Семинар 3 3.5 Кубит Простейшим Гильбертовым пространством является пространство двух квантовых состояний H2 . Обозначим ортонормированный базис такого двумерного пространства состояний {|0i , |1i} или сокращенно {|ii} i = 1, 2 i j = δij , ij ∈ 1, 2. В соответствии с принципом суперпозиции наиболее общее нормированное состояние в H2 может быть представлено в виде: |ψi = a |0i + b |1i , ψ ψ = |a|2 + |b|2 = 1, (3.1) где a и b – комплексные числа. Состояние (3.1) в теории квантовых вычислений называется кубитом (quantum bit≡qubit). Проектируя состояние кубита на ортонормированный базис {|ii}, i = 1, 2, получим 0 ψ = a; 1 ψ = b, (3.2) где |a|2 – вероятность обнаружить в состоянии |ψi состояние |0i, а |b|2 – вероятность обнаружить в состоянии |ψi состояние |1i. Общая фаза кубита, в соответствии с постулатами квантовой теории физического смыла не имеет, т.е. состояния |ψi и exp(iα) |ψi тождественны. |ψi ≡ eiα |ψi , α – Re. (3.3) После проектирования на ортонормированный базис состояние кубита |ψi переходит или в состояние |0i (|ψi → |0i) или в состояние |1i (|ψi → |1i). В квантовой теории информации кубит определяется как единица квантовой информации, аналогично тому, как бит (0 или 1) определяется как единица классической теории информации. Однако в отличие от понятия бит информации в классической теории, которая может быть считана (измерена) без разрушения состояния бита, кубит при считывании (измерении) переходит в одно из двух своих базисных состояний |0i или |1i. Понятие кубита имеет формально простую "геометрическую" интерпретацию в воображаемом пространстве состояний. Два комплексных числа a и b в (3.1) содержат 4 действительных параметра. В силу условия нормировки независимыми являются три из них. С учетом свойств квантовых состояний (3.3) достаточно два действительных параметра для описания кубита. Таким образом, если представить выражение (3.1) в виде: |ψi = cos рис.2.1 θ θ |0i + eiϕ sin |1i , 2 2 (3.4) то действительные параметры θ и ϕ определяют точку на сфере, как показано на рис.2.1. Вектор, 19 соединяющий начало координат этого воображаемого пространства с точкой на сфере задает геометрическую интерпретацию вектора состояния |ψi или кубита. Геометрическое место точек "конца" вектора состояния образуют сферу единичного радиуса. Эта сфера часто называется сферой Блоха. Как видно при ϕ = 0 и θ = 0 вектор |ψi направлен по оси x3 . Соответственно при θ = π– вектор направлен против оси x3 . То есть при такой интерпретации "ортогональными" являются векторы противоположного направления. Можно задать весьма интересный вопрос о том, сколько информации может быть записано в одном кубите? Если на сфере Блоха за точками сферы закрепить какую-то определенную "информацию", то как это не парадоксально в кубит можно записать бесконечное число информации! Однако считать из кубита можно только или состояние |0i или |1i, то есть две единицы классической информации. Таково содержание постулата об измерении в квантовой теории. Нет необходимости отвечать на вопрос почему так устроена природа, тем более, что это никому в настоящее время неизвестно. Принципы квантовой теории можно принимать или не принимать, однако предсказания и следствия вытекающие из квантовой теории пока согласуются с наблюдаемыми экспериментальными результатами. 3.6 Спин 1/2 Спин — это векторное свойство ряда частиц (аналогичное заряду или массе), которое проявляется во внешнем поле. Спин — это внутренний (то есть неотъемлемый от частицы) механический момент, который ориентируется в пространстве строго дискретным образом по отношению к выделенному направлению. Первоначально спин был открыт у электрона в опытах Штерна-Герлаха. Спин электрона, обозначаемый ~s (внутренний момент) ориентируется в пространстве только двояко, так что проекция спина на направление поля (ось z) принимает одно из двух значений sz = ±~/2. В последствии спин с аналогичными свойствами был обнаружен и у ряда других частиц, например, протон, нейтрон и т.п. В дальнейшем было установлено, что существуют частицы, проекция внутреннего момента которых принимает значения 0, ±~, или ±1/2~, ±3/2~. В то же время экспериментально установлено, что у ряда частиц данное свойство отсутствует. В этом смысле частицы делятся на спиновые (обладающие спином) и бесспиновые. В свою очередь частицы, обладающие спином делятся на частицы с целой (в единицах ~) проекцией спина (бозоны) и полуцелой проекцией (фермионы). Принято говорить о "величине" спина, связывая его с максимально возможной проекции на направление поля (в единицах ~). То есть частицы со спином 1/2, 1, 3/2, 2 . . . . Совокупность частиц, в которую входят – электрон, протон, нейтрон и ряд других, образуют группу частиц со спином 1/2. Квантовомеханическое описание частиц со спином 1/2 основано на использовании оператора спина электрона ŝ. Так как оператор спина является внутренним механическим моментом, его компоненты удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и компоненты оператора момента импульса (или в общем случае оператора углового момента): [ si , sj ] = i~εijk sk , εijk – тензор Леви-Чивита. 20 i, j, k = 1, 2, 3 (3.5) В классической электродинамике установлено, что для заряженной частицы с зарядом e и массой m связь между механическим ~` и магнитным моментом ~µ имеет вид: Z 1 e ~ e ~µ ≡ [~r × ~j] dv = ·`= [~r × p~]. (3.6) 2c 2mc 2mc Здесь c– скорость света, p~– импульс частицы p~ = m~v , ~v – скорость, ~j– плотность тока, ~j = %~v , %– плотность заряда. Для точечной частицы % = eδ(~r − ~r` ), ~r` – радиус вектор заряда в пространстве. В квантовой теории с внутренним механическим моментом ~s связан магнитный спиновый момент ~µs . Связь между этими векторами была установлена экспериментально в опытах Эйнштейна-де Гааза и имеет вид: e ~µs = · ~s. (3.7) mc Выражение (3.7) отличается от (3.6) множителем 2, что подчеркивает неклассические свойства спина. И спин, и магнитный спиновый момент частиц играют существенную роль как в области микромира, так и в поведении макротел. Поэтому исследование этого свойства является важной задачей квантовой теории. Для построения вида оператора спина 1/2 (или спина электрона) можно опереться на основное его свойство – наличие только двух значений проекций спина sz , которые могут быть экспериментально измерены. Так как в своем собственном представлении оператор физической величины есть диагональная матрица, размерности равной числу собственных значений, на главной диагонали которой стоят собственные числа, то в sz -представлении (то есть представлении, когда ось квантования спина есть ось z) оператор ŝz равен: ~ 1 0 ~/2 0 ŝz = = . (3.8) 0 −~/2 2 0 −1 Для определения вида операторов ŝx и ŝy в sz -представлении выберем их в виде матриц размерности 2 × 2: a11 a12 b11 b12 ŝx = ; ŝy = , (3.9) a21 a22 b21 b22 где aij и bij – произвольные комплексные числа. Используя коммутационные соотношения (3.5) и условие эрмитовости оператора ~s, можно установить явный вид матриц ŝx и ŝy – в sz -представлении: ~ 0 1 ~ 0 −i ŝx = ; ŝy = . (3.10) 2 1 0 2 i 0 Вместо матриц операторов проекций спина удобно ввести безразмерные матрицы ~σ , которые называются матрицами Паули (~s = ~/2 ~σ ): 0 1 0 −i 1 0 σx = , σy = , σz = . (3.11) 1 0 i 0 0 −1 Ниже для проекций матриц Паули тождественно будут использованы алгебраические обозначения σx ≡ σ1 , σy ≡ σ2 , σz ≡ σ3 . 21 3.7 Свойства матриц Паули Как следует из определения матриц Паули (3.11) данные матрицы: – Эрмитовы и унитарны σi = σi−1 = σ † , i = 1, 2, 3. (3.12) – Сумма диагональных элементов матриц Паули равна нулю: Sp σi = 0, i = 1, 2, 3. (3.13) – Определитель матриц Паули равен: −1 detkσi k = −1, i ∈ 1, 2, 3. (3.14) – Матрицы Паули удовлетворяют перестановочным соотношениям: σi σk − σk σi = 2iσ` , i, k, ` ∈ 1, 2, 3. (3.15) – Матрицы Паули антикоммутативны σi σk = −σk σi , i 6= k (3.16) i = 1, 2, 3 (3.17) – Квадрат любой матрицы Паули равен единице: σi2 = 1, – Вместе с единичной двумерной матрицей I матрицы σi , i = 1, 2, 3 образуют полный набор в пространстве матриц размерности 2 × 2. То есть любая двумерная матрица A может быть представлена в виде: A = λ0 I + 3 X λk σk , (3.18) k=1 где λk – числа (k = 0, 1, 2, 3); – Произведение всех трех матриц Паули есть единая матрица размерности 2 × 2: σx σy σz = i I, (3.19) где i– мнимая единица. Объединяя перечисленные выше правила можно записать таблицу умножения, которой удовлетворяют Матрицы Паули. 22 I σx σy σz 1 I σx σy σz σx σx I −iσz iσy σy σy iσz I −iσx σz σz −iσy iσx I Помимо декартовых компонент матриц Паули σi , i = 1, 2, 3 в физических приложениях используются их комбинации, которые называются циклическими компонентами матриц Паули: 0 2 0 0 σ± = σx ± iσy ; σ+ ≡ ; σ− ≡ . (3.20) 0 0 2 0 Циклические компоненты σ± не имеют собственных значений, так как не существует обратных к σ± матриц и эти матрицы не являются эрмитовыми матрицами. Квадрат циклических компонент матриц Паули удовлетворяет соотношению: 2 σ± = (σx ± iσy )2 = σx2 − σy2 ± i(σx σy + σy σx ) = 0 Таким образом σ± образуют объекты, которые дают пример, когда квадрат не нулевого элемента равен нулю. Комбинации вида 1 (1 ± σi ) 2 (3.21) образуют идемпотентные матрицы (то есть матрицы, удовлетворяющие соотношениям вида N = N 2 ). Матрицы вида: 1 1 1 0 0 0 P+ = (1 + σz ) = P− = (1 − σz ) = (3.22) 0 0 0 1 2 2 называются иначе операторами проектирования. Собственные векторы матриц Паули удовлетворяют соотношению: σ̂i |si i = λi |si i , i = 1, 2, 3. (3.23) В силу (3.17) λi = ±1. Очевидно, что собственные векторы оператора спина электрона являются двумерными векторами в Гильбертовом пространстве состояний. Для сопоставления компонентам этих векторов из абстрактного математического пространства векторов набора комплексных чисел воспользуемся состоянием с определенной проекцией спина на ось z |sz i. Здесь sz – спиновая "переменная", принимающая только два значения ±~/2. Данный вектор позволяет ввести спиновые состояния в sz -представлении sz ~s . В результате на основе общей теории представлений, в sz -представлении (представление, в котором оператор ŝz – диагонален) уравнение (3.23) на собственные функции и собственные значения оператора ŝz имеет вид: σz ψλ (sz ) = λψλ (sz ) 23 (3.24) или в матричном виде: sz = +1/2 λ sz = +1/2 λ 1 0 =λ . 0 −1 sz = −1/2 λ sz = −1/2 λ Перепишем уравнение (3.25) в следующей форме: a a a a 1 0 σˆz =λ ⇒ =λ . 0 −1 b λ b λ b λ b λ Так как λ = ±1 возникает два ортонормированных решения уравнения (3.26) a 1 a 0 = и = . b λ=+1 0 b λ=−1 1 (3.25) (3.26) (3.27) Учитывая ортогональность состояний условие нормировки для собственной функции оператора спина выглядит следующим образом: X a ∗ ∗ si si = 1 = si λ λ si = (a , b ) = |a|2 + |b|2 = 1. (3.28) b λ=±1 В обозначениях принятых в квантовой теории представлений собственные функции оператора проекции спина на ось z должны записываться в форме: 1/2 1/2 1/2 − 1/2 a 1 a 0 = = ≡ ; ≡ . (3.29) b λ=+1 0 b λ=−1 1 − 1/2 1/2 − 1/2 − 1/2 Однако такая система обозначений достаточно громоздка и условно собственные "функции" оператора σz обозначают (для наглядности) в виде, формально совпадающем с обозначением вектора в Гильбертовом пространстве: 1 0 |0i ≡ |↑i ≡ ; |1i ≡ |↓i ≡ . (3.30) 0 1 Следует подчеркнуть, что символическое обозначение собственных "функций"двух возможных спиновых функций в форме (3.30) по сути некорректно, но в силу тривиального характера спиновой переменной sz такая условность не мешает пониманию. Более корректное обозначение этих "функций" таково: 1 0 |0i → α ≡ ; |1i → β ≡ , (3.31) 0 1 где α– "функция"состояния спина "вверх", а β– состояния спина "вниз". Учитывая явный вид матриц Паули σk и вид собственных функций (3.31) или (3.27), или (3.29) нетрудно установить следующие равенства: σx |↑i = |↓i ; σx |↓i = |↑i ; σy |↑i = i |↓i ; σz |↑i = |↑i σy |↓i = −i |↑i ; σz |↓i = − |↓i . 24 (3.32) Аналогично решению уравнений (3.25), (3.24) могут быть найдены собственные "функции" операторов σx и σy в sz -представлении (с учетом (3.11)). Так уравнение вида: σx ψλ (sz ) = λψλ (sz ); λ = ±1 имеет следующие нормированные решения в sz -представлении: 1 1 1 1 |↑x i = ψλ=+1 = √ ; |↓x i = ψλ=−1 = √ , 2 1 2 −1 (3.33) (3.34) где |↑x i и |↓x i– состояния с проекцией спина на ось x вверх и вниз, соответственно. Нормированные решения уравнения на собственные функции оператора σy в sz представлении: σy Φλ (sz ) = λΦλ (sz ); λ = ±1, (3.35) имеют вид: |↑y i = Φλ=+1 1 1 =√ ; 2 i |↓y i = Φλ=−1 1 1 =√ . 2 −i (3.36) Для справки выпишем действия матриц σ± и их произведений на спиновые функции α и β σ+ |↑i = 0; σ− |↑i = 2 |↓i ; σ+ |↓i = 2 |↑i ; σ− |↓i = 0 σ+ σ− |↑i = 4 |↑i ; σ− σ+ |↑i = 0; σ+ σ− |↓i = 0; σ− σ+ |↓i = 4 |↓i (3.37) (3.38) В соответствии с (2.89) оператор поворота спинового состояния на угол ϕ вокруг оси ~n равен h ϕ i ϕ ϕ ~ (3.39) R̂~n (ϕ) = exp −i (S · ~n) = cos − i (~σ · ~n) sin , ~ 2 2 здесь учтено, что (~σ · ~n)2 = 1. Так, в частном случае, оператор поворота вокруг оси ~n параллельной оси z на угол ϕ есть: −iϕ/2 ϕ ϕ 1 0 e 0 R̂z (ϕ) = cos − i sin = . (3.40) 0 −1 0 eiϕ/2 2 2 Действуя оператором (3.40) на функцию состояния со спином "вверх" по оси z, получим: −iϕ/2 e 1 −iϕ/2 1 R̂z |0i = ⇒ e ⇒ ≡ |0i , (3.41) 0 0 0 в силу того, что общий фазовый множитель у "функции"не имеет физического значения. Если осуществить поворот на угол ϕ = π/2 вокруг оси y 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 R̂y |0i = √ − iσy √ =√ =√ = ψλ=+1 (3.42) 0 0 2 2 2 1 1 2 1 получим собственную функцию оператора σx состояния, спин вверх по оси x (3.34). 25 Из (3.34),(3.30) следует, что спиновое состояние — спин вверх по оси x может быть представлено в виде суперпозиции состояний спин-вниз спин-вверх по оси z, то есть: 1 |↑x i = √ (|↑z i + |↓z i). 2 (3.43) Аналогично состояние – спин вниз по оси x есть суперпозиция вида: 1 |↓x i = √ (|↑z i − |↓z i). 2 (3.44) В обоих представленных случаях (3.43), (3.44) измерение спина вдоль оси z с вероятностью 1/2 приведет к значению спина вверх и значению спина вниз. Однако, если рассмотреть состояние, являющееся суперпозицией вида: 1 |ai = √ (|↑x i + |↓x i), (3.45) 2 то при измерении спина вдоль оси z с вероятностью равной единице получится значение спина "вверх" и никогда не будет обнаружено значение спина "вниз". Так как: 1 (|↑i+ |↓i + |↑i− |↓i) = |↑i . 2 Суперпозиция состояний спина 1/2 является физической моделью понятия кубита, введенного в предыдущем параграфе. В общем случае имеются и другие физические системы, которые удовлетворяют определению кубита. Так любая двухуровневая квантовая система или состояния поляризации электромагнитного излучения, также приводят к физической реализации кубита. |ai = 3.8 Спиновый резонанс для свободного электрона рис.3.1. В качестве примера эволюции спинового состояния рассмотрим поведение спина, ~0 находящегося в магнитном поле с индукцией B (по оси z). Пусть в момент времени t = 0 включается ~ 0 , вектор который лежит переменное магнитное поле B в плоскости x и y, а спин находится в состоянии "спин-вверх"(рис. 3.1.) Найдем вероятность переворачивания спина в такой системе. В координатном представлении оператор Гамильтона такой системы совпадает с потенциальной энергией взаимодействия спинового магнитного ~ =B ~0 + B ~ 0, момента ~µs с внешним полем B ~ = − e~ (~σ · B) ~ Ĥ = −(~µ · B) 2mc 1 0 0 0 −iωt iωt Ĥ = µ0 (σz B0 + σx Bx + σy By ) =µ0 σz B0 + B (σ+ e + σ− e ) , 2 26 µ0 ≡ e~ . 2mc (3.46) Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид: ∂Ψ 1 0 −iωt iωt i~ = µ0 B0 σz + B (σ+ e + σ− e ) Ψ. ∂t 2 (3.47) Решение уравнения (3.47) можно представить в виде суперпозиции двух возможных спиновых состояний |0i и |1i Ψ(t) = u(t) |0i + v(t) |1i . (3.48) Подставляя (3.48) в (3.47) с учетом соотношений (3.37) и (3.32), получим систему уравнений ( iu̇ = ω0 u + ω 0 e−iωt v (3.49) iv̇ = −ω0 v + ω 0 eiωt u где ω0 ≡ µ0 B0 /~; ω 0 ≡ µB 0 /~. Решение системы (3.49), удовлетворяющее начальному условию Ψ(0) = |0i равно: ω ω ω0 ω0 − ω/2 sin(Ωt) exp −i t |0i − sin(Ωt) exp i t |1i , (3.50) Ψ(t) = cos(Ωt) − Ω 2 Ω 2 p где Ω = (ω0 − ω/2)2 + ω 0 2 . Таким образом, вероятность измерения состояния "спин-вниз"равна квадрату модуля коэффициента перед состоянием |1i 0 2 ω sin2 (Ωt). (3.51) P (t) = Ω Усредненная за период вероятность в этом случае равна: 1 ω02 ω02 P (t) = = . 2 Ω2 (ω0 − 12 ω)2 + ω 0 2 (3.52) Таким образом, если медленно менять B0 , то для ω0 = ω/2 вероятность окажется максимальной, равной hP imax = 1/2, независимо от вращающегося поля. Такое поле B0 – называется резонансным, а явление переворачивания спина — спин-флип. Кроме того, в соответствии с (3.50), выключая магнитное поле в определенный момент времени можно получить суперпозицию состояний с требуемыми значениями u и v, (то есть приготовить кубит в нужной суперпозиции). 3.9 Двухуровневая система Еще одним примером однокубитового состояния является двухуровневая система (рис. 3.2.). Пусть до момента t = 0 свойства системы определялись Гамильтонианом H0 , имеющим только два стационарных состояния Ĥ0 |ki = Ek |ki , рис.3.2. 27 k = 0, 1; (3.53) а в момент времени t = 0 система находилась в состоянии спин-ввверх |0i. В момент времени t = 0 на систему накладывается не зависящее от времени взаимодействие Ŵ (например, постоянное поле). Дальнейшая эволюция системы удовлетворяет уравнению Шредингера: i~ ∂ |Ψi = (Ĥ0 + Ŵ ) |Ψi . ∂t (3.54) Решение уравнения (3.54) можно представить в виде |Ψ(t)i = c1 (t) e−i ω1 t |0i + c2 (t) e−i ω2 t |1i , (3.55) (где ωi = Ei /~) с начальным условием c1 (0) = 1; c2 (0) = 0. Подставляя (3.55) в (3.54) и проектируя уравнение один раз на состояние |0i, а второй — на состояние |1i, получим систему уравнений для c1 и c2 , решение которой имеет вид h i γ c1 (t) =e−iλt cos(σt) + i sin(σt) 2σ (3.56) W12 −i (λ−ω0 )t c2 (t) = − i e sin(σt), ~σ p где ~σ = γ 2 /4 + |W12 |2 , ~γ = W22 − W11 + ~ω0 , ω0 = ω2 − ω1 ; Wij ≡ i W j . В результате вероятность найти в момент времени t систему в состоянии |1i есть: 4 |W12 |2 |c2 (t)| = sin2 (σt). 2 2 (~γ) + 4 |W12 | 2 (3.57) Соответственно усредненная за период вероятность найти систему в состоянии |1i равна: 2 |W12 |2 . h|c2 (t)| i = (~γ)2 + 4 |W12 |2 2 (3.58) Таким образом, такая система также попадет под определение кубита и может рассматриваться как его модельная реализация. 3.10 Поляризация фотонов. Еще одним важным "двухуровневым" элементом является состояние поляризации электромагнитного поля (или фотона). Фотон отличается от частиц со спином 1/2 тем, что является безмассовой и имеет спин 1. У фотона имеются два состояния поляризации. Например, для фотона распространяющегося вдоль оси z есть два состояния линейной поляризации (вдоль оси x и y), которые обозначим |xi и |yi. Поворот системы координат на угол θ относительно оси z приводит к преобразованиям вектора поляризации |xi ⇒ cos θ |xi + sin θ |yi |yi ⇒ − sin θ |xi + cos θ |yi . Матрица преобразований cos θ sin θ − sin θ cos θ 28 (3.59) имеет следующие собственные векторы состояний 1 1 1 i |Ri = √ ; |Li = √ 2 i 2 1 с собственными значениями exp(±iθ), которые определяют состояния правой и левой циркулярной поляризации. В этом случае явление квантовой интерференции может быть описано следующим образом. Пусть есть поляризационный анализатор, который пропускает только одно из двух состояний линейной поляризации. Тогда x или y поляризованный фотон имеет вероятность 1/2 прохождения через анализатор, повернутый на 45◦ относительно осей поляризации. А фотон поляризованный под углом 45◦ имеет вероятность 1/2 прохождения через анализатор, ось которого совпадает с осью x или y. При этом x-поляризованный фотон никогда не пройдет через y-ориентированный анализатор. Если мы поместим анализатор, повернутый на 45◦ между x и y-анализаторами, то 1/2 фотонов пройдет через каждый анализатор. Но если мы удалим промежуточный анализатор, то ни один фотон не пройдет через y-анализатор. Легко может быть сконструировано устройство, которое поворачивает линейную поляризацию фотона и таким образом применяет преобразование (**) к кубиту, который задается двумя состояниями поляризации. Однако если имеется одновременно устройство, которое меняет относительную фазу двух ортогональных линейно-поляризованных состояний |xi → eiω/2 |xi |yi → e−iω/2 |yi то такие два устройства совместно могут быть использованы как устройство, осуществляющее 2 × 2 унитарное преобразование состояний поляризации фотона, что так же моделирует эволюцию однокубитового состояния. 29