеличить. Так модернизация
программного обеспечения тахеометров даст возможность без существенного
увеличения временных затрат учитывать необходимые поправки в измерения
даже на каждый пикет топосъемки.
Расширение зон до 18о приведет к увеличению поправок в горизонтальные
направления до одной секунды и ими, по-прежнему, можно будет пренебрегать.
Поправки в измеренные расстояния до пикетов возрастут до нескольких метров,
поэтому для их вычисления можно будет использовать стандартные технологии,
апробированные в геодезических сетях. Трехкратное увеличение размеров зон
позволит уменьшить объем работ по преобразованию координат ГауссаКрюгера. Кроме этого возможность расширения зон позволит по другому
решать задачу ввода региональных систем плоских прямоугольных координат
на территории субъектов РФ. В Новосибирской области, например, можно будет
обойтись одной зоной [6].
При выполнении картометрических работ по электронным картам в случае
применения 18о зон необходимо будет учитывать различия в расстояниях на
плоскости и на поверхности эллипсоида. Эти различия на краю зон могут
достигать величины 1/140. Максимальные расстояния S, которые можно
измерить на карте, и разности расстояний ∆S для карт разных масштабов
приведены в таблице (табл. 1).
Таблица 1
Масштаб карты
1:2000
1:5000
1:10000
1:25000
1:50000
1:100000
S (км)
1,2
3,5
7
14
28
56
∆S (м)
8,6
25
50
101
202
403
Такими поправками конечно нельзя пренебрегать при выполнении
картометрических работ, их нужно будет учитывать. При вычислении поправок
за переход на поверхность эллипсоида ∆S в измеренные по карте расстояния
понадобятся приближенные значения плоских прямоугольных координат
(ординат) его концов. Погрешности my, с которыми должны быть известны эти
ординаты, можно оценить по формуле
 mS  R 2
my  
,

 S  y
(3)
где (m∆S/S) – относительная погрешность редуцирования расстояний.
Точность, с которой можно измерить расстояние любой длины между
двумя точками на электронной карте, характеризуется погрешностью порядка
0,3 мм в масштабе карты. Желательно, чтобы погрешность редуцирования m∆S
была в 10 раз меньше и равнялась 0,03 мм. Вычисленные по формуле (3)
погрешности my для карт разных масштабов составляют 2-3 км. С такой
точностью координаты точечных объектов можно определять по карте.
Учитывая, что цифровые модели местности и электронные карты находит
применение в различных автоматизированных системах, вычисление и учет
соответствующих поправок не будет вызывать никаких сложностей. Таким
образом, и при выполнении картометрических работ на электронных картах
можно в проекции Гаусса-Крюгера использовать зоны гораздо большей
ширины, например 18о.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бойко, Е.Г. Высшая геодезия. Часть II. Сфероидическая геодезия: Учебник для
вузов [Текст] / Е.Г. Бойко. - М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 2002.- 144 с.
2. Закатов, П.С. Курс высшей геодезии: Учебник для вузов [Текст] / П.С. Закатов. М.: Недра, 1976. – 511 с.
3. Морозов, В.П. Курс сфероидической геодезии: Учебник для вузов [Текст] / В.П.
Морозов. – М.: Недра, 1979. – 296 с.
4. Телеганов, Н.А. Решение геодезических задач на эллипсоиде и конформное
отображение эллипсоида на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера: Учебное пособие
[Текст]/ Н.А. Телеганов. – Новосибирск: СГГА, 1996. – 88 с.
5. Инструкция по топографической съемке в масштабах 1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500
[Текст] – М.: Недра, 1985. – 151 с.
6. Карпик, А.П. Система региональных плоских прямоугольных координат
Новосибирской области [Текст] / А.П. Карпик, К.Ф. Афонин, Н.А. Телеганов, П.К. Шитиков,
Д.Н. Ветошкин, С.В. Кужелев, В.А. Тимонов // «ГЕО-Сибирь»: сб. науч. тр. IV междунар.
науч. конгр. – Новосибирск, 2008. – С. 20-31.
© К.Ф. Афонин, 2009