радиуса. Таким образом, на окружности Q имеется п синих и п

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
ðàäèóñà. Òàêèì îáðàçîì, íà îêðóæíîñòè Q èìååòñÿ n
ñèíèõ è n êðàñíûõ òî÷åê, ïðè ýòîì êðàñíûå òî÷êè êàê-òî
çàíóìåðîâàíû ÷èñëàìè îò 1 äî n.
Ïóñòü Ñ – ñèíÿÿ òî÷êà, â êîòîðóþ ïåðåõîäèò n-ÿ êðàñíàÿ
òî÷êà. Áëèæàéøóþ ê Ñ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå òî÷êó (èç
îòìå÷åííûõ 2n òî÷åê) îáîçíà÷èì áóêâîé K. Óÿñíèì äëÿ
ñåáÿ, ÷òî K – êðàñíàÿ òî÷êà. Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî K
ìîæåò áûòü ñèíåé òî÷êîé, ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ òåì,
÷òî â òî÷êó Ñ ïåðåõîäèò n-ÿ êðàñíàÿ òî÷êà.
Êàæäàÿ êðàñíàÿ òî÷êà ïðè ïåðåõîäå â ñèíþþ âû÷åð÷èâàåò
íà îêðóæíîñòè Q äóãó ïîâîðîòà. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî äóãà
CK (îò òî÷êè Ñ ê òî÷êå K ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå) íå ÿâëÿåòñÿ
÷àñòüþ íèêàêîé äóãè ïîâîðîòà ïðè èñõîäíîé íóìåðàöèè
êðàñíûõ òî÷åê. Íî ðåøàþùåå ñâîéñòâî äóãè CK ñîñòîèò
â òîì, ÷òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ íèêàêîé äóãè ïîâîðîòà
ïðè âñÿêîé íóìåðàöèè êðàñíûõ òî÷åê.
×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ðàçâåðíåì äóãó KC, íà êîòîðîé
íàõîäÿòñÿ âñå îòìå÷åííûå òî÷êè, â âèäå ïðÿìîëèíåéíîãî
îòðåçêà KC (òî÷êà K – ëåâûé êîíåö, òî÷êà Ñ – ïðàâûé).
Ïðè ýòîì âñÿêàÿ äóãà ïîâîðîòà ïðè èñõîäíîé íóìåðàöèè
êðàñíûõ òî÷åê ïðåâðàòèòñÿ â âåêòîð, èäóùèé ñëåâà íàïðàâî èç êðàñíîé òî÷êè â ñèíþþ. Òàê ÷òî ëåâåå âñÿêîé òî÷êè
îòðåçêà KC íàõîäèòñÿ êðàñíûõ òî÷åê íå ìåíüøå, ÷åì
ñèíèõ. Èç ýòîãî ôàêòà ñëåäóåò ðåøàþùåå ñâîéñòâî äóãè
CK, î êîòîðîì ñêàçàíî âûøå.
Ïîýòîìó ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðè âñÿêîé íóìåðàöèè
êðàñíûõ òî÷åê ëþáàÿ äóãà ïîâîðîòà áóäåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ
âåêòîðîì íà îòðåçêå KC, èäóùåì ñëåâà íàïðàâî èç
êðàñíîé òî÷êè â ñèíþþ. Ñóììà äëèí òàêèõ âåêòîðîâ
âñåãäà ðàâíà ðàçíîñòè ñóììû êîîðäèíàò ñèíèõ òî÷åê è
ñóììû êîîðäèíàò êðàñíûõ òî÷åê.
Íî ïîñòîÿíñòâî ñóììû äëèí âåêòîðîâ ðàâíîñèëüíî ïîñòîÿíñòâó ñóììû óãëîâ ïîâîðîòîâ.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ì1724. Â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðîâåäåíû âûñîòû AD è
ÑÅ, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå Î. Ïðÿìàÿ DE ïåðåñåêàåò
ïðîäîëæåíèå ñòîðîB
íû ÀÑ â òî÷êå K.
Äîêàæèòå, ÷òî ìåäèàíà ÂÌ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé OK
(ðèñ.1).
D
Äîêàæåì, ÷òî ïðÿìàÿ
ÎÌ ïåðïåíäèêóëÿðE
íà KB. Îòñþäà íåO
ïîñðåäñòâåííî áóäåò
C
K
A
M
ñëåäîâàòü óòâåðæäåÐèñ.1
íèå çàäà÷è, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå Î
B
îêàæåòñÿ îðòîöåíòðîì òðåóãîëüíèêà
KBM (ðèñ.2).
Ïóñòü îñíîâàíèåì
ïåðïåíäèêóëÿðà,
îïóùåííîãî èç òî÷êè
D
Î íà ïðÿìóþ BK,
ñëóæèò òî÷êà N
E
(ðèñ.3). Ïîñêîëüêó
O
òî÷êè Å è N ëåæàò íà
C
K
îêðóæíîñòè ñ äèàìåòA
M
Ðèñ.2
ðîì ÎÂ, òî óãîë BND
6 Êâàíò ¹5
«ÊÂÀÍÒÀ»
ðàâåí óãëó BED. ÀíàB
ëîãè÷íî, ÷åòûðåõóãîëüíèê AEDC âïèñàí â îêðóæíîñòü ñ
äèàìåòðîì ÀÑ. Ïîýòîìó óãîë BED ðàâåí óãëó ÀÑÂ. Òàêèì
D
N
îáðàçîì, ñóììà óãëîâ
KND è ÀÑÂ ðàâíà
E
180°, ò.å. ÷åòûðåõóO
ãîëüíèê KNDC âïè- K
C
A
M
ñàííûé. Çíà÷èò, óãîë
NCK ðàâåí óãëó Ðèñ.3
NDK. Íî óãîë NDE
ðàâåí óãëó NBE â ñèëó òîãî, ÷òî òî÷êè B, D, E è N, êàê
ìû óæå îòìå÷àëè, ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì ÎÂ. Ïîýòîìó
B
ðàâíû óãëû NBA
è NCA. Ò.å. òî÷êà
N ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà
ÀÂÑ.
D
Íàì îñòàëîñü ñîN
âñåì íåìíîãî. ÏðîE
äîëæèì ïðÿìóþ
NO äî ïåðåñå÷åO
íèÿ ñ îïèñàííîé K
C
A
îêðóæíîñòüþ òðåP
óãîëüíèêà ÀÂÑ â Ðèñ.4
òî÷êå Ð (ðèñ.4).
Òàê êàê óãîë BNP ïðÿìîé, òî ÂÐ – äèàìåòð ýòîé
îêðóæíîñòè. Çíà÷èò, óãëû ÂÀÐ è ÂÑÐ ïðÿìûå. Ïîýòîìó
îòðåçîê ÀÐ ïàðàëëåëåí ÑÅ, à ÐÑ ïàðàëëåëåí AD. Íî
îòñþäà ÀÐÑÎ – ïàðàëëåëîãðàìì, è ïðÿìàÿ NO äåëèò ÀÑ
ïîïîëàì, ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
Ì.Âîë÷êåâè÷
Ì1725 *. Èç êâàäðàòà
>
C >
C
2n + 1 × 2n + 1 êëåò÷àòîé
áóìàãè âûðåçàíà êðåñòîîáðàçíàÿ ôèãóðà F (ðèñ.1).
Äîêàæèòå, ÷òî
à) ôèãóðó F íåëüçÿ ðàçðåçàòü íà 2n âûïóêëûõ ôèãóð;
á) åñëè ôèãóðà F ðàçðåçàíà
íà 2n + 1 âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, òî êàæäûé èç
íèõ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì.
à) Ôèãóðà F ÿâëÿåòñÿ
ìíîãîóãîëüíèêîì, êîòîðûé ìîæíî çàêëþ÷èòü â êâàäðàò ABCD
òàê, ÷òî íà êàæäîé ñòîðîíå êâàäðàòà îêàæåò- A
ñÿ ðîâíî n + 1 óãëîâûõ
âåðøèí ìíîãîóãîëüíèêà F (ðèñ.2).
Äîïóñòèì, ÷òî F ìîæíî ðàçðåçàòü íà 2n âûïóêëûõ ôèãóð: F = Ðèñ.2
F
n+
Ðèñ.1
B
C
D