ЗАКОНЫ ГРАВИТАЦИИ – ПОИСКИ ФИЗИЧЕСКОГО СМЫСЛА

ЗАКОНЫ ГРАВИТАЦИИ – ПОИСКИ ФИЗИЧЕСКОГО СМЫСЛА
Часть 1. Закон всемирного тяготения Ньютона... - А был ли мальчик?
Такой коварный «радиус»
Наверняка многие помнят мультик, в котором забавные слоненок и обезьянка измеряли
длину удава в «попугаях». Им это удалось – его длина оказалась 38 попугаев и одно
попугайское крылышко. Человечество продвинулось в решении подобных задач далеко
вперед и вправе собой гордиться – оно умеет измерять длину не в «попугаях», а независимой
единицей измерения – метром. Однако, не смотря на великие достижения в деле изучения и
измерения окружающего мира, современная наука еще до сих пор имеет и сохраняет своего
«попугая» в арсенале мер – это очень распространенная единица измерения – r «радиус».
Известно, что «радиус» – это отрезок, соединяющий точку на окружности с ее центром
(школьный курс математики). Однако, обозначение r – «радиус» – довольно часто
встречается в формулах математики и физики, причем, при определении диаметрально
противоположных параметров, отличных от первоначального значения. Поэтому, когда в
формуле встречается термин «радиус» – это вовсе не значит, что речь идет о параметре,
который представляет собой отрезок, соединяющий точку на окружности или сфере с ее
центром. Тем более, когда в формуле присутствует «квадрат радиуса» – это уж точно не
означает, что в формуле идет речь только о расстоянии до центра от точки окружности. Все
это происходит потому, что величина радиуса r служит своего рода мерилом – «попугаем»,
которым измеряют не радиус, а другие величины, связанные с понятием окружности, круга,
шара, сферы.
Например:
9 в формуле определения длины окружности L:
L = 2πr
(1)
– в этой формуле r – это не радиус окружности, а мерило – тот самый «попугай»,
посредством которого в данном случае измеряется длина окружности. Величина r в этой
формуле определяет размер элемента окружности (части ее длины), который в любой своей
точке будет перпендикулярен(!) радиусу r этой же окружности. Т.е. длина окружности L и
радиус r этой же окружности – две разные величины, которые определяют взаимно
перпендикулярные параметры окружности – r и L. Но это никак не отражается на начертании
буквы r, хотя логичнее было бы добавить хотя бы индекс и писать – rx – радиус и ry – мерило
для длины окружности L.
9 более коварный вариант – это формула определения площади круга: S = πr2
(2)
– здесь выражение r2 вообще неправильное. Потому что здесь происходит не
возведение во вторую степень величины радиуса r, а перемножение двух ортогональных
величин – rx и ry, т.е. половины длины окружности ½L=πry и непосредственно радиуса rx. Изза непонимания этого «тонкого» нюанса в отличии двух перемножаемых r в последней
формуле очень многие очень умные ученые допускают досадные оплошности. Например,
при интегрировании или дифференцировании забывают, что эти операции обычно
проводятся либо по «иксу» – rx либо по «игреку» – ry, но ни в коем случае, не смешивая эти
ортогональные величины, даже если их начертание в формуле совпадает.
9 следующая коварная формула – это площадь поверхности шара или сферы.
S = 4πr2
(3)
В этой формуле вообще не идет речь об удаленности точки поверхности сферы от ее
центра. Очевидно, что здесь снова надо представить величину r2 как произведение двух
03.04.2010
1
отдельных параметров. Двух отдельных ортогональных(!) параметров. И это будут
элементы величин двух взаимно перпендикулярных окружностей
– ry аналога экватора, и
– rz элемента окружности на поверхности сферы, которая перпендикулярна экватору –
аналога большой окружности меридиана.
Как видите, и в формуле (3) об отрезке, соединяющем точку поверхности с ее центром,
нет никакого упоминания, а радиус r является тем «попугаем» или мерилом, которым
измеряют разнородные величины.
Это были примеры употребления термина «радиус» в качестве мерила каких-то
параметров в математике. Но в математических формулах обычно известно, о какой
представляемой величине идет речь в формуле – о площади круга или площади сферы и т.д.
Поэтому в математике довольно просто такие «попугаи» вычислить и уберечься от ошибок.
В физике дело обстоит гораздо сложнее. Природа не спешит открывать перед человечеством
свои тайны. Поэтому очень многие явления природы до сих пор не нашли должного
объяснения.
Но человек все равно не сдается. Он описывает эти явления, изучая закономерности
изменения каких-либо параметров, влияющих на эти явления. Т.е. описание
закономерностей изменения параметров существует, а объяснения этим явлениям нет. Такие
закономерности обычно называют громко – «законами» физики, но с такой скромненькой
добавкой – «феноменологические». И вот, когда в таких феноменологических законах
появляется r2 или r3, почему-то все уверены, что здесь идет речь о простом возведении в
степень обычного радиуса r в его первоначальном смысле. И никто не задумывается о том,
что не бывает обычного возведения в степень! И даже когда стоит r2 – это вовсе не значит,
что речь будет идти о площади круга – а может это будет площадь сферы? Т.е. каждое
упоминание величины радиуса r в физике – это очередной загадочный «попугай», который
ждет своей разгадки.
Физический смысл r2 в законе всемирного тяготения
В этой статье для примера рассмотрим весьма загадочный и очень давний закон
всемирного тяготения, которому уже более трехсот лет. Ньютон в своем основополагающем
труде «Математические начала натуральной философии» [4] представил зависимости между
периодом Т, радиусом r и массой m для планет и спутников планет солнечной системы. Эти
зависимости позже были оформлены как закон всемирного тяготения. Зависимости Ньютон
выводил без учета физического смысла изучаемых параметров – «исследуя в этом сочинении
не виды сил и физические свойства их, а лишь их величины и математические соотношения
между ними» [4]. Основным методом нахождения величин в этом труде были пропорции.
Поэтому поставленную перед собой задачу – исследование величин и соотношений между
ними – Ньютон, безусловно, выполнил блестяще.
Закон всемирного тяготения, как вы знаете, феноменологический. Он показывает
зависимости между отдельными параметрами, описывающими это явление. Причем, ни
параметры, ни зависимости никоим образом не объясняют описываемого явления. Формула
этого закона показывает зависимость силы F взаимного(?) притяжения(?) двух тел массой M
и m (например, солнца и планеты), находящихся на расстоянии r и имеет вид [1,2,3,5]:
F = GMm/r2
(4)
где G – это гравитационная постоянная. В этой формуле целых четыре изменяющихся
параметра (F, M, m, r) – получается сложная взаимосвязь. Ученые попытались исключить
один параметр – массу m – и ввели «напряженность» гравитационного поля g, которая равна
силе, с которой тело массой M на расстоянии r притягивает 1 кг массы [2,3,5]. Т.е.
03.04.2010
2
g = GM/r2
(5)
Последнее выражение будет проще, но все равно довольно сложное. Кроме этого в
формулах (4) и (5) идет речь о квадрате радиуса – r2. Настал черед прояснить, что имеется в
виду под r2 в этих формулах. – Очевидно, что о площади, вот только о какой?
Ньютон, исследуя вращение планет солнечной системы, под r2 имел в виду площади
отдельных участков в плоскости орбиты планеты [4]. В современных учебниках физики
этот момент вообще не освещается [1,2,5], в Википедии говорится, что это участки площади
сферы. Так все-таки, о какой площади идет речь в законе Ньютона? Разберем это на
конкретном примере солнца и планет солнечной системы.
Итак, есть солнце, вокруг которого вращаются планеты солнечной системы, которые
якобы притягиваются солнцем. Вращаются они, каждая по своей орбите. Об орбите можно
сказать, что она – это плоский объект. Можно было бы сказать, что в формулах (4) и (5) под
квадратом радиуса имеется в виду площадь участка орбиты планеты, как это и считал
Ньютон. Но с другой стороны, сила притяжения солнцем действует во всех направлениях от
его центра. Т.е. сила гравитационного притяжения солнца распространяется по всему
пространству – выше и ниже плоскости орбит планет. Т.е. более правильным вариантом
будет считать, что квадрат радиуса – это указание на площадь сферы радиуса r.
Тогда физический смысл напряженности гравитационного поля g – это напряженность
гравитационного поля солнца в любой точке сферы, построенной на орбите радиуса (или,
что то же самое, полуоси) r от центра солнца. Т.е. напряженность g характеризует действие
гравитации в любой точке сферы радиуса r гравитационного поля солнца или любого
центрального объекта массой M, вокруг которого вращаются другие объекты.
Исходя из последней формулы (5), напряженность g любой точки сферы радиуса r –
величина постоянная для данной сферы. С другой стороны, поскольку напряженность – это
характеристика любой точки сферы радиуса r, то можно сказать, что g – это плотность
распределения по поверхности сферы радиуса r вокруг объекта массой M некоего параметра
П, назовем его «количество гравитации». Его величину определяем, пользуясь формулами
(3) и (5), и получаем что
П = 4πr2*g = 4πr2*GM/r2 = 4πGM
(6)
Как видно из формулы (6), общее количество гравитации П на поверхности сферы,
построенной на орбите радиуса r гравитационного поля точечного объекта массой M, –
величина постоянная для данного точечного объекта и не зависит от величины r.
Оказывается, полное количество гравитации П для любой сферы вокруг источника
гравитационного поля совершенно не зависит от размеров этой сферы. И определяется это
полное количество П только массой M объекта, которое создает поле гравитации на этом
участке пространства, и гравитационной постоянной G. Размерность этого нового параметра
П – количества гравитации будет непривычная – м3/сек2.
Вот к каким неожиданным результатам приводит правильное толкование физического
смысла мерила «радиус» для закона всемирного тяготения. Что-то в таком же роде будет
действительным и для электромагнитного поля, потому что у него тоже есть параметр,
который называется напряженностью. Хотя эту же величину для точечного заряда
электромагнитного поля можно получить и из закона Кулона, но это тема отдельного
исследования. А мы продолжим рассмотрение гравитационного поля и его параметров.
03.04.2010
3
Факт, что радиус r в законе всемирного тяготения – это параметр поверхности сферы
радиуса r, позволил по-новому взглянуть на физический смысл напряженности
гравитационного поля g. Он помог найти количество гравитации П для системы
вращающихся объектов. Но это еще не все. Дело в том, что у напряженности g
примечательна ее размерность – м/сек2 – это размерность ускорения. Возникает резонный
вопрос – а ускорение чего показывает напряженность гравитационного поля? Рассмотрим
этот вопрос снова на примере солнечной системы.
Для каждой из планет солнечной системы можно определить напряженность
гравитационного поля g солнца на ее орбите. Принимаем, что напряженность g, исходя из ее
размерности, – это орбитальное ускорение планеты. В таком случае получаем условия
простенькой задачи:
– для планеты известна напряженность g, т.е. орбитальное ускорение и
известно время Т – период ее обращения вокруг солнца. Этих данных вполне
достаточно чтобы определить орбитальную скорость v планеты. Достаточно
ускорение умножить на время.
При этом надо учесть, что орбита – это окружность (или почти окружность). Поэтому в
простенькую формулу, к радиусу r, надо ввести поправку 2π, которая учитывает, что r – это
элемент длины окружности или длины орбиты, а не радиальной составляющей орбиты.
Тогда получаем формулу определения орбитальной скорости v через напряженность g
гравитационного поля центрального объекта массой M:
v = g*T/2π или
v = TGM/2πr2
(7)
Для проверки полученной формулы проведем расчет. Например, для Венеры имеем:
9 большая полуось орбиты r=0,723 а.е.,
9 период Т обращения вокруг солнца – 243 земных суток [2] или 19,4*106
секунд.
Расчет показывает, что орбитальная скорость Венеры должна составлять примерно
v=34 км/час. В справочнике находим, что средняя орбитальная скорость Венеры составляет
35 км/час [3]. Как видите, почти полное совпадение, что подтверждает правильность
формулы (7) и нашего предположения, что напряженность g гравитационного поля – это
орбитальное ускорение планеты. Соответственно, формулой (7) можно пользоваться для
определения орбитальной скорости планет солнечной системы. Точно так же можно
пользоваться этой формулой для определения орбитальных скоростей спутников планет или
других параметров объектов космоса и не только.
Уточненный третий закон Кеплера
Выше, опираясь на напряженность g гравитационного поля, была получена орбитальная
скорость v для объектов, которые вращаются вокруг центрального объекта – планет вокруг
солнца, спутников вокруг планет и т.п. Идя тем же путем дальше, можно определить радиус
или полуось а орбиты вращающегося объекта (планеты или спутника), если орбитальную
скорость v снова умножить на период обращения Т. Правда, снова надо ввести поправку 2π,
которая учитывает что в формуле речь идет о длине орбиты или длине L окружности радиуса
r=a. Получаем соотношение
a = v*T/2π
03.04.2010
(8)
4
Для Венеры получаем расчетную величину a=0,7 а.е., что практически совпадает со
справочной величиной 0,72 а.е. [2]. Если подставить в последнюю формулу вместо v
выражение из формулы (7) получаем:
a = T2GM/4π2r2
(9)
заменяем в последней формуле r на a – это из условия «задачи», и заменив GM на П/4π
из формулы (6) получаем, что
a3 = T2GM/4π2 = T2П/16π3
или
a3/T2 = П/16π3
(10)
Формула (10) показывает, что для любой из планет солнечной системы отношение a3/T2
– величина постоянная и определяется только количеством гравитации П,
характеризующем данный участок пространства или систему вращающихся вокруг одной
оси объектов.
Тогда можно утверждать, что для любой системы, состоящей из вращающихся
вокруг некоторой оси объектов (солнце и планеты, планета и ее спутники и т.д.), величина
отношения куба полуоси орбиты а3 к квадрату периода обращения Т2 будет величиной
постоянной для любой орбиты и определяется количеством гравитации П для этой системы.
Из последней формулы (10) можно определить
a = (T2GM/4π2)1/3
а также
T = √(4π2a3/GM)
(11)
(12)
Результаты вычислений по формулам (5), (7) и (8) для объектов солнечной системы
помещены в Таблицу 1 (колонки 5, 7, 8) и они показывают примерное совпадение со
справочными данными. Совпадение результатов вычислений со справочными данными
подтверждает правильность предположений и полученных выше формул.
Таблица 1. Расчеты параметров орбит объектов солнечной системы
Планета
1
Т обращ.
в/оси
солнца
(г.) [2]
Т обращ.
в/оси
солнца
(сек) *109
Напряжен.
гравит. поля
(м/сек2)
*10-3
Орбит.
скорость
км/час
[3]
3
4
5
6
Ядро солнца
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
0,241
0,615
1
1,881
11,86
29,46
84,01
164,8
250,6
5,3 мин*
0,0076
0,0194
0,0316
0,0594
0,374
0,93
2,66
5,2
7,82
27096489,8
396,12
113,49
59,32
25,54
2,191
0,6523
0,161
0,0656
0,038
Полуось
Орбит.
скорость v орбиты
(км/час) – (а.е.) [2]
расчет.
7
1330
48,8 46,46
35,0 33,98
29,8 28,93
24,2 23,41
13,6 12,65
9,65 9,361
6,78 6,612
5,42 5,265
4,75 4,593
2
Полуось
орбиты
(а.е.)
– расчет.
8
70 тыс. км 67 тыс. км
0,387 0,376
0,723 0,702
1 0,973
1,52 1,480
5,2 5,035
9,53 9,267
19,19 18,722
30,07 29,144
39,48 38,231
Масса
солнца M
(кг) *1030
– расчет.
9
2,000
1,986
1,987
1,982
1,985
1,993
1,985
1,977
1,990
1,992
Плутон
* - период вращения экватора ядра солнца вычислен с использованием третьего закона Кеплера:
по параметрам земли и длине экватора ядра солнца
03.04.2010
5
Формулы (5), (6), (7), (8), (11) и (12) показывают, что параметры орбиты любой
планеты или другого объекта, вращающегося вокруг оси, проходящей через ось
центрального объекта (и он сам тоже), не зависят от параметров вращающихся объектов.
Все эти параметры полностью определяются величиной произведения GM. А с учетом
формулы (6), зависят только от количества гравитации П – постоянной для любой из орбит
любого из вращающихся объектов системы этого участка пространства.
Кроме того, формула (10) – это формула уточненного третьего закона Кеплера, которая
показывает величину соотношения между величинами периода Т обращения планеты и
размером ее орбиты а. Это соотношение всегда будет величиной постоянной в пределах
группы вращающихся вокруг общей оси объектов и определяться количеством гравитации П
для этой группы. При этом формула показывает соотношение этих параметров для каждой
планеты отдельно, без сравнения их с другими объектами в отличие от третьего закона
Кеплера. Формула (10) получена последовательными логическими преобразованиями
формулы закона всемирного тяготения.
Теперь попробуем разобраться с массой M из закона всемирного тяготения. Для
солнечной системы масса солнца является параметром, определяющим все параметры орбит
объектов солнечной системы. Масса солнца составляет M=1,99*1030 кг [1,2,3]. Но с другой
стороны массу солнца M (или центрального объекта) можно определить из соотношения (9),
заменив a на r:
M = 4π2r3/T2G
(13)
Из формулы (13) видно, что масса солнца определяется параметрами орбиты любой
из планет солнечной системы и совершенно не зависит от параметров солнца (его размеров
или плотности его вещества). Расчеты представлены в Таблице 1 (колонка 9).
Все выше приведенные рассуждения, расчеты параметров орбит планет и ядра солнца
показывают, что они не зависят ни от каких параметров планет, которые вращаются
вокруг солнца. Они не зависят от параметров солнца, которое, считается, должно влиять
на них – притягивать(?!). Они все определяются свойствами среды, в которой или на которой
они располагаются. Даже масса солнца – это тоже параметр этой среды – исходя из
формулы (13).
Преобразование закона всемирного тяготения
Появление нового параметра гравитационного поля – количества гравитации П из
формулы (6) весьма примечательно. Согласно формулы (6) количество гравитации П на
сфере, построенной на орбите любого из группы объектов, величина постоянная. Подставим
в формулу (6) вместо параметра M его значение из формулы (13). После подстановки
получаем:
П = 4πG M =4πG 4π2r3/T2G=16π3r3/T2
(14)
В полученной формуле (14) определения количества гравитации П для сферы,
построенной на орбите любого объекта, отсутствуют «главные» гравитационные параметры
– гравитационная постоянная G и масса M центрального объекта (солнца). Это очень важный
момент, который однозначно говорит о том, что количество гравитации П на сфере,
построенной на орбите с полуосью r, величина постоянная и полностью определяется
параметрами орбиты вращающегося вокруг оси объекта – периодом Т вращения объекта и
размером r его орбиты.
03.04.2010
6
Необходимо иметь в виду, что параметры Т и r – это характеристики определенного
участка – плоскости орбиты, поверхности определенного вихря или воронки водоворота. Из
последней формулы видно, что чем быстрее, динамичнее происходит вращение поверхности
воронки, тем большее количество гравитации П в ней сосредоточено.
Формула (14) указывает, что количество гравитации П определяет периоды и,
соответственно, скорости вращения каких-либо объектов вокруг оси. Но оно не определяет
параметры объектов, вовлеченных в это движение. В этом случае все объекты, вращающиеся
вокруг некоторой оси – это своего рода индикаторы – «маячки». Они лишь отмечают
наличие вращения и указывают, что этот участок имеет некоторое количество гравитации П,
которое формирует поведение среды – время Т одного оборота точки пространства,
удаленной на расстояние r от оси вращения.
Т.е. количество гравитации П
9 не зависит от параметров объектов, которые вращаются на расстоянии r от
оси вращения,
9 не определяет параметры объектов, которые вращаются на расстоянии r от
оси вращения,
9 определяет параметры развития или движения среды, несущей эту
гравитацию П.
Близким и понятным примером такого формирования среды с некоторым количеством
гравитации П может служить поверхность воронки водоворота над каким-то углублением на
дне реки, ручейка. Чем больший перепад глубин (количества гравитации), тем быстрее
вращение воронки водоворота. При этом листочки растений или травинки, которые
вращаются на его поверхности, только лишь указывают наблюдателю на скорость вращения
поверхности воды.
Если взять формулу (4) закона всемирного тяготения Ньютона и подставить в нее
значение M из формулы (13), получаем следующую формулу
F = GMm/r2 = Gm4π2r3/r2T2G = m4π2r/T2
или
F = m4π2r/T2
(15)
Как видите, новая редакция формулы закона «всемирного тяготения» не содержит
гравитационной постоянной G, не содержит первой массы M или массы центрального
объекта – солнца, например. Таким образом, новая формула говорит, что ни о каком
тяготении или притяжении речь не идет! Остается только гравитационное воздействие
среды, несущей на своей поверхности планеты, кометы, звезды, галактики и пр. листочки и
веточки.
Таким образом, физический смысл формулы (15) – это определение силы F
гравитационного воздействия на объект массой m:
сила F обеспечивает вращение вокруг некоторой оси объекта массой m по
орбите с размером полуоси r и с периодом вращения Т.
Сила F воздействия гравитационного поля, согласно формуле (15), определяется
параметрами среды: периодом Т обращения объекта вокруг некоторой оси и размером r его
орбиты.
03.04.2010
7
Итоги первой части
В формулах математики и законов физики встречается величина r – радиус. Смысловая
нагрузка или физический смысл этой величины может быть очень разный в разных
формулах.
В представленной статье ставилась задача нахождения «физического свойства»
величины r – радиуса, который упоминается в законе всемирного тяготения. Это привело к
упрощению формулы закона всемирного тяготения до:
F = m4π2r/T2
(16)
При этом изменился физический смысл новой формулы. Логические преобразования
привели к тому, что закон всемирного тяготения преобразовался в закон гравитационного
воздействия, где
сила F гравитационного воздействия – это сила, которая обеспечивает вращение
вокруг некоторой оси с периодом Т объекта массой m на орбите с полуосью r в поле
гравитации данного участка среды.
Напряженность g гравитационного поля для орбиты с полуосью r определяется
формулой:
g = 4π2r/T2
(17)
Для оценки гравитационного поля введен новый параметр П – количество гравитации
на данном участке, как характеристика свойства среды (вихря или воронки), которая
вращается вокруг некоторой оси. Количество гравитации П является величиной постоянной
для любой сферы, построенной на орбите полуоси r любого из группы объектов,
вращающихся вокруг единой для них оси. Количество гравитации П определяет параметры
данного участка пространства или параметры орбиты любого из группы объектов,
вращающихся вокруг оси, которые связаны соотношением:
П = 16π3r3/T2
(18)
Выведена новая формула для третьего закона Кеплера, решенная без пропорций и без
сравнения параметров разных вращающихся объектов одной группы:
a3/T2 = П/16π3
(19)
Задача, поставленная в статье, выполнена.
Список использованной литературы
1.
2.
3.
4.
5.
Ч.Киттель, У. Найт, М.Рудерман, Берклеевский курс физики., т.1, Механика. М., Наука, 1975г.
Кононович Э.В., Мороз В.И., Курс общей астрономии. М. изд-во Едиториал УРСС, 2004г.
Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г., Справочник по элементарной физике. М., Наука, 1988г.
Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и примечания
А. Н. Крылова. М., Наука, 1989. 688 стр. ISBN 5-02-000747-1. Текст на math.ru;
Трофимова Т.И., Курс физики, М., Высшая школа, 1985г.
03.04.2010
8