Теория излучения заряда, проходящего через электрически

1965 ?. Июнь
Том 86, вып. 2
УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК
538.3
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА, ПРОХОДЯЩЕГО
ЧЕРЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНУЮ СРЕДУ
Ф. Г. Басе, В. М. Лповенко
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
§ 1. Переходное излучение заряда, проходящего через границу двух сред . .
§ 2. Излучение заряда, проходящего через движущуюся границу раздела
§ 3. Переходное излучение при наклонном падении заряда на границу раздела
§ 4. Переходное излучение при учете пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости
§ 5. Излучение точечного заряда, проходящего через пластинку
§ 6. Излучение частицы, движущейся в среде с периодически
меняющимися
свойствами
§ 7. Излучение частицы в среде с флуктуацпями диэлектрической
проницаемости
§ 8. Излучение частицы при наличии препятствий
Цитированная литература
189
190
198
199
201
206
210
216
220
226
ВВЕДЕНИЕ
В 1946 г. В. Л. Гинзбург и И. М. Франк г показали, что если равномерно и прямолинейно движущаяся заряженная частица пересекает
границу двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями,
то имеет место своеобразное излучение, которое получило название переходного. В дальнейшем эффекты излучения, связанные с движением частиц
через электрически неоднородные среды, привлекали внимание ряда
авторов. Интерес к этому кругу явлений связан с тем, что излучение типа
переходного встречается весьма часто, например, при изучении черенковского излучения в ограниченных средах, в задачах о прохождении пучков
частиц через неоднородную плазму, что имеет место в солнечной короне,
ускорителях, в счетчиках при детектировании частиц и др. Физическая
суть этих эффектов такова.
При движении заряда через электрически нес днородную среду соотношение между фазовой скоростью электромагнитных волн в точке, где
находится частица, и скоростью частицы непрерывно меняется. В результате электромагнитное поле, связанное с .астицен, как бы отрывается
от нее. вследствие чего и происходит излучение.
В этом смысле излучение частицы, движущейся равномерно и прямолинейно в среде с меняющейся диэлектрической проницаемостью, аналогично излучению частицы, неравномерно движущейся в вакууме. В обоих
случаях излучение связано с изменением "^отношения между фазовой
скоростью электромагнитных волн в данной .среде и скоростью частицы.
1
УФН, г. 86, вып. 2
190
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Только в первом случае меняется фазовая скорость волны, а во втором
случае — частицы.
Из сказанного следует, что излучение электромагнитных волн
в электрически неоднородных средах равномерно движущейся заряженной частицей является, в отличие от эффекта Черенкова, эффектом нерелятивистским и может наблюдаться при относительно лалых скоростях.
Хотя излучению частицы в неоднородной среде посвящен ряд работ,
тем не менее систематическое изложение этого весьма актуального вопроса, насколько нам известно, отсутствует. Настоящий обзор должен
в какой-то мере восполнить этот пробел.
Мы сознательно не касались работ, посвященных излучению при
движении частицы параллельно плоской поверхности раздела, ибо указанный эффект является разновидностью черенковского излучения.
С состоянием этого вопроса на 1961 г. можно ознакомиться по обзору
Б. М. Болотовского 4 1 , а также по более поздним оригинальным работам 33- 34 · 42а> 82 · 8 5
В настоящем обзоре рассмотрено только излучение частиц в неоднородной среде, заполняющей неограниченное пространство, в связи с чем
не затрагивались работы об излучении в волноводе 36~38· 4 3 ' 44 · β8> 7 1 7 2 · 1 2 7 .
§ 1. ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЗАРЯДА, ПРОХОДЯЩЕГО
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ СРЕД
Задача о переходном излучении впервые была решена, как известно,
Гинзбургом и Франком * и в дальнейшем рассматривалась другими авторами в ряде работ 2> 5> 1 9 2 9 ' 7 4 * ) .
Здесь мы для решения этой задачи воспользуемся методом, предложенным Гарибяном 4 .
Пусть заряд е, движущийся равномерно со скоростью ν, пересекает
границу раздела двух сред с различными диэлектрическими и магнитными
проницаемостями ε и μ. Предположим, далее, что потери энергии частицы
на единицу пути настолько малы по сравнению с ее кинетической энергией, что скорость частицы можно считать неизменной. Тогда поле, создаваемое частицей, описывается уравнениями Максвелла вида
„
1 Ш 4л s ,
,.
rotH = · 5—|
ev6(r — vt),
c
dt
ч
с
'
.„
rotE=
1 дВ
дс
at
(Μ)
divB = 0, div D = 4πβδ (r — νί),
Β = μ Η , Ό = εΕ.
Выберем плоскость ζ = 0 в качестве границы раздела между средами.
Частица движется вдоль положительного направления оси ζ из первой
среды (ει, μ^ во вторую (ε2, μ2) и пересекает границу в момент времени t = 0.
Будем искать поля и токи в виде разложения в трехкратные интегралы Фурье:
Ε (г, ί ) = \
Е
(k) ei №Γ"ωί) dk и т. п.,
(1.2)
где
a = kv = kzv,
D(k) = e(<u)E(k),
В (к) = μ (ω) Η (к).
*) Очень наглядную физическую интерпретацию переходного излучения, его
особенности
и связь с другими явлениями читатель может найти в докладе И. М. Фран108
ка
, посвященном памяти С. И. Вавилова.
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
1У1
Компоненты Фурье для полей имеют следующий вид:
—^-εμν - к
I
(1-3)
H(k)-=|[vE].
Эти выражения описывают поле заряда в неограниченной среде и являются
решениями неоднородных уравнений Максвелла.
Для нахождения переходного излучения, т. е. эффекта, связанного
с границей, к приведенным выше решениям необходимо добавить решения
однородных уравнений Максвелла с произвольными константами, которые находятся из условий непрерывности тангенциальных составляющих
полей.
Обозначим через ρ и κ компоненты векторов г π к, лежащие в плоскости х, у. Решения однородных уравнений Максвелла можно записать
в виде
Ei, 2 (r, t) =
где
λ2
——
2
—
Поскольку первая среда занимает область пространства ζ < 0 . то из
условия конечности решения при ζ —> — со следует Im %\ < 0.
Очевидно, что поля излучения в первой среде могут распространяться только в отрицательном направлении оси ζ, поэтому Re λι < 0 .
Из аналогичных соображений получаем, что Re λ2 > 0 , Im λ2 > 0 . Указанные знаки Im λ1>2 относятся к положительным ω. Для отрицательных ω
эти знаки должны быть обратными.
Из граничных условий для тангенциальных составляющих полей E t
и Н г найдем фурье-компоненты полей излучения. В первой среде имеем
г,
et
y.Xj
r,
ei
v.2
(1,5)
тт
бг
CU8J
Н
'
ίκνΐ
l
J
Ύ-ΐ
где
η
ε<
_
ω
~
λ2
.
ω
Ι
^ _ ^ -
гл2
''
λ2
„
η
τ, г.)Ц 2
ί,-,2
г
с
ζ = ε 2 λ! — ε 4 λ 2 .
Поля излучения во второй среде получаются из формул (1,5), если
поменять местами индексы 1 и 2.
Рассмотрим теперь случай, когда частица движется из среды в вакуум,
т. е. ε 2 = μ 2 = 1 , и, кроме того, будем считать μ ι = 1 , ε ι = - ε = ε' f i e " .
192
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Выпишем выражение, например, для
электрического поля излучения в вакууме:
E2P(Q, z, t)=
радиальной
составляющей
ξ Ε^β-^άω,
(1,6)
—οο
j-,
С κλο cos φ
ei
ω =
Ίζη^ ) Τ λ 2 - λ ι
,,
Λ
1 —
,. .
η 2 e x p
а2
С
2
c o s φ
,2
ω2
ο
Ь
Х
Λ
>
, ,
^ (κρ
2 — ~^Γ2~
κ
.,
ζΖ
+
^
.
κ
.
φ
'
9
·
Интегрирование по φ проводится от 0 до 2π, по κ — от 0 до со. Интеграл по φ выражается через функции Бесселя. Введем расстояние R
от точки вылета частицы из среды до точки наблюдения и угол θ между
осью ζ vi R посредством соотношений ζ = R cos θ и Q = i i s i n 9 . Тогда
при больших R, используя асимптотику функций Бесселя, получим
Ea(R,
θ) =
о
(1,7)
где
с
/γ
JU
"\
.
л/
— ~ /v j
~f (т\
Ύ c'lTl Π 1 "1/ Ί
/ l •ЛУ I ——- t b o l l l υ ~~γ~ у
X
γ2 ft r\a Й
JU \J\J!J Lfj
2
•ψ(χ)= — a;sin9 + y 1—ж cos θ,
ω
χ—
I
I
Ϊ
. „
.
Λ
η . (τ)
L·—VC 2jii?sin0 ε λ η.- λ(τ)
! II 22 WW
2
2
J
Подобного рода интегралы при —
R > 1 легко вычислить методом
С
С
перевала. Рассмотрим первое слагаемое в подынтегральном выражении:
о
Точкой перевала является xs = sin 9. Необходимо учесть, что функция
W (χ) имеет полюс в точке
ι
\2
который при условии 0 •< хр •< sin θ дает вклад в поле излучения в виде
цилиндрической волны (другие полюсы не существенны).
Расстояние между точкой перевала и полюсом меняется с частотой;
в частности, полюс может совпадать с точкой перевала (имеется в виду
случай, когда ε" -> 0). В зависимости от этого расстояния поля излучения
в вакууме имеют различную структуру. Опуская некоторые выкладки,
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
193
поле излучения можно представить в следующем виде 5 4 :
о
-f Wo | 2 ш ехр [ ι т Д/ (тр)
Г
J+ J ^
х
е~& ехр (^ - Д - -^
— со
(1,9)
где Wo — вычет W (х) в полюсе χ — агр,
р sec θ ехр -^- .
(1,9)
(Можно показать, что второе слагаемое в подынтегральном выражении (1,7), в экспоненте которого стоит ψ (ж), в приближении больших R
не дает вклада в поле излучения.)
Когда точка перевала и полюс расположены достаточно далеко друг
от друга (|Δ[ > 1),
En^-W
11
{xs) | / ^ f cos θ ехр (j "- /ί) -f- 2nW0 ехр [ i -f- Щ (jrp) — j ] ·
В области частот, где
/(•'>) —-3" 1- так что
Δ | <С l t полюс и точка перевала совпадают
Таким образом, поле излучения при условии ε"]/ ω/ί/c < 1, т. е.
когда затуханием можно пренебречь, состоит из сферической и цилиндрической волн. Первая описывает переходное излучение, вторая — черенковское излучение, вышедшее в вакуум из среды.
Действительно, при движении частицы из среды в вакуум черенковская волна падает на границу под углом
cos6' =
4 = ,
β
н
(I
( i
β У в'(ω)
с
Если теперь воспользоваться законом Снеллиуса, положив κ ' = — ] / e's
и подставить сюда значение Θ' из (1,11'), то мы получим κ' =
= (ύΧρ/c, т. е. хр = sinv(cu) как раз определяет угол преломления
черенковской волны частоты ω. Левая часть неравенства 0 < i p < s m 9
есть условие возбуждения черенковской волны в среде, правая — условие
выхода этой волны в вакуум.
В предельном случае очень больших В, когда выполняется условие
Я>1,
(1,12)
картина будет иной. Теперь уже затухание нельзя полагать равным нулю,
и поэтому условие | Δ | > 1 выполняется во всем интервале частот.
На таких расстояниях цилиндрическая волна отсутствует, а поле излучения представляет собой сферическую волну
<•>= -W(xt) / | £ cos9exp ( i ^ д ) .
(1,13)
194
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Выражение (1,12) описывает как переходное, так и черенковское
излучение. Ясно, что при наличии затухания вклад в черенковское поле,
вышедшее в вакуум, дает лишь небольшой участок траектории частицы
вблизи границы среды. На бесконечно больших расстояниях от точки
вылета частицы волны, излученные источником конечных размеров,
являются, естественно, сферическими.
Заметим, что остальные компоненты электромагнитного поля Ег
и Ηφ =Η имеют вид, аналогичный Ер, отличаясь лишь несущественными
множителями.
Найдем теперь спектральную плотность излучения. Поток энергии
излучения электромагнитных волн в элемент телесного угла dQ =
= sin θ άθ άψ за все время пролета частицы равен
оэ
^
=^ Я
2
jj E'Hdt,
(1,14)
— DO
где
Спектральная
плотность переходного
излучения запишется так:
= ο/?2|Ζ?ω|2.
(1,14а)
Для черенковского излучения (на цилиндрических волнах) удобно
вычислять поток вектора Пойнтинга через круговую площадку
QСО
[*
С
^ χ— ·2πρ \ ЕРН dt,
dQ
— со
откуда
Н%.
(1,15)
Рассмотрим интервал частот, в котором | Δ [ > 1 . Если положить
затухание равным нулю, а затем R устремить к бесконечности, то это
условие можно записать как
2
ΐηθ — у β ε'(ω) — 1 > 0 .
(1,16)
В этой области частот получим
2
(ε— 1)(1 — β 2 — β У"Г— sin 2 !")
2
2
dQdu> ~ it c(l — β cos θ)
2
(ε cose + V'e — sin 2 8) (l —β Ye — sin 2 θ)
d(3d(u '
v*
(1,17)
(l + e' |/"ΐ + β 2 (1 —ε') )
Как мы отмечали, черенковское излучение на цилиндрических волнах
возникает не во всей области частот | Δ | > 1, а лишь в той ее части,
где 0 < ] / ε 7 (ω) — β - ^ s i n θ.
В случае, когда точка перевала и полюс совпадают, из решения
уравнения ( | Δ | ~ 1) получим ширину частотного интервала
к ,
δω
, / с
f de,'
~ V 1Ш С
TFOPHH ИЗЛЕЧЕНИЯ ЗАРЯДА
195
где ω' определяется из уравнения
ε'(ω') — β"2 = sin 2 θ.
Для переходного излучения в этом частотном интервале (ω' ± δω') найдем
d*Wn _
e2ft2 sin 2 θ cos 2 θ
s29)2
ε+1
ec
(1,19)
o s 6 - L | . ε —sin2 θ
а черепковское из пучение по прежнему определяется выражением (1,18),
только без множителя 4
Наконец, при условии (1,12) переходное и черепковское излучение
описывается формулой (1,17) во всем интервале частот При этом острый
максимум в (1,17), возникающий при условии 1 — βΙ/V (ω) —sin 2 θ — О,
обусловлен выходом в вакуум черенковского излучения
Для частицы, влетающей в среду, формула для спектральной плот
ностн переходного излучения (формуча Гинзбурга и Франка х) получается из выражения (1,17) путем замены β на —β
Переходное излучение линейно поляризовано, причем электрический
вектор лежит в плоскости, проходящей через луч и направление скорости
заряда Для нерелятивистских скоростей интенсивность излучения пропорциональна квадрату скорости частицы На границе вакуум — идеальный проводник (ε = со) спектральная плотность излучения равна х
dQ. da
v
22
n cc
'
'
Угловое распределение излучения в эй ом случае такое же, как у диполя,
помещенного на границе
В ультрарелятивистском случае, как видно из (1,17), переходное
излечение имеет резкий максимум в направлении θ ~ тс2ΙΕ (Ε — кинетическая энергия частицы) При этом, как показал Гарибян 6 , основной
вклад в переходное излучение вперед вносят частоты больше оптических,
так как при этих частотах знаменатель формулы (1,17) мал за счет малой
величины
1 — β V ь — sm 2 9
(β — 1 , ε — 1 , θ-С 1)
Спектратьная плотность почти постоянна вплоть до граничной частоты
ωΓρ = ω0 2\ 1 — β 2 (на этой частоте плотность излучения падает в два
раза по сравнению с плотностью излучения на меньших частотах), где
ω 0 — плазменная частота среды Подставляя в (1,17) выражение для
ε (ω) = 1 — ((Од/со2) (такое выражение ε (ω) имеет в любом веществе при
ω > ω 0 η ο ) и интегрируя затем по частотам и углам, получим 6
e
W
п
^L.
(1,20)
v
Sc\ I —pa
>
2
При влете частицы в среду множитель 1 — β]/ε — sin θ в знаменателе (1,17) уже не мал, переходное излучение в вакуум охватывает только
оптическую часть спектра и определяется формулой, логарифмически
растущей с энергией -1 5
]/ε(ω)
Следует
указать, что приведенные выражения описывают
(1,21)
переходное
излучение лишь при условии — R sin 2 θ > 1. В области пространства
196
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
R ~— sin- 2 θ происходит формирование волнового поля переходного
излучения *). В ультрарелятивистском случае эта область формирования
весьма существенна. В вакууме она по порядку величины равна
2с
а в среде (на частотах, больших оптических)
2с
Поле излучения ультрарелятивистской частицы фактически, как это
видно из выражения (1,5), формируется в области размерами ~ zB — z c .
Очевидно, что для образования переходного излучения очень существенно,
чтобы на длине порядка z0 траектория частицы была прямолинейной.
Многократное рассеяние может привести к изменению величины zc,
а следовательно, и к изменению спектра и энергии переходного излучения. Влияние многократного рассеяния на переходное излучение было
рассмотрено Гарибяном и Померанчуком 1 5 , Гарибяном 8 и Пафомов ы м »•
139
.
Не останавливаясь подробно на содержании этих работ, необходимо
отметить одно важное обстоятельство. Оказывается, что при учете процессов многократного рассеяния существует некоторая критическая
энергия
г,
(тс2)3
(где L — радиационная единица длины, Es= 21 Мэв), такая, что если энергия частицы Ε меньше критической, многократное рассеяние не влияет
на переходное излучение, поскольку в этом случае поле переходного
излучения формируется в основном на пути в вакууме вплоть до максимально высокой частоты ω Γρ .
При Ε > Екр обычный механизм переходного излучения в высокочастотной области спектра
из-за многократного рассеяния начинает нарушаться, а само многократное рассеяние приводит к возникновению тормозного излучения. В
этом случае переходное и тормозное излучения нельзя отделить друг от
друга и следует рассматривать, по-видимому, как одно явление.
Интенсивность переходного излучения в сильной мере зависит
также от соотношения между зоной формирования и степенью размытия
границы раздела. Аматуни и Корхмазян показали 2 в , что если размытие
много больше зоны формирования, излучение сильно уменьшается (см.
также 1М).
Приведенные выше формулы справедливы, естественно, лишь для
резких границ.
Нетрудно также получить выражение для спектральной плотности
переходного и черенковского излучения в вакуум на границе изотропного
*) Более точно зона формирования излучения определяется из условия отсутствия интерференции между полем излучения и полем частицы, т. е.
Ζ
1,2 ·
ω
-
-λι.
-ι
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
197
ферродиэлектрика (Пафомов 1 9 ) . Используя формулы (1,5), найдем
(в —1)(1 —βΙ^Έμ —aiHagj —β3_(Βμ —1)
(1—β / ε μ —sin26)(8 cos θ + / ε μ —sin 2 !)
2
({
l g / )
'
Следует отметить, что в ферродиэлектрике групповая скорость в принципе может быть отрицательной, т. е. направления фазовой и групповой
скоростей могут стать противоположными *). Это легко показать, если
подставить в уравнения Максвелла решение в виде плоских волн
(Ε, Η ~ ехр [г (кг — ωί)]). Тогда получим
Незатухающие электромагнитные волны существуют как при ε > О,
μ "_>0, так и при ε <; 0, μ < 0 , поскольку показатель преломления
в обоих случаях действительная величина. Из последнего равенства
видно, что вектор Пойнтинга в первом случае совпадает по направлению
с волновым вектором к, а во втором случае S it к направлены навстречу
один другому, т. е. групповая скорость отрицательна. При этом решением
являются опережающие потенциалы. Если скорость частиц превышает
фазовую скорость света (ηβ > 1 ) , то в направлении Θ, удовлетворяющем
равенству ηβ cos θ = 1, все элементарные волны возбуждений распространяются в одинаковой фазе. Образовавшиеся таким образом черенковские волны имеют поверхность одинаковой фазы в виде конуса с вершиной, направленной назад (в отличие от запаздывающих потенциалов,
когда вершина конуса направлена вперед). Фазовая скорость черенковских волн составляет с направлением движения частицы острый угол Θ,
энергия же распространяется в обратном направлении. В соответствии
с этим острый пик интенсивности переходного излучения, обусловленный
излучением Вавилова — Черенкова, должен иметь место при влете
частицы в среду. В этом легко убедиться, если ввести малое затухание:
ε = ε'-j- ге",
μ = μ'- ίμ"
(ε">0,
μ" > 0).
Действительно, в области частот с отрицательной групповой скоростью(ε' < 0 , μ' < 0) из условия конечности решения при ζ —> со должно быть
2
Re λ4 = — У г'μ — sin θ < 0.
Учитывая это обстоятельство и заменяя β на —β, убеждаемся, что спектральная плотность (1,18) в направлении, соответствующем углу выхода
2
2
черенковского излучения θ 0 , имеет острый максимум (sin θ 0 = ε'μ'— β' ).
Описанная здесь особенность переходного излучения, связанная с отрицательной групповой скоростью, имеет место также в анизотропных средах 1 8 · 1 9 > 5 5 > 5 6 и средах
с пространственной дисперсией 8 5 .
В заключение следует отметить, что совершенно аналогичными
выкладками переходное излучение может быть рассчитано не только для
точечного заряда, но и в случае произвольного тока, например, для дипольных моментов 2 4 заряженной нити 1 1 и т. д. 25> 4 6 . в 5 - С 8 .
Квантовая теория переходного излучения изложена в работе Терновского 1 2 в и Гарибяна 9 . Однако, как следует из этих работ, квантовые
*) Особенности излучения частиц, связанные с отрицательной групповой скоростью в анизотропной среде, исследованы в диссертации Пафомова 1 8 .
198
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
поправки к классическим формулам переходного излучения в случае
обычных электронных плотностей не представляют особого интереса.
Они могут быть существенны лишь при попадании заряда из вакуума
в очень плотное вещество, например в атомное ядро.
§ 2. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗАРЯДА, ПРОХОДЯЩЕГО
ЧЕРЕЗ ДВИЖУЩУЮСЯ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА
Вопрос о переходном излучении в движущихся средах представляет
определенный интерес при изучении взаимодействия отдельных частиц
с электронными сгустками, например, при генерировании радиоволн,
для астрофизических приложений и т. д.
В настоящем параграфе мы изложим результаты работ Барсукова
и Болотовского 3 9 , Барсукова и Нарышкиной 3 5 , посвященных этому
вопросу.
Предположим, что в системе отсчета х, у, z, ict границей раздела
двух сред с диэлектрическими постоянными ει и ε2, измеренными в покоящейся системе отсчета, является плоскость ζ = — ut, где и — скорость
движения границы. Заряд е движется вдоль оси ζ со скоростью ν.
Перейдем в систему отсчета, связанную с границей раздела. Скорость
заряда в этой системе запишется так:
α-\-ν
а электромагнитные поля излучения определяются выражениями (1,4),
(1,5).
Чтобы получить поля излучения в покоящейся системе отсчета,
необходимо воспользоваться преобразованием Лоренца для поля.
В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда движущейся средой
является плазма: г2 = 1 — (ω^2/ω'2), a EJ = 1 (штрихами отмечены величины,
относящиеся к системе, связанной с границей).
В результате вычисления, аналогичного тому, которое было приведено в предыдущем параграфе, для полной энергии излучения в случае,
когда относительная скорость частицы w да с, получим
(2,1)
с
для излучения, направленного вперед, и
Wl(w)
(2,2)
для излучения, направленного назад.
Здесь W+ (w) и W~ (w) означают полную энергию излучения, направленную в соответствующую сторону в неподвижной среде, и определяются формулами (1,20) и (1,21) с заменой ν на w. Подставляя выражение Wg (w) и вводя преобразованную по Лоренцу частоту
ω=
V
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
199
получим
(2,3)
где
•у
ωη
1-—
Выражение для энергии излучения формально имеет такой же вид, как
и в случае неподвижной границы, но с другой плазменной частотой
среды. При и ^ с ©„ становится много больше ω^. Этот эффект эквива„ / .
лентен увеличению плотности плазмы в ζ
V
1
и
Λ-i
J
раз.
Интегрируя (3,3) по частоте, имеем
с
Как видно из (2,4), при и ~ с Wn становится весьма значительным.
Полная энергия излучения вперед (при вылете частицы из плазмы)
равна при w ^ с
/
-
т. е. энергия излучения в этом случае не зависит от скорости стенки
и и точности совпадает с выражением для переходного излучения в случае
неподвижной границы.
$ 3. ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ НАКЛОННОМ
ПАДЕНИИ ЗАРЯДА НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА
Излучение, возникающее при наклонном падении заряда на границу,
обладает важным свойством: в отличие от нормального падения, оно оказывается, вообще говоря, поляризованным в двух взаимно перпендикулярных направлениях *). При детектировании переходного излучения
это обстоятельство очень существенно, поскольку поляризация переходного излучения является одним из важнейших факторов, позволяющих
отличить его от всевозможных побочных эффектов.
В случае наклонного падения заряда переходное излучение рассматривалось в работах Корхмазяна 29· 3 2 Гарибяна 6 · 7 и Пафомова 2 2 .
Ниже мы изложим основные результаты этих работ.
Пусть на плоскость ζ = 0, разделяющую границу сред et и ε2, падает
заряд со скоростью ν. Ось χ выбираем таким образом, чтобы вектор ν находился в плоскости χ, ζ, а ось ζ направим из первой среды, ε 4 , во вторую, ε2.
Методика нахождения электромагнитных полей излучения в этом
случае точно такая же, как и в § 1. Поэтому сразу приведем выражения
*) Такую поляризацию имеет также переходное излучение при нормальном
падении заряда на границу гиротропной среды 66> 1 4 2 > 1 4 3 .
200
Φ. Γ. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
для фурье-компонент полей излучения7:
(ЗД)
Ε 1 ) ϊ τ (k) =
r
x
( k ) + v x £ 1 , 2 3 C (k),
82,1
v
z
λι, 2 ε 2 ι 1
, (3,2)
ω(λ 2 ,ι —
(3,3)
где ω = kv = kxvx -\- kzvz, η — единичный вектор вдоль оси ζ,
Ек(к) и Ех (к) —компоненты тангенциальной составляющей Е х по κ и УЖ.
Чтобы найти поток излучений различных поляризаций, разложим
векторы Ε и Η на компоненты.
Одна из них — продольно поляризованная — лежит в плоскости, образованной волновым вектором и перпендикуляром, восставленным к границе в точке влета частицы, другая — поперечно поляризованная —
перпендикулярно к первой. Обозначая далее продольно поляризованные
компоненты значком ||, а поперечно поляризованные — j _ , получим
Ε* = cos φ (κΕκ + cos yvxEx),
χ~ = sin 2
(3,4)
(fvxEx
и т. д., где φ — угол между κ и осью х.
Поток электромагнитного излучения за все время пролета частицы
удобно найти по формуле
W =~
(3,5)
\ [EH]zdxdydt.
При интегрировании по t, x, у мы получим δ-функции; учитывая затем,
что
rfco
dkz=—,
kx = — y^sinBcosip,
ky = — y~6sin9 sin φ,
κ = — У ε sin θ,
найдем спектральную плотность излучения в элемент телесного угла * ) .
Так, для излучения в среду 2 (вперед) имеем 3 2
a12 FT"
4 π 2 ω 2 -,/— Г ω
cvi
V ε2 Γ ~ Vs-2 sin QE2x (ω, θ, φ)-j-УЖ£2Ж (ω, θ, φ) cos φ ] ,(3,6)
4π 2 ω 2
&3ltyxE%x (ω, θ, (pjfcos θ sin 2 φ.
cv\
Полная плотность излучения
и (3,7).
определяется^ суммой
{
(3,7)
выражений (3,6)
*) Мы ограничимся здесь случаем больших расстояний, когда цилиндрическая
волна полностью трансформируется в сферическую.
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ! ЗАРЯДА
201
Как видно из (3,7), при перпендикулярном падении заряда на границу (vx = 0) излучение продольно поляризовано.
Рассмотрим некоторые частные случаи полученных результатов.
При i ' , - > 0 , как и должно быть, переходное излучение исчезает,
так как частица не пересекает границу раздела. При θ = π / 2 излучение
также равно нулю, если 8j Φ со. Этот результат связан с тем, что волна,
распространяющаяся вдоль границы раздела, либо не может удовлетворить граничным условиям (ε2 > 8 t ) , либо «втягивается в среду» 1 ( ε 2 < ε 1 ) .
Если в выражениях (3,6), (3,7) положить ε2 = 1, a 8j = оо, то получим угловое распределение на границе вакуум — идеальный проводник:
_ _^β!_ Ι
s i n 6 — βχ cos φ
Ί2
2
""" лЧ L ( 1 — β* sin θ cos φ) 2 — β| cos θ J '
(
' '
1
(14V - _ βϋβ! г
β χ cos θ sin φ
τ2
(ΙΩ άω ~ Ич~ L (1 — β"^3πΓθ~οοίΓφ)2~— β| соь2 θ Ι "
^ ' >
Как видно из (3,8), при sin θ — β* cos φ излучение полностью поперечно
поляризовано. Рассмотрим переходное
излучение нерелятивистской
частицы. Пренебрегая в выражениях (3,2), (3,3) всеми членами, содержащими β, найдем 2 2
d 2 W
,/т
^,
__
"-"
т~~ •—— "ϊΑ
ϊ
''г
— ~~" о
-г ·
~
""•
""
^
'
—"
~
/о л п\
— .д .
I О. ± \J J
Таким образом, переходное излучение в этом приближении поляризовано так же, как и при нормальном падении, а величина плотности
излучения отличается лишь множителем (βζ/β)2.
При релятивистских скоростях основной вклад в переходное излучение дают по-прежнему частоты ω 0 < ω <С ω ο /2|/ΐ — β 2 , а излучение
сконцентрировано вокруг траектории частицы в конусе с углом раствора
~ ] , I — β 2 . При этом поперечно поляризованная компонента излучения
по порядку величины в (1 — β2) раз меньше продольной, т. е. такое излучение почти полностью продольно поляризовано.
§ 4. ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ УЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
ДИСПЕРСИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
Излучение движущихся в среде источников зависит не только от природы излучателя и характера его движения, но и от электромагнитных
свойств среды. С этой точки зрения представляет определенный интерес
вопрос об излучении заряженных частиц в средах с пространственной
дисперсией. До сих пор речь шла о средах, для которых связь между векторами индукции и напряженности поля локальна. Это значит, чю рассматривались среды, в которых значение индукции в данной точке определялось полем в той же точке. Между тем иногда необходимо учитывать
влияние поля во всем пространстве на индукцию в данной точке, что
приводит к появлению ряда новых эффектов, в частности, к возникновению дополнительных волн 5 7 > 6 9 · 7 0 . Математически это обстоятельство
описывается интегральной связью между полем и индукцией, а именно
Ζ?, (г, * ) = • j d f \ dr'ilh(t,
t', τ, r')Ek(r',
t').
(4.1)
Для процессов, однородных в пространстве и времени, оператор ε
зависит только от разностей г — г', t — t'. В этом случае нелокальную
связь между полем и индукцией можно заменить локальной связью между
202
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
их фурье-компонентами, т. е.
Α (ω, к) = е№(а>, к)Ек(ю,
к).
(4,2)
Зависимость тензора диэлектрической проницаемости ε^ (ω, к) от волнового вектора к называется пространственной дисперсией.
Влияние пространственной дисперсии на радиационные потери
энергии частицей, проходящей через границу раздела вакуум — среда,
рассматривалось впервые Желновым б 2 , а в дальнейшем рядом других
авторов 53 ~ 56 · 68 · 59> 1 0 4 . Оператор гл (t, t', г, г') при этом может быть найден, исходя из конкретной модели среды и каких-либо физических предположений относительно свойств ее поверхности. Так обстоит дело,
например, в задачах с ограниченной горячей плазмой 5 7 .
Возможен, однако, и феноменологический подход к задаче, когда вид
оператора eih (ω, к) постулируется т о . В этом случае возникает необходимость в дополнительных граничных условиях для уравнений Максвелла,
так как для сред с пространственной дисперсией их порядок, вообще
говоря, повышается. При этом в выборе граничных условий допускается
в какой-то мере произвол. Однако, как следует из работ 52 ' 5 8 > 5 9 · 8 ", интенсивность излучения весьма слабо зависит от этих условии.
Влияние пространственной дисперсии на переходное излучение мы
исследуем на примере электронной плазмы. Для описания свойств плазмы
воспользуемся линеаризованным кинетическим уравнением с самосогласованным полем в в и д е 5 7
(4,3)
Здесь / 0 — функция распределения электронов плазмы, / — неравновесная добавка, ε, и, ν — энергия, скорость и эффективная частота столкновений электронов, е — заряд электрона. На границе раздела ί = 0
для электронов выполняется условие зеркального отражения *)
/ ( 2 = 0, и:) = / ( 2 = 0, -uz).
(4,4)
Плазма занимает полупространство ζ "> 0. Уравнения поля можно представить в виде
v = (0, 0, ν),
где q — заряд частицы.
Для решения задачи все величины, входящие в уравнения (4,3),
(4,5), удобно разложить в интегралы Фурье типа
А (г, t)=\
ο
Α (ω, κ, z)e i (*ρ-ωί)^κ άω
(4,6)
(ср. с формулой (1,2)).
Решая уравнение (4,3) с граничным условием (4,4) и продолжая
электрическое поле на область ζ < 0 (тангенциальные компоненты Ετ
четным, а нормальную Εζ нечетным образом57), из (4,5) получим
Eh(u>, k) = Li!(co, к)ЛГ,(о>, k)
(4,6')
(по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3),
(
Lik= ^rElk(w,
2
к)-/с о г А + А:А,
Να-=Εα(0,
κ, ω)~ίκαΕζ{0,
κ, ω)
*) Случай диффузного отражения электронов от границы рассмотрен А. Ц. АмаТу НИ
1 4 1
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
203
(а = х, у, штрих означает производную по ζ),
[ eda
о
/с2 = κ 2 +/с*,
b(x) + — P — ,
Символ Р означает, что особенность при ж = 0 следует понимать
в смысле главного значения. Фурье-компоненты Ε (ω, к) связаны
с Ε (ω, κ, ζ) соотношением
оэ
Ει((ύ, κ, ζ) = — [ Et(w,
k)eihzzdkz.
(4,8)
—oo
Тензор диэлектрической проницаемости ε^(ω, к) в плазме равен
u u
ih
Я/о
~Ί
Для изотропной среды этот тензор можно представить в виде Б7
А
2
- 6 Ча), к),
(4,10)
где ε1 (ω, к) и e t r (ω, к) называются продольной и поперечной диэлектрическими проницаемостями; для плазмы
, ,
,.
4яе 2
.
(ku) 2 df0
С,
,, . . .
ε·(ω, k)=l4- S p -^p- s = L i ^ r -^-,
ef (ω, k) = l + - 2 - ^ ξ ή,
v
'
'
μ
ω/c2
J
r
WL·^· .
ωω——k u + !V
дъ
(4,11)
v
(4,12).
'
Общее решение уравнений Максвелла в вакууме удобно представить, как и в § 1, в виде суммы решений однородного и неоднородного
уравнений (см. формулы (1,3), (1,5)). Опуская процедуру вычислений,
совершенно аналогичную проведенной в § 1, для спектральной плотности переходного излучения в вакууме получим и
η (ω θ > — 1 —βζ —βγ(1
η ^ω, o j ξ + co
«. _ £ω Г <М г (
3
ω f к, dk,
c
k\
sin 2 θ
I
г
л 1 c;\
/ω
ω 2
[_^2~etrtr — 7A 92
ω
- ^ - ε 1 ι/
( ω , ьч
k)J
Приведенные выражения полностью решают формальную сторону задачи
о переходном излучении в нашем случае. Полагая в формулах (4,13)
и (4,14) ε ΐ Γ (ω, к) и ε1 (ω, к) равными ε (ω), мы получим известное выражение Гинзбурга и Франка х для переходного излучения в среде без
учета пространственной дисперсии.
204
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Перейдем теперь к анализу полученных результатов в различных
частных случаях.
В случае слабой пространственной дисперсии поперечную и продольную диэлектрические проницаемости можно представить в виде 5 7
ε * (ω, k) = e(a>)-at
ε1 (ω, k) = 8((o)~ a
1
^
Подставляя эти значения диэлектрической проницаемости в формулы
(4,15) и (4,16), найдем
χ
х
Гι / Ж
sin'9+ /li^L-sin^e] «ι.
L » 1+a
»
a
J
(4,19)
Д л я нерелятивистской электронной плазмы с
7о =
(где Τ—температура в энергетических единицах) при условии слабой пространственной дисперсии (ω > кУ ЗГ/m) вычисление интегралов в (4,11)
и (4,12) дает *)
ε (ω) = 1
ν
'
Μ 1
ω2 V
ω|Γ
t
)
ω
ι
ш
2
ω Γ
3
°-
(4 20)
В этом случае вклад, обусловленный a t r , пренебрежимо мал. Для полностью вырожденного электронного ферми-газа с
fo(p)=
[
2
(где ро = (3π )
1/з
0,
р>Ро
3
ίι «У — граничный импульс Ферми)
„1
α
3
=
^"1
Τ^Γ
„ — Р0
"°--^ *
При вылете заряда из плазмы вклад в поле в вакууме дают излученные
черенковские продольные волны. Действительно, фазовая скорость продольных волн, как следует из дисперсионного соотношения
—
α
может быть меньше скорости заряда. Тогда при движении заряда к границе плазмы черенковская продольная волна падает на границу под
углом
*) Затуханием Ландау пренебрегаем.
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
205
где e ' = R e e . На границе, кроме отраженной продольной и поперечной
волн, возникает преломленная поперечная волна, трансформированная
из продольной. Угол, под которым распространяется эта волна в вакууме,
определяется из закона Снеллиуса и равняется
sinv= у ±-р._β-я.
(4,22)
Такими же выкладками, как и в § 1, можно показать, что в этом случае
вышедшая в вакуум черенковская волна вблизи границы является
цилиндрической. При R -> оо она трансформируется в сферическую.
Спектральная плотность черенковского и переходного излучения при
этом описывается выражениями (4,13), (4,14), (4,18), (4,19) с заменой
г; на —ν. Из формулы (4,19) следует, что максимум излучения, обусловленный выходом в вакуум черенковских волн, появляется при выполнении условия (4,22), а область частот, в которой возникает черенковская
генерация, определяется неравенством 0 < ! s i n v < ; l . Обратимся теперь
к исследованию особенностей излучения в области, где выполнены условия сильной пространственной дисперсии
— «ι/^;
A
r
m
в этом приближении переходное излучение назад равно 5 4
cose
_ ? 2 β 2 s i n 2 θ cos2θ
(4,23)
где ζ — поверхностный импеданс.
В случае максвелловской плазмы импеданс равен
(4,24,
Так как для максвелловской плазмы величина импеданса мала (поскольку со2/й)^<77тс2<1), во всей области углов cos θ > |ζ | переходное излучение такое же, как для идеально проводящей среды (см. формулу (1,17')).
В случае, когда среда обладает достаточно большой магнитной проницаемостью, условия сильной пространственной дисперсии выполняются
за счет большой величины μ, а импеданс ζ, пропорциональный | ^ μ , может
и не быть мал по сравнению с единицей.
В заключение этого параграфа мы рассмотрим вопрос о роли слабой
пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости вблизи
экситонных полос поглощения 6 9 · 5 7 · 7 0 , когда величина диэлектрической
проницаемости велика. Как известно, учет пространственной дисперсии
в этом случае приводит к появлению дополнительных поперечных волн
(экситонные волны).
Задача о переходном и черенковском излучении заряда вблизи частот
экситонного поглощения света в диэлектрике рассматривалась в работе 8 б ,
где было исследовано влияние граничных условий для вектора поляризации на интенсивность излучения и показано, что интенсивность излучения
весьма слабо зависит от этих условий. Мы ограничимся случаем, когда
для вектора поляризации выполняется условие Рп\ z=o = 0. Это условие эквивалентно непрерывности нормальной составляющей электрического поля, £ Ί η | ζ = ο = Е2п 12=о- Нетрудно показать, что условие
зеркального отражения от поверхности плазмы также приводит к этому
равенству. Поэтому для оценки спектральной плотности излучения с учетом пространственной дисперсии вблизи экситонных полос поглощения
в диэлектрике мы можем воспользоваться формулами (4,13)—(4,16).
2
УФН, т. 86, вып. 2
206
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Представим ε ΐΓ (ω, к) в виде 69
1
*
fl2fe2
• β
а ε1 (ω, к) заменим на ε (ω) (продольные волны мы не рассматриваем),
где | ε ( ω ) | > 1, а β 0 — параметр, характеризующий пространственную
дисперсию. Вычисляя интегралы (4,15)—(4,16) для частицы, входящей в
среду, получим
2
/-ik-
sin2 θ cos2 θ. (4,26)
sin2e
Формула получена в предположении β < 1, ε' = Ree > 1, ε' 2 β 0 < 1.
Дисперсионное соотношение для экситонной волны имеет вид
А> =
~ ~& Wo '
В области частот, где ε' > 0 , при β 0 < 0 экситонная волна обладает отрицательной групповой скоростью. При этом реальная часть радикала
5
sin 2 9 отрицательна и острый максимум излучения, обусловленный выходом в вакуум черенковских волн экситонного происхождения,
возникает при влете частицы в среду в направлении угла θ 0 , где
sin260=
(ср.
е
, *
-β"2
(4,27)
с формулой (1,18)).
§ 5. ИЗЛУЧЕНИЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА, ПРОХОДЯЩЕГО
ЧЕРЕЗ ПЛАСТИНКУ *)
В этом параграфе мы найдем излучение, возникающее при пролете
точечного заряда через изотропную пластинку толщиной а (Гарибян
и Чаликян 1 3 ' 1 4 , Пафомов 17· 18> 2 0 ).
Фурье-компоненты полей излучения в вакууме в этом случае имеют
14
следующий вид :
eix
где
ι
α, ι
α2
.
1 V
2
ω
2
(5 3)
- (Г ΐ ε- τ *1-V) ^. '
-—
ν
ω
*2-
«!.„
ω
'
± — - j_
λ2ε
ω
Γ
,ν
*) Здесь мы не рассматриваем ионизационных потерь энергии частицы в пластинке 5 . 2 0 .
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
207
Нормальные компоненты электрического поля и магнитное поле связаны
с Ετ соотношениями
Ein (к) = -g· Еи, Е 2 п = - - ^ Е2Х,
Н
С
г/
«1
\ ΪΓ
1
tT
/я»
«--Л
^
t f л*
\ •*% Ί \ Ή
/с
Ί
ζ\
(η — единичный вектор вдоль нормали).
Выражения с индексом 1 описывают поля излучения перед пластинкой, с индексом 2 — за пластинкой по движению частицы. Напомним,
что к2 = - ^ -f κ 2 , λι, 2 = ^ - ει, 2 — *2> ει = ε . ε 2 = 1 , а действительные
и мнимые части λ 1;2 положительны *).
Рассмотрим прежде всего случай, когда R много больше толщины
пластинки a(R > а). При этом точка перевала, как и в полуограниченной среде, имеет значение x g = — s i n 6 . Действуя далее обычным образом, нетрудно получить формулу для спектральной плотности излучения вперед 18 :
е2г>2
1d2W
sin2 θ ι
m 12
;os29)2 1
d
А .
.ω
.ω
i — χα
ИИ-y)*e
—i — χα
c
—t — χ α
ι ( 1 +β
)e
. 10
г — χα
-(x-5,)2
C
*
1 - β2χ
)(
(.-i)[2x.( 1 - β 2 - β 3 ί
2
)
32*2) е
.ω
[(. + »)·."
г — χα
С
:.
ω
—г — α
υ ι
(4
χα
/
(1-βί
.*-
β=
°
V
Г.
-.
Энергию излучения в области перед пластинкой можно получить из (5,6),
заменяя ν на —ν.
Исследуем результаты (5,6) для тонкой пластинки (|]/е~|ша/с<1) в
случае нерелятивистской частицы. Разлагая ехр ί i—xa j и ехр ( —i — xa J
в ряд и ограничиваясь первыми членами разложения, получим угловое
распределение спектральной плотности переходного излучения в следующем виде:
1
2
sin» θ sin» ( - ^
.
(5,7)
Излучение перед пластинкой описывается этой же формулой, поскольку
последняя не зависит от знака скорости. При sin ~ = 1 энергия излучения
превосходит энергию излучения в случае полупространства. Такое усиление интенсивности излучения объясняется интерференцией электромагнитных волн, излученных частицей при переходе через границы пластинки.
*) Здесь, в отличие от формулы (1,4), решение в области —а <С ζ < 0 ищется
в виде А ехр (iXjzJ + i? ехр (—ίλίζ),
а в областях ζ > 0 и ζ < — а соответственно
в виде ехр (ίλ2ζ) и ехр( — ίλ^ζ).
2*
208
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Необходимо заметить, что приведенная формула хорошо интерпретирует имеющиеся эксперименты по наблюдению переходного излучения
в тонких пленках (см. 6 8 ~ 6 1 ).
Для релятивистской частицы (ωα/υ<1) спектральная плотность излучения запишется в виде
8-1
2
2
2
sin θ cos θ
.r Q .
(5,о)
2
(1 — β* cos θ) 2 ·
Интегрируя по углам, получим
Излучение для релятивистской частицы также не зависит от знака
скорости и растет с увеличением энергии частицы.
Рассмотрим теперь случай «толстой» пластинки. Будем предполагать
выполненными такие неравенства, когда возможно формирование излучения Вавилова — Черенкова:
ω Vε
При нахождении асимптотики полей излучения необходимо учитывать
влияние экспонент в выражениях для Eix и Егх на положение точки переf ε
1\
2
/ί ε
1 Л
2
вала. Разлагая ί1-1 в ряд по малой величине f «• • j ~ J / ί у—\- j - J ,Д
радиальной составляющей черенковского поля излучения получим
л я
14
со
Elp(R,
_ε^
θ, i) = 2mResr— ^ г ) \ dom3'*ехр Г - ι ω ί - ^ V
1_
/\
JL + JL
λι
λ2
2η
expjifl Γκβΐηθ + λζοοβθ -f-^-λ^η + Ι)] j ,
(5,10)
где Res означает вычет в полюсе
Этот вычет нужно учитывать, если он окажется левее линии перевала.
Из выражения (5,10) видно, что члены, содержащие а 2 и β 4 , имеют
разные точки перевала. Если полюс оказывается левее точек перевала,
соответствующих членам с а 2 и βι, вычеты необходимо брать в полюсах а 2 и β1#
Как легко показать, вычеты в этом случае взаимно уничтожаются
и поле равно нулю. Поэтому только для тех частот, при которых полюс
κ ρ оказывается левее линии перевала, соответствующей члену с βι,
и правее линии перевала члена с а 2 , вычет даст вклад в поле излучения.
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
209
В результате получим следующее условие на частоты черенковского
излучения 1 4 :
( 5 Д 1 )
где s = 2re + 2, р = 2п-{-1 (ε действительно). Для спектральной плотности черенковского излучения через круговую площадку ρ,ρ + ο?ρ в пространство перед пластинкой получим14
[1+ε
|Λ 1+ β2(1_ ε )]4η+4
^
> Ι.
П
*V \
(5,12)
Производя аналогичные выкладки для излучения в область пространства за пластинкой, придем к следующему выражению:
Γ
r l +
g
1
/
1 +
β2(ΐ_ε)]4η+2
- β ) ] 1 (5,13)
η
\
ι
где полосы черенкОвских частот определяются из условия (5,11)
cs = 2n-\-l,p = 2га. Очевидно, что разложение в ряд в формулах (5,12)
и (5,13) соответствует черенковскому излучению, пришедшему в данную
точку в результате многократного отражения волн от стенок пластинки.
Из сравнения (5,12) и (5,13) видно, что черенковское излучение вперед
больше излучения назад в
раз. Полагая а < R из (5,11), получаем, что в данной точке под углом θ
будет двигаться пакет волн с узким частотным спектром
Λ
а / dz \ - l
Δω ~ -к- ( j —
с основной частотой, определяемой из условия sin θ = У ε — β~2. Цилиндрическая черенковская волна при этом отсутствует (точно так же, как
в случае полупространства, когда R —> оо), а интенсивность черенковского
излучения через круговую площадку ρ,ρ -j- dQ при R —> со, естественно,
равна нулю. Интенсивность же черенковского излучения в элемент телесного угла dW4/dQ конечна (она не зависит от R) и пропорциональна
квадрату
т о л щ и н ы пластинки 1 8 .
Интересно отметить, что черенковское излучение назад исчезает,
если угол падения генерируемого черенковского луча равен углу
Брюстера.
Действительно, как известно из оптики, при падении под углом
Брюстера отраженный луч составляет с преломленным прямой угол.
При излучении под углом Брюстера выполняется условие β 2 ε 2 = 1 -\- ε
и из формулы (5,12) следует сделанное выше утверждение.
Излучение заряда, пролетающего через пластинки ферродиэлектрика,
а также через пластинку, вырезанную из одноосного кристалла, представляет интерес с точки зрения тех особенностей излучения Вавилова —
Черенкова, о которых шла речь в § 1. Исследование этих задач проведено
39> 2 0
Пафомовым
.
210
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Учет пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости
при нахождении переходного излучения в пластинке провели Силин
и Фетисов Б 8 · 5 Э . При решении задачи авторы предполагали, что отражение электронов проводимости от поверхности происходит зеркально.
§ 6. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В СРЕДЕ
С ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИМИСЯ СВОЙСТВАМИ
Непосредственные оценки показывают, что переходное излучение
обладает малой интенсивностью. Вероятность испускания фотона —
порядка 1/137 на частицу. В нобелевской лекции 1 0 9 И. М. Франк отметил
возможность усиления переходного излучения за счет суммирования
переходного излучения от частицы, проходящей через периодически
сложную структуру. В связи с этим обстоятельством рассмотрение прохождения частиц через слоистую среду представляет особенный интерес.
Наиболее ранней по времени из довольно обширного цикла работ,
посвященных этому вопросу, является работа Я. Б. Файнберга
и Н. А. Хижняка 7 8 *), которые рассмотрели простую модель слоистой
среды, позволяющую довести решение задачи до конца без каких-либо
приближений. В этой работе рассматривается периодически слоистый
диэлектрик с периодом а + Ь, состоящий из двух пластин с диэлектрическими и магнитными проницаемостями βι, μι и ε2, μ^ и толщинами а ш Ъ
соответственно. Частица движется вдоль оси ζ перпендикулярно к плоскостям раздела между пластинами.
Используя симметрию задачи, можно уравнения Максвелла свести
к единственному уравнению для z-й составляющей вектора индукции
D z = D = ε (ω, ζ) Εζ, которое имеет следующий вид:
г
пс
ην
г
dz V ε
-^У
c
V
J
(6,1)
Уравнение (6,1) верно в случае произвольной зависимости ε от ζ.
Будем искать D (г, ζ) в виде интеграла Фурье — Бесселя
D(r,
ζ)=[χ(г)Jo(кг)κώκ,
о
(6,2)
где Jo — функция Бесселя нулевого порядка.
Для X имеет место следующее уравнение:
О)
d ζ
1 dX\
dz \
ε
,,2
v
^2 J
™
κ
2\γ_
y
»*βμ
яс
V2
(D
ее
5
πι? ^2
/ 1
ν
ε
V1^
-у,
У
В рассматриваемом случае уравнение (6,3) является уравнением
с постоянными коэффициентами. Граничными условиями к уравнению (6,3) являются обычные граничные условия электродинамики на
плоскости раздела диэлектриков различного рода и условия периодичности решения с периодом L = а -\- Ь.
Решение уравнения (6,3) находится обычными методами. Однако
наибольший интерес представляет не само это решение, а его значение,
*) См. также
138
.
211
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
усредненное по периоду L в момент ί = ζ/υ:
L
Ε (ω, κ) = 4 -
1
ε (ω, ζ)
•Χ(2)
β
v
(6,4)
dz.
Черта над символом в этом параграфе означает усреднение по периоду.
Полные потери энергии частицы на единицу длины, усредненные
по периоду, легко определяются через эту величину по известной формуле 1 1 0
dl
= е \ Εζ (ω, κ)κ dy. άω.
dz
(6,5)
Мы не будем приводить выражение для Εζ (ω, κ) из-за его громоздкости, а перейдем сразу к анализу результатов.
Значение интеграла в формуле (6,5) определяется полюсами по ω
подынтегрального выражения, которые являются корнями следующих
уравнений:
a) 8j (ω) = 0,
в) cos — =cos
б) ε 2 (ω) =
(6,6)
2 V. Р2Ч
0)2
где pj i 2 = &2ε1>2μι,2 — κ 2 .
Уравнения (6,6а) и (6,6в) определяют поляризационные потери
в бесконечной среде с проницаемостями ε 1 ; μ1 и ε2, μ2- Корни уравнения
(6,6в) соответствуют потерям на излучение, специфическим для периодически неоднородной среды. Уравнение (6,6в) является дисперсионным
уравнением среди уравнений такого типа. Наконец, корни уравнения (6,6г)
и (6,6д) описывают черенковское излучение в неограниченных средах.
Рассмотрим поляризационные потери в слоистом диэлектрике. Пусть
ε2(ω) = 0 при ω = ω 0 . (Мы полагаем μ4 = μ2 = 1.) Соответствующая
формула для потерь имеет вид
dl
ω0
Ъ
„ άω J ω=ω0
ω0
-r
1
ln
1+
— arctg —- ; (6,7)
ΰ0
s
ν
>*max— максимальное значение волнового вектора, при котором еще применима макроскопическая теория п о .
Первое слагаемое в формуле (6,7) описывает поляризационные
потери в слое толщиной Ь, второй член связан с наличием границ. Из (6,7)
вытекает, что границы уменьшают потери на поляризацию. Более детальное исследование показывает, что поляризационные потери достигают
7S
максимума в середине слоя и спадают по краям .
Что касается потерь на излучение, то для их исследования необходимо
знание частотной зависимости ε (ω) и μ (ω).
Для различных частных случаев это рассмотрение и проведено
в работе 7 8 . Не останавливаясь на этих частных случаях, укажем на один
вывод общего характера. Пусть имеется слоистая среда с диэлектрической проницаемостью, являющейся периодической функцией координаты
212
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
ζ с периодом L. Если в некоторой области частот длина волны в среде
много больше изменения диэлектрической проницаемости, то в этой
области частот периодическая среда эквивалентна с точки зрения электродинамических свойств одноосному кристаллу с тензором диэлектрической
проницаемости с компонентами
=(τ \
о
Поэтому потери частицы на черенковское излучение могут быть определены по формуле ш
—-j- = -»-\ ( 1
5— )ωο?ω.
(6,9)
Этот результат обобщается на трехмерный случай, если наложить на
«амплитуду» колебаний диэлектрической и магнитной проницаемостей
некоторые дополнительные ограничения.
Как было показано в работе 8 0 , в том случае, когда и диэлектрическая, и магнитная проницаемости являются произвольными периодргаескими функциями координат и длина волны много больше периода,
электродинамические свойства среды описываются тензором диэлектрических и магнитных проницаемостей следующего вида:
= εδ ί Λ
— У,
п2
'
(6Д0)
η
где ап, β η — компоненты Фурье диэлектрической и магнитной проницаемостей соответственно. Суммирование в формулах (6,10) проводится
по всем векторам обратной решетки.
Как показали Герценштейн и Татарский 1 1 2 , формулы типа (6,10)
имеют место, если, кроме ограничений, сформулированных выше, выполняется требование
2
2
П р и этом величины — 'V, | α η | и — V ( β η ) могут быть отнюдь не малы.
ε ^^
М·
З н а я e i f e и μ ί ή , потери частиц можно вычислить по известным формулам 8 7 .
Потери ультрарелятивистской частицы в структуре, состоящей и з
резко ограниченных слоев диэлектрика, рассматривались в р а б о т а х 1 0 ·
16,17,7б# м ы н е будем останавливаться на этих результатах, ибо все качественные выводы здесь таковы ж е , к а к и в случае периодически неоднородной среды, свойства которой плавно меняются с координатой. К рассмотрению этого случая мы сейчас и перейдем.
В ряде р а б о т 1 6 · 7 5 ~ 7 7 · 7 9 рассматривалась среда с диэлектрической
проницаемостью, зависящей от координаты по з а к о н у
2.71"
ε (ω, ζ) = ε0 (ω) + Δ cos -^- .
(6>12)
Наиболее подробное изучение этого случая дано в работе Тер-Микаеляна 76 , которой мы будем следовать ниже. Общие выводы о характере
спектра, излучаемого частицей, движущейся в периодически неоднородной среде, можно сделать, исходя из законов сохранения энергии
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
213
и импульса частицы:
~?—hkcosQ = h^
costy.
(6,13)
Здесь δΕ — изменение энергии частицы за счет испускания кванта
с частотой ω, δρ — изменение импульса частицы, к — волновой вектор,
θ — угол между направлением излученного кванта и вектором ν, ψ —
угол между осью Οζ и вектором k, r — целое число.
Вторая из формул (6,12) описывает сохранение проекции импульса
системы частица — излученный квант на направление, в котором движется частица.
Если допустить, что потери энергии частицы малы по сравнению
с энергией самой частицы, то δΕ = νδρ и обе формулы (6,13) можно
объединить в одну:
«cos θ = —γ-cosi|).
(b,14)
Модуль волнового вектора связан с частотой ω дисперсионным уравнением среды к = к (ω). Из (6,14) для cos θ следует такое равенство:
=— /с 1 (ω).
cos0=(
(6,15)
Из требования | cos θ | << 1 вытекают неравенства
Из неравенств (6,16) для каждого г можно найти область, в которой
заключены излучаемые частицей частоты. Формулы типа (6,13)—(6,16)
легко получить для произвольной среды с периодической зависимостью
диэлектрической проницаемости от трех координат. Выводы, сделанные
относительно характера излучаемого спектра, сохраняются и здесь.
Как отметил Тер-Микаелян, формула (6,13) эквивалентна закону
Брэгга — Вульфа в теории дифракции рентгеновских лучей.
Из формулы (6,13) следует, что излучение электромагнитных волн
частицей имеет место при определенном соотношении между длиной волны
λ = 2п/к и периодом решетки, т. е. имеет место своеобразный пространственный резонанс параметрического типа.
Для частного случая слоистой среды, рассмотренной Файнбергом
и Хижняком, частоты, соответствующие параметрическому резонансу,
определяются уравнением (6,6в).
Если |ε — ε | / ε < 1 , то влиянием неоднородной среды на свойства
излученного кванта можно пренебречь и в формулах
(6,13)—(6,16)
Заметим, что при I —> оо (6,16) переходит в обычные условия черенковского излучения.
Рассмотрим теперь ультрарелятивистский случай, когда можно
считать ν ^ с, а ε (ω, ζ) определить такой формулой:
1
— ^ ^
JtazJL·.
mco 2
теш2
c o s
Подставляя
c
'
mo) 2
±?± m
/
(6,17)
ν '
/
214
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
в (6,16) и учитывая, что при υ к, с
имеем следующие
частот:
неравенства,
определяющие
область
излучаемых
4
Из положительности подкоренного выражения вытекает, что энергия
излучающей частицы должна удовлетворять следующему неравенству:
)
пор
=
2псг
/
^
'
т
6
\ > /
Таким образом, эффект излучения электромагнитных волн ультрарелятивистской частицей является эффектом пороговым, т. е. волны
будут излучаться частицей, если ее энергия не меньше той, которая
определяется неравенством (6,19).
Условия (6,18) могут быть существенно упрощены, если потребовать выполнения неравенства
« 1.
(6,20)
Тогда
Ε
^ΊΧ,Ο
/"
V
%
Ι
ν
TYIC^
"\ ^
J
Nр^
I
τΐΐ
ст
'
Заметим, что из (6Д9) и (6,20) следует такое ограничение на порядок
спектра:
Из неравенства (6,15) и последующих соотношений вытекает, что
т. е. излучение ультрарелятивистской частицы заключено в узком конусе
и направлено в основном вперед, что уже неоднократно отмечалось выше.
Интересно отметить, что при наличии слоистости имеет место излучение поперечных электромагнитных волн в средах с диэлектрической
проницаемостью, описываемой формулой (6,17), тогда как в ее отсутствие
такого излучения нет.
Мы не будем останавливаться на спектрах с г > r m a x , ибо, как показано в 7 6 , интенсивность излучения, соответствующая этим спектрам,
весьма мала.
Выражение для интенсивности излучения частицей, движущейся
в среде с диэлектрической проницаемостью, описываемой формулой
типа (6,17), было получено методом В КБ Тер-Микаеляном в следующем
виде:
*"
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
215
где d2W /dzdat — спектральная плотность излучения частицы на единицу
пути, Jr— функция Бесселя r-го порядка, В = /шА/4я|/е0с cos θ, β = v/c.
При выводе формулы (6,24) помимо сформулированных выше допущений предполагалось, что I > ε/ω|/"ε0 (условие применимости ВКБ).
Каждый из членов в сумме в формуле (6,24) соответствует интенсивности излучения спектра r-го порядка. Легко видеть (см. (6,15) и ниже),
что выражение в квадратных скобках в формуле (6,24) равно sin 2 θ.
Спектр с г = 0 соответствует черенковскому излучению, модифицированному наличием неоднородности.
Заметим, что излучение с г > 0 может возникать, когда черенковское условие — ]/ε > 1 не выполняется.
Интенсивности спектров с г = 0, ± 1 в предположении В < 1,
Δ/ε ο <1, но при произвольном соотношении между λ и Ζ вычислялись
в работах 2S·78. Эйдманом 1 0 6 была рассмотрена задача о вычислении
излучения частицы в среде с диэлектрической проницаемостью, описываемой формулой (6,12), при движении частицы под углом к оси Oz. Излучение
осциллятора в такой среде было рассчитано Хачатряном 8 8 . Этому же
вопросу посвящена работа В. В. Тамойкина 1 3 в , в которой указано на возможность резонанса между переходным излучением и колебаниями
осциллятора, что может привести к раскачке этих колебаний.
В работе К. А. Барсукова и Б. М. Болотовского 40 · 13° исследовался
вопрос о потерях энергии частицы в неоднородной нестационарной среде
с законом изменения диэлектрической проницаемости
ε (ζ, ωί) = ε 0 (ω) + Δ cos ί -^ζ—wot
j .
(6,25)
Расчет, выполненный в приближении ВКБ, приводит к такому выражению для спектральной плотности поля, излученного частицей на единицу пути:
г
Здесь
:
2π
ι;
" = 1π ' « = τ 1 —«Ι.
ΰ
=
4JTC γ
ε0
cos θ —
У в0
Условия, определяющие излучаемые частоты, получаются из требования положительности выражения в квадратной скобке в формуле (6,26).
Эти условия также могут быть выведены из законов сохранения, аналогично тому, как это было сделано для среды, свойства которой не зависят
133
от времени. Б. В. Хачатрян
изучил излучение системы цилиндрических плазменных сгустков в среде с диэлектрической проницаемостью,
определяемой формулой (6,12), и исследовал влияние флуктуации размеров
сгустков и расстояния между ними на спектр поля.
К. А. Барсуков исследовал излучение заряда, движущегося в магнитоактивной плазме, находящейся во внешнем магнитном поле, периодически
меняющемся с координатой 1 3 1 .
Результаты, полученные в этой работе, близки к результатам Тер76
Микаеляна (ср. с ).
До сих пор мы рассматривали частицу, движущуюся через бесконечную периодическую среду. Остановимся на излучении частицы, пролетающей через стопку из конечного числа пластинок. Этому вопросу
216
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
посвящены работы Гарибяна 1 0 и Пафомова 1 7 . Мы ограничимся изложением
результатов работы 1 ? .
В § 5 была приведена формула для излучения частицы, пролетающей
через тонкую пластинку. Суммируя излучение от т пластинок, получим
dadQ
sm2-°^[a + 6(l-pcos6)l ,„„,
гс
dw
. , ω
etocffi '
( 6 j 2 7 )
2
sin -у- [a + 6 (1 — β cos θ)]
где d2Wm/d(udQ — излучение частицы, пролетающей через т пластинок
в единицу телесного угла на единичный интервал частоты, dlW/dti>dQ —
излучение частицы, пролетевшей через одну пластинку, а — толщина
пластинки, Ь — расстояние между пластинками. Множитель перед
d2W/da>dQ, в формуле (6,27) описывает интерференцию излучения от различных пластин.
Если
ТО
da dQ
'
du> dQ
т. е. излучение складывается когерентно. Если
то сложение излучения происходит некогерентно и
- = τηd(ud.Q~
'dot
dQ
'
При произвольном значении величины
-~т[а^
Ь(1 — pcos9)]
интерференционный множитель имеет максимумы, пропорциональные т'г,
и ширины порядка т при
-|-[ο + 6 ( 1 - ρ ο ο 8 θ ) ] = πν,
(6,28)
где ν — целое число.
§ 7. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В СРЕДЕ С ФЛУКТУАЦИЯМИ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
В ряде случаев представляет интерес излучение частицы в среде
с флуктуациями диэлектрической проницаемости. Такого рода явления
могут иметь место при прохождении корпускулярных потоков через
солнечную корону, ионосферу, межзвездное пространство. Резкое возрастание потерь частиц на излучение должно иметь место при прохождении
через вещество, если оно находится в состоянии фазового перехода, и др.
Расчет потерь частиц на излучение может производиться двумя методами —· методом усреднения и методом теории возмущений. Естественно,
что при применении этих методов к одним и тем же задачам оба они приводят к одинаковым результатам. Однако метод усреднения нам кажется
более предпочтительным, ибо позволяет свести задачу о потерях частицы
в флуктуирующей среде к известной задаче о потерях частицы в среде
с заданным тензором диэлектрических проницаемостей.
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
217
Уравнение Максвелла в среде с диэлектрической проницаемостью е
имеет следующий вид:
r o t r o t g + ^ J ^ r , t)g =-%-§.
(7,1)
Диэлектрическая проницаемость ε (г, t) в общем случае при наличии временной и пространственной дисперсии является интегральным тензорным
оператором, являющимся случайной функцией своих аргументов. Естественно, что электрическое поле % также является случайной функцией.
Запишем ε и % в следующем виде:
ε = ε Η - δ ε , g = E + l, E = g.
(7,2)
Здесь черта означает статистическое усреднение, δε — флуктуация тензора диэлектрической проницаемости, \ — флуктуация электрического
поля.
Выведем уравнение для среднего поля Е. G этой целью усредним
уравнение (7,1) и усредненное уравнение вычтем из (7,1). В результате
для определения Ε и ξ получим такую систему:
rot rot ξ-)—2~7ПГ ( 8 H ~ δεΕ-ρ δ εξ — δεξ) = 0.
Для нахождения уравнения для Е нужно выразить из второго уравнения
системы (7,3) через Е, а затем полученное выражение подставить в первое
из уравнений (7,3). Эта процедура может быть проведена в замкнутом
виде, если пренебречь двумя последними членами в круглой скобке во втором уравнении системы (7,3). Будем предполагать возможность такого
пренебрежения; условия его допустимости будут сформулированы ниже.
Пусть φ — оператор Грина уравнения
Из второго уравнения системы (7,3) для ξ получается следующее
выражение:
I (r, t) = J « Ϊ Φ Γ Γ ' ; t, ί')(δεΕ)Γ-; ( . dr' dt'.
(7,4)
Индексы г', t' обозначают, что выражение (δεΕ) берется в точках г', Ϊ
Подставляя (7,4) в первое из уравнений системы (7,3), окончательно
получаем д л я Ε следующее уравнение:
rotrotE + ^ £ e < ' > E = - £ 4 i . ,
(7,5)
где эффективная диэлектрическая проницаемость определяется таким
образом:
ε (β) Ε = εΕ + \ δε (г, t) φ (г, t; r', t') ( δ ε Ε ) ^ dr' dt'.
(7,6)
Описанный метод впервые был применен к проблеме о распространении электромагнитных волн в флуктуирующей среде Лифшицем,
Кагановым и Цукерником 1 1 3 и развит Канером 1 1 4 и одним из авторов 8 1 .
В дальнейшем нами будут рассматриваться только однородные
и стационарные среды, т. е. среды, в которых ε явно от г и t не зависит^
а корреляционные соотношения между b&ih{r, t) и tSeik(r', t') имеют
Φ. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
218
следующий вид:
8eih(r, t)6zVk.(r',
(7,7)
t') = WikVk,(r-r',t-t').
е
В этом случае выражение 8<> Ε может быть записано так:
(в«»Е),= \ в»(г-г', t~t')Eh(r',
t')dr'dt' +
ет{г~ r', t-t')Wilmh{r-r',
t-t')Ek(r',
t) dr' dt'.
(7,8)
Переходя к преобразованиям Фурье по координатам и времени, можно
(7,8) переписать таким образом:
(^)Е), = в^(ш, k)£fe(o>, к),
(7,9)
J w ( 6 , r)Wilmk(Q,
(7,10)
где
х)е-Ч™-& dQdx.
Интересно отметить, что наличие флуктуации приводит к появлению
пространственной и временной дисперсии и в том случае, когда для
среднего значения диэлектрической проницаемости эта дисперсия отсутствует. Зная эффективный тензор диэлектрической проницаемости, можно
легко найти потери частицы по следующей формуле 57 :
άωάζ
(kv)' (v ' ^ > 1 2 - ( ν - Ε-1;)». ^V+^^dk,
где
,2
(7,11)
(k,
(k,v)2
v)2--_,
Рассмотрим изотропную среду, для которой ε и Wikim являются
изотропными тензорами,! характеризующимися скалярами ε (ω) и И7 (ρ).
Будем также считать, что W не зависит от τ, а ε от А;. В этих допущениях эффективный тензор диэлектрической проницаемости принимает
следующий вид 8 1 > 1 1 3 ^ 1 1 5 :
sffi (ω, k H eH6 i f e + ^ lwiQ) [δ,+ J()
χ
exp
Γ
L
^
]χ
ωΊ г-—
η
—i—|/ε(ω)ρ+ΐ^ρ
с
Jd
(7>12)
Q
Таким образом, приведенные формулы дают полное решение задачи
о потерях частицы, движущейся в среде со случайными неоднородностями.
Методы, аналогичные изложенному, были использованы для определения потерь частицы в статистически неоднородной среде Тамойкиным
и Бираговым 1 0 3 и Калашниковым и Рязановым 9 2 . В работах Капицы8 8 ,
Тер-Микаеляна 7 7 и Тамойкина 1 0 2 рассмотрение проводилось методом
теории возмущений, т. е. в формуле (7,4) для \ Ε полагалось таким, каким
оно было бы в среде с δε = 0, а затем, зная f, по обычным формулам определяли интенсивность излученного поля.
Перейдем к непосредственному изложению результатов. Если выполнено неравенство — ]/ε/ < 1 (I — характерный радиус корреляции)
и W зависит только от абсолютной величины вектора ρ, то диэлектрическая
проницаемость флуктуирующей среды определяется следующей формулой:
(7,13)
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
219
Здесь
со
δε1 = ψ (0), / т = - 4 | - J QW
(Q)
dQ.
о
Пределы применимости этой формулы помимо указанного выше неравенства определяются еще соотношением (2πί/λ)7δε2 < 1 1 1 2 (ср. (6,11)).
Подстановка (7,13) и (7,11) приводит к следующей формуле для потерь
частицы 1 0 3 :
21η
d(x> dz
(7,14)
— максимальное значение волнового вектора, при котором еще
применима макроскопическая электродинамика. При выводе этой формулы предполагалось, что β2ε < 1 , т. е. условия черенковского излучения
для среднего значения диэлектрической проницаемости не выполняется.
Это наиболее интересный случай, так как при этом единственной причиной
излучения является наличие флуктуации. Кроме того, при вычислении
потерь энергии считалось также, что — I < 1.
Если среда является одномерной, т. е. ε зависит только от одной
координаты, например от ζ, то эффективная диэлектрическая проницаемость является тензором с компонентами
(7,15)
т. е. такая среда по электродинамическим свойствам эквивалентна одноосному кристаллу 8 1 . С такой ситуацией мы уже сталкивались при рассмотрении потерь в периодически неоднородной среде (см. предыдущий
параграф). Потери энергии в этом случае определяются по формуле (6,11).
В работе Тамойкина 1 0 2 рассматривались потери энергии частицы
в плазме при учете слабой пространственной дисперсии с флуктуациями
плотности электронов.
Действие оператора ε (ω) Ε задавалось следующим образом:
^
^
(7,16)
где
ε (ω) = 1
;
Τ — температура электронного газа в энергетических единицах,^ = iV -f+ 6N, Ν — среднее значение концентрации электронов, 6Ν — флуктуация концентрации электронов.
Предполагалось, что δΝ < N. Легко видеть, что флуктуация диэлектрической проницаемости определяется таким соотношением:
δε= —
Как известно, в отсутствие магнитного поля черенковского излучения
поперечных волн нет. Продольные волны могут черенковски излучаться
при выполнении условия
Если ν2 <ζ3νχ/ε, то из-за наличия флуктуации возникает излучение
как поперечных волн, так и продольных.
220
Ф. Г БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Если г> 2 >3г;5/б, то возникает дополнительный процесс, заключающийся в трансформации черенковски излученных продольных волн в поперечные за счет их рассеяния на флуктуациях.
Рассмотрим сначала случай ι>2 < 3 г 4 / е . Для интенсивности потерь
на излучение поперечных волн получается такое выражение:
άω dz
In
-β
2
ε-
• (7Д7)
Формула (7,17) по типу напоминает формулу (7,14). Однако здесь нет
необходимости вводить граничный импульс х т ах, ибо при учете пространственной дисперсии обрезание происходит автоматически на расстояниях
порядка дебаевского радиуса.
Интенсивность излучения резко возрастает при ν, стремящемся
к У 3 vT/V ε, что соответствует приближению к черенковскому порогу
излучения плазменных волн.
Выражение для потерь на излучение продольных волн отличается
от (7,17) множителем 1/ЗУ3-(C 3 /UJ). Так как этот множитель много
больше единицы, из сказанного вытекает, что интенсивность излучения
продольных волн во много раз больше, чем интенсивность излучения
поперечных волн.
Соответствующая формула применима при выполнении условий
Мы не будем останавливаться на случае ν2 > ЗоУе, а также на угловом
распределении излученного поля. Соответствующие результаты и их
обсуждение имеются в цитированных работах.
§ 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПРЕПЯТСТВИЙ
Неоднородность среды, в которой движется частица, приводит
к изменению фазовой скорости электромагнитных волн, следствием чего
является излучение электромагнитного поля даже при досветовой скорости движения частицы.
К этому же результату приводит движение частицы над неровной
поверхностью. Физическая сущность явления заключается в том, что
заряд, наведенный частицей, на неровной поверхности движется неравномерно даже при равномерном движении частицы.
Если скорость частицы существенно меньше скорости света, то задача
является электростатической и может быть решена методом изображений.
Такое рассмотрение было проведено на примере частицы, налетающей
105
на идеально проводящий шар, Аскарьяном, Городинским и Эйдманом * ) .
Суть метода изображений заключается в том, что система шар —
движущийся заряд заменяется по известным правилам на некоторое
заданное распределение зарядов в вакууме, движущихся, вообще говоря,
неравномерно и обеспечивающих выполнение граничных условий на
поверхности шара. Зная движение и распределение зарядов, легко найти
их потери на излучение.
los
*) Заметим, что в работе
было сделано замечание о некорректности результата Аскарьяна, полученного в 9 7 . Как было показано в 1 3 7 , эта некорректность не
имеет места.
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
221
Расчет, приведенный в 1 0 5 , дает для спектральной плотности поля,
излученного в единицу телесного угла, такое выражение:
Г ^
1
[ а21 j |2 ,
2v
Im J
a
1
(8j
где
θ — угол между траекторией частицы и направлением на точку наблюдения, а — радиус шара, Ει— интегральная экспонента.
При а->оо формула (8,1) переходит в известное выражение для
переходного излучения при нормальном падении частицы на идеально
проводящее полупространство. При а->0 (столкновение с нейтральной
частицей) формула (8,1) принимает следующий вид:
icosG)2"·
<8'2)
Формулы (8,1) и (8,2) были получены в предположении α С λ,
—jj- < 1. Однако формула (8,1) дает правильный ответ и при а—>оо.
Это обстоятельство связано с особой симметрией задачи в этом случае.
Интересно отметить, что при досветовом движении, подбирая соответствующим образом поверхность, на которую налетает заряд, можно
добиться сверхсветовой скорости движения изображения. Из задач подобного же рода отметим задачу об излучении токового кольца, налетающего
на шар 1 1 6 · 1 1 7 .
Днестровский и Костомаров рассмотрели потери нерелятивистской
частицы, движущейся вблизи поверхности, обладающей аксиальной симметрией " · 10°. Интенсивность излучения частицы выражается через регулярную часть функции Грина электростатической задачи для данной
поверхности. Нужно сказать, что нахождение функции Грина само по себе
представляет значительные трудности и, вообще говоря, не может быть
выполнено в общем виде. Авторам удается приближенно решить
с помощью развитого ими метода задачу об излучении частицы, влетающей
в круглый волновод с бесконечным фланцем.
Для увеличения интенсивности излучения естественно рассмотреть
движение частицы над системой шаров или каких-либо других тел в условиях, когда будет иметь место когерентное сложение полей, излученных
при пролете частицы над одним из шаров. Легко видеть, что условия
когерентного сложения наилучшим способом выполняются, если тела,
над которыми движется частица, расположены периодично. Соответствующее рассмотрение было проведено Аматуни и Оганесяном 2 8 .
Вычислим излучение частицы, пролетающей над шаром радиуса а
на прицельном расстоянии Ъ. Как и в случае, рассматриваемом в начале
настоящего параграфа, будут предполагаться выполненными неравенства
β < 1, α/λ С 1, так что излучение можно считать дипольным, а для
определения дипольного момента использовать метод изображений.
Несложный расчет дает для компонент дипольного момента d следующие выражения:
j
г\
J
ea3vt
,
ea3b
,о
o v
Зная зависимость дипольного момента от времени, по известным
118
формулам
можно найти спектральную плотность излучения в единицу
3
УФН, т. 86, вып. 2
φ. г. БАСС, в. м. ЯКОВЕНКО
222
телесного угла. Соответствующая формула имеет вид
]
(8 4)
'
где К о, Κι — модифицированные функции Ганке ля, θ, φ — углы в сферической системе координат.
Выпишем еще такие величины — спектральную плотность энергии,
излученной по всем направлениям dW/άω, энергию, излученную на всех
частотах в единицу телесного угла dW/dQ, и полную излученную энергию W:
A»
S
ω, Ω
Максимум излучения соответствует частоте
8.W
- ^
Аналогичный расчет приводит к следующим выражениям при пролете заряженной нити над цилиндром:
atw
-~
w
Здесь φ — азимутальный угол, меняющийся в пределах 0 < φ < π ,
τ — заряд единицы длины нити. Первая из формул (8,9) имеет максимум
при ω = Зи/2Ь.
Рассмотрим теперь излучение электромагнитных волн при пролете
какого-либо заряда над системой из т шаров или цилиндров, расположенных на расстоянии друг от друга. Заряд будем предполагать летящим
параллельно линии, соединяющей центры. Будем считать (а/г)3 < 1;
в этом случае возникшее поле является суммой полей от излучения изображения в каждом из шаров или цилиндров.
Магнитное поле Н, излученное такой системой, в момент t имеет сле28
дующий вид :
м=1
где Л0 — расстояние от центра системы до точки наблюдения,
iv=i-r-fc!2,
Wv)^
С
fi0-r(v-l)cos6.
Спектральная плотность излучения в единицу угла определяется такой
формулой:
d*W
- β cos θ)
-Tf^l — βοοβθ)
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
223
Первый множитель описывает излучение отдельного тела, а второй —
интерференцию излучений от разных тел. Этот множитель типичен для
теории дифракционных решеток. Естественно, что формула (8,10) пригодна для описания излучения от системы любых независимых излучающих тел.
Если длина системы мала I -к— (1 — ρ cos υ) < 1 ), второй множитель равен т2, т. е. имеет место когерентное сложение излучения от
отдельных тел.
таг
π
..
о
m
При произвольном значении -γ- (1 — β cos θ) второй множитель
имеет максимумы, пропорциональные т2 с шириной порядка 1/пг при
ω Γ
(\
е, ft\ — тг/
ft
/ЙИ1
СГ1
где I — целое число.
Соотношение (8,11) является условием Брэгга — Вульфа для плоской решетки. Из условия cos θ <; 1 при заданном значении длины волны
можно получить ограничения на порядок /:
£1.
(8,12)
Наконец, при ψ- (1 — β cos θ) > 1 во всех точках, кроме направления
главных максимумов, интерференционный множитель будет порядка т,
т. е. в этом случае имеет место некогерентное сложение полей, излученных
отдельными телами. (Заметим, что здесь мы имеем дело с ситуацией,
аналогичной той, которая имела место при пролете частицы через стопу
пластинок; см. § 6.)
Излучение частицы, движущейся вдоль непрерывной периодической
поверхности, исследовалось в работах Басса и Ханкиной 8 2 , а также
в работе Парыгина 9 0 .
В работе 8 2 использовался метод, предложенный Лысановым 1 1 9
и Мичемом 1 2 0 , которые показали, что если поверхность ζ = ζ (χ, у) удовлетворяет неравенствам
Ι ν ζ |max С l j
~
У ζ Imax "С 1
ζ max
(значком max обозначается максимальное значение), то исследование распространения волн над периодически неровной поверхностью сводится
к решению интегрального уравнения с разностным ядром.
Для усредненных по времени потерь энергии частицы в работе 8 2
было получено следующее выражение:
d4
dx d(O
e M 1
_p.JU)Re г
dK
-'со
2
,,Γ,—ΟΟ
(
8
Д
З
)
Bs, r (μο ε ζπι 3 χ ) exp [i (μ 0 0 + Цое) Щ Ь
Здесь введены такие обозначения: Βρς(μοοζτΒαχ)
ложения в ряд Фурье ехр Гfooo£mai\
L
. 2я
V
femax
^
. 2π
Lx, Ly — периоды функции ζ (χ, у).
— коэффициенты раз-
1,
J
Χ
ΛΖ
2
ω 2 ..
О9
,
224
Ф. Г. БАСС, В. М. ЯКОВЕНКО
Рассмотрим частный случай, когда ζ = Acos -j—x и — (1—р"2)1/а > 1 .
При выполнении этих допущений формула (8,13) принимает вид
** i
"
dxda
\^
f
/
?т/"5ы7
г» _
" "
"vi
та /
^ J "
S
w
л /л
V i; "
V i
ш
п<>\ * / « • / * * *
/
»* '
V ι; '
Г
с2
1
'
1
ХГ*^ -· ,
*"""' α \
L
«
)
ч/·
Л.
(8,14)
где 7 S — модифицированная функция Весселя s-ro порядка*).
Из формулы (8,14) вытекает, что излучаться могут только гармоники
с s <0.
Из условия действительности подкоренного выражения вытекают
следующие ограничения на номер излучаемой гармоники при фиксированной частоте:
^—ёг(1-Р)·
<8>15)
Из этого же условия можно получить ограничение на излучаемую частоту
при фиксированном номере гармоники:
.
ω<
2nsv
, о ιе
ч
-7Γ(Τ=β)-·
(8'16>
В рассматриваемой работе задача об излучении частицы, движущейся
над периодической поверхностью, исследовалась в приближении метода
возмущений в форме, развитой в 1 2 1 . Пределы применимости этого метода
для данного случая определяются следующими неравенствами:
В случае ζ = Л cos (2nxlL) формула для потерь частиц запишется так:
Ограничение на частоту в формуле (8,17) получается из (8,16) при
s = — 1 . Интересно отметить, что в приближении теории возмущений при
=7-, близком к ω/c, потери растут. Это связано с известным эффектом
резонансного возрастания амплитуды поля при его скользящем распространении над периодически неровной поверхностью. При — — -р- =» —
теория возмущений в том виде, в котором она использовалась нами,
неприменима. Более корректный расчет, аналогичный тому, который был
сделан в 1 2 5 , должен привести к конечному значению потерь в этом случае.
В работе Парыгина 9 0 с помощью несколько иной формы теории воз122
мущений
рассматривалось возмущение модулированного пучка, движущегося над периодически неровной поверхностью.
Наряду с излучением частицы, движущейся над периодически неровной поверхностью, представляет интерес излучение частицы, движущейся над статистически неровной поверхностью. Такого рода задача была решена Бассом и Ханкиной 8 ί . Мы не будем указывать способ
расчета, а приведем сразу окончательный результат в одном частном
*) В работе 8 2 допущены описки, в результате чего формулы (10), (11) этой
работы, соответствующие формулам (8,13), (8,14) настоящего параграфа, неверны.
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
225
случае:
где
= ^- J ρ # (ρ) dCl Ζ (ρ)
о
— корреляционная функция неровной поверхности, черта означает
статистическое усреднение, ζ2 = Κ(0) — средний квадрат высоты неровностей. Формула (8,18) применима, если выполняются такие неравенства:
— Ι ζ Imax < 1, — (L2) '- <€ 1, I VS |max € 1.
Формулы (8,13), (8,14), (8,17), (8,18) могут быть переписаны для движущихся излучателей различных типов путем умножения на некоторый
фактор. Так, для диполя этот фактор имеет вид
(Ρχ, Ρχ — соответствующие компоненты дипольного момента), для нити
_2τ2_
/
~Р~ V
παυ
ω(
ι_β2)νί '
и т. д. Интересно отметить, что полученные таким образом формулы
применимы для нити без каких-либо ограничений на a>b/v.
В заключение рассмотрим излучение различного рода зарядов, движущихся мимо полубесконечного идеально проводящего экрана. Поле,
связанное с движением заряда, может быть представлено как суперпозиция плоских затухающих электромагнитных волн. Излучение заряда
связано с дифракцией этих волн на ребре экрана, так как при дифракции
затухающей волны могут возникать дифракционные незатухающие волны.
Дифракция плоских электромагнитных волн на полубесконечном
экране хорошо изучена. Эта задача приводится к системе парных интегральных уравнений, которые затем решаются методом Винера —
123
Хопфа . Суперпозиция дифрагировавших волн и дает поле излучения.
Не останавливаясь подробнее на методической стороне дела, приведем
результаты.
Расчет излучения заряженной частицы, пролетающей над экраном,
93
был дан Казанцевым и Сурдутовичем , для частицы, пролетающей через
полубесконечный экран,— Седракяном т , а для заряженной нити —
Седракяном м , Болотовским и Воскресенским 4 2 . Мы приведем результаты последних работ. При расчете предполагалось, что нить расположена параллельно ребру экрана и проходит от него на расстоянии а.
Угол, который скорость нити составляет с плоскостью экрана, равен
π — ΰ1· Интенсивность излучения в интервалах частот dco и углов άψ
определяется следующим соотношением:
φ
1—β COS О
SUl2
~2~
β-2_ι
άωάφ~πω
β
(cos φ + β"1 cos
е
-2a"(lH32)V 2 _
(о,1У)
226
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
Интегрирование (8,19) по углам приводит к следующему выражению.
da
ω ( 1 —β2)
1/8
'
Этот результат был получен с помощью асимптотик, которые применимы не везде. Так, при Ф = 0, β = idW/du) = 0, что не следует из формулы (8,20). Расходимость интенсивности в области малых ω связана
с медленным убыванием поля нити с расстоянием по сравнению с полем
конечного источника. Эта расходимость может быть ликвидирована учетом
конечной толщины или конечной проводимости экрана.
В работе Седракяна 1 3 4 рассматривается излучение нити, пролетающей через экран на расстоянии d от края экрана. Наличие края экрана
вводит в формулу для полей переходного излучения поправки, убывающие с ростом d как (kd)-1'*. Отметим также ряд работ, в которых
рассматривается излучение линейного источника, пролетающего над
двумя плоскостями 1 3 2 или бесконечной системой плоскостей128> 1 2 9 .
Исследование излучения заряда, пролетающего через отверстие, проводилось в основном численными методами 9 5 -э'. Мы не будем останавливаться здесь на результатах, отсылая читателя к оригинальным работам.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. В . Л . Г и н з б у р г , И . М . Ф р а н к , Излучение равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из одной среды в другую, ЖЭТФ 16, 15
(1946).
2. G. B e c k , Contribution to the Theory of the Cherenkov Effect, Phys. Rev.
47, 795 (1948).
3. П. К л е п и к о в , К вопросу о переходном излучении, Вестник МГУ 8 (5), 61
(1951).
4. Г. Μ. Γ а р и б я н, К теории переходного излучения, ЖЭТФ 33, 1403 (1957).
5. Г. М. Г а р и б я н , К теории переходного излучения и ионизационных потерь
энергии частицы, ЖЭТФ 37, 527 (1959).
6. Г . М . Г а р и б я н , Переходное излучение при наклонном падении заряда, ЖЭТФ
3 8 , 1814 (1960).
7. Г. М. Г а р и б я н , К теории переходных эффектов в электродинамике, Изв.
АН Арм. ССР 11 (4), 7 (1958).
8. Г. Μ. Γ а р и б я н, Влияние многократного рассеяния на переходное излучение,
ЖЭТФ 39, 332 (1960).
9. Г . М . Г а р и б я н , Феноменологическая квантовая электродинамика при наличии
двух сред, ЖЭТФ 39, 1630 (1960).
10. Г. Μ. Γ а р и б я н, Излучение заряженной частицы, пролетающей через слоистую
среду, ЖЭТФ 35, 1435 (1958).
11. Г. М. Г а р и б я н , О. С. Μ е ρ г е л я н, Черенковское и переходное излучение
заряженной нити, несущей ток, Изв. АН Арм. ССР 12 (5), 91 (1959).
12. Г . М . Г а р и б я н , Р . В . К а р а п е т я н , Движение заряда по оси неоднородного
цилиндрического диэлектрика, Изв. АН Арм. ССР 16 (5), 99 (1963).
13. Г. М. Г а р и б я н, Г. А. Ч а л и к я н, Излучение заряженной частицы, пролетающей через пластинку, ЖЭТФ 35, 1282 (1958).
14. Г. М. Г а р и б я н , Г. А. Ч а л и к я н, Черенковское и переходное излучение
частицы, пролетающей через пластинку, Изв. АН Арм. ССР 12 (3), 49 (1959).
15. Г . М . Г а р и б я н , И . Я . П о м е р а н ч у к , О пределах применимости переходного излучения, ЖЭТФ 37, 1828 (1959).
16. Г. М. Г а р и б я н , И. И. Г о л ь д м а н, Излучение частицы в слоистой среде,
ДАН Арм. ССР 31, 219 (I960).
17. В . Е . П а ф о м о в , Излучение электрона, пролетающего через пластинку, ЖЭТФ
33, 1074(1957).
18. В. Ε. Π а ф о м о в, К теории излучения Вавилова — Черенкова в анизотропных
средах и при наличии границ (диссертация, 1958), Тр. ФИАН 16 (1961).
19. В. Ε. Π а ф о м о в, О переходном излучении и излучении Вавилова— Черенкова,
ЖЭТФ 36, 1853 (1960).
20. В . Е . П а ф о м о в , Излучение заряженной частицы при пролете через пластинки,
ЖЭТФ 39, 134 (1960).
20а. В . Е . П а ф о м о в , Об энергетических потерях заряженной частицы в пластинке,
Изв. вузов (Радиофизика) 5, 1072 (1962).
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
227
21. В . Е . П а ф о м о в , О влиянии многократного рассеяния на переходное излучение,
ДАН СССР 133, 1316 (1960).
22. В. Ε. Π а ф о м о в, Переходное излучение при наклонном падении, Изв. вузов
(Радиофизика) 5, 484 (1962).
23. В . Е . П а ф о м о в , К интерференционным эффектам излучения в слоистых средах, ,
ЖТФ 33, 557 (1963).
24. А. У. А м а т у н и, Переходное излучение дипольных моментов, Изв. АН Арм.
ССР 13 (1), 111 (1960).
25. А. У. А м а т у н и , Переходное излучение периодически следующих друг за другом сгустков заряженных частиц, Изв. АН Арм. ССР 15 (1), 109 (1962).
26. А. Ц. А м а т у н и , Η. Α. Κ ο ρ χ м а з я н, Переходное излучение в случае размытой границы двух сред, ЖЭТФ 39, 1011 (1960),
27. А. Ц. А м а т у н и , Η. Α. Κ ο ρ χ м а з я н, Излучение заряженной частицы в
среде с периодически меняющейся плотностью, Изв. АН Арм. ССР 13 (5), 55 (1960).
28. А. Ц. А м а т у н и , А. Н. О г а н е с я н , Излучения, возникающие при пролете
заряженных частиц над системой металлических шаров или цилиндров, Изв.
АН Арм. ССР 14 (5), 99 (1961).
29. Η. Α. Κ ο ρ χ м а з я н, Решение задачи о переходном излучении методом изображений, Изв. АН Арм. ССР 10 (4), 29 (1957).
30. Η. Α. Κ ο ρ χ м а з я н, Переходное излучение при наклонном падении заряда,
Изв. АН Арм. ССР 11 (6), 87 (1958).
31. Η. Α. Κ ο ρ χ м а з я н, Переходное излучение вперед, Изв. АН Арм. ССР 13 (2),
139 (1960).
32. Η. Α. Κ ο ρ χ м а з я н, Поляризация переходного излучения в случае наклонного входа, Изв. АН Арм. ССР 15 (1), 115 (1962).
33. О . С . М е р г е л я н, Излучение заряда при пролете параллельно границе раздела
изотропной и оптически активной среды, Изв. АН Арм. ССР 16 (1), 111 (1963).
34. Л. Г. Н а р ы ш к и н а , Об излучении заряда, движущегося в диэлектрическом
слое, ЖТФ 33, 1318 (1963).
35. К. А. Б а р с у к о в , Л. Г. Н а р ы ш к и н а , Переходное излучение в движущихся средах, Изв. вузов (Радиофизика) 4, 574 (1961).
36. Л. Г. Н а р ы ш к и н а , К. А. Б а р с у к о в , Об излучении движущегося в волноводе осциллятора, ЖТФ 33, 444 (1963).
37. К. А. Б а р с у к о в, Переходное излучение в волноводе, ЖЭТФ 37, 1106 (1959).
38. К . А . Б а р с у к о в , Переходное излучение в пластинке, помещенной в волновод,
ЖТФ 30, 1337 (1960).
39. К. А. Б а р с у к о в , Б. М. Б о л о τ о в с к и й, Потери энергии на переходное
излучение от движущейся границы раздела, Изв. вузов (Радиофизика) 3, 336
(1960).
40. К. А. Б а р с у к о в, Б. М. Б о л о τ о в с к и й, Излучение быстрых частиц в неоднородной стационарной среде, ЖЭТФ 45, 303 (1963).
41. Б. М. Б о л о τ о в с к и й, Теория эффекта Вавилова — Черенкова, УФН 62
(3), 201 (1957); 65 (2), 295 (1961).
42. Б. Ы. Б о л о т о в с к и й , Г. В . В о с к р е с е н с к и й , Поле заряженной нити,
равномерно пролетающей мимо проводящей полуплоскости, ЖТФ 34, 11 (1964).
42а. Э. Л. Б у р ш т е й н , Г. В . В о с к р е с е н с к и й , Энергетический расчет поля
излучения равномерно движущихся частиц в замедляющих структурах, Радиотехника и электроника 7, 2033 (1962).
43. Э. Л. Б у р ш т е й н , Г, В . В о с к р е с е н с к и й , Излучение одиночного заряда
в полубесконечном волноводе, заполненном диэлектриком, ЖТФ 33, 34 (1963).
44. Э. Д. Г а з а з я н, Э. М. Л а з н е в, О черенковском излучении в волноводе, Изв.
АН Арм. ССР, 16 (2), 79 (1963).
45. В . П . Д о к у ч а е в , К теории излучения звуковых волн при движении малых тел
в газообразных средах, ЖЭТФ 43, 595 (1962).
46. Г. А. А с к а р ь я н , Черепковское и переходное излучение от электромагнитных
волн, ЖЭТФ 42, 1360 (1962).
47. Г. А. А с к а р ь я н, Об излучении ускоренно движущегося изображения равномерно движущегося заряда, ЖЭТФ 29, 388 (1955).
48. Г. А. А с к а р ь я н, О генерации радиоволн миллиметрового диапазона при прохождении через тормозящую среду, ЖЭТФ 27, 761 (1954).
49. Г. А. А с к а р ь я н, Излучение объемных и поверхностных волн сжатия при налетании нерелятивистского электронного потока на поверхность плотной среды,
ЖТФ 29, 267 (1959).
50. Г. А. А с к а р ь я н , Импульсная генерация радиоволн с помощью переходного
излучения, ЖЭТФ 30, 584 (1956).
^51. В. W. Η а г г i, Bremsstrahlung Radiation as a Sourse of Coherent Microwave Power,
JRE Trans. (Nov. ED-9) 6, 439 (1962) (см. перевод: Заруб, радиоэлектр. 8, 91 (1963)).
52. Б. Л. Ж е л н о в , Выход в вакуум черенковского излучения, возникающего на
продольных волнах, ЖЭТФ 40, 170 (1961).
228
Φ. г. БАСС, в. м. ЯКОВЕНКО
53. В . М . Я к о в е н к о , Переходное излучение в плазме с учетом температуры, ЖЭТФ
41,385 (1961).
54. Э. А. К а н е р, В. М. Я к о в е н к о , К теории переходного излучения, ЖЭТФ
42, 471 (1962).
ν55. Β. Μ. Я к о в е н к о , Излучение заряженной частицы, пролетающей через границу вакуум — анизотропный диэлектрик, Укр. физ. ж. 8, 705 (1963).
56. В. М. Я к о в е н к о , О переходном излучении в магнитоактивной плазме, Изв.
вузов (Радиофизика) 7, 657 (1964).
57. В. П. С и л и н, Α. Α. Ρ у χ а д з е, Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, М., Госатомиздат, 1961.
58. V. P. S i I i n and E. P. F e t i s ο ν, Interpretation of the Electro - Magnetic
Radiation from Electon Passage throuch Metal Films. Phys. Rev. Letts. 7, 374 (1961).
59. В. П. С и л и н, Ε. Π. Φ е т и с о в, О переходном излучении и коллективных колебаниях в металлических пленках, ЖЭТФ 45, 1572 (1963).
60. W. S t e i n m a n n , Experimental Verification of Radiation of Plasma Oscillations
in Thin Silver Films, Phys. Rev. Letts. 5, 470 (1960).
61. R. W. B r o w n , P. W e s s e 1 and E. P. T r o u n s o n , Plasmon Reradiation
from Silver Films. Phys. Rev. Letts. 5, 472 (1962).
J 62. C. Μ и х а л я к, Исследование переходного излучения; Диссертация (МГУ, 1961).
63. Н. В о е г s с h, С. Rudeloff and G. Sauerbrey, Experimental Detection of Transition
Radiation, Phys. Rev. Letts. 7, 52 (1961).
64. S h o j i T a n a k a and Y o s h i f u m i K a t a y m a , Transition Radiation
from NiO, CoO and MnO, J. Phys. Soc. Japan 19 (1), 40 (1964).
65. В. Н. Ц ы τ о в и ч, О переходном излучении токов при прохождении через границу плазмы, ЖТФ 31, 766 (1961).
66. В. Н. Ц ы τ о в и ч, Когерентное переходное излучение токонесущих и заряженных сгустков, ЖТФ 31, 923 (1961).
67. В. Н. Ц ы т о в и ч , Релятивистское излучение кольцевого тока, ЖТФ 31,
665 (1961).
68. В. Н. Ц ы τ о в и ч, К теории движения зарядов по оси канала в среде, ЖТФ 33,
795 (1963).
69. В . Л . Г и н з б у р г , Об электромагнитных волнах в изотропной и кристаллической
средах при учете пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости,
ЖЭТФ 34, 1593 (1958).
70. В . М . А г р а н о в и ч , В . Л . Г и н з б у р г , Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов, УФН 76, 643; 77, 663 (1962).
71. А. Г. Б о н ч - О с м о л о в с к и й, Об излучении Вавилова — Черенкова при
пролете электронного пакета через диэлектрическую трубку, ЖТФ 33, 296 (1963).
72. Л. Г. Л о м и з е , О переходном и тормозном излучении в волноводных системах,
Радиотехника и электроника 5, 1546 (1960).
73. Л. Г. Л о м и з е , Сравнительные характеристики черенковского, переходного
и тормозного излучения в диапазоне коротких радиоволн, ЖТФ 31, 301 (1961).
74. М. Л. Τ е ρ - Μ и к а е л я н, К теории переходного излучения, Изв. АН Арм.
ССР 12 (4), 141 (1959).
75. М. Л. Τ е ρ - Μ и к а е л я н, Излучение быстрой частицы в неоднородной среде,
ДАН СССР 134, 318 (1960).
76. М . Л . Т е р - М и к а е л я н , Излучение фотонов быстрыми частицами в неоднородной среде, Изв. АН Арм. ССР, серия физ. 14, 103 (1961).
77. М. Л. Т е р - М и к а е л я н , А. Д. Г а з а з я н , Резонансные эффекты при излучении в слоистой среде, ЖЭТФ 39, 1693 (1960).
78. Я. Б. Φ а й н б е ρ г, Η. Α. Χ и ж н я к, Потери энергии заряженной частицей,
проходящей через слоистый диэлектрик, ЖЭТФ 32, 883 (1957).
79. П. В. Б л и о х, О потерях анергии заряженной частицей, проходящей через периодически неоднородный диэлектрик, Изв. вузов СССР (Радиофизика) 2, 63 (1959).
80. Ф. Г. Б а с с, К теории искусственно анизотропных диэлектриков, Изв. вузов
СССР (Радиофизика) 2, 656 (1959).
81. Ф. Г. Б а с с , О тензоре эффективной диэлектрической проницаемости в среде
со случайными неоднородностями, Изв. вузов СССР (Радиофизика) 2, 1015
(1959).
82. Ф. Г. Б а с с, С. И. X а н к и н а, Энергетические потери заряда, движущегося над
периодически неровной поверхностью, Изв. вузов СССР (Радиофизика) 6, 407
(1963).
83. Ф. Г. Б а с с , С. И. X а н к и н а, Потери энергии частицей, движущейся над
идеально проводящей статистически неровной поверхностью, Изв. вузов СССР
(Радиофизика) 5, 174 (1962).
84. Ф. Г. Б а с с, С И . X а н к и н а, Об энергетических потерях заряда при движении над анизотропной средой, Изв. вузов СССР (Радиофизика) 5, 408 (1962).
85. Ф. Г. Б а с с, С. И. X а н к и н а, В. М. Я к о в е н к о, Об энергетических потерях заряда, движущегося в вакууме над плазмой, ЖТФ 32, 1254 (1962).
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА
229
86. Ф. Г. Б а с с, М. И. К а г а н о в, В. М. Я к о в е н к о, Черенковское излучение
и дополнительные волны в диэлектрике, ФТТ 4, 3260 (1962).
87. Г. А. Б е г и а ш в и л и, Э. В. Г е д а л и н, О движении заряженной частицы
в анизотропном диэлектрике, ЖЭТФ 35, 1513 (1958).
88. С. П. К а п и ц а, Излучение заряда, движущегося в неоднородной среде, ЖЭТФ
39, 1367 (1960).
89. Б . В. Х а ч а т р я н , Об излучении осциллятора, движущегося в неоднородной
среде, Изв. вузов СССР (Радиофизика) 6, 904 (1963).
90. В . Н . П а р ы г и н , Излучение электронных сгустков над дифракционной решеткой, Изв. вузов СССР^(Радиофизика) 1, 139 (1958).
91. Д . М. С е д ρ а к я н, Излучение заряженной нити, движущейся параллельно
краю бесконечно проводящего экрана, Изв. АН Арм. ССР 16, 115 (1963).
92. Н. П. К а л а ш н и к о в , М. И. Р я з а н о в , Ионизационные потери в неоднородной среде, ЖЭТФ 45, 525 (1963).
93. А. П. К а з а н ц е в , Г. И. С у р д у т о в и ч , Излучение заряженной частицы,
пролетающей вблизи металлического экрана, ДАН СССР 147, 74 (1962).
94. В. Б . Б р а г и н с к и й , Излучение электромагнитных волн при равномерном
движении электрических зарядов вблизи неоднородностей, Радиотехника и электроника 1, 225 (1956).
95. В. Б о б р и к о в , В. Б . Б р а г и н с к и й , Излучение точечного заряда, движущегося по оси круглого отверстия в бесконечной идеально проводящей плоскости, ДАН СССР 123, 634 (1958).
96. Ю. Н. Д н е с т р о в с к и й , Д . Д . К о с т о м а р о в , Излучение модулированного пучка заряженных частиц при пролете через круглое отверстие в плоском
экране, ДАН СССР 124, 792 (1959).
97. Ю. Н. Д н е с т р о в с к и й , Д . П. К о с т о м а р о в , Излучение ультрарелятивистских зарядов при пролете через круглое отверстие в экране, ДАН СССР
124, 1026 (1959).
98. Ю. Н. Д н е с т р о в с к и й , Д . П. К о с т о м а р о в , Электромагнитное излучение при пролете пучка заряженных частиц мимо волновода с бесконечным фланцем, Радиотехника и электроника, 5, 1431 (1960).
99. Ю. Н. Д н е с т р о в с к и й , Д. П. К о с т о м а р о в , Излучение заряженных
частиц при пролете возле идеально проводящих тел, ДАН СССР 116, 377 (1957).
100. Ю. Н. Д н е с т р о в с к и й , Д. П. К о с т о м а р о в , Излучение при пролете
заряженных частиц возле идеально проводящих тел, Радиотехника и электроника
4, 303 (1959).
101. Ю . Н . Д н е с т р о в с к и й , Д. П. К о с т о м а р о в , Излучение модулированного пучка заряженных частиц при пролете через круглое отверстие в идеально
проводящем экране, Радиотехника и электроника 4, 1644 (1959).
102. В . В . Т а м о й к и н , Излучение заряда в неоднородной среде с пространственной
дисперсией, Изв. вузов (Радиофизика) 6, 257 (1963).
103. В . В . Т а м о й к и н , С. Б . Б и р а г о в, О реакции излучения звука при движении малых тел в неоднородных газообразных средах, ЖЭТФ 44, 1544 (1963).
104. В . Я . Э й д м а н , О переходном излучении на границе с плазмой при учете пространственной дисперсии, Изв. вузов (Радиофизика) 5, 478 (1962).
105. Г. В . Г о р о д и н с к и й , В. Я . Э й д м а н , Об излучении заряда, налетающего
на металлический шар, Изв. вузов (Радиофизика) 6, 405 (1963).
106. В. Я . Э й д м а н , Об излучении заряда, движущегося в неоднородной среде,
Изв. вузов (Радиофизика) 5, 897 (1962).
107. В. Я . Э й д м а н , О связанном с переходным излучением затухании электромагнитных волн в неоднородной среде, ЖЭТФ 43, 1419 (1962).
108. И. Μ. Φ ρ а н к, Переходное излучение и эффект Вавилова — Черенкова, УФН
75, 231 (1961).
109. И. Μ. Φ ρ а н к, Оптика источников света, движущихся в преломляющих средах
(нобелевская лекция), УФН 68, 387 (1959).
110. Л . Д . Л а н д а у, Е. М. Л и φ ш и ц, Электродинамика сплошных сред, Москва,
М., Гостехиздат, 1957.
111. А. Г. С и τ е н к о, М. И. К а г а н о в, О потерях энергии на черенковское излучение в кристаллах, ДАН СССР 100, 681 (1955).
112. В. И. Т а т а р с к и й , М. Е . Г е р ц е н ш т е й н , Распространение волн вереде
с сильными флуктуациями показателя преломления, ЖЭТФ 44, 676 (1963).
113. И. М. Л и φ ш и ц, М. И. К а г а н о в, В. М. Ц у к е ρ н и к, Распространение
электромагнитных колебаний в неоднородных анизотропных средах, Уч. зап.
ХГУ (Тр. физ.-матем. фак-та) 2, 41 (1950).
114. Э. А. К а н е р, К теории распространения волн в среде со случайными неоднородностями, Изв. вузов (Радиофизика) 2, 827 (1959).
115. Ф. Г. Б а с с, С. Я . Б ρ а у д е, Э. А. К а н е ρ, Α. Β. Μ е н ь, Флуктуации электромагнитных волн в тропосфере при наличии поверхности раздела, УФН 73,
89 (1961).
230
Ф. Г. БАСС, В. Μ. ЯКОВЕНКО
116. Μ. Л. Л е в и н , О решении одной задачи квазистационарной электродинамики
методом изображений, ЖТФ 34, 395 (1964).
117. М. М. К 1 е i n, R. Α. Β г и е с k n e r, Plasma Propulsion by a Rapidly Varying
Magnetic Fild, J. Appl. Phys. 31, 1437 (1960).
118. Л . Д. Л a H д а у, Ε. Μ. Л и ф ш и ц, Теория поля, М., Физматгиз, 1960.
119. Ю. П. Л ы с а н о в, Об одном приближенном решении задачи о рассеянии волн
на неровной поверхности, Акустический журнал 2, 182 (1956).
120. W . M e e c h e m , Fourier Transform Method for the Treatment of the Problem of the
Reflection of Radiation from Irregular Surfaces, J. Acoust. Soc. Amer. 28, 370
(1956).
121. Е . Л . Ф е й н б е р г , Распространение радиоволн вдоль земной поверхности, М.,
Изд-во АН СССР, 1961.
122. Б. 3 . К а ц е н е л е н б а у м , Возмущение электромагнитного поля при малых
деформациях поверхности металла, ЖТФ 25, 546 (1955).
123. Б. Η о б л, Применение метода Винера — Хопфа для решения дифференциальных
уравнений в частных производных, М., ИЛ, 1962.
124. Д. М. С е д ρ а к я н, Излучение заряженной частицы, пересекающей металлический экран, Изв. Арм. ССР, сер. физ.-матем. 17, И З (1964).
125. И. А. У р у с о в с к и й , Дифракция синусоидальных волн на неровной и неоднородной поверхности, диссертация (Акустический ин-т АН СССР, 1964).
126. Ф . Ф . Т е р н о в с к и й , К теории радиационных процессов в кусочнооднородных
средах, ЖЭТФ 39, 171 (1960).
127. Б. М. Б о л о т о в с к и й , Г. В. В о с к р е с е н с к и й , Излучение точечной
заряженной частицы, пролетающей по оси полубесконечного круглого волновода, ЖТФ 34, 711 (1964); Б . М . Б о л о т о в с к и й , Г. В. В о с к р е с е н с к и й , Излучение нити с током и заряженной нити, пролетающих вблизи открытого конца плоского волновода, ЖТФ 34, 704 (1964).
128. Г. В . В о с к р е с е н с к и й , Б . М. Б о л о т о в с к и й , Поле заряженной нити,
движущейся вблизи системы идеально проводящих полуплоскостей, ДАН СССР
156 (4), 770 (1964).
129. Б . М. Б о л о т о в с к и й , Г. В. В о с к р е с е н с к и й , Излучение линейного
источника вблизи дифракционной решетки, образованной системой идеально
проводящих полуплоскостей, ЖТФ 34, 1856 (1964).
130. К. А. Б а р с у к о в , Б. М. Б о л о т о в с к и й , Об излучении заряженной частицы, движущейся в нестационарной неоднородной среде, Изв. вузов (Радиофизика) 7, 291 (1964).
131. К. А. Б а р с у к о в , Об излучении заряда, движущегося в неоднородной магнитоактивной среде, ЖТФ 34, 725 (1964).
132. Ю. М. А й в а з я н , Излучение при пролете линейного источника над двумя
идеально проводящими параллельными плоскостями, Изв. АН Арм. ССР 17,
81 (1964).
133. Б . В . Х а ч а т р я н , Излучение цилиндрических сгустков в неоднородной среде,
ЖТФ 34, 637 (1964).
134. Д. М. С е д ρ а к я н, Излучение равномерно движущейся нити, пересекающей
металлический экран, ЖТФ 34, 718 (1964).
135. Д. М. С е д ρ а к я н, Дифракционное излучение точечной заряженной частицы,
Изв. АН Арм. ССР 17 (4), 102 (1964).
136. В . В . Т а м о й к и н , О реакции излучения при движении заряда в периодической
неоднородной среде, Изв. вузов (Радиофизика) 7, 432 (1964).
137. Г. А. А с к а р ь я н, Письмо в редакцию, Изв. вузов (Радиофизика) 6, 183 (1964).
138. R. Ρ г a t e s i, L. R ο η c h i, A. M. S с h e g g;i and G. Τ о г a 1 d о d i F r a nc i a, Radiation from a Charged Particle in Uniform Straight Motion throuch a Particular Stratified Medium, Proceedings of a Symposium «Electromagnetic Theory
and antennas», part 2, Pergamon Press, 1963, стр. 895.
139. В . Е . П а ф о м о в , Влияние многократного рассеяния на переходное излучение,
ЖЭТФ 47, 530 (1964).
140. А. А. Г а л е е в, Переходное излучение равномерно движущегося заряда на размытой границе двух сред, ЖЭТФ 46, 1335 (1964).
141. А. Ц. А м а т у н и, Решение задачи о переходном излучении в случае плазмоподобной среды, ЖТФ 34, 1335 (1964).
142. Э. Д. Г а з а з я н , О. С. М е р г е л я н, Переходное излучение в гиротропном
феррите, ДАН Арм. ССР 38, 3 (1964).
143. Э. Д . Г а з а з я н , О. С. Μ е ρ г е л я н, Переходное излучение в гиротропных
диэлектриках, Изв. АН Арм. ССР 17 (3), 87 (1964).
144. В. М. Я к о в е н к о, К теории переходного и черенковского излучения в средах
с пространственной дисперсией, Канд. диссертация (ХГУ, 1964).