.· . •·Решение. Т.К. сиЛа>сМертноdтИпqстоЯнна, t р•х == в

'I<DC· IШатежных
обязате.Jtьств вида Н
l
L ~ , У; = g { Sт) ·1{J: > Т} /Вт
=
i =I
с g(Sт)
= max{S7 , К}= К+ (S7 -К)+ на таком рынке смmри в
прцложении Х.
Задачи к
и. указания к решениям
§ 4
Найти вероятностьтого, что новорож.Liенньrй. дQжив~т до
щ.~т; если сила смертности: .Постоянна и paв~4 , Q,(JQ1 . ·
. . 4.1.
30
.· . •· Решение. Т.К. сиЛа>сМертноdтИпqстоЯнна, t р•х == в-J~O,OOl-dt = е "-(},OoU
и не
· зависит от возраста
Х;
Тогда
uскомая вероятность есть
.
..·,
._,-,-- ..
-.-, ..
-____ -._
'
-
---
;.-.
__ ,
,'.
_
а ==зо. ЙQ
-
-
•'
,
е -О,ОЗ
:::::
о ,97.
· · Оmет: искомая верQй'fностji,nрйблизительно·· равна о ,.97~
.·· ·.. . ( . . ·. ··
.·· .. ·. ·....•. г
\ . . . ·\<
Поl(а.та'Гь, чт() функц1'UI,·~· /
4.2.
•. .·· . •.· ·•·· · .• •..·•.. ..·,,:,
.• , ·
>.· •.
(1 + х)
.< .· ... ,.,
2
,...
не может быть использова--
. на в . качестве _ сИJiьr смертllqсти.
. .
-- -
--
: -_
.
-~; ~
.PeilieЙиe . .nреДположиМ:, что cи:Jia смертности равна
/(.·
1
(1 + х)
2
,
тогда
' ' 1 .:.
1 Ро
i
·. . '
·. -Jo . (.l.+s) 2 ·ds
=е
= е· -( 1 -1~1)
'
"
lirt1 1' р 0 · =
е "- 1 · :::::
0,37.
(.,-too
Йз·. nС>6йgдlfего· . c()QтнoII!eiifrя' tлeдyeт, •. • чтo•.• () :i*d~q)l(ll~~~kf!OЙ•· вe­
p9ятня~~~f. ;9,,3,J•. •flO~Op()~r~~~I~. J~POЖД~~т• . ;p ~?~y. ( .~?~!f. 0 ·~· .· )19ЛГO.
Эrо/ црртиворе:чде .показывает,· чт()· функцию \ (i
.. .
силы смертнрсти исnолъзова.ть нельзя.
•,
",
. .
--, .•.. ".· .. ·..
··
'
ОТ)Jеif: <11'сnбл1щование• <РWЮцIЙ ... · ·1
.·
,. /.;\·;;: ··
.<· ·, ·· · · · · (1 + х)
··... ·
+. :i)2
· в " качестве
·'
2
в к~чествесилЬi смерт- ·
·...
,. .
ц9сти5 . в~р<:>~'ГЦос·1ъю О,37пq~139ляет прожить дшц)ще .:rпoGoro на-
перед . зм~tlн0го возраста.
'.;
."
'. ':.: ·.. ·. , .. :< >') ~ ;; . -::·--· · ,.
., ; ..: : .
·:
.
:': . . :•
~
'
·.
·
· ·
4.3. Остаточная продоJDI<ителhность жизни имеет функцию рас.
х
'." ""·" , ..· '
' ' ' ·>. <··\ ' ;
пределенИ.Я
J
-----,
О
~
х
~100.
Найти
силу
,.
'•''" 100 . ·..
. ·. · •· ·.·. ·. .. . . ' смертности,
''. '
' а также
вероЯ'ГнОст1:{• того, что новоро)кД,енный умрет в возрасте от
40
126
i
лет.
20
до
Решение. Имеем:
t
рх
-
1- х + t
100 - 100 - х - t - 1 t
1 - ~ - 100 .___ х 100 - х '
' 100
ОТ:((уда
-f µ
t '
О . x+s
. .ds
t
= ln(·. 1 -
1OQ. .-
Х
}.
.
't
-----
100
-µx+t
-х
1-
t
100
-· Х
t
H;t ;.= 100- х.
,,
'
Искомая вероятность равна
' 20
20
1 - - - 1 + - =О ,2.
;. ;. ·.· ......·•;. .. · ·.. , ;;";./· .t.uf".-.'i,,c!i..i ·~x:,:> ./,· т:}~о
100
Ответ: С Ила ~:~ep'ГЦQQTJI ~; '::: тбо -- х ., ·llCKOMaя Вероятность paв-
."
·:i-ta 4~4~
0,2...Модель
.. . .·..Гомп.ертца. · дЛЯ
·· ~i?.·сИдЬr
· <смертности
.·.. ·.··· )· .••···
.\ . .·.....•...•.•.•. .··.· ...
µх ~[1,l]x найти
·.··>
·.·(/
..
<:
· ·. ·•. wyI!кцJlю.· ра(;преДеJ1ения.• • ()~татg~ноrQ••· ~Р.~~енJl. ·. · ЖJ:i.зни.
·. ;.... .;~ реше11~~.:дМtц11IдРй . ~тf~1:@~.~IП1IРсТ-П . ) ·:
· (jтl<)',Ца р(tсnределенйе ·. остаточного . времеН:JI
-,··-<,- -
. :, - ;
Р
. ~
qтвет:
-[1,1]~ [1,Щ -l.
'.
0
. Jn[I,I] . ~ е --ю,~92-{[I,IJ'H }.
жизни имее'Г вид:
~ ·~-\
"'[l~ll1 -l
::::. е< m11,11
остатqчн(>е
·; ·...
время
.
===··.
1
е -10,492-{[1,ц -11 .•
·жизни
имеет
.
распределение
.
.· 4.s. P~y,Y;rrtoтplJM (JJ? 5)-р~~цок, rдУ до){одность безриско13рrо ак~
тива. за 1 .rод. равна 0,1, а дрходliость рис~оврrо актива мож~т при"'"
. .. IIИ~iaтьi знa~eнJIЯ;-(>i,il , и.0',2 с вероят~остt>l() . Q,9ир,7 соgтве,тст13ен­
. но. •J>ас.с~~три~ 1<о~нтракт на. • дожитие · сроком действия · · ~ · год с
·..· ·. · ,, IЗ~!!IЛажамй {1+ .rJ + р}вслучае дожития дер?Кателяполисадо дан­
Д{(>~~цта. В~рQ51тц9сть. Gмертt1 в теч~~J1:е ГодаО,004, ..и: QTo со­
, :. !Igt,o
1 " p~i~!!~ д~ ~~виcif'I' qтцфведе1цщ цeHJ>I а:кцiп~~. JJрамках М:Рд~л;:и х.ед­
, ',;;!~р:9ц~пця ·. В ·.. среДIIеКВ(l,ЦратИЧеском . н'~йти -КодичестнО.'аЮilfй\ "{,
.
. '."];~JS~ "·j(aт<)poм · дqстигает~я минимум · D[;1 (у).,д началь~Ь1Ц ,I}адищ~ал
· ~·~·•.··.·.•?. "··.·
: .::<=~
_-,-__ --·-- ·-
.
,-;~'.;
127
С 0 , при котором достигается минимум Е[С 1 (у) -С0 (у)] 2 • Считать ·
Bo=So=l.
Решение. В данном случае реплицирующей самофинансируе­
М.{)Й стратегии не существует, · поэтому стремятся минимизировать
DC1 (у), т.к цена С 1 (у) есть доход, полученный от действия на фи­
нансовом рынке за вычетом выплат по полису, т.е. «процесс риска»,
а Е[С 1 (у)~ С 0 (у)] 2 характеризует меру «несамофинансируемости».
,Qбознаt~ИМ / 1. - · индикатор события, с,остоящего в том, что дер­
жатель полиса 1Iроживе;т 1 год, torдa Имеем
]i'max{l + .r,1 +р} =[1,1·0,3+1,2~0,7J=1,17,
· Е(р ~z) =-0,1·Q,З+0,2 ·О,7 ~oJ=· o,01,
· Ер
--9,ti,
. D(p ~ r) - D(p) = 0,01· о;з +О,04
· О,Т- 0,11·0,11==0,0189.
.-'
-
- --
''
.
'
-
:-
.,
·:
1
Дйскойrированное
Значе1;1йе
цены
акции
равно
+ Р, значит,
·.i" . · · "..
" . ""..
·
".·· .. · ·':?\>'', ·"" · ·
· · ·.
· .. ;:
1+ r ·
.
i+ ii;.
+" .· . ·: :• ..... ... .. .· ..
· ·•ц}1й ~амем ИЗ e;,oor1Ioцlerи1ю,·
· из~~~сfш~ .~йCj?Н~~o~ttfi~~.neнщ сст~•• ;п 1.~.
~скоц­
·. т~ро~~()~ :\~~~~~щ~ .щ.rмf!тir? полттсr обо~на.ЧЩ{ Н, ИЗ )'словия
Зада4h н =='А . fl)JJ.X{l+·· r;l + р}. Искомое' значенЙе количе6тва ак. : :" ."'\);".:. . ·'/':. . ..··. . :·· .1
.
<"'\
].
.__..__~-"""-"----~
.
~ ~ ~-
-,
··~ (;qv(Ц >n;iaX:{I -t r, I +..р}, ·Р -- r) _
.P<P~. r>
~·~. :§)
~~:996 .r_
;o_;1!!• ~1-, \~·<1,1z~i~o.91 .;p,o l} +
L .
, .
+О. ,·. ·З· . (1,1 .-1;17) 1(~0,4- O,Ql).].··_·.·_
.·. . . . .
.. ". ·
0,0189
=.·..•
. . ·.·
.'332
.
( )__ .
_
- и:Ь'l<:омьrи · н:а.чальныйкаnйi'ал наЙдем . Из соотнопiения
: ;~.·~: t·и".·._".".с_:·"._ ·,_ >· =в. ·.·с_.•·.'°") · ~49~~"-1*171,1+ oJзi} ·•.. ·(J\61
._ ·•.·~.·· · _ ·1 · 0.· 6·•._2_".
. . ·. ·_.· " . · ' :· . .
=.· ·_:_·•...
..
•
•
С:•· о
i
-1\'У .....'·.
4_.
·. . ·. ;·..
.
·.•· З~~етим,· что ·:~ .". отсуТсtвих р:оnолнитеЛьног(>
исtо;ника риска,
свя~а~но~9 со с~ертью· ~а~тр~ованного (вероятность смерти О),
. М:9Я{~0· · Jiай'Ги самофИн[{нсt(руе-WЮ сТратеГию, реплицир)iющуtо
.. IiJiатёЖное · обязательство · из соотношений
.'
1,1 . с. о ~ о. '.1 . у : 1,2
{1,1 . с о - о ,2 . у ..... 1,1,
откуда у~
0,333,
С0 ~
1,0606,
т.е. при малой вероятности смерти
реплицирующая и хеджирующая в среднеквадратическом страте-
гии близки.
.·
.
Ответ: искомые парам~трьrхеджирования в среднеквадратичес..
ском есть у~
..
,
0,332,
~
С0 ~
1,0624. ·
--:
_
.-
., ,_..'.- :.:; ::' ._:' - .- : _- .'_:· ~' ', .----
:у· ·
_--·,:
-.-- ;
ПриИdЯвле~1п1 боА~.ШИх ~ k()nл!lre исков (например, »Ре­
зу.nьтате . ~асшс,габных . бедстJ31J:й),/ . I"(Ф~влениn . большого ·. числаисков
(надI»йм~р, •· . зем.цетрясениеj ·ура~а~·( ИJIИ.· наводн:ение), ..внезапном
цзменен11и .,~1отоt<аяремий веде~ет~ие ин:фляции или оттока.. кли­
енто1J~;'"~ед1а;н~и: ·.- nрцвде~ь,:.-. J-1(.)~~~· r~J:fентов · И · · УВСЛИЧИТI> . ~апитал
воз1If1~~~?· необходимость.переg~~9ванI1Я рисков. . . ·.· .< :
··
. Пус]Б ~~N,.· т :~и9л~ цqкрв-;~-1~(~,. t], {ь\, О2 ,
. .. ,
и N(t)}'
.·
· -.. ·
по-
~АедО»~~!~l~; fiр~дъям~.J~,~~сiвj&(t) ~~и, -· СуММЗ аьrплат . к мg~~~~~ :l!Нt~jfeни . t..Ст~_f!х9.в~~1s:омпаниястрахует риск, . свя­
. занный с,Х@)'. --
·'!ui ,. заклю~а~. Ji9tg~()р.J]ерестрахованИясдругой
'.. . . . . . ··, .) =1
..
·.
>·. '
'
•
. . ·· ·.·. .
·., ·.... . .". .·. ·.
. . . ко~паIIиеЦ; .•.: ~-~рцктеристиl(ой .·.· • ~о~в~ра> .·перестрахования. >служит·
~~личина ,. hе~· ,?. :. ~о!fЧ?~,· ~еч0,5р~,g;Я%~~!Ч~Р- ~ыПJiачивает· nеJ?вичII.ая
К()мш:1ния <;~.Оу~ страхова:гелК), ·.
octaIOI(
Х
-"-.. h(X) ·выпJiачйвает
. ·_' Ц'Г<?РИ~fl№ ;~~~9~J.-!WJ;· . :IJPИ.::Y[l{9~1-~?~kдt9!'9~0P•.· пe11~.C).'fpa~Q~ft!i,~·' _ цep­
. ~~~н~ ~?M.f!~~: :·'· WJ~~ИT В~О}),Щ{~Q~Ц~~lfПЦО~ ..:Ведщ~иц;;l·:~ f- h{~.),
~qтoprio,r noi.RJ,J~·.. ·. · .·.i11Т<JР.ИЧf!ая; , l(р.Мf!ЩJЮJ!д~рц!fч;~ои 13 сДут.Jа~ воз":
I!ИIOIQBeн~ ;.~·~~l{~IJ9~ . (;Д~~циц, е,<;:r.~917,1~е~нч . н~зь1вать ·з;q·5трщо..··. ~0,lll;l~i{. :lf.q({lit,it~-f~ i;;f№$!.м . . oQpf!gO~i· IcJep~CJ1ЩX()J3:aI;JИe· - .· ЭТQ ЦрQЦесс
рщ.~цред~ле17~~ ~11.~ff:~: м.е)К,Ц}' ·. нусl(ольщiци·..ко_мnания.ми.• :в . д~щrх
)11\1~Иьilt~tц1}!i@У<г~~;ре~атежес11ос<()бЦ991:'И) фуцкция h(~Jца;зьр;ш­
.етс~ ~уц!fr.Цией.у»~~J}Д1с(J'µZЩ · Ц· дqmрн.руА013детворять сл~дуiоIДи~ ·~сТ~ЯТJЗJ~~«ЫМ м-3~9~1f51м: . .·...· . · .· •.· .·.·.· . · . .·,•·.•·. . . .. ..
..
~'~~(,r)' ~~~~~~ывщощ{~ ~уцк~цщ, ,
:
Ыримера~и: .ФУII1сцийудержанщrявляются: ·.
.· . .· . . ·. . .
• h.(~}:::а ·х;. () <.i};' ~ 1 ~.· ёоотве!fствует· контракту пропорционШlь­
·
ного пересmрфсования,
• h{x}= min{й~·x}; а> О -"-
определяет stop-loss конmракm (или
контракт ~трахования превышения rюrперь)' .
.•. • .·.·.' ..•
.· .· Первична~ С!f'а~овая компания ~оЮкна заплатить вт~ричной
Н,екоторуЮ пр~ми:ю, ·. Поскольку передает ей часть своего рИс.~а" С
точки зрения nерестр~овQчной . компа11ии - это обычньiй конт-
129