5.4. закон ома

5.4. Закон Ома
Для большого класса проводящих веществ, в частности для металлов, плотность
r
r
электрического тока j пропорциональна напряжённости электрического поля E . Это
обстоятельство составляет один из важных законов электродинамики, хотя он, по большому
счёту и не рассматривается как фундаментальный. Он весьма значим для практических
целей. Математически закон представляется следующим образом
r
r
(5.18)
j = λE ,
где λ − постоянная величина для данного проводника, именуемая удельной проводимостью.
Уравнение (5.18) выражает собой закон Ома в дифференциальной форме. Удельная
проводимость зависит от физических свойств проводника, а так же от внешних условий,
таких как температура, давление и др. Величина обратная удельной проводимости
называется удельным сопротивлением
1
ρ= .
(5.19)
λ
Закон Ома в интегральной форме получается из наличия разности потенциалов между
отдельными его участками. Рассмотрим
несложную
электрическую
схему,
изображённую на рис. 5.16. Она состоит из
цилиндрического проводника постоянного
сечения
с
высоким
удельным
сопротивлением, например из вольфрама,
аккумуляторной батареи, амперметра и
чувствительного вольтметра, служащего
для измерения разности потенциалов.
Включив схему и перемещая скользящий
Рис. 5.16. К выводу закона Ома в
контакт вдоль проводника из положения 1
интегральной форме
в положение 2, обнаружим, что показания
вольтметра увеличиваются по закону
(5.20)
i = kU ,
Если длину проводника обозначить через l, а напряжённость электрического поля в нём
− Е, то можно записать следующее уравнение
ϕ − ϕ1 ϕ1 − ϕ 2 U
dϕ
=− 2
=
= .
(5.21)
E=−
dl
l
l
l
При возникновении в проводнике тока он будет течь от большего потенциала ϕ1 к
меньшему потенциалу ϕ2. Таким образом, для существования тока в проводнике необходимо
поддерживать на его концах разность потенциалов, т.е. условие возникновения
электрического тока определится как
Δϕ = ϕ1 − ϕ2 ≠ 0 .
(5.22)
Условие (5.22) может быть обеспечено наличием замкнутой цепи, в которую
последовательно с проводником включён источник тока. При разомкнутой цепи на
отрицательных клеммах источника имеется избыток электронов, а на положительных −
недостаток. Внутри источника действуют, так называемые сторонние силы, механического,
химического, биологического и теплового типа, которые обеспечивают разделение зарядов.
Перемещение зарядов в замкнутой цепи осуществляется за счёт сил не
электростатического происхождения, работа которых, как известно, по замкнутому контуру
всегда должна быть равной нулю. Перемещение по проводнику носителей заряда
осуществляется за счёт работы, производимой сторонними силами. Эта работа определяется
136
в виде суммы работы, совершаемой против сил электрического поля внутри источника тока
(АИст), а так же работы против сил сопротивления среды источника (АВнутр)
A Стор = А Ист + А Внутр .
(5.23)
Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называется отношение работы
сторонних сил к величине заряда, перемещаемого вдоль всей цепи, включая и источник тока
А
А + А Внутр
ε = Стор = Ист
.
(5.24)
q
q
Работа против сил электрического поля определится как
А Ист = q(ϕ1 − ϕ2 ) .
(5.25)
В режиме холостого хода, когда клеммы источника разомкнуты А Внутр = 0 , поэтому
ε = ϕ1 − ϕ2 .
(5.26)
В соответствии с уравнением (5.18) свободные носители заряда, в частности −
электроны, должны двигаться с ускорением
r
r eE
a=
,
(5.27)
me
т.е. скорость зарядов должна вроде как возрастать со временем, как и плотность тока
r
r
r
j = ρu = ρat .
(5.28)
Однако движение зарядов в проводнике происходит не в пустом пространстве.
Движущиеся электроны в классическом представлении, являясь частицами, обременёнными
массой покоя, при своём перемещении сталкиваются с элементами кристаллической
решётки, в частности с ионами, которые более массивны и обладают гораздо большими
размерами. Поэтому в уравнении (5.28) вместо неопределённого времени t, должно
рассматриваться время между столкновениями отдельно взятого электрона и ионами τ.
Уравнение скорости в этом случае уместно представить так
r eEτ
.
(5.29)
u=
me
Таким образом, скорость электрона за время τ будет увеличиваться до некоторого
максимума, затем при столкновении с ионом она становится равной нулю, в этой связи, в
среднем скорость движения зарядов по проводнику принимается постоянной.
На участке проводника dl напряжённость электрического поля связана с потенциалом
стандартным уравнением
jdl
dϕ = − Edl = −
.
(5.30)
λ
Умножим и разделим правую часть уравнения (5.30) на площадь поперечного сечения
проводника S
jdlS
dl
dϕ = −
= −i
.
(5.31)
λS
λS
Проинтегрируем уравнение (5.31) по длине проводника от точки 1 до точки 2 (рис. 516)
ϕ2
l
dl
d
ϕ
=
−
i
∫ϕ
∫0 λS ,
1
l
dl
.
(5.32)
0 λS
Величина подынтегрального выражения не зависит от силы тока и разности потенциалов
на концах проводника, оно определяется физическими свойствами металла и его
геометрическими характеристиками. Оно называется электрическим сопротивлением
l
l
ρl
dl
=
=
R=∫
.
(5.33)
λ
λ
S
S
S
0
ϕ1 − ϕ2 = U = i ∫
137
Электрическое сопротивление проводника R прямо пропорционально удельному
сопротивлению материала проводника ρ, длине проводника l и обратно пропорционально
площади его поперечного сечения.
Подставим далее значение сопротивления в уравнение (5.32)
U = iR .
(5.34)
Это уравнение называют законом Ома в интегральной форме. Если рассматривается цепь
постоянного тока, то закон Ома принято записывать в следующем виде
U
I= .
(5.35)
R
Электрическое сопротивление измеряется в Омах и производных единицах
1В В
1Ом =
= .
(5.36)
1А А
На практике используются килоомы (1 кОм = 103 Ом) и мегомы (1 МОм = 106 Ом).
Разберёмся далее, что следует подразумевать под понятием «скорость движения
носителей заряда» в свете того, что их очень много и движутся они весьма разнообразно. В
отсутствии электрического поля электроны, как отмечалось выше, имеют спонтанные
скорости хаотического теплового движения. При действии поля у электронов появляется,
r
так называемая, дрейфовая скорость u . Именно эта скорость в классической интерпретации
определяет электрический ток. В гидромеханике, например, при рассмотрении количества
жидкости истекающей из трубы, не существенно, как движется отдельно взятая частица
воды. Важно знать скорость струи и площадь её поперечного сечения.
Таким образом, величина u в уравнении (5.28) является дрейфовой скоростью электрона
в присутствии поля. Концентрация электронов проводимости в металлах имеет порядок
n e = 1028 − 1029 м − 3, средняя длина свободного пробега по порядку величины совпадает с
расстояниями между узлами кристалла
λ ≅ 10−10 м . Уподобив электроны атомам
идеального газа, можно оценить скорость их теплового движения
2
me v
3
3k B T
= k BT ; ⇒ v =
,
2
2
me
где
v
− средняя квадратичная скорость электронов,
(5.57)
me
− масса электрона,
k B ≅ 1,4 ⋅ 10−23 Дж K − постоянная Больцмана. Например, для Т = 300 К
3 ⋅ 1,4 ⋅ 10−23 ⋅ 300
м
≅ 1,12 ⋅ 103 .
(5.38)
−30
1 ⋅ 10
c
Определим далее величину дрейфовой скорости в медном проводнике с площадью
поперечного сечения 1 мм2 = 1⋅10 − 6м2. Если по проводнику течёт ток силой 1А, то его
плотность будет равна
A
I
j = = 106 2 .
(5.39)
м
S
Концентрацию
свободных
электронов
определим
через
плотность
меди
3
3
−3
ρ ≅ 8,9 ⋅ 10 кг м и её молярную массу μ = 63,5 ⋅ 10 кг моль , приняв во внимание, что у
меди один валентный электрон, который и экспортируется каждым атомом в нестройные
ряды электронного газа. Количество вещества, как известно, определяется в виде отношения
ν = ρ μ , умножив которое на величину числа Авогадро N A ≅ 6 ⋅ 1023 моль −1 , получим
число атомов в единице объёма, т.е. концентрацию свободных электронов
v ≅
ρ 6 ⋅ 10 23 ⋅ 8,9 ⋅ 103
1
≅ 8 ⋅ 1028 3 .
≅
μ
63,5 ⋅ 10−3
м
Дрейфовая скорость в этом случае равна:
ne = NA
138
(5.40)
1 ⋅ 10 6
м
см
≅ 7,8 ⋅ 10 −5 = 28
.
(5.41)
28
−19
n e e 8 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10
c
час
Результат несколько обескураживающий. Дрейфовая скорость свободных электронов на
восемь порядков меньше скорости теплового движения. Даже если на несколько порядков
увеличить плотность тока, что может, в конечном счёте, привести к тепловому разрушению
целостности проводника, то всё рано, скорость теплового движения будет существенно
превосходить дрейфовую скорость.
Электрон в электрическом поле испытывает действие кулоновской силы F = eE и
приобретает ускорение (5.29), поэтому, строго говоря, в течение времени пробега скорость
электрона увеличивается, а при столкновении с ионом обращается в нуль. За время
τ = < λ > < v > , т.е. за время между двумя соударениями дрейфовая скорость от нулевого
значения возрастёт до
u=
j
≅
u max = aτ =
eEτ
.
me
(5.42)
Средняя величина дрейфовой скорости, при этом, будет рана
u
eE < λ >
< u >= max =
(5.43)
2
2m e < v >
Подставим значение средней скорости дрейфа в уравнение плотности тока
n e2 < λ >
j= e
E,
(5.44)
2m e < v >
комбинация величин, являющихся коэффициентом пропорциональности между плотностью
тока и напряжённостью электрического поля является электропроводностью или
проводимостью
r
r
(5.45)
j = λE .
Таким образом, мы снова приходим к уравнению закона Ома в дифференциальной
форме.
Полученные выше результаты не следует рассматривать как безусловное количественное
подтверждение теории. Некоторые положения классической теории электропроводности
металлов не согласуются с экспериментальными результатами, о трудностях этой,
несомненно, передовой для своего времени, теории разговор впереди.
139