Динамика 6. Взаимодействие тел. Законы Ньютона. Сложение

Динамика
1
Динамика
6. Взаимодействие тел. Законы Ньютона. Сложение сил. Силы упругости. Закон Гука.
6.1. На лодку, привязанную к дереву, растущему на берегу, действует течение реки с силой 400 Н и ветер с силой 300 Н, дующей с берега перпендикулярно течению. Найдите равнодействующую этих сил.
6.2. На реактивный самолет действуют в вертикальном направлении сила
тяжести 550 кН и подъемная сила 555 кН, а в горизонтальном направлении –
сила тяги 162 кН и сила сопротивления воздуха 150 кН. Найдите значение равнодействующей этих сил.
6.3. Скорость автомобиля изменяется по закону x = 0,5·t. Найдите модуль
результирующей силы, действующей на него, если масса автомобиля 1,0 т.
6.4. Определите силу, под действием которой движение тела массой
200 кг описывается формулой x = 2t + 0,2·t2.
6.5. Трактор, сила тяги которого на крюке 15 кН, сообщает прицепу ускорение 0,5 м/с2. Определите ускорение, которое сообщит тому же прицепу трактор, развивающий тяговое усилие 60 кН.
6.6. Порожний грузовой автомобиль массой 4 т начал движение с ускорением 0,3 м/с2. Найдите массу груза, принятого автомобилем, если при той же
силе тяги он трогается с места с ускорением 0,2 м/с2.
6.7. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола орудия со скоростью 600 м/с.
Определите среднюю силу давления пороховых газов на снаряд, если длина
ствола орудия 3 м, а движение снаряда равноускоренное.
6.8. На тело массой 20 кг начинает действовать равнодействующая сила
1 Н. Определите расстояние, которое пройдет тело под действием этой силы за
30 с.
6.9. Упруго сталкиваются два стальных шара радиусов R1 и R2. Во сколько
раз ускорение второго шара больше первого, если R1 = 2R2.
6.10. Упруго сталкиваются два шара одинаковых радиусов. Во сколько
раз ускорение первого шара больше второго, если первый шар сделан из стали,
а второй — из свинца. Плотность стали 1  7,8·103 кг/м3, плотность свинца
2  11,3·103 кг/м3.
6.11. Тележки связанны нитью и вращаются
не смещаясь на центробежной машине (рис. 6.3).
Определите массу второй тележки, если
r1 = 30 см; r2 = 10 см, а масса первой тележки равРис. 6.3
на 300 г.
6.12. Два цилиндра, связанные нитью, вращаются не смещаясь на центробежной машине. При этом оказалось, что первый цилиндр при вращении расположился на расстоянии 9 см от оси вращения. Определите длину нити, если
масса второго цилиндра в три раза больше первого.
6.13. При абсолютном удлинении на 3 см длина пружины стала равной
27 см. Определите ее начальную длину, если пружину сжали.
6.14. Укажите направление сил упругости, действующих на тела в указанных точках (рис. 6.4).
www.alsak.ru
www.physbook.ru
www.web-physics.ru
2
а
б
в
Рис. 6.4
6.15. Определите по графику (рис. 6.5) коэффициент жесткости тела.
l, м
Fупр, Н
0,2
6
4
0,1
2
0
2
4
l, см
0
2
4
Fупр, Н
Рис. 6.5
Рис. 6.6
6.16. По графику зависимости изменения длины резинового жгута от приложенной к нему силы найдите жесткость жгута (рис. 6.6).
6.17. Закон Гука для проекции силы упругости пружины имеет вид
Fх = –200 х. Чему равна проекция силы упругости, если при удлинении пружины из недеформированного состояния проекция перемещения конца пружины
на ось Х составляет 10 см?
6.18. Два мальчика растягивают резиновый жгут, прикрепив к его концам
динамометры. Когда жгут удлинился на 2 см, динамометры показывали силы
по 20 Н каждый. Что показывают динамометры при растяжении жгута на 6 см?
6.19. Две пружины равной длины, соединенные последовательно, растягивают за свободные концы руками. Пружина жесткостью 100 Н/м удлинилась
на 5 см. Определите жесткость второй пружины, если ее удлинение равно 1 см.
6.20. Пружина изменила свою длину на 6 см, когда к ней подвесили груз
массой 4 кг. На сколько бы она изменила свою длину под действием груза
массой 6 кг?
6.21. Жесткость одной пружины равна k1, а другой k2. Определите жесткость пружины, составленной из этих пружин, соединенных последовательно.
6.22. Жесткость одной пружины равна k1, а другой k2. Определите жесткость пружины, составленной из этих пружин, соединенных параллельно.
6.23. Жесткость данного куска проволоки равна k. Чему равна жесткость
половины этого куска проволоки?
7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. ИСЗ
7.1. Два шара радиусами 1 м и 2 м соприкасаются поверхностями. Во
сколько раз уменьшится сила притяжения между шарами, если один из них
сдвинуть на 1,5 м вдоль линии, соединяющей центры шаров?
МГОЛ №1
Сакович А.Л., 2011
Динамика
3
7.2. Во сколько раз изменится сила притяжения между двумя телами, если
увеличить массу одного тела в 8 раз и увеличить расстояние между ними в 2
раза?
7.3. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным
радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Найдите расстояние от
центра Земли до точки, в которой силы притяжения любого тела к Земле и
Луне компенсировали друг друга. Радиус Земли равен 6,37·106 м.
7.4. В свинцовом шаре радиусом
20 см сделана сферическая полость, поверхность которой касается поверхности
шара и проходит через его центр. Масса
шара 330 кг. Используя закон всемирного
тяготения, определите силу, с которой
свинцовый шар будет притягивать маленький шарик массой 2 кг, находящийся
Рис. 7.1
на расстоянии 1,5 м от центра свинцового
шара на прямой, соединяющей центры шара и полости (рис. 7.1).
7.5. Определите высоту над Землей, на которой сила тяжести, действующая на тело массой 3,0 кг, равна 15 Н. Масса и радиус Земли равны соответственно 5,98·1024 кг и 6,37·106 м.
7.6. Во сколько раз уменьшится сила притяжения к Земле космического
корабля при его удалении от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли?
7.7. Найдите ускорение свободного падения на поверхности планеты, если
средняя плотность планеты 5200 кг/м3, а ее радиус 6100 км.
7.8. Определите ускорение свободного падения на поверхности Солнца,
если радиус земной орбиты 1,5·108 км, радиус Солнца 7,0·105 км и время обращения Земли вокруг Солнца 365 дней.
7.9. Определите ускорение свободного падения на Марсе, если вес космонавта на Земле 600 Н, а на Марсе 230 Н.
7.10. Определите ускорение движущегося лифта, в котором вес тела массой 70 кг, лежащем на дне лифта, станет равным 490 Н.
7.11. Вес летчика самолета в нижней точке «мертвой петли» равен 7200 Н.
Масса летчика 80 кг, радиус петли 250 м. Определите скорость самолета в этой
точке.
7.12. Чему равен радиус кривизны выпуклого моста, по которому движется автомобиль массой 10 т со скоростью 10 м/с, если вес автомобиля в верхней
точке моста 50 кН?
7.13. Определите период вращения планеты вокруг своей оси, чтобы тело
на экваторе находилось в состоянии невесомости. Масса и радиус планеты
равны соответственно 5,98·1024 кг и 6,37·106 м.
7.14. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность веществ планеты ρ = 3,0⋅103 кг/м3. Определить период вращения планеты вокруг собственной оси.
7.15. Автомобиль начинает двигаться по горизонтальной дороге с ускореwww.alsak.ru
www.physbook.ru
www.web-physics.ru
4
нием 3,5 м/с2. Чему равен вес арбуза массой 10 кг, который находится на сиденье автомобиля?
7.16. Автомобиль движется со скоростью 72,0 км/ч поворачивает по закруглению горизонтальной дороги радиусом 100 м. Чему равен вес арбуза
массой 10 кг, который находится на сиденье автомобиля?
7.17. Вычислите первую космическую скорость для Луны, если ее радиус
равен 1,76·106 м, ускорение свободного падения — 1,6 м/с2.
7.18. Найдите высоту над поверхностью Земли спутника, скорость которого равна 6,0 км/с. Масса и радиус Земли равны соответственно 5,98·1024 кг и
6,37·106 м.
7.19. Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите
радиуса r = 4,7·109 м со скоростью  = 1·104 м/с. Какова средняя плотность
планеты, если ее радиус R = 1,5·108 м?
7.20. Определите период обращения искусственного спутника, который
вращается по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли.
Масса и радиус Земли равны соответственно 5,98·1024 кг и 6,37·106 м.
7.21. Планета представляет собой однородный шар, плотность которого
 = 3·103 кг/м3. Определите период обращения искусственного спутника, движущегося вблизи поверхности шара.
7.22. Искусственный спутник запущен в плоскости земного экватора так,
что все время находится над одной и той же точкой земного шара (геостационарный спутник). Найдите радиус его орбиты, если радиус Земли 6,37·106 м.
7.23. Два искусственных спутника Земли движутся в одном направлении
со скоростями υ1 и υ2 по окружностям, лежащим в одной плоскости. Определить минимальное расстояние между спутниками. Радиус Земли R, ускорение
свободного падения на поверхности Земли g0.
7.24. Во сколько раз отличается скорость искусственного спутника, движущегося на высоте h1 от поверхности планеты от скорости спутника, движущегося на высоте h2 над поверхностью? Радиус планеты Rпл.
8. Силы трения. Прямолинейное движение под действием нескольких сил.
8.1. Стальной кубик массой 3 кг лежит на стальной горизонтальной плите.
Придет ли кубик в движение, если к нему приложить горизонтальную силу,
равную: а) 3 Н; б) 4 Н? Коэффициент трения стали по стали равен 0,13.
8.2. Трос выдерживает нагрузку 2,0 кН. Определите значение максимального ускорения, с которым можно поднимать на этом тросе груз массой 120 кг
так, чтобы трос не разорвался.
8.3. Пружина динамометра под действием подвешенного груза массой
200 г растянулась на 1,0 см. На сколько растянется пружина, если этот груз
поднимать вверх с ускорением 2,0 м/с2?
8.4. Определите значение ускорения, с которым падает тело массой 3,0 кг,
если средняя сила сопротивления воздуха 9,0 Н.
8.5. Время падения тела массой 0,2 кг с высоты 36 м оказалось равным
3 с. Вычислите по этим данным силу сопротивления воздуха.
8.6. Определить массу груза, который нужно сбросить с аэростата массой
МГОЛ №1
Сакович А.Л., 2011
Динамика
5
1100 кг, движущегося равномерно вниз, чтобы аэростат стал двигаться с такой
же по модулю скоростью вверх. Архимедова сила, действующая на аэростат,
равна 1⋅104 Н. Силу сопротивления воздуха при подъеме и спуске считать одинаковой.
8.7. Тело массой 2,0 кг движется по горизонтальной поверхности под действием силы, направленной горизонтально. Определите модуль силы взаимодействия тела с поверхностью, если коэффициент трения скольжения равен
0,50.
8.8. Найдите удлинение буксирного троса жесткостью 100 кН/м при буксировке автомобиля массой 2 т с ускорением 0,5 м/с2. Трением пренебречь.
8.9. Брусок массой 0,2 кг скользит по горизонтальной поверхности. Зависимость модуля силы трения (F) от модуля силы давления (N) бруска выражается формулой F = 0,3N. Определите силу трения скольжения бруска.
8.10. Упряжка собак при движении саней со стальными полозьями по горизонтальной обледенелой дороге может развить силу до 500 Н. Определите
массу саней с грузом, которую собаки могут перемещать с ускорением
0,10 м/с2. Коэффициент трения стали по льду равен 0,020.
8.11. К вертикальной бетонной стене пружиной прижат резиновый брусок
массой 400 г. Сила давления пружины перпендикулярна стене и по модулю
равна 10 Н. Найдите минимальную силу, которую нужно приложить, чтобы:
а) сдвинуть брусок вверх; б) сдвинуть брусок вниз? Коэффициент трения
бруска о стену 0,70.
8.12. Определите начальную скорость, с которой двигались аэросани, если
после выключения двигателя они прошли до остановки по обледенелой горизонтальной дороге 250 м. Коэффициент трения полозьев по льду равен 0,020.
8.13. На тело массой т в течение времени t действует постоянная сила F,
направленная горизонтально. Коэффициент трения тела о горизонтальную поверхность, на которой оно лежит, равен μ. Какой путь пройдет тело до остановки? Начальная скорость тела равна нулю.
8.14. Рабочий толкает вагонетку 300 кг с силой, направленной вниз под
углом 45° к горизонту. Найдите наименьшую силу, которую он должен приложить, чтобы сдвинуть вагонетку с места, если коэффициент трения 0,020.
8.15. По горизонтальной плоскости движется груз массой 10 кг под действием силы 50 Н, направленной вверх под углом 60° к горизонту. Определите, с каким ускорением движется груз. Коэффициент трения между грузом и
плоскостью считать равным 0,20.
8.16. Брусок массой 3,0 кг лежит на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения скольжения 0,40. К бруску под углом 60º к горизонту приложена сила, модуль которой возрастает пропорционально времени от 0 до 15 H
за 3,0 c. Найдите модуль силы трения через 2,0 c после начала действия силы.
8.17. Тело массой 20 кг тянут с силой 120 H по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом  = 60° к горизонту, то тело движется равномерно. С каким ускорением будет двигаться тело, если ту же силу
приложить под углом 2 = 30° к горизонту?
8.18. С каким ускорением скользит брусок по наклонной плоскости с угwww.alsak.ru
www.physbook.ru
www.web-physics.ru
6
лом наклона 30° и при коэффициенте трения 0,20?
8.19. При проведении лабораторной работы были получены следующие
данные: длина наклонной плоскости 1,0 м, высота 20 см, масса деревянного
бруска 200 г, сила тяги, измеренная динамометром при равномерном движении бруска вверх, 1,0 Н. Найдите коэффициент трения.
8.20. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол 15°. По ней
вверх пускают с нижней точки плоскую шайбу, которая, поднявшись на некоторую высоту, затем соскальзывает по тому же пути вниз. Определите коэффициент трения шайбы о плоскость, если время спуска в 3 раза больше времени подъема.
8.21. Найдите максимальное ускорение, с которым может двигаться достаточно мощный автомобиль по горизонтальной грунтовой дороге в дождливую погоду. Коэффициент трения шин по мокрой грунтовой дороге равен 0,35.
8.22. На какую высоту может подняться автомобиль с работающим двигателем по ледяной горе, составляющей с горизонтом угол α, если у начала
подъема он имел скорость υ0. Коэффициент трения равен μ, причем μ < tg α.
9. Движение по окружности. Система связанных тел.
9.1. Мальчик массой 50 кг качается на качелях с длиной подвеса 4 м. Определите силу, с которой он давит на сиденье при прохождении нижнего положения со скоростью 6 м/с.
9.2. Груз массой 1,0 кг, укрепленный на стержне длиной 80 см, вращается
в вертикальной плоскости с частотой 1,0 Гц. Определите силу упругости
стержня при прохождении груза через верхнюю точку траектории.
9.3. На горизонтальной сухой асфальтированной дороге автомобиль делает поворот радиусом 16 м. Определите наибольшую скорость, которую должен
иметь автомобиль, чтобы его не занесло. Коэффициент трения шин по сухому
асфальту равен 0,60.
9.4. Найдите наименьший радиус дуги для поворота автомашины, движущейся по горизонтальной мокрой асфальтированной дороге со скоростью
36 км/ч. Коэффициент трения шин по мокрому асфальту равен 0,40.
9.5. Горизонтально расположенный диск вращается с частотой 0,25 Гц вокруг вертикальной оси. Наибольшее расстояние от оси вращения, на котором
тело удерживается на диске в равновесии, равно 10 см. Чему равен коэффициент трения тела о диск?
9.6. Груз, подвешенный на нити длиной 60 см, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность (конический маятник). Определите скорость, с которой
движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол в 30°.
9.7. На какой угол надо отклонить нить с подвешенным на ней грузом, чтобы при прохождении положения равновесия сила натяжения нити была в 2
раза больше силы тяжести груза?
Рис. 9.1
9.8. Найдите силу упругости нити математичеМГОЛ №1
Сакович А.Л., 2011
Динамика
7
ского маятника в момент времени, когда скорость груза 2,0 м/с, угол наклона
нити 60° (рис. 9.1), если масса груза равна 100 г, длина нити 40 см.
9.9. Автомобиль массой 3,0 т движется по вогнутому мосту, радиус кривизны которого равен 60 м. Определите силу, с которой давит автомобиль на
мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол 10° с вертикалью, а скорость равна 36 км/ч.
9.10. Автомобиль массой 2,4 т движется по вогнутому мосту, радиус кривизны которого 50 м. Определите давление, производимое автомобилем на
мост в нижней точке, если модуль скорости автомобиля 10 м/с, а суммарная
площадь сцепления его колес с покрытием моста 12 дм2.
9.11. По выпуклому мосту, радиус кривизны которого 90 м, со скоростью
54 км/ч движется автомобиль массой 2,0 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста
угол , автомобиль давит с силой 14,4 кН. Определите угол .
9.12. Велотрек имеет закругление радиусом 40 м. В этом месте он имеет
наклон 40° к горизонту. На какую скорость велосипедиста рассчитан такой
наклон?
9.13. С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной
плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом 90 м, если коэффициент трения резины о почву 0,42?
9.14. Вертолет, масса которого 27 т, поднимает на тросах вертикально
вверх груз массой 15 т с ускорением 0,6 м/с2. Найдите силу тяги вертолета и
силу натяжения троса.
9.15. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, помещены грузы
массами 0,30 и 0,20 кг (рис. 9.2). Определите ускорение грузов и силу натяжения
шнура во время движения.
m1
1
h
2
m2
m1
m2
Рис. 9.2
Рис. 9.3
Рис. 9.4
9.16. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы m1 = 0,5 кг и
m2 = 0,6 кг. Найти силу, с которой блок давит на ось при движении грузов.
Массой блока и трением в блоке пренебречь.
9.17. Две гири массами m1 = 4,0 кг и m2 = 3,0 кг подвешены на концах нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Меньшая гиря находится на h = 2,8 м ниже, чем большая (рис. 9.3). Определить через какое время
гири окажутся на одной высоте, если дать им возможность двигаться без
начальной скорости под действием сил тяжести. Массой нити и блока пренебречь.
www.alsak.ru
www.physbook.ru
www.web-physics.ru
8
9.18. Найдите ускорение тел и силы натяжения нитей в устройстве, изображенном на рис. 9.4. Массы тел: m1 = 100 г, m2 = 300 г. Массой нитей, блоков
и силой трения пренебречь.
9.19. На гладком столе находится два бруска,
связанные между собой прочной нитью. Масса
первого бруска 0,50 кг, а второго — 0,10 кг. ВтоРис. 9.5
рой брусок тянут горизонтальной силой 3,0 Н
(рис. 9.5). Определите ускорение тел.
9.20. Два груза массами m1 и m2, соединенных невесомой и нерастяжимой
нитью, движутся по гладкой плоскости. Когда сила 100 Н была приложена к
правому грузу массой m2, сила натяжения нити была равна 30 Н. Какой будет
сила натяжения нити, если силу F приложить к левому грузу?
9.21. Определите силу упругости, которая действует в поперечном сечении однородного стержня длины l на расстоянии x от того конца, если вдоль
стержня приложена сила F. Силой трения пренебречь.
9.22. К концам однородного стержня приложены две противоположно
направленные силы F1 = 40 Н и F2 = 100 Н. Определите силу натяжения
стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на
две части в отношении 1:2.
9.23. Тело массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза массой 0,5 кг, прикрепленного к концу шнура, привязанного к телу и перекинутого
через неподвижный блок (рис. 9.6). Система тел движется с
ускорением 1,5 м/с2. Определите силу трения между телом
Рис. 9.6
и горизонтальной поверхностью.
9.24. На верхнем конце наклонной плоскости укреплен легкий блок, через
который перекинута нить с грузами m1 = 1,7 кг и m2 = 0,7 кг на концах. Груз
скользит вниз по наклонной плоскости, поднимая висящий на другом конце
нити груз m2. Угол наклонной плоскости с горизонтом равен 48 °, ускорение
грузов 2,1 м/с2. Найдите коэффициент трения между грузом m1 и плоскостью.
9.25. Брусок скользит по доске, которая в свою очередь скользит по
наклонной плоскости, наклоненной под углом  к горизонту. Определите
ускорение доски, если массы бруска и доски равны, коэффициент трения бруска о доску 1, доски о плоскость — 2. Считайте, что ускорение бруска больше
ускорения доски.
Содержание
6. Взаимодействие тел. Законы Ньютона. Сложение сил. Силы упругости. Закон
Гука. ....................................................................................................................................... 1 7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. ИСЗ ............................... 2 8. Силы трения. Прямолинейное движение под действием нескольких сил. ....... 4 9. Движение по окружности. Система связанных тел. ............................................ 6 МГОЛ №1
Сакович А.Л., 2011