ЛЕКЦИЯ 5 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ЛЕКЦИЯ 5
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
В прошлый раз рассматривалась потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. Было показано, что в этом случае имеет место квантование. Частица, находящийся в яме с бесконечно высокими стенками, может занимать не любое положение,
а только строго определенное. Есть дискретный набор уровней, на которых может находится частица. То есть, в яме с бесконечными стенками происходит дискретизация
состояний частицы. Было указано значение этой энергии, решено уравнение Шредингера в этих условиях.
Задача 3.13. Яма с бесконечными стенками, заполненная электронами
В одномерной потенциальной яме шириной 𝑏 с бесконечными стенками находятся 𝑁
электронов. Определить минимальное значение полной энергии 𝜖min и силу давления 𝐹
электронов на стенки ямы. Взаимодействием электронов пренебречь.
Решение.
Рис. 5.1
Энергия одного электрона на 𝑛-м уровне равна:
𝜖u� =
𝜋2 ℏ2 2
𝑛 .
2𝑚𝑏2
На каждом энергетическом уровне могут находиться не более двух электронов.
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
2
u�
𝜖min
𝜋2 ℏ2 2 2
=2
∑𝑛 .
2𝑚𝑏2 u�=1
Вспомним формулу:
u�
𝑁 (𝑁 + 1)(2𝑁 + 1)
∑ 𝑛2 =
6
u�=1
u�
2
⇒
∑ 𝑛2 =
u�=1
𝑁 (𝑁 + 2)(𝑁 + 1)
,
24
𝜋2 ℏ2 𝑁 (𝑁 + 2)(𝑁 + 1)
.
𝑚𝑏2
24
Это есть полная энергия этих электронов.
Давление рассчитывается по формуле:
𝜖min =
𝐹 =−
⇒
𝐹 =
𝜕𝐸min
,
𝜕𝑏
𝜋2 ℏ2 𝑁 (𝑁 + 2)(𝑁 + 1)
.
𝑚𝑏2
12
Задача. Прохождение нейтронов через щель
Поток нейтронов падает на длинную щель с абсолютно отражающими стенками. При
какой минимальной скорости нейтроны смогут пройти через эту щель?
Решение.
Рис. 5.2
Если бы нейтроны были частицами, они бы прошли щель без проблем. Но нейтроны —
это не волны Уместно вспомнить волновод. Как показывалось в курсе оптики, не всякая
волна может войти в волновод. Поэтому, эту задачу можно решить рассматривая щель
как волновод. Просто в квантовой физике волна совершенно другой природы, это не
электромагнитная волна, а волна де Бройля. Щель для нейтронов выступает в роли
ямы с бесконечными стенками. Следовательно, для нейтрона возникают уровни энергий.
Следовательно, если энергия нейтрона равна энергиям этих уровней, то нейтрон в щель
войдет, и там навсегда останется. То есть у него компонента скорости вдоль начального
направления будет нулевая. Если энергия больше, то нейтрон пройдет через эту щель.
𝑚𝑣2
𝜋2 ℏ2
> 𝐸1 (при 𝑛 = 1) =
,
2
2𝑚𝑑2
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
𝜖кин =
!
3
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
⇒
𝑣≥
Эта задача аналогична задаче 3.14
𝜋ℏ
см
≈ 20
.
𝑚𝑑
𝑐
Задача 3.33. Эффект Рамзауэра
В 1920 г. Рамзауэр обнаружил, что в сечении рассеяния 𝜎u� медленных электронов на
атомах криптона имеется глубокий минимум (резко увеличивается проницаемость атомов) при энергии 𝜖 = 0,6 эВ. Этот эффект обусловлен волновыми свойствами электронов. Считая, что для электрона потенциал атома является одномерной прямоугольной
ямой глубиной 𝑈 = 2,5 эВ, оценить радиус атома криптона.
Решение.
На рисунке (??) показан график зависимости сечения рассеяния электронов от их
энергии.
Рис. 5.3
Сечение рассеяния — это вероятность рассеяться.
Нарисуем потенциальную яму (5.3):
Энергия 𝐸 маленькая по сравнению со значением потенциала.
Несмотря на то, что энергия электрона выше нулевого уровня, он может захватиться.
𝑘=
𝜆=
1
√2𝑚(𝑈 + 𝐸),
ℏ
2𝜋
ℎ
=
.
𝑘
√2𝑚(𝑈 + 𝐸)
В этой яме должно упаковываться целое число длин полуволн де Бройля. Это есть
ключ к решению этой задачи.
Условие резонанса:
𝜆
2𝑅 = .
2
Это самое минимальное значение самого основного состояния. Остальные значения
нереализуемы.
Поэтому:
𝜆
ℎ
𝑅= =
= 1,74 ⋅ 10−8 см.
4
4√2𝑚(𝑈 + 𝐸)
В экспериментах получается значение 1,98 Å. Заметим, что не было решено уравнение Шредингера.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
4
Задача 8.24. Прохождение ультрахолодных нейтронов над горизонтальной
пластинкой
Ультрахолодные нейтроны выходят широким пучком из горизонтального нейтроновода и затем движутся свободно над горизонтально расположенной пластинкой, упруго
от нее отражаясь и тем самым совершая периодическое движение. Это движение в гравитационном поле квантуется, и поэтому пройдут над пластинкой только те нейтроны,
у которых высота движения 𝐻 соответствует разрешенной энергии. Оценить на основе
правила квантования Бора – Зоммерфельда какова третья разрешенная высота
Решение.
У ультрахолодных нейтронов скорости составляют несколько мс . Они могут накапливаться.
Движение нейтронов показана на рисунке (5.4):
Рис. 5.4
Запишем правило квантования Бора – Зоммерфельда:
∮ 𝑝 𝑑𝑧 = 𝑛ℎ,
Закон сохранения энергии:
𝜖 = 𝑚𝑔𝐻 =
⇒
𝑝2 = 2𝑚𝜖 − 2𝑚2 𝑔𝑧
𝑝2
+ 𝑚𝑔𝑧,
2𝑚
⇒
𝑝 = √2𝑚(𝜖 − 𝑚𝑔𝑧),
u�
∮ 𝑝𝑑𝑧 = 𝑛ℎ = 2 ∫ √2𝑚(𝜖 − 𝑚𝑔𝑧)𝑑𝑧 =
0
4
2
√ (𝑚𝑔𝐻) 32 = 𝑛ℎ,
3𝑔 𝑚
ℎ2 =
3𝑛ℎ
3
√ = 0,2 ⋅ 10−3 см 2 ,
4𝑚 2𝑔
⇒
(2 ⋅ 10−4 ) 3 = 0,034 мм.
3
2
Задача 3.27. Возбуждённый электрон в одномерной яме
Электрон, находящийся в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной 𝑎 = 4 Å и глубиной 𝑈0 = 10 эВ, переведен в возбужденное состояние с энергией
𝜖 ≈ 10−2 эВ (нуль отсчета энергии — состояние покоя вне ямы). Оценить время жизни
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
5
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Рис. 5.5
возбужденного состояния, считая, что оно ограничивается вылетом электрона из ямы,
а не переходом в основное состояние.
Решение.
Такую задачу следовало бы решить через нестационарное уравнение Шредингера. Но предлагают сделать оценку. Предположим, рассматриваемый электрон уже
оказался в возбужденном состоянии.
Вспомним коэффициент прохождения над ступенькой:
𝐷=
𝑘12 =
4𝑘1 𝑘2
,
(𝑘1 + 𝑘2 )2
2𝑚
(𝜖 + 𝑈0 );
ℏ2
𝑘22 =
2𝑚
𝜖.
ℏ2
Подставим эти значения в 𝐷:
𝐷=4
√𝜖(𝜖 + 𝑈0 )
√ .
(√𝜖 + 𝑈0 + 𝜖)2
𝜖 много меньше 𝑈0 .
⇒
𝐷 ≈ 4√
𝜖
𝑈0
— вероятность уйти за 1 раз.
Скорость электрона:
𝑣=√
2(𝑈0 + 𝜖)
2𝑈
= √ 0.
𝑚
𝑚
Частота ударов о барьер:
𝑛=
Время жизни:
𝑣
1 2𝑈
= √ 0.
𝑎
𝑎
𝑚
(1 − 𝐷)u�u� ,
где 𝐷 ≪ 1.
𝑛𝜏 𝐷 = 1,
𝜏≈
!
1
𝑎
𝑚
𝑈
𝑎
√ 0 =
= √
≈ 10−15 с.
u�
𝑛𝐷
4 2𝑈0
𝜖
4√ 2u�
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
6
Задача 3.48. Прямоугольная яма с одной бесконечной стенкой
Нейтрон находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с шириной 𝑎 = 1,3 ⋅ 10−13 см, ограниченной с одной стороны бесконечно высокой
стенкой. При этом 𝑈0 при 0 < 𝑥 < 𝑎, а при 𝑥 ≥ 𝑎 потенциал 𝑈 равен постоянной конечной величине 𝑈0 . Отношение вероятностей обнаружить частицу внутри и вне ямы
равно 𝛼 = 0,1. Считая, что максимум волновой функции достигается вблизи границы
ямы, определить энергию связи нейтрона.
Решение.
Яма показана на рисунке (5.6).
Рис. 5.6
Освобождение означает 𝜖 = 𝑈0 .
Оказывается, что в трехмерной яме связанные уровни энергии есть не всегда. Это
легко понять на некоторых примерах. Например, невозможно составить связанного состояния двух нейтронов. Такая конструкция не образовывает атом. Для образования
конструкции типа атома нужны нейтрон и протон. Такая комбинация называется дейтрон. Дейтрон возможен.
Следовательно, в трехмерном случае существуют ямы, в которых не возможен ни
один уровень. Трехмерная задача сводится к задаче той формы, которая в этой задаче
представлена. В одномерном случае всегда есть уровни.
Запишем уравнение Шредингера за пределами ямы:
″
𝜓 −
2𝑚
(𝑈 − 𝜖)𝜓 = 0.
ℏ2 0
Сделаем некоторые обозначения:
2𝑚
(𝑈 − 𝜖) = 𝜘2 ;
ℏ2 0
2𝑚
𝜖 = 𝑘2 .
ℏ2
Решение принимает вид:
𝜓I = 𝐴 sin 𝑘𝑥,
𝜓II = 𝐵 e−u�u� .
Условие сшивки:
𝐴 sin 𝑘𝑎 = 𝐵 e−u�u� ,
𝐴𝑘 cos 𝑘𝑎 = −𝐵𝜘 e−u�u� ,
⇒
!
𝑘 ctg 𝑘𝑎 = −𝜘,
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
7
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
𝜘2 =
⇒
2𝑚
2𝑚 𝑈
(𝑈0 − 𝜖) = 2 0
2
ℏ
ℏ 4
√ u�40
𝜘
1
ctg 𝑘𝑎 = − =
= −√
𝑘
3
√ 3u�4 0
⇒
𝑘𝑎 =
2𝜋
.
3
Мощность ямы — это 𝑈0 𝑎2 .
Начальная мощность ямы:
𝑘2 𝑎2 =
4𝜋2
3𝑚𝑈0 2
=
𝑎
9
2ℏ
⇒
𝑈0 𝑎2 =
8𝜋2 ℏ2
.
27𝑚
Частица свободна при условии 𝜖 = 𝑈 .
ctg 𝑘𝑎u� = 0
Конечная мощность ямы:
𝑘2 𝑎2u� =
!
⇒
𝑘𝑎u� =
𝜋
.
2
𝑈0 𝑎2u� ,
𝜋2
2𝑚𝑈0 2
=
𝑎
⇒
4
ℏ2 u�
𝑎
= 1,54.
𝑎u�
𝑈0 𝑎2u� =
𝜋2 ℏ2
,
8𝑚
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
8
Задача 3.47. Одномерная симметричная прямоугольная яма
Электрон находится в основном состоянии в одномерной симметричной прямоугольной потенциальной яме с шириной 2𝑎 = 10 Å с потенциалом 𝑈 (±∞) = 0. Отношение
вероятностей обнаружить частицу внутри и вне ямы равно 𝛼 = 0,1. Считая, что изменение волновой функции внутри ямы мало, определить энергию связи электрона и
глубину ямы (эВ).
Рис. 5.7
Решение.
Относительная вероятность обнаружить частицу внутри и вне ямы равно 𝛼 = 0,1.
2𝑎 = 10 Å,
𝑤внутр
= 𝛼 = 0,1.
𝑤вне
Энергией связи называется величина 𝑈0 − 𝜖.
Считаем, что внутри ямы 𝜓 почти константа
″
I∶
𝜓I +
2𝑚
𝜖𝜓 = 0,
ℏ2
2𝑚
(𝑈 − 𝜖)𝜓 = 0,
ℏ2
2𝑚
2𝑚
𝑘2 = 2 𝜖; 𝜘2 = 2 (𝑈 − 𝜖).
ℏ
ℏ
″
II ∶
𝜓I
Решения:
I∶
II ∶
𝜓I (𝑥) = cos 𝑘𝑥,
𝜓II (𝑥) = 𝐴 e−u�u� .
Сшивка:
cos 𝑘𝑎 = 𝐴 e−u�u� .
𝑘 sin 𝑘𝑎 = 𝐴𝜘 e−u�u� .
Получается:
𝜘 √𝑈 − 𝜖
=
,
𝑘
𝐸
𝑈
1
1 + tg 𝑘𝑎2 =
=
𝐸
cos 𝑘𝑎2
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
tg 𝑘𝑎 =
!
9
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
cos 𝑘𝑎 = √
⇒
𝜖
ℏ2 𝑘 2
ℏ2
=√
=
𝑘𝑎.
𝑈
2𝑚𝑈
2𝑚𝑈 𝑎2
Условие малости изменения внутри ямы:
𝑘𝑎 ≪ 1.
Из условий сшивки приближенно получаем:
𝑘 ⋅ 𝑘𝑎 ≈ 𝜘𝐴 e−u�u� ,
1 ≈ 𝐴 e−u�u� ,
𝑘2 𝑎 ≈ 𝜘.
Вероятность обнаружения частицы в яме:
u�
𝑤1 = 2 ∫ 𝜓12 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 2𝑎.
0
Вероятность обнаружения частицы вне ямы:
∞
∞
𝑤2 = 2 ∫ 𝜓22 (𝑥)𝑑𝑥 = 2𝐴2 ∫ e−2u�u� 𝑑𝑥 =
u�
0
⇒
𝐴 e−u�u� ≈ 1 ⇒
Итак,
𝑤1
=𝛼=
𝑤2
𝑤1
2𝑎𝜘
=
= 2𝑘2 𝑎2
𝑤2
1
u�2
u�
𝐴2 −2u�u�
e
,
𝜘
2𝑎
,
e−u�u�
⇒
𝜘=
𝛼
;
2𝑎
𝑘2 =
𝛼
.
2𝑎2
2𝑚
2𝑚
𝜖; 𝜘2 = 2 (𝑈 − 𝜖),
2
ℏ
ℏ
2 2
2
𝑘 ℏ
𝛼 ℏ
𝛼ℏ2
⇒ 𝜖=
= 2
=
= 7,63 ⋅ 10−3 эВ,
2𝑚
2𝑎 2𝑚
4𝑚𝑎2
𝜘2 ℏ2
𝛼2 ℏ2
⇒ 𝑈 −𝜖=
=
= 3,8 ⋅ 10−4 эВ,
2𝑚
8𝑚𝑎2
⇒ 𝑈 = 8 ⋅ 10−3 эВ.
𝑘2 =
Задача 3.46. Прохождение частицы над одномерной прямоугольной ямой
При прохождении нерелятивистской частицы с энергией 𝜖 над одномерной прямоугольной ямой глубиной 𝑈 = −3𝜖 коэффициент отражения по мощности оказался рав9
ным 𝑅 = 25
. Определить минимально возможную глубину ямы в единицах соответствующей ему дебройлевской длины волны. Воспользоваться известным из оптики условием,
что при отражении от оптически более плотной среды фазы отраженной и падающей
волн отличаются на 𝜋.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
10
Рис. 5.8
Решение.
Воспользуемся условием из оптики, что при таком отражении фаза меняется на 𝜋.
В свободном пространстве (I и III) 𝑈 = 0.
1√
2𝑚𝜖.
ℏ
⇒
𝑘0 =
𝑘=
1
√2𝑚(4𝜖)𝑘0 .
ℏ
⇒
𝑘
= 2 = 𝑛.
𝑘0
В яме (в области II):
Заметим, что это и есть показатель преломления этой среды над ямой.
Яма — это среда с показателем 𝑛 > 1 (𝑛 = 2). Все рассуждения аналогичны рассуждениям в курсе√оптики.
Тогда 𝑟 = − 𝑅 = − 35 .
𝜓1 = 1 ⋅ eu�u�0 u� +𝑟 ⋅ e−u�u�0 u� ,
𝜓2 = 𝑎 ⋅ eu�u�u� +𝑏 ⋅ e−u�u�u� ,
𝜓3 = 𝑑 ⋅ eu�u�0 u� .
Сшивка при 𝑥 = 0:
1 + 𝑟 = 𝑎 + 𝑏,
1−𝑟 =
⇒
Сшивка при 𝑥 = 𝐿:
𝑎
= −3
𝑏
𝑘
(𝑎 − 𝑏) = 2𝑎 − 2𝑏,
𝑘0
⇒
3
𝑎= ;
5
1
𝑏=− .
5
𝑎 eu�u�u� +𝑏 e−u�u�u� = 𝑑 eu�u�0 u� ,
𝑎 eu�u�u� −𝑏 e−u�u�u� =
𝑘 u�u�0 u�
𝑑e
.
𝑘0
Обозначим eu�u�u� = 𝑧.
𝑎𝑧 + u�u�
= 2 ⇒ 3𝑧 2 + 3 = 0 ⇒ 𝑧 2 = −1,
𝑎𝑧 − u�u�
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
⇒
!
3𝑧2 − 1
𝑘
=
=2
2
3𝑧 + 1
𝑘0
⇒
11
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
u�
⇒
!
eu�u�u� = ±𝑖 = e±u� 2 = 𝑧,
𝜋
𝜋
𝜋
𝑘𝐿min =
⇒ 𝑙min =
= .
2
2𝑘
4
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu