Лабораторная работа КОЛЬЦА НЬЮТОНА 1. Цель

Лабораторная работа
КОЛЬЦА НЬЮТОНА
1. Цель работы
Определение радиуса кривизны плоско-выпуклой линзы при наблюдении колец
Ньютона в монохроматическом свете известной длины волны, а также определение
неизвестной длины волны монохроматического света при заданном радиусе кривизны
линзы.
2. Теоретическое введение
Интерференция света — это явление взаимного усиления или ослабления двух и
более когерентных световых волн при их наложении. При этом образуется устойчивая во
времени пространственная картина максимумов и минимумов интенсивности.
Интерференция возникает при наложении когерентных волн любой природы, поэтому
интерференция света является проявлением именно волновых свойств света.
Когерентные волны – волны с одинаковыми частотами и постоянной во времени
разностью фаз.
Согласно волновой теории, свет представляет собой электромагнитные волны, т.е.
распространяющуюся в пространстве и во времени систему связанных полей –
электрического и магнитного. За наблюдаемые оптические явления ответственна
электрическая составляющая электромагнитной волны – напряженность электрического

поля Е (световой вектор). Уравнение бегущей волны имеет одну и ту же форму для волн

любой физической природы, поэтому в электромагнитной волне вектор напряженности Е
зависит от координат и времени согласно выражению:





Е  Е 0  cos t  k r   ,


где  

2
2
- циклическая частота, k - волновой вектор ( k 
- волновое число),
Т




аргумент гармонической функции  t  k r    - фаза волны,  - начальная фаза, T 

период,  - длина волны, Е0 – амплитуда волны.
Если амплитуда, частота, длина волны, начальная фаза не меняются со временем, то
вышеприведенное выражение описывает монохроматическую волну. Реально эти условия
не выполняются, т.е. монохроматическая волна является идеализацией. Электрическая

составляющая световой волны Е заметно изменяется при распространении света в
различных средах, при прохождении через препятствие.
Рассмотрим сложение двух когерентных волн, колебания световых векторов


которых E1 и E 2 происходят вдоль одной прямой. Про такие волны говорят, что они
поляризованы в одной плоскости. Это условие, наряду с когерентностью волн, является
необходимым для наблюдения интерференции света. Предположим для простоты, что
начальные фазы и амплитуды волн одинаковы и равны соответственно φ0 и Е0. Результат
сложения таких волн получим следующим образом:







 


Е  E1  E 2  Е 0  cos t  k r1   0   Е 0  cos t  k r2   0  








.



 r  r 
 r  r 


 2 1
 1 2
 2 Е 0 •cos k 
 cos t  k 
 0 
 2 
 2 








Полученное выражение соответствует бегущей монохроматической волне с такой же, как
у исходных волн частотой ω, но амплитуда результирующей волны Ер равна:
  
r r 
E р  2 Е 0 •cos k  2 1  .
 2 



Интенсивность излучения I прямо пропорциональна квадрату амплитуды. Для
исходных волн I 0 ~ E 02 . А для интенсивности результирующей волны Iр получим:
  
  
r r 
I р  4 I 0 •cos k  2 1   2 I 0 •1  cos k r2  r1  .
 2 


2



(1)
Как видно из полученного выражения для Iр, интенсивность света в данной точке
зависит от разности расстояний от источников волн до точки наблюдения: Δr = r2 – r1.
Величина Δr называется геометрической разностью хода волн. Если в некоторой точке
пространства
r  m , m = 0,1,2,…,
(2)
то волны усиливают друг друга, а результирующая интенсивность, в соответствии с (1),
превышает интенсивность исходных волн в 4 раза: Iр = 4 I0. Если

r  2m  1 , m = 0,1,2,…,
2
то волны гасят друг друга: Iр = 0.
(3)
При выводе выражения (1) предполагалось, что длины складывающихся волн
одинаковы. Между тем, волны, имеющие одинаковые частоты, при распространении в
различных средах будут различаться по длине волны. В вакууме длина волны λ0 = 2πс/ω ,
где с = 3∙108 м/с – скорость света вакууме. В среде с показателем преломления n длина
волны λ = λ0/n. Если учесть, что две когерентные волны распространялись в средах с
показателями преломления n1 и n2, то удобно ввести вместо геометрической разности хода
Δr оптическую разность хода Δ = n2 r2 - n1r1 (при распространении
волн в вакууме
Δr = Δ). Тогда вместо условий (2) и (3) можно записать условия максимума и минимума
интенсивности в следующем виде:
   m0 , m  0,1,2...
  (2m  1)
0
2
- максимум,
(4)
, m  0,1,2... - минимум.
(5)
Образование интерференционной картины связано с перераспределением световой
энергии в пространстве: в области интерференционных максимумов поступает больше
энергии, за счет того, в области интерференционных минимумов энергия не поступает
совсем.
а)
б)
Рис. 1. Цвета тонких пленок – результат интерференции света.
а). Радужная окраска мыльного пузыря.
б). Цвета побежалости на поверхности нагретого стального лезвия.
При сложении волн, испущенных двумя «обычными» источниками, например, лампами
накаливания или газоразрядными лампами, никакой интерференционной картины не
наблюдается, поскольку что такие источники дают некогерентное немонохроматическое
излучение. Получить монохроматический свет довольно легко – надо использовать
светофильтр, но это излучение все равно останется некогерентным. Атомы источников
излучают свет независимо друг от друга в виде отдельных волновых цугов («обрывков»
синусоидальных волн). Длительность непрерывного излучения атома около 10 -8 с. Цуги,
испущенные различными атомами различных источников, накладываются друг на друга,
при этом разность фаз колебаний в каждой точке пространства хаотически и быстро (за
время ~ 10-8 с) меняется. Для получения когерентных волн в оптике французский физик
О.Френель предложил в 1815 году следующий способ: разделить излучение одного
источника на два пучка, заставить эти пучки пройти разные пути и свести в одной точке
пространства. Но этот процесс может происходить и без вмешательства человека,
например, при прохождении света через тонкие пленки. Именно явление интерференции
приводит к появлению радужной окраски мыльных пузырей (Рис. 1а) или пленок нефти
на поверхности воды, а также цветов побежалости на поверхности металла (Рис. 1б).
Последний эффект возникает из-за образования тонкой пленки окисла на поверхности
металла, например, в результате нагрева. Английский ученый Т. Юнг в 1802 году
объяснил возникновение цветов тонких пленок интерференцией волн, одна из которых
отражается от верхней поверхности пленки, а другая - от нижней. Накладывающиеся
волны когерентны, т.к. испущены одним атомом источника света.
Кольца Ньютона -
это интерференционная картина, возникающая в тонкой
прослойке воздуха между стеклянной пластинкой и положенной на нее стеклянной
плосковыпуклой
линзой
с
большим
радиусом
кривизны.
Картина
имеет
вид
концентрических чередующихся темных и светлых колец. Если падающее излучение
монохроматическое, то светлые кольца будут того же цвета, что и падающий свет. Если
установка облучается белым светом, то светлые кольца будут иметь радужную окраску,
причем ближе к центру лежит фиолетовая часть кольца, дальше от центра – красная.
На рисунке 2а представлена оптическая схема образования колец Ньютона в
отраженном свете, соответствующая экспериментальной установке. Монохроматический
свет с длиной волны λ падает на плоскую поверхность линзы. Будем считать, что свет
распространяется в воздухе, поэтому длина волны λ практически не отличается от длины
волны λ0 в вакууме.
а)
б)
в)
Рис. 2. Схема образования колец Ньютона в отраженном свете.
а). Образование когерентных лучей 1 и 2 при частичном отражении света от границ
воздушной прослойки с линзой и стеклянной пластинкой.
б). Геометрическое построение для вычисления радиусов колец.
в). Кольца Ньютона в отраженном свете
Рассмотрим ход одного из лучей. Часть излучения проходит через линзу и
частично отражается от выпуклой поверхности линзы на границе с воздушным зазором в
точке A (луч 1). Часть излучения проходит внутрь воздушного зазора, затем отражается от
плоской поверхности стеклянной пластины в точке B (луч 2). Поскольку радиус кривизны
линзы очень большой, можно пренебречь изменением хода лучей при преломлении и
отражении
света и считать, что вышедшие из системы лучи движутся практически
параллельно падающему. Лучи 1 и 2 когерентны: они имеют одинаковую длину волны и
постоянную во времени разность фаз, связанную с тем, что луч 2 проходит больший путь,
чем луч 1.Пусть d - толщина воздушного зазора в данном месте, тогда дополнительный
путь, пройденный вторым лучом, равен 2d. Оптическая разность хода будет отличаться от
геометрической, поскольку при отражении света от границы среды с бóльшим
показателем преломления происходит изменение фазы колебаний на π, что равнозначно
увеличению оптической разности хода на

. При отражении от среды с меньшим
2
показателем преломления изменения фазы колебаний не происходит. В данной
интерференционной схеме луч 2 отражается от среды с бóльшим показателем
преломления, поэтому оптическая разность хода увеличивается по сравнению с
геометрической на

. Луч 1 отражается от среды с меньшим показателем преломления,
2
поэтому его фаза при отражении не меняется. Таким образом,
  2d 

2
.
В дальнейшем будем обозначать радиус колец Ньютона через rm , радиус линзы –
R. Как следует из построения на рисунке 2б (точка O – центр кривизны линзы), по теореме
Пифагора:
R 2  rm2  ( R  d ) 2 .
Т.к. d  R , то rm2  2 Rd , тогда d 
rm2
. Для оптической разности хода получим:
2R

rm2 
 .
R 2
(6)
Для вывода формулы радиусов светлых или темных колец приравниваем выражение (6)
условию максимума (4) или минимума (5) соответственно. Радиусы темных колец
определяются выражением:
rm (темное)  mR , m  0,1,2...
(7)
Радиусы светлых колец подчиняются условию:
rm (светлое)  (2m  1) R

2
, m  1,2...
(8)
В центре картины образуется темное пятно (Рис. 2в), поскольку при m = 0, радиус темного
кольца также равен нулю. Это темное пятно окружено первым светлым кольцом с
радиусом r1 (светлое)  R

2
.
Следует отметить, что кольца Ньютона можно наблюдать и в проходящем свете,
когда глаз наблюдателя находится по другую установки относительно падающего пучка.
Тогда картина колец становится обратной к наблюдаемой в отраженном свете: центр
картины светлый и окружен темным кольцом, а формулы для радиусов светлых и темных
колец меняются местами.
3. Описание экспериментальной установки.
Общий вид установки представлен на рисунке 3.
Рис. 3. Общий вид экспериментальной установки для наблюдения колец Ньютона
Установка состоит из источника питания 1, напряжение с которого подается на гелийнеоновый лазер 2, который является источником монохроматического излучения с длиной
волны 632,8 нм. Далее пучок света падает на плоское зеркало 3, а отраженный от зеркала
пучок проходит через систему линз 4, с помощью которой можно значительно увеличить
диаметр пучка. Этот широкий пучок излучения падает нормально на систему 5,
состоящую из
плоскопараллельной стеклянной пластины и плосковыпуклой линзы с
большим радиусом кривизны (R ~ 12 м). Эта система и дает интерференционную картину.
Линза и пластина помещены в общую оправу, снабженную регулировочными винтами.
Собирающая линза 6 с фокусным расстоянием 50 мм позволяет фокусировать картину на
полупрозрачном экране 7. На экран нанесена миллиметровая сетка для измерения радиуса
колец. Все элементы установки монтируются на столике (8) с магнитным покрытием.
4. Порядок проведения эксперимента
При выполнении работы следует строго соблюдать правила техники безопасности
и охраны труда, установленные на рабочем месте студента в лаборатории.
1. Разместите все элементы установки на предметном столике.
2. Включите лазер.
3. Произведите юстировку оптической системы и получите изображение
интерференционной картины на экране.
4. Измерьте по горизонтальной шкале диаметры Dг (мм), темных или
светлых колец, согласно заданию преподавателя. Измерения начинайте с первого,
ближайшего к центру кольца, проведите измерения для 10 колец.
4.Результаты измерения диаметров Dг (мм), занесите в таблицу 1.
5. Повторите измерения согласно пункту 4 диаметров колец по вертикальной шкале
Dв (мм) и занесите результаты в таблицу 1.
6. Вычислите для каждого кольца с номером m среднее значение диаметра
Dm = (Dг + Dв)/2 , среднее значение радиуса rm = Dm/2 , найдите значение rm2 . Полученные
результаты занесите в таблицу 1.
Таблица 1. Результаты измерений.
№m
кольца
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dг (мм)
Dв (мм)
rm (мм)
rm2 (мм2)
5. Обработка результатов эксперимента
5.1. Расчет радиуса кривизны линзы.
1. Из формул (7) и (8) следует, что rm2 зависит от номера кольца m по линейному закону.
По результатам измерений постройте на миллиметровой бумаге график функции
rm2 = f(m), который должен иметь вид прямой.
2.Пользуясь правилами обработки графиков, определите тангенс угла наклона этой
прямой. Для этого выберете на построенной прямой две точки, найдите для этих точек
приращение аргумента m по оси абсцисс и соответствующее приращение самой
функции  rm2 по оси ординат. Тогда:
tg 
 
 rm2
.
m
3.С другой стороны, в соответствии с теоретическими формулами (7) и (8),
tg  R .
Используя известное значение длины волны излучения λ = 632,8 нм, найдите радиус
кривизны линзы по формуле:
R
 
 rm2
.
  m
(9)
4.Погрешность измерения R определяется погрешностью измерения Δλ длины волны и
погрешностью измерения Δrm радиусов колец, причем последняя вносит основной вклад.
Поэтому, в соответствии с правилами вычисления погрешностей косвенных измерений,
относительная погрешность (в %) равна:
R 
2rm
R
 100 % 
100 % .
R
rm
Погрешность Δrm обусловлена прежде всего тем, что кольца по форме не окружности, а
скорее, эллипсы. Относительную погрешность найдем по формуле:
Dг  Dв
rm
.

rm
2Dг  Dв 
Тогда относительная погрешность радиуса кривизны равна:
R 
Dг  Dв
Dг  Dв 
 100%
.(10)
(м).
(11)
Абсолютная погрешность R :
R 
Вычислите
R R
100 %
по формулам (10) и (11) относительную и абсолютную погрешности,
использую данные для кольца с номером m = 5.
Ответ запишите в СИ в виде:
( R  R )  (м),
R 
(%).
5.2. Расчет длины волны излучения
1. Из формул (7) и (8) следует, что rm2 зависит от номера кольца m по линейному закону.
По результатам измерений постройте на миллиметровой бумаге график функции
rm2 = f(m), который должен иметь вид прямой.
2.Пользуясь правилами обработки графиков, определите тангенс угла наклона этой
прямой. Для этого выберете на построенной прямой две точки, найдите для этих точек
приращение аргумента m по оси абсцисс и соответствующее приращение самой
функции  rm2 по оси ординат. Тогда:
 
 rm2
tg 
.
m
3.С другой стороны, в соответствии с теоретическими формулами (7) и (8),
tg  R .
Узнайте у лаборанта радиус кривизны линзы, использованной для проведения
эксперимента. Найдите длину волны излучения по формуле:
 
 
 rm2
.
R  m
( 12)
4.Погрешность измерения λ определяется погрешностью измерения ΔR длины волны и
погрешностью измерения Δrm радиусов колец, причем последняя вносит основной вклад.
Поэтому, в соответствии с правилами вычисления погрешностей косвенных измерений,
относительная погрешность (в %) равна:
 


 100 % 
2rm
100 % .
rm
Погрешность Δrm обусловлена прежде всего тем, что кольца по форме не окружности, а
скорее, эллипсы. Относительную погрешность найдем по формуле:
Dг  Dв
rm
.

rm
2Dг  Dв 
Тогда относительная погрешность радиуса кривизны равна:
 
Dг  Dв
 100% .
(13)
(м).
(14)
Dг  Dв 
Абсолютная погрешность R :
 
Вычислите
 
100 %
по формулам (13) и (14) относительную и абсолютную погрешности,
использую данные для кольца с номером m = 5.
Ответ запишите в СИ в виде:
(   )  (м),
 
(%).
6. Библиографический список
1.Физика. 11 класс: учеб. для общееобразоват. учреждений: базовый и профил.
уровни/ Г.Я.Мякишев, Б.Б., Буховцев, В.М. Чаругин; под ред. В.И. Николаева, Н.А.
Парфентьевой. - 19-е изд. - М.: Просвещение, 2010. – с.198 – 203.
2.Физика. Колебания и волны. 11 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики/ Г.Я.
Мякишев, А.З. Синяков – 4-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2005.- с.220-229.
3.Физика. Оптика. Квантовая физика. 11 кл.: Учеб. для углубленного изучения
физики/ Г.Я. Мякишев, А.З. Синяков – 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2002.- с.125-151.
4.Валянский С.И., Докучаева А.А., Докучаева В.А. и др. Оптика. Атомная и ядерная
физика: Лаб. Практикум. Ч. 2. Под ред. Е.К Наими и Ю.А. Рахштадта. – М.: Изд. Дом
МИСиС, 2009. – 148 с.
5.. Капуткин Д.Е., Шустиков А.Г., Физика: Обработка результатов измерений при
выполнении лабораторных работ. М.: МИСиС, 2007. 108 с. (№805)
7. Контрольные вопросы
1. Что такое когерентные волны?
2. Что такое оптическая разность хода?
4. Каковы условия максимума и минимума при наблюдении интерференционной
картины?
5. В каких случаях при интерференции света в тонких пленках оптическая разность
хода меняется на

?
2
6. Чем отличается интерференционная картина при наблюдении колец Ньютона в
отраженном и проходящем свете?