вероятности квантовые переходов частицы в потенциальной

102
Теоретическая Физика, 7, 2006 г.
ВЕРОЯТНОСТИ КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДОВ ЧАСТИЦЫ
В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПЕРЕМЕННОГО ВНЕШНЕГО ПОЛЯ
c 2006 А.А. Бирюков 1 , Б.В. Данилюк 2 , А.Н. Косыгин
°
3
Аннотация
Исследовано квантовое движение частицы в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме при взаимодействии с внешним электрическим полем,
напряженность которого меняется по гармоническому закону. В третьем порядке теории возмущений получены аналитические выражения для вероятностей
квантовых переходов системы между стационарными состояниями. Исследована зависимость вероятностей квантовых переходов и средней энергии частицы
от частоты поля и времени его воздействия.
В работах [1,2] было исследовано поведение квантовой системы, взаимодействующей с переменным электрическим полем, напряженность которого изменяется со
временем по гармоническому закону. При некоторых общих предположениях о свойствах невозмущенной системы были найдены аналитические выражения для амплитуд и вероятностей переходов системы между квантовыми состояниями в третьем
порядке теории возмущений. Эти выражения имеют столь сложные зависимости от
параметров поля и длительности его воздействия на систему, что их исследование
можно провести лишь численными методами в рамках конкретных моделей квантовой системы.
В данной работе подобное исследование проводится в случае, когда квантовая
система состоит из одной заряженной частицы, движущейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Для данной системы, используя результаты
работы [2], мы находим в явном виде амплитуды и вероятности переходов между
стационарными состояниями в третьем порядке теории возмущений. Численными
методами строятся графики зависимости вероятностей некоторых переходов и средней энергии системы от времени взаимодействия с внешним полем при различных
частотах поля.
1. Рассмотрим заряженную частицу с массой µ и электрическим зарядом q движущуюся в одномерной, прямоугольной, бесконечно глубокой потенциальной яме
шириной l. Для описания системы выберем прямоугольную систему координат с
началом, совпадающим с одной из стенок ямы, и осью x, направленной перпендикулярно стенкам так, чтобы их координаты имели значения 0 и l. Исследуем изменение квантового состояния заряженной частицы при наличии ее взаимодействия с
внешним переменным электрическим полем. Предположим, что напряженность поля постоянно направлена вдоль оси x, и ее проекция на ось x изменяется со временем
по гармоническому закону
Ex = Eo cos(Ωt + α),
1 Бирюков Александр Александрович ([email protected]), кафедра общей и теоретической
физики Сaмaрского государственного университета, 443011, г.Сaмaрa, ул. Акад. Павлова, 1.
2 Данилюк Борис Васильевич, кафедра общей и теоретической физики Сaмaрского государственного университета, 443011, г.Сaмaрa, ул. Акад. Павлова, 1.
3 Косыгин Александр Николаевич (@ssu.samara.ru), кафедра безопастности информационных
систем Сaмaрского государственного университета, 443011, г.Сaмaрa, ул. Акад. Павлова, 1.
Вероятности квантовых переходов частицы в потенциальной яме ...
103
где Eo - модуль амплитуды напряженности поля, Ω, α - циклическая частота и начальная фаза колебаний поля. Будем полагать, что взаимодействие частицы с полем
"включается"в момент времени t = 0 и имеет длительность t .
До момента "включения"внешнего поля частица находится в одном из стационарных квантовых состояний |n > с энергиями En (n = 1, 2, . . .), которые определяются стационарным уравнением Шредингера с учетом граничных условий
Ĥ0 |n >= En |n >,
(1)
где Ĥ0 = p̂2 /2µ + V0 (x̂) - гамильтониан частицы при отсутствии взаимодействия
с внешним полем, x̂, p̂ - операторы координаты частицы и проекция ее импульса
на ось, V0 (x̂) - оператор, сопоставляемый потенциальной энергии частицы V0 (x),
заданной соотношениями V0 (x) = 0 при 0 < x < l и V0 (x) = ∞ при x < 0 и x > l. В
этом случае энергетический спектр частицы определяется формулой
En =
π 2 ~2 2
n
2µl2
(n = 1, 2, . . .).
(2)
Волновые функции стационарных состояний частицы в координатном представлении имеют вид



r

³ πn ´


2
sin
x , 0 < x < l,
< x|n >=
(3)
l
l




x ≤ 0, x ≥ l.
 0,
При "включении"взаимодействия частицы с переменным внешним полем ее гамильтониан принимает вид
Ĥ(t) = Ĥ0 + V̂ (t).
(4)
Гамильтониан взаимодействия частицы с внешним полем (оператор возмущения)
V̂ (t) будем определять выражением
V̂ (t) = x̂F0 cos(Ωt + α),
(5)
где F0 = −q0 E0 , E0 – амплитуда поля; q0 –заряд частицы.
Используя результаты, полученные в работе [2], вычислим в рассматриваемой
модели амплитуду A(n, t|n1 , 0) перехода частицы из квантового состояния |n1 >
в квантовое состояние |n > за интервал времени (0, t) в третьем порядке теории
возмущений. В этом приближении
A(n, t|n1 , 0) = e−i(
En
~
t)
[δnn1 + A(1) (n, t|n1 , 0) + A(2) (n, t|n1 , 0) + A(3) (n, t|n1 , 0)], (6)
где A(1) , A(2) , A(3) – члены разложения амплитуды перехода в ряд теории возмущений соответственно первого, второго и третьего порядков, определяемые выражениями (7) - (13) и формулами приложений 1 -4 работы [2].
Входящие в эти формулы частоты ω(n0 , n) квантовых переходов и матричные
элементы Xn,n0 оператора координаты в рассматриваемой модели заданы соотношениями
ω(n0 , n) = ω1 (n02 − n2 ),
(7)
104
А.А. Бирюков, Б.В. Данилюк, А.Н. Косыгин
Xn0 n





nn0
 4l [(−1)n0 −n − 1]
,
2
02
π
(n − n2 )2
=
 l

0


 2 , n = n.
n0 6= n,
(8)
где
π2 ~
E1
=
(9)
~
2µl2
– циклическая частота, соответствующая первому энергетическому уровню;
Подставляя выражения (7) и (8) в формулы для A(1) , A(2) , A(3) получим выражения, обладающие структурой
ω1 =
A(k) (n, t̃|n1 , 0) = g k Ã(k) (n, t̃|Ω̃, α|n1 , 0),
где
g=
F0 l
q 3 E0
=− 2 2
2~ω1
π ~
(10)
(11)
- безразмерная константа взаимодействия частицы с внешним полем, а Ã(k) - функция квантовых чисел n1 , n2 , безразмерного времени t̃ = tω1 , безразмерных параметров
X̃n0 n =
Xn0 n
Ω
ω(n0 , n)
En
, Ω̃ =
, α, ω̃(n0 , n) =
= n02 − n2 , Ẽn =
= n2
l
ω1
ω1
~ω1
.
Установив с помощью (6) и (10) явный вид амплитуды перехода из квантового
состояния |n1 > в любое квантовое состояние |n > за интервал времени (0, t̃) можно
вычислить вероятность данного перехода W (n, t̃|n1 , 0)и среднее значение энергии
частицы < Ẽ(t̃) > в момент времени t̃:
W (n, t̃|n1 , 0) = |A(n, t̃|n1 , 0)|2 ,
< Ẽ(t̃) >=
X
Ẽn W (n, t̃|n1 , 0).
(12)
(13)
Ясно, что характер зависимости от времени взаимодействия величин W (n, t̃|n1 , 0)
и < Ẽ(t̃) > будет определяться значениями частоты колебаний внешнего поля Ω̃, постоянной взаимодействия g и α. В предложенной модели значения этих параметров
можно выбрать так, чтобы они соответствовали переменным электрическим полям,
создаваемым реальными техническими устройствами.
2. Построим графики вероятностей квантовых переходов частицы (12), и среднего значения энергии частицы (13) как функций времени взаимодействия частицы с заданным переменным электрическим полем численными методами, используя
компьютерные технологии. С этой целью конкретизируем параметры предложенной
модели. Пусть рассматриваемой частицей будет электрон, а ширина потенциальной
ямы l = 3, 1043 · 10−9 . В этом случае частота квантового перехода из квантового состояния |1 > (n1 = 1, Ẽ1 = 1) в квантовое состояние |2 > (n2 = 2, Ẽ2 = 4) совпадает
с частотой излучения CO2 лазера (длина волны этого излучения λ = 1, 05915 · 10−5
[4]). Согласно (11), константа взаимодействия электрона с переменным электрическим полем связана с амплитудой напряженности этого поля соотношением
Вероятности квантовых переходов частицы в потенциальной яме ...
g = 3, 98 · 10−8 · E0 .
105
(14)
Условие применимости теории возмущений требует g < 1. Мы полагаем g = 0, 08,
что выполняется при E0 = 2, 01 · 106 /. Данное значение амплитуды напряженности
электрического поля реализуется в излучении CO2 лазера.
До момента "включения"внешнего поля (t̃ ≤ 0)частица находится в стационарном состоянии |1 > с квантовым числом n1 = 1 и наименьшей энергией Ẽ1 = 1. Будем рассчитывать вероятности квантовых переходов частицы под действием внешнего переменного электрического поля за интервал времени (0, t̃) в состояния |2 >
(n2 = 2, Ẽ2 = 4), |3 > (n3 = 3, Ẽ3 = 9)и значение средней энергии частицы в каждый
момент времени t̃ (будем полагать α = 0).
На Рис.1 представлены графики зависимости вероятности перехода частицы из
состояния |1 > в состояние |2 > (график (а)), вероятности перехода из состояния
|1 > в состояние |3 > (график (б)) и среднего значения энергии частицы (график
(в))в зависимости от продолжительности времени взаимодействия для случая, когда
частота внешнего электрического поля Ω̃ = 1, 8332. В этом случае вероятности квантовых переходов при любом значении t̃ оказываются весьма малыми величинами,
а среднее значение энергии частицы отличается от энергии начального состояния
на сравнительно малую величину. Приведенные графики и дополнительные исследования показывают, что зависимости величин W (2, t̃|1, 0), W (3, t̃|1, 0), < Ẽ(t̃) > от
времени взаимодействия иррегулярны и неустойчивы к малым изменениям параметров внешнего поля Ω̃, E0 . Аналогичные процессы наблюдаются при классическом
описании движения частицы в потенциальной яме под действием переодического
возмущения [4]. Это дает основания полагать, что эти зависимости определяются
случайными квантовыми процессами [5].
Характер зависимости вероятностей квантовых переходов и средней энергии частицы от времени качествено меняется по мере приближения частоты внешнего поля Ω̃ к частоте ω̃(2, 1) = 3 квантового перехода между состояниями |1 > и |2 >. На
Рис.2 графики вероятностей переходов и средней энергии частицы в зависимости
от времени в предложенной моделе построены для случая, когда частота внешнего
поля близка к частоте перехода и составляет Ω̃ = 2, 9532. В этом случае при некоторых значениях t̃ вероятность перехода |1 >→ |2 > достигает достаточно больших
значений , а < Ẽ(t̃) > существенно больше E1 . Как показывают исследования, вероятность перехода между квантовыми состояниями |1 > и |2 > (график (а))и среднее
значение энергии частицы (график (в)) являются устойчивыми функциями времени
в том смысле,что малые изменения параметров внешнего поля приводят к малым
изменениям этих функций. Зависимость от времени вероятности переходов между
состояниями |1 > и |3 > как и для частоты внешнего поля Ω̃ = 1, 8332 можно считать
обусловленной случайным квантовым процесом.
3. Полученные результаты представляют интерес при исследовании управления
квантовыми процессами [6]. Достоверность описанных эффектов может быть подтверждена при учете последующих приближений теории возмущений или при исследовании их в рамках непертурбативных теорий описания взаимодействия частицы
с переменным полем.
106
А.А. Бирюков, Б.В. Данилюк, А.Н. Косыгин
Рис. 1.
Графики зависимости от времени вероятностей квантовых переходов | 1 >→| 2 >(a),
| 1 >→| 3 >(б) и среднего значения энергии частицы(в)от времени взаимодействия
частицы с внешним электрическим полем изменяющегося по гармоническому закону
с частотой Ω̃ = 1, 8332 (α = 0, g = 0, 08).
Вероятности квантовых переходов частицы в потенциальной яме ...
107
Рис. 2.
Графики зависимости от времени вероятностей квантовых переходов | 1 >→| 2 >(a),
| 1 >→| 3 >(б) и среднего значения энергии частицы(в)от времени взаимодействия
частицы с внешним электрическим полем изменяющегося по гармоническому закону
с частотой Ω̃ = 2, 9532 (α = 0, g = 0, 08).
108
А.А. Бирюков, Б.В. Данилюк, А.Н. Косыгин
Список литературы
[1] Бирюков,А.А., Данилюк,Б.В. Квантовые переходы под действием возмущения,
изменяющегося со временем по гармоническому закону, в третьем порядке теории возмущений/А.А. Бирюков, Б.В. Данилюк //Теоретическая физика, 2004,
N 5, с.102 – 119.
[2] Бирюков,А.А., Данилюк,Б.В. Амплитуды вероятностей квантовых переходов в
третьем порядке теории возмущений/А.А. Бирюков, Б.В. Данилюк //Теоретическая физика, 2005, N 6, с.156 – 168.
[3] Качмарек,Ф. Введение в физику лазеров / Ф. Качмарек. - М.: Мир, 1981.
[4] Бирюков,А.А., Бирюков,Р.А., Данилюк,Б.В. Классическое и квантовое движение заряженной частицы в потенциальной яме при наличии переменного электрического поля/А.А. Бирюков, Р.А. Бирюков, Б.В. Данилюк //Теоретическая
физика, 2002, N 3, с.67 – 86.
[5] Штокман,Х.Ю. Квантовый хаос /Х.Ю. Штокман.- М.: Физматлит, 2004.
[6] Фрадков,А.Л., Якубовский,О.А. Управление молекулярными и квантовыми системами /А.Л. Фрадков, О.А. Якубовский. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
QUANTUM TRANSITION PROBABILITIES OF A
PARTICLE IN POTENTIAL WALL UNDER THE EFFECT
OF VARIABLE EXTERNAL FIELD
c 2006 A.A. Biryukov,1 B.V. Danilyuk,2 A.N. Kosygin,3
°
Abstract
The quantum motion of a particle in rectangular potential infinite potential wall under the
influence of external classical harmonic electromagnetic field has been investigated. The analytical
expressions for quantum transitions between steady states has been obtained in third order
of perturbation theory. The field-frequency and time duration dependencies of the quantum
transition probabilities and particle mean energy has carried out.
1 Biryukov Alexander Alexandrovich, Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia. E-mail: [email protected]
2 Danilyuk Boris Vasilievich, Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University,
Samara, 443011, Russia.
3 Kosygin Alexander Nikolaevich, Dept. of Information Systems, Samara State University, Samara,
443011, Russia.