2-39 Н.И. Никитенко Закон интенсивности спектрального

УДК 533.1: 536.2
ЗАКОН ИНТЕНСИВНОСТИ СПЕКТРАЛЬНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЧАСТИЦ И
СВЯЗАННЫЕ С НИМ ПРОБЛЕМЫ ТЕПЛО - И МАССОПЕРЕНОСА
Н.И. Никитенко
Ин-т технической теплофизики НАН Украины
Излагается и обосновывается закон интенсивности спектрального излучения
частиц тела. Показано, что применение этого закона позволяет получить: формулу
Планка для излучательной способности абсолютно черного тела; закон распределения
частиц по энергиям Максвелла – Больцмана и некоторые новые функции распределения
частиц по энергиям; интегродифференциальное уравнение переноса энергии, которое
позволяет объяснить известные расхождения между классической теорией
теплопроводности и экспериментальными данными и в пределе переходит в уравнение
теплопроводности Фурье; выражения для теплоемкости тела, которое в пределе
переходит в формулу Дебая, коэффициента диффузии, переходящее в предельных
случаях в формулу Аррениуса для твердых и в формулу Эйнштейна для жидких сред,
интенсивности испарения конденсированных тел
и давления насыщенного пара,
которые хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Ключевые слова
Излучение, теплопроводность, диффузия, испарение.
Условные обозначения
А - энергия активации, Дж/кмоль; c - скорость перемещения носителей, м/с; E энергия частицы, Дж;
e - средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы
частицы (атома), Дж; F - эффективное сечение поглощения частиц единичного
объема, 1/м; f - коэффициент конденсации; G – масса частиц единичного объема,
которые за единицу времени достигают энергии активации, кг/(м3с); g - удельная
плотность потока массы, кг/(м2с); h - постоянная Планка, Дж·с; i - порядковый номер
энергетического уровня частицы; J - удельная плотность потока энергии, Вт/м2; k постоянная Больцмана, Дж/К; m – масса молекул пара, кг;
n -плотность частиц, 1/м3;
2
Р – давление, Па; Q - удельный тепловой поток, Вт/м ; q - мощность спектрального
излучения частицы, Вт; t – время, с; T –температура, К; U -удельная внутренняя
энергия, Дж/м3; W -объем, м3 ; w - функция вероятности; d - относительная толщина
слоя конденсированного тела; d* - толщина приграничного слоя, в котором протекает
процесс испарения, м; e - коэффициент излучения, 1/с; l - коэффициент
теплопроводности, Вт/(м·К); s - эффективное сечение поглощения частицы, м2 ; c плотность фотонов, 1/м3 ;n - частота волны, 1/с; y - степень насыщения парогазовой
смеси. Индексы: и - испарение; к - конденсация; н - насыщенный пар; п – пар.
Введение
Теория теплового излучения является связующим звеном между теплофизикой,
термодинамикой, оптикой и электродинамикой. Поэтому не случайным является тот
факт, что работы Планка, в которых получено окончательное выражение для плотности
и интенсивности стационарного излучения абсолютно черного тела, привели к разрыву
рамок классической физики и открытию квантования излучения. Излучение
макроскопического тела в конечном счете формируется микрочастицами. Формула
Планка не позволяет получить зависимость лучеиспускательной способности частиц
от их энергетического состояния, хотя такая зависимость необходима для описания
нестационарных и неравновесных процессов излучения, явлений теплопроводности,
масссопереноса, деформирования, различных активационных процессов.
Для объяснения расхождений между классической теорией теплопроводности и
экспериментальными данными автором сформулирован механизм теплопроводности,
согласно которому перенос энергии, как и массы вещества или поля, осуществляется
материальными носителями, непрерывно испускаемыми и поглощаемыми частицами
вещества. Этот механизм послужил основой для развития радиационной теории тепло и массопереноса [1-4] и привел к установлению закона интенсивности спектрального
излучения частиц.
2. Закон интенсивности спектрального излучения частиц
Для частицы а конденсированного тела справедливо уравнение энергии
И
а
a
t)
В
s ab а
ra t rb ra / c) q а (ra , t ) ,
(1)
t
а 1
где E a - энергия частицы a ; s аb - эффективное сечение поглощения частицы a по
отношению к носителям, испускаемым частицей
b ; q a - энергия носителей,
испускаемых частицей за единицу времени; J bа - удельный поток энергии носителей,
испускаемых частицей в, который падает на частицу а в момент времени t ; ra и rb радиусы-векторы частиц a и b; B - число частиц, испускающих носители, достигающие
частицы a ;.
Уравнение (1) содержит три неизвестные функции E, q и J . Поэтому для
решения (1) требуется еще два соотношения, связывающих эти функции. Зависимость
между мощностью излучения q частицы a и удельным потоком энергии носителей
J(h)
, создаваемым ею через сферическую поверхность радиуса h, определяется
структурой тела и видом носителей. Изменение потока J(h) на пути от h до h+dh
вследствие поглощения носителей данного вида частицами однородного тела составит
dJа(h)=- Jа(h)Fdh. Здесь F - эффективное сечение поглощения частиц единичного
объема по отношению к носителям, испускаемым частицей a . Для простейшего
случая однородного однокомпонентного аморфного тела, в котором перенос энергии
осуществляется одним видом носителей,
s . Для кристаллических и анизотропных
тел выражение для F несколько усложняется [1,2]. Поток энергии, которая переносится
испускаемыми частицей а носителями, через сферическую поверхность радиуса h
4p 2 J (h, t) .
Его
изменение
на
пути
dh
раве н
,()
составит
2
4p J (h, t ) Fdh=
dQ t)
h )Fdh . Принимая во внимание, что на частицу,
удаленную от частицы b на расстояние h, в момент времени t падают носители,
которые были испущены в момент t-h/c, а также то, что при отсутствии поглощения
носителей Jа(h,t)= qа(0, t-h/c)/(4ph2), после интегрирования dQ h t) получаем
Ja(h,t)= ,0
h
c
(h),
(h)=
1
exp
4ph 2
h
Fdh .
0
(2)
Для однородного однокомпонентного аморфного тела (h)= exp( nsh ) /(4ph2).
Зависимость q=q(E) характеризует физические свойства частиц тела и не
связана с конфигурацией и термодинамическим состоянием последнего. Для ее
установления рассматривается однородная аморфная пластина (0ЈхЈХ) в стационарном
неравновесном состоянии, в которой перенос энергии осуществляется одним видом
носителей. Согласно известным экспериментальным данным [1] теплопроводность l
аморфных тел пропорциональна удельной теплоемкости cv . В связи с этим можно
принять, что для рассматриваемой пластины температуропроводность aT =l/(cvr) не
зависит от температуры. Незначительное отклонение от условия aT № aT (T) для
реальных тел можно объяснить некоторой зависимостью от температуры структуры тел
и числа видов носителей, участвующих в передаче энергии. Поскольку согласно закону
сохранения энергии удельный тепловой поток Q в рассматриваемом теле вдоль оси х
остается неизменным, то
lr
T
T
ca vT
x
x
Q
aT
U T
T x
aT
U
x
const .
Отсюда вытекает, что удельная внутренняя энергия U , а значит и средняя энергия E
частиц пластины, линейно зависят от координаты х.
Из выражений (1) и (2) следует, что частица с координатой х от частиц
изотермического слоя толщиной dh, удаленного на расстояние h , получает за
F
d
( m
y )2pydy , где h || x и у х.
2
0
Тогда уравнение баланса энергии для частиц слоя с координатой х (с учетом того, что
функция
быстро
убывает
при
возрастании
аргумента
h
и
единицу времени энергию dQ
Fd
h 0
F
qx
2h 0
y
pydy 1 ) может быть представлено в виде
y 0
q(x
) 2q ( x) dh
h
y 2pydy
0.
y 0
Это уравнение
удовлетворяется при условииxqh
q ( x h) 2q ( x) 0 , из
которого непосредственно вытекает, что среднее значение испускаемой частицей за
единицу времени энергии q так же, как и E , линейно зависит от координаты х.
Отсюда следует, что q линейно зависит от Е [1]. При Е=0 интенсивность излучения
q=0. В соответствии с этим можно сформулировать следующий закон интенсивности
испускания энергии частицами тела
q=eE,
(3)
где e - коэффициент испускания энергии, e№e(Е). Если перенос энергии в теле
осуществляется носителями различных видов, то каждый атом в соответствии с числом
его степеней свободы может испускать и поглощать только три вида носителей. Для
каждой из степеней свободы справедлива формула (3), и общая энергия атома
складывается из энергий, приходящихся на его степени свободы.
Если носителями энергии являются фотоны
hn,
то энергия частиц,
находящихся по частоте n на i - том энергетическом уровне, равна Е=i hn. На базе (3)
и условий согласования с законами излучения абсолютно черного тела и законом
Максвелла- Больцмана о
распределения частиц тела по энергиям можно
сформулировать в обобщенном виде (по сравнению с тем как это было сделано в [1])
следующий закон интенсивности спектрального излучения частиц:
Частицы единичного объема тела, находящиеся на i - том энергетическом
уровне по частоте n, излучают за единицу времени квантами hn энергию qin ,
величина которой пропорциональна энергетическому уровню i, энергии кванта hn
и плотности находящихся на этом уровне частиц nin , т.е
qin=ennin i hn,
(4)
где en - коэффициент излучения, который не зависит от энергетического
уровня. Частицы в момент излучения переходят на нулевой энергетический
уровень. Отношение коэффициента излучения ε bn
к эффективному сечению
поглощения s bn не зависит от вида частиц b .
Поскольку данный закон справедлив и для случая, когда nin=1, его можно
рассматривать как элементарный закон теплового излучения. Непосредственная
экспериментальная проверка этого закона сопряжена с большими трудностями. Однако
приведенные ниже результаты исследований свидетельствуют о
справедливости
сформулированного закона и эффективности его применения для изучения сложных
проблем молекулярного и радиационного переноса.
3. Распределение частиц по энергиям и интенсивность излучения черного тела
Рассмотрим конденсированное тело, состоящее из B компонентов. Каждому
атому тела отвечают три степени свободы и он может излучать и поглощать фотоны
трех различных частот n . Для простоты выкладок поставим в соответствие каждой
степени свободы условную частицу, колеблющуюся с одной частотой n . Пусть в
единичном объеме конденсированного тела содержится n i частиц компонента b ,
которые имеют энер гию in i n , т.е. находятся на i-том энергетическом уровне по
частоте n . При излучении частица переходит на нулевой уровень энергии, испуская i
квантов hn , поэтому число частиц, покидающих уровень i за единицу времени
&
bn
/ ih
bn
n bin ,
i
1,2, ..., I
,
(5)
где I bn - порядковый номер верхнего уровня энергии, на котором может находиться
частица компонента b .
Если плотность фотонов hn в рассматриваемой системе есть cn , то энергия,
поглощаемая за единицу времени n i
частицами [1]
'
bn
bn c n hn .
Интенсивность перехода частиц с уровня i на i+1 уровень вследствие поглощения
ими энергии q i равна
&nb
(6)
/h
n bin bn ccn ,
1,2,..., bn 1.
В стационарных условиях число степеней свободы на уровне i является
неизменным, т.е.
(7)
n b ,1n n bin n& bin 0 ,
1,2,..., bn 1.
bn
Решение уравнения (7) с учетом соотношений (5), (6) может быть представлено
в виде
i
b 0n
1
in
en
/ n
i
0
cn
1,2,...,
,
bn
1.
(8)
Здесь wβin =nβin /nβn - вероятность нахождения частицы, колеблющейся с частотой n, на
1
c c
.
i - м энергетическом уровне ; s=nn
Покажем, что при I bn >>1 , когда w
I bn
0 , выражение (8) представляет
распределение Максвелла –Больцмана. Из условия нормировки находим, что w0ν=(1-s).
Средняя энергия частицы en
wbin
bn
i 0
hns / 1 s) .
i 0
Зависимость величины s, en и cn от температуры Т может быть получена
следующим образом. Представим функцию win в следующем виде
)s i
1(
i
exp (
Ei ) / q .
(9)
где
n l ,
q ln 1 s .
(10)
Подставляя (9) в уравнение сохранения числа частиц, записанное в виде
q
1 , а за тем дифференцируя полученное выражение по
win
, находим
i 1
1
i 1
q
2
q
¶
¶q
Ein
E in
exp
0.
(11)
q
Поскольку величины q и Y не зависят от i , то из уравнения (11) следует, что [1]
/
en . Это выражение представляет собой термодинамическое уравнение
Гиббса - Гельмгольца для системы, в которой реализуется одна частота колебаний n,
причем функция
- свободная энергия, отнесенная к одной квазичастице, а q=kТ,
причем k№k(T). Тогда в соответствии с (10)
s=exp
hn
,
kT
n
hn
n exp
kT
1
1
,
cn
en
hn
exp
cs n
kT
1
1
=
e n en
.
c n h
(12)
Величина cn определяет общее число фотонов hn в единичном объеме,
которые перемещаются в различных направлениях и образуют Nn стоячих волн.
Энергия одной стоячей волны
n / N . Число стоячих волн в единице
n
n
объема абсолютно черного тела c частотами в интервале от n до
d определяется
известной еще из классической физики формулой
d)(
8pn n / . Число
ст
c
n
различних частот в этом интервале со ставит
плотность энергии поля черного излучения
r
pn
U
ст
c
3
2
phn 3
c
3
e bn
s bn
hn
exp
pn
n/
Nn ) . При этом объемная
1
1
.
(13)
kT
n
Сопоставляя полученное выражение при
находим, что k - постоянная Больцмана, и
n /k
<<1 с формулой
Рэлея-Джинса,
(14)
) 1.
При этих условиях формула (13) совпадает с формулой Планка. Из (14)
следует, что отношение bn / bn не зависит от вида частиц, т .е.
f b).
bn
bn
bn
/(
bn
n
Согласно (12) и (14) средняя энергия степени свободы частицы en и энергия стоячей
1
=
exp
волны U стn равны энергии квантового осциллятора: стn
/(kT ) n 1 .
n
Подстановка значения s в (8) при I bn
приводит к закону распределения
Максвелла-Больцмана
ex
n /(kT ) exp E /(kT ) .
4. Интегродифференциальное уравнение переноса энергии
*
- вероятное число
Пусть w=w(n) - функция плотности стоячих волн и n bn
степеней свободы частиц компонента b , обменивающихся энергией со стоячими
волнами частоты n. Запишем уравнение (1) с учетом (2) и (4) для степени свободы
произвольной частицы компонента b , колеблющейся с частотой n , и находящейся на
i -том уровне энергии. В результате замены суммирования в правой части уравнения (1)
интегрированием по объему тела W , умножения полученного выражения на ibn / bn ,
суммирования по всем значениям i с использования соотношения
bn
bn
n bn en ,
i
*
а затем умножения на n bn
w , интегрирования по всем частотам n и суммирования по
всем видам частиц b , получаем интегродифференциальное уравнение переноса
энергии. После введения осредненных по частотам и видам частиц значений величин
e , F , G , оно может быть представлено в виде
,(t )
t
U
r
W
где Nn =eF
h t
h
t
rU
c
/(4ph2) и U=
NdW ,
*
bn
n
(15)
d . Функция N быстро убывает с возрастанием
o b 1
h. Запишем (14) в декартовых координатах, разложим функцию Un (x+hx, y+hy, z+ hz, t- h /с) в окрестности точки (x,y,z,t) в ряд Тейлора и удержим четыре первых члена.
В результате некоторых преобразований [1] приходим к гиперболическому уравнению
теплопроводности. При с
это уравнение переходит в уравнение Фурье.
Если принять, что перенос энергии в теле осуществляется одним видом
носителей - фотонами частоты n , то для этого случая удельная внутренняя энергия
U=3
. Это выражение совпадает с тем, которое получено Эйнштейном. При
b
n
b 1
очень низких температурах оно расходится с экспериментальными данными.
Положим, что в интервале 0<n<n b плотность частот колебания частиц тела
опредляется известной из классической физики формулой w=8pn 2/c3 и при n>n b
*
*
не зависит от частоты, т.е. n bn
функция w=0, а n bn
= n b* . Тогда выражение для U
принимает следующий вид [12]
9k
nb
4
b 1
J b3
Jb / T
0
3
d
,
exp(z) 1
Jb
hn b
k
,
nb
9
3 /13
b
8pn b*
.
(16)
Когда В =1 и b* 3( / V3 ) 3 / 2 , где V3 - скорость звука, выражение (16) переходит в
формулу Дебая, хорошо согласующуюяся с экспериментальнами данными
Согласно (15) тепловой поток через границу контакта двух тел, температуры
которых отличаются на величину T , составляет [7]
l T 4 , т.е. в отличие от
вытекающего из уравнения Фурье бесконечного значения, является ограниченным. В
[1] получено кинетическое уравнение переноса в излучающей среде, которое при
отсутствии лучистого переноса переходит в кинетическое уравнение Больцмана, а при
отсутствии перемещения частиц – в интегродифференциальное уравнение переноса.
4. Радиационная теория диффузии в конденсированных средах
Скорость протекания процессов диффузии, испарения, термоионной эмиссии,
тепловой ионизации, диссоциации, химических реакций и ряда других процессов
резко возрастает с повышением температуры. Согласно экспериментальным данным [5]
коэффициент диффузии цинка в меди при повышении температуры от 20 0 С до 300 0 С
возрастает в 1014 раз.
В работах [3,4,6] на базе закона интенсивности спектрального излучения частиц
тела сформулирован следующий механизм диффузии. Динамика диффузионных
процессов в многокомпонентных конденсированных системах при изменяющемся
температурном поле определяется функциями распределения частиц по энергиям и
интенсивности перехода их с данного энергетического уровня на следующий более
высокий уровень при этих процессах. Предельный уровень энергии I bn , на котором
может находиться частица компонента b в активационных процессах, определяется из
условия bn
Ab ( I bn 1)h , где Ab - энергия активации. Частица, находящаяся
на уровне I bn , после поглощения фотона
hn активизируется и, отдавая энергию
( bn 1) n , разрывает связи с соседними частицами, совершает диффузионный
переход и оказывается на нулевом энергетическом уровне в соседней ячейке.
Из условия сохранения числа частиц nn при равновесии системы следует, что
I bn
I bn
I
s
i
i 0
i 0
1
1 s bn
wn
1 s
i
1.
Отсюда находим, что w0=(1-s)/(1-sI+1). С учетом (14) выражение для функции
распределения при активационных процессах представляется в виде
1
w
i
1 exp
h
kT
1 exp
I
1h
exp
kT
Ei
,
kT
(17)
Вероятное число частиц единичного объема тела, которые за единицу времени
достигают энергии активации и совершают диффузионный перескок, составит
)
bn
&
1(
s bn
n bn bn / exp Ab /(kT ) 1 .
bn w b bnn c bn n = bn bn
Суммируя это выражение по всем частотам n , а за тем умножая полученное
уравнение на массу частицы m b , находим массу частиц компонента b из единичного
объема, которые за единицу времени достигают энергии активации
Gβ=
b
exp
Ab
kT
1
1
,
(18)
где e b - осредненный по частотам коэффициент излучения ; r b
n bn m b .
b
n
Поскольку вероятное число диффузионных переходов, совершаемых атомом
сорта b за единицу времени, есть G / r , а за каждый переход атом преодолевает
расстояние l b , то его средняя скоро сть
Gb / r b .
Согласно элементарной кинетической теории [3] плотность диффузионного
потока атомов сорта b через плоскость z в положительном направлении составит,
1
1
lb ,
а
в
обратном
направлении
lb .
)( l G z b
)( l G z b
6
6
Результирующая плотность диффузионного потока атомов в направлении z равна
Gb
1
lb
3
z
j
bb
1
sb
3
¶
¶z
bn
wbIn
n
= Db
r
K
z
T
T
,
z
(19)
В результате подстановки выражения (19) в уравнение сохранения массы
компонента b [6] r
di J ) , где r
,
j b , m b -масса атома
компонента b, с учетом соотношений (4)-(6), получаем уравнение массопереноса,
которое может быть представлено в виде
rb
t
div D gradr
div(
Kb
T
gradT ) ,
где Db и K b - коэффициенты диффузии и термодиффузии частиц компонента ,
(20)
1
lD
2
exp
e
1
A
1
1
,
b
3
b
kT
3
A
2
b b
b
A
exp
b
kT
exp
kT
A
2
1
.
(21)
kT
Выражение для D b хорошо согласуется с экспериментальными данными [6] и при
АD /RT >> 1 переходит в эмпирическую формулу Аррениуса, а при Аβ/RT << 1 - в
формулу Эйнштейна для жидких сред.
5. Радиационная теория испарения
Механизм испарения несколько отличается от механизма диффузии [7,8].
Вероятное число активизирующихся частиц определяется выражением (19). Эти
частицы, теряя накопленную энергию, перемещаются с равной вероятностью во всех
направлениях. Те из них, которые расположены вблизи свободной поверхности и их
путь до этой поверхности не превышает d * , отрываются от тела. Величина d* может
рассматриваться как толщина приграничного слоя, примыкающего к свободной
поверхности достаточно массивного конденсированного тела, в котором протекает
процесс испарения. Вероятность испарения частицы, находящейся от наружной
поверхности на расстоянии x d * , равна [7] wи
(1
/ d *) / 2 , а масса частиц,
испаряющихся в элементарном слое
dx единичной площади dg
w)(G A d .
Остальные частицы тела, так же, как при диффузии, после некоторых перемещений
оказываются на нулевом энергетическом уровне в другой точке тела. Интенсивность
испарения конденсированного слоя толщиной d находится путем интегрирования
dg и по толщине испаряющегося слоя
1
A
gи = erd d 2 d ) exp
4
kT
1
1
,
(22)
где r - плотность конденсата; d =d/d* при 0<d<d* и d
поток конденсирующихся молекул пара g к
1 при > *.
Удельный
находится с использованием закона
Максвелла о распределении молекул по скоростям,
gк=
к
2pkm
Pп
Т
,
( 23)
где f к – коэффициент конденсации; Рп - парциальное давление пара.
В условиях теплового равновесия системы конденсированное тело - газовая фаза
температуры фаз и потоки массы испаряющихся и конденсирующихся молекул равны,
т.е. Тп=Т и gи=gк, а давление пара Рп равно давлению насыщенного пара Рн. При
этих условиях из выражений (22) и (23) находим формулу зависимости давления
насыщенного пара от температуры в условиях равновесия
1
T
P
N
2pkm 1
A
1
2pkm
1 , N
exp
erd d 2 d )
es к d2(
d)
. (24)
н
fк
kT
4
4
к
Она хорошо согласующуюся с экспериментальными данными [7].
Результирующий удельный поток молекул пара от конденсированного тела
1
g= gи - gк = erd d 2 d )
4
1
A
exp
kT
1
1
A
y exp
kTг
1
,
(25)
где y - степень насыщения парогазовой смеси при данной температуре, y=Рп/Pн(Тг).
Удельный тепловой поток Q=-l ¶ T/ ¶h , который подводится к граничной
поверхности конденсированного тела вследствие процессов испарения, конденсации
и конвективного теплообмена, в соответствии с законом сохранения энергии равен
d
d
Q=
1
2
2
eA
x
)(exp
A
kT
1
1
1
A
y ( г ) exp
kTг
1
-a(Тг-Т),
(26)
где rф - теплота фазового перехода конденсированного тела в пар, rф=rф(T); a коэффициент конвективного теплообмена. Уравнение (26) представляет собой условие
теплообмена между испаряющимся телом и окружающей средой.
Выводы
Использование
концепции переноса энергии с помощью материальных
носителей, непрерывно излучаемых и поглощаемых частицами вещества, и некоторых
экспериментальных фактов
для изучения
явления теплопроводности в
конденсированных телах приводит к закону интенсивности спектрального излучения
микрочастиц. Из этого закона следуют: формула Планка для излучательной
способности абсолютно черного тела; закон Максвелла-Больцмана о распределении
частиц по энергиям; интегродифференциальное уравнение переноса энергии, которое
позволяет объяснить расхождения между классической теорией теплопроводности и
экспериментальными данными и в пределе переходит в уравнение Фурье; формула
для теплоемкости многокомпонентных тел, переходящая в пределе в формулу Дебая;
выражение
для температурной зависимости коэффициента диффузии, которая в
предельных случаях переходит в формулы Аррениуса для твердого тела и Эйнштейна
для жидкости; формулы для интенсивности испарения конденсированных тел и
давления насыщенного пара от температуры, которые хорошо согласуются с
экспериментальными данными.
Литература
1. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса. - Киев: Наукова думка, 1983. 352 с.
2. Nikitenko N.I. Radiation heat conduction mikromechanism. // Proc 1st Int. Conf. on
Transport Phenomena in Processing. Lancaster. PA17604. USA. 1992. P. 1580-1588.
3. Никитенко Н.И. Радиационный механизм тепло- и массопереноса в
конденсированных средах // Доп. НАН України . -2000.- № 4.- С. 76-81.
4. Никитенко Н.И. Об основах радиационной теории тепло- и массопереноса в
конденсированных средах. – Тепломассообмен- ММФ. Минск. -2000.-Т. 3- С. 259-266.
5. Криштал М.А. Механизм диффузии в сплавах. - Москва: Металлургия,1972. 400 с.
6. Никитенко Н.И. Проблемы радиационной теории тепло- и массопереноса в твердых и
жидких средах // Инженерно - физический журнал.- 2000.-Т. 73, № 4.-С. 851-859.
7. Никитенко Н.И. Исследование кинетики испарения на основе закона интенсивности
спектрального излучения частиц тела // Доп. НАН України .- 2002.- № 3. -С. 103-110..
8. Никитенко Н.И. Исследование динамики испарения конденсированных тел на
основе
закона интенсивности спектрального излучения частиц // Инженерно –
физический
журнал.- 2002.-Т. 75, № 3.-С. 128-134.