Физика. 10 класс. Е.В. Коршак, А.И. Ляшенко, В.Ф. Савченко

КИНЕМАТИКА
§ 3.
Равномерное прямолинеОное
gвuженuе
Простейшим
видом
механического
движения
является равномерное прямолинейное движение. Это такое
движение, при котором тело, двигаясь по прямой, за любые
одинаковые интервалы времени совершает одинаковые пере­
мещения. Его траектория- прямая линия. Поэтому его можно
описать переменой одной из координат, например х = x(t), если
координатная ось совпадает с направлением движения.
Пусть тело в начальный момент движения имеет координа­
ту х
0
(рис.
1.8);
через некоторое время, совершив перемещение
оно будет иметь координату х. Перемещение, характеризую­
8,
щее изменение положения тела в пространстве с течением вре­
мени, может происходить с разной скоростью. Скорость равпомерпого движепия - это физичеекая величина, равная отношению
перемещения ко времени, в течение
20
о
хо
х
х
которого оно произошло:
-
Puc. 1.8. Измененuе
8
t
(1)
V=-.
коорguнат тела во время
gвuженuя
Как
известно,
измеряется в метрах за секунду (м /с).
в
СИ
скорость
1 м jс- это скорость .тако­
го равномерного прямолинейного движения, при которой тело
за
1
с совершает перемещение
1
м. На практике используют
также другие единицы скорости, например километр в час:
1 км
= 1000 м =1о м .
ч
3600с
Поскольку перемещение
36
с
8- векторная величина, а время t -
скалярная и всегда больше О, то скорость также векторная
величина,
направление которой совпадает с направлением
перемещения (рис.
1.9).
При равномерном движении значение
скорости остается постоянным, поскольку за любые равные
интервалы времени совершаются равные перемещения.
Как известно, основной задачей
:--4
s :
1
1
механики
положения
1
-·
-••___:::~=~sx~!==~!~:
О х0
~их~ х
Puc.1.9.
нuя
Х
Проекцuu перемеще-
u скоростu на ось
ОХ
является
тела
....
произвольвыи
Следовательно,
в
определение
пространстве
в
момент
времени.
чтобы ее решить,
надо найти координаты тела либо
их изменение во времени: х =
x(t).
В механике такое урав'нение назы-
вается уравнением движения. При решении задач с использо­
ванием уравнения движения векторные величины, характери-
кuнематuкu
зующие движение тела,
записывают в проекциях на соответ­
ствующую ось ; Следовательно, из формулы
vx=
Из рисунков
~ .отсюда
t
1.9
(2),
и
1.8
s
зовавшись формулой
(1)
получаем:
sx = vxt.
понятно, что
sx =
х
-
х 0 • Восполь­
получим уравнение равномерного
прямолинейного движения:
Х- х 0
=
Vx t,
ПОЭТОМУ Х
= Хо
+ Vxt.
Уравнения равномерного прямолинейного движения:
i
= vt;
Bx=Vi;
.Х
=х0 + Vxt.
Рассмотрим теперь различные случаи равномерного прямо­
1.10).
линейного движения (рис.
Из рисунка следует, что если
направление движения тела совпадает с направлением. коорди­
натной оси, то
vх >
О и координата
тела с течением времени возрастает:
х
:i .., ~;;...
v ...
= х 0 + vt, где v- модуль скорости.
Если · Же
направление
движения
о
тела противоположно направлению
координатной оси, то
дината
с течением
шается: х
=
х
0
-
vх <
О и коор­
времени
х
Puc. 1.10. Проекцuu
умень­
вектора скоростu
vt.
1. Какое движение называется равномерным пр:ЯМ!ОJ'1111Н•~~w
2: Что такое скорость? Почему скорость - векторная ~r•ИQI~
3. Какие единицы скорости вам известны? Каково иx .moп.toutJ~~to
4. Что представляет собой уравнение движения?
5. Почему · для определения значения скорости nn '" '-~"'~~"'тr.s.'
проекцией на координатную ось?
----------------------._~~8
§ 4.
Как решать заgачu кuнематuкu
Решение любой физической задачи в определенной
степени можно условно разделить на три этапа: · физический,
математический и анализ решения.
Н а физическом. этапе:
о/ анализируют
условие
задачи
и
описание
физической
ситуации, заданной условием;
о/ выясняют физическую модель явления, лежащего в осно­
ве задачи;
· о/ физическую модель явления представляют в графической
форме (рисунки, чертежи, схемы, графики и т. д.);
о/ сокращенно записывают условия задачи в систематизиро­
Вf!.ННОМ ВИДе.
21
КИНЕМАТИКА
Н а математическом этапе:
./
предлагают
общие
математическую
уравнения,
модель
задачи,
составляют
описывающие физические
явления,
представленные в условии задачи;
./определяют конкретные условия и параметры,
при кото­
рых происходит данное явление;
./
конкретизируют общие уравнения в виде частных реше­
ний аналитическим, графическим или числовым спосо ­
бом, производят вычисления.
Н а этапе анализа решения:
./
производят проверку единиц физических величин и нахо­
дят значения искомых величин;
./
анализируют результаты, их дос·говерность и правдоподоб ­
ность;
./
ищут иные методы решения задачи и выбирают наиболее
рациональный из них.
В ходе решения задач кинематики главное состоит в том,
22
---
чтобы за заданными параметрами движения (координаты,
перемещение, скорость и др.) записать уравнение движения.
Или наоборот, если уравнение движения известно, ищут физи­
ческие величины, которые его описывают.
Решение задач кинематики подчинено определенной после­
довательности умственных действий, так называемому алго­
ритму, при помощи которого поиск решения задачи значитель­
но облегчается. Представим его как последовательность шагов
в ходе решения зада:ни.
Шаг
1.
В соответствии с условием задачи выберите систему
отсчета. Определите начальные значения координат, связав их
с телом отсчета.
Шаг
2.
Выясните
xapaK'l'ep
движения (равномерное, нерав­
номерное) и вид траеК'l'Ории (прямолинейная, криволинейная).
Шаг
3.
Сделайте рисунок, иллюстрирующий условие зада­
чи. Свяжите рисунок с выбранной системой отсчета, обозначь­
те на нем векторные физические величины.
Шаг
4.
Отобразите проекции перемещения, скорости, других
векторных
величин
и
запишите
уравнение
движения
тела
в
общем виде. При необходимости составьте дополнительные урав­
нения, которые объединяют эти кинематические величины.
Шаг
5.
Решите уравнения относительно искомых величин.
Определите их значения, оцените достоверность результата.
Шаг
6.
Проанализируйте полученный ответ. Если он проти­
воречит смыслу задачи, начните поиск иного решения.
Шаг
7.
Произведите поиск иных возможных ПУ'l'еЙ решения
задачи. Оцените, какое из решений наиболее рационально.
§ 4.
Как решать заgачu кuнематuкu
Задача. Из пунктов А и В, расстояние между которыми
80
км, одновременно начали движение навстречу друг другу
два велосипедиста. Первый ехал со скоростью
5
м j с, второй-
3 мjс. Определите:
1) через какое время они встретятся и где это произойдет;
2) какой путь они пройдут до момента встречи и какое совер­
шат перемещение;
3)
через какое время от начала движения расстояние между
ними будет
20 км.
Решение
1.
Выберем такую систему отсчета, начало координат кото­
рой совпадает с пунктом А. В общем виде уравнение движения
тела имеет такой вид: х
= х 0 + v xt.
Запишем его для каждого
велосипедиста отдельно. Поскольку у первого велосипедиста
начальная координата х 0 =О, проек­
ция скорости
условию
vx >
О, а ее модуль по
задачи
уравнение
его
иметь вид: х 1
равен
5
мjс,
движения
А
вх
= 5t.
У второго велосипедиста х 0
вательно, х 2
то
будет
= 80
км,
vx <
О,
v2 = 3
мjс, следо­
= 80 000 - 3t.
Вследствие движения координаты обоих велосипедистов с
течением времени изменяются: у первого она возрастает, у вто­
рого- уменьшается. В момент их встречи координаты обоих
велосипедистов равны: х 1
= х2 •
Подставив в это равенство соот­
ветствующие уравнения движения, получим уравнение с одним
неизвестным:
5t = 80 000- 3t; 8t = 80 000;
t = 10 000 с= 2,8 ч.
встретятся через 2,8
отсюда
Таким образом, велосипедисты
часа.
Место их встречи определяют координаты х 1 и х 2 , которые
можно найти из уравнения движения каждого велосипедиста,
t = 10 000 с:
а) х 1 = 5t = 5 мjс · 10 000 с= 50 000 м= 50 км;
б)х2 =80 000- 3t=80 000 м- 3 мjс ·10000 с= 50000м= 50 км.
2. Поскольку велосипедисты по условию задачи ехали пря-
подставив в него время
молинейно и не изменяли направления движения, то пройден­
ный ими путь равен модулю перемещения (или его проекции):
l 1 = 1 sx 1 = 1 х 1 - х0 1 = v 1t = 5 мjс · 10 000 с= 50 000 м= 50 км;
l 2 = 1sx 2 1 = 1х 2 - х 0 l; х 2 = 50 000 м, х 0 = 80 000 м; l 2 = 30 км.
Или l 2 = 1 sx 2 1 = v 2 t = 3 м jс · 10 000 с= 30 000 м= 30 км.
1
23
КИНЕМАТИКА
3.
Чтобы найти время, когда расстояние между велосипеди­
стами
х - х
1
будет
равно
20
2 = 20 км или х 2 -
км,
х1
достаточно
= 20 км и
записать
равенство
подставить в него соответ­
ствующие уравнения движения велосипедистов.
5t- 80 000 + 3t = 20 000; 8t = 100 000; t = 12 500 с= 3,5 ч.
80 000- 3t- 5t = 20 000; 8t = 60 000; t = 7500 с= 2,1 ч.
Почему получено два разных ответа? Внимательно проана-
лизировав условие задачи, заметим, что на расстоянии 20 км
друг от друга велосипедисты будут дважды- когда едут навстре­
чу друг другу
(2,1
ч) и когда разъезжаются после встречи, про­
должая движение
(3,5
ч).
Упражнение
1.
1
Пешеход проходит по аллее парка
20
м до перекрестка с
другой аллеей. Потом он поворачивает под углом
аллею и проходит еще
90°
на эту
15 м.
Найти перемещение и пройденный
3
км по прямой дороге, плавно пере-
путь пешехода.
24
----
2.
Автомобиль проехал
ходящей в кольцевую. После прохождения им полукольца его
перемещение составляло
5 км.
Найти радиус кольцевой дороги
и пройденный автомобилем путь.
3*. Велосипедист едет по прямой дороге со скоростью
20 кмjч. Через полчаса он разворачивается и движется в обрат­
ном направлении с той же скоростью в течение 45 мин. Найти
пройденный велосипедистом путь и модуль его перемещения за
все время движения, а также координаты велосипедиста перед
разворотом и в конце пути.
4.
Первый автомобиль за
ние, как и второй за
10
20 с
совершил такое же перемеще­
с, двигаясь со скоростью
72
кмjч.
Какова скорость первого автомобиля?
5. Во время движения по прямой координата тела измени­
лась за 5 с от значения 10 м до значения
и направление движения тела?
§ 5.
-10 м.
Какова скорость
Графuкu равномерного прям.о­
лuнеQноrо gвtDКенuя
Для того чтобы лучше усвоить особенности измене­
ний параметров равномерного движения (координат,
пути,
перемещения, скорости) с течением времени, рассмотрим соот­
ветствующие графические зависимости, следующие из уравне­
ния равномерного прямолинейного движения.
*Звездочкой обозначены задачи повышенной сложности.
v
известно,
х
скорость тела при равно­
мерном прямолинейном движении
v
=
рости
-
Поэтому график ско­
const.
это
прямая,
t,
оси времени
параллельная
i
v _1> о
с течением времени не изменяется,
т. е.
Рх 1
li'
'
lf• ,
о
1---
~
:
v 2 <10
t
F-+-- f--
i
которая находится
Vx2
над ней, если проекция скорости
положительн{l (рис.
или под
1.11),
ней, если она отрицательна.
2.
График пути
лы пути
l = vt
пройденным
l = l(t).
Puc. 1.11.
..
Графuк скоростu
Из форму­
следует, что между
путем
и
временем
существует nрямо пропорциональ­
ная зависимость. Графически она
отображается прямой, проходящей
через начало координат (ведь длина
пути
не
может
иметь
ных значений) .
отрицатель­
В зависимости от
Puc. 1.12.
Графuк nyтu
значения скорости наклон графика
будет разным (рис.
чем боль·
1.12):
ше скорость , тем круче прямая.
3.
График проекции перемеще­
иия sx = sx(t). Поскольку проекция
пер·емещения
может
положительные,
ные
значения,
перемещения
график
(рис.
соответственно,
(проекция
тельна)
как
проекции
1.13)
может,
вздыматься
перемещения
либо
(проекция
иметь
так и отрицатель­
устремляться
перемещения
вверх
положи­
вниз
отрица­
Puc. 1.13. Графuк
проекцuu
перемещенuя
тельна). График проекции переме­
щения всегда проходит через нача­
ло координат. Угол наклона пря­
мой, как и в случае графика пути,
зависит от значения скорости: чем
она больше, тем круче график про­
екции перемещения .
Если тело изменяет направление
движения- сначала движется в одну
Puc. 1.14.
Графuк npoeкцuu
перемещенuя, кorga тело
сторону, а затем возвращается назад,
uзменяет направление
то график проекции перемещения
gвuженuя
принимает вид,
рисунке
1.14
движения).
изображенный на
(в момент времени
t1
тело изменило направление
25
КИНЕМАТИКА
4.
График движения телах=
характеризует
изменение
x(t)
коорди­
нат тела с течением времени. Из
уравнеНИЯ
ДВИЖеНИЯ
Х
= Х 0 + и xt
следует, что он представляет собой
линейную функцию и отображается
прямой. Эта прямая проходит через
начало координат, когда х 0 =О. Она
смещена на х 0 , если х 0
и
1.16).
может
=1=
О (рис.
Puc. 1.15.
1.15
Так как проекция скорости
иметь
положительные
Графuк gвuже­
нuя тела , кorga х 0
>
О
и
отрицательные значения (направ­
ление
вектора
скорости
может
совпадать или быть противополож­
ным
выбранному
направлению
оси), то график может подниматься
вверх
(их > О)
вниз (их <
26
----
либо
устремляться
На представленных
0).
графиках отображена зависимость
координат
ный
тел,
момент
которые
времени
в
Puc. 1.16. Графuк
gвuже­
нuя тела , кorga х 0
началь-
<
О
находились
в одной точке: х 0 > О (рис.
1.15) либо х 0
< О (рис.
1.16), но
0).
двига­
лись в противоположных направлениях (их 1 > О и их 2 <
Таким образом,
при помощи графиков можно выяснить
характер движения тел и изменения соответствующих величин
с течением времени
t.
-
Какой вид имеет график скорости при равномерном прямоли нейном движении?
2. Какой вид имеет график пройденного пути? От чего зависит
наклон прямой графика?
Э. Чем отличается график пути от графика проекции перемещения?
4. В каком случае график равномерного прямолинейного дви­
1.
жения выходит из начала координат?
5.
График движения пересекает ось времени . Что это означает?
§ б.
Примеры решения заgач
Задача. На основании графика движения (рис.
1) определить скорость движения тел;
2) составить уравнения движения обоих тел;
3) найти перемещение тел за 4 с;
4) определить время и место
5) найти расстояние между
движения;
1.17):
их встречи;
телами через
2
с после начала
6) построить
графики скорости,
х, м
проекции перемещения и пути.
Решение
1.
Скорость тела определяется на
основании формулы
_
S
t
Sx
V = - ; V = -
х
t
0.
= - - -Х-Х
t
Время движения выбираем про­
извольно,
руководствуясь
просто -
- 2 • -----~-----f-------~~---f----,
той расчетов. Например, использу ем значение
через
6
2
м;
t
с. Тогда тело
2
=
-3
1
с будет иметь координату
его
начальная
Puc. 1.17
координата
х 0 =О. Следовательно, скорость тела
vxl=
6 м-0
1
равна:
м
м
с
с
=3 - ;vl =3-.
2с
У тела
2 начальная координата равна х 0 = 4 м, а через 2 с она
равна 2 м. Следовательно, скорость тела 2 равна:
vx2 =
2.
2м - 4м
2c
м
м
с
с
= - 1 - ; v2 =1 -
Уравнение движения для обоих тел будет иметь такой вид:
х1 =
3t; х 2 = 4- t~
3. Перемещение тел за время t = 4 с равно:
sxl = 3t, sxl = 12 м, sl = 12 м;
sx2 = -t, s x2 = -4 м, 82 = -4 м.
4.
В момент встречи тел их коорди­
наты будут одинаковы, т. е. это точка
пересечения графиков.
перпендикуляра,
При помощи
проведеиного
к
оси
координат, можно установить коорди­
нату места встречи
-
Для
времени
определения
она равна
м.
3
встречи
необходимо опустить перпендикуляр
на ось времени
Со г лас но
5.
t;
получим
графикам
t
=
1 с.
движения
тел через 2 с тело 1 Имеет координату
х1 =
6
м, а тело
2-
координату х 2 =
яние между телами равно: l =
6.
lx
2
Puc. 1.18
м. Следовательно, рассто­
1 - х 1 = 4 (м).
Используя предыдущие данные решения задачи, постро­
им соответствующие графики (рис.
2
1.18-1.20).
27
КИНЕМАТИКА
l,
t= 4с
ll = 12 м
t=4c
Sxl = 12 М
Sx2 = -4 М
l2
=
4
м
12 _.,...г
10 ___ _[ __
1
+
1
м
t, с
t, с
Puc. 1.20
Puc. 1.19
Упражнение
2
1. Движение тел по прямой задано уравнениями: х 1 = 5t,
150- 10t. Определить время и место их встречи. Решить
___2_8_
х2 =
данную задачу алгебраическим и графическим способами.
2*.
Из пунктов А и В, находящихся на расстоянии
одновременно
в
одном
тела со скоростями
направлении
10 м / с
и
6 мjс
начинают
160
движение
м,
два
соответственно. Сколько вре­
мени понадобится, чтобы первое тело догнало второе? На каком
расстоянии от пунктовА и В это произойдет? Через какое время
расстояние между телами будет
20 м?
Решить эту задачу также
графическим способом.
3.
На рисунке
графики
1.21
движения
приведены
двух
тел.
х,м
Опишите их движение и составьте
уравнение их движения. Определите скорости движения тел, время и
60 +---+--,-J-+-~
место
40t-'--+---t----."-z-,--+,.----j
их
встречи,
расстояние
между ними через
20
ла
второго
движения
с после нача-
20 +---+--~~+---+~+---1
тела.
о
Постройте графики проекции ско-
рости их = vx(t) для обоих тел.
4.
р
Тело движется равномерно со
скоростью
36
UC .
121
. .
Г
ра
ф
UKU
gвuж
е
HU
я
тел
км /ч в противопо­
ложном направлении от выбранного направления осИ ОХ. Его
начальная координата равна
4
20 м.
Найти положение тела через
с после начала движения, пройденный им путь и проекцию
перемещения.
Относuтельность gвuженuя.
Закон сложения скоростеQ
§ 7.
Для того чтобы описать механическое движение и
определить его параметры
-
траекторию, перемещение, прой­
денный путь, скорость и др., следует прежде всего выбрать
систему отсчета и проанализировать движение тела или матери­
альной точки относительно тела отсчета, выбранного произ­
вольно. В природе существует множество систем отсчета и опи­
сание движения может одновременно производиться в каждой
из них. Например, лодка, плывущая по реке, движется относи­
тельно ее берегов, относительно теплохода, который плывет
рядом, относительно пешеходов, стоящих на берегу, и т. д.
Чаще всего систему отсчета связывают с телом, которое в
данной ситуации считается неподвижным: с землей, берегом
реки, населенным пунктом, столбом на обочине дороги и др.
Такая система отсчета считается иеподвижиой.
С телами, которые движутся в неподвижных системах отсче­
та равномерно и прямолинейно, связывают подвижные систе­
мы отсчета. Следует учитывать, что удачный выбор системы
отсчета намного упрощает решение задачи.
Рассмотрим движение какого-либо тела, например лодки,
Плывущей по реке, в различных системах отсчета (рис. 1.22).
Пусть лодка пересекает реку перпендикулярно к ее течению.
За движением лодки следят два наблюдателя
-
один на берегу
реки (неподвижная система отсчета ХОУ), другой с плота,
который перемещается относительно берега со скоростью тече­
ния реки (подвижная система отсчета Х'О'У') .
Puc. 1.22.
Относuтель­
ность gвuже­
нuя
Х'
х
29