1.10. Вращение твердого тела вокруг оси. Закон

Задачник школьника. Fizportal.ru
1.10. Вращение твердого тела вокруг оси. Закон сохранения момента импульса.
Условия равновесия твердого тела.
Момент инерции материальной точки массы т относительно оси равен
I  md 2 ,
где d – расстояние до оси вращения; момент инерции системы материальных точек
относительно оси равен
I  m1d12  m2 d 22  m3d32  ...

Момент импульса материальной точки массы m с радиус-вектором r при движении в плоскости относительно оси OO / , проходящей перпендикулярно плоскости
движения, определен как
 

L  r  mv ; L  mvr sin  ;
 
 – угол между векторами r и v .

Момент силы, приложенной к материальной точке с радиус-вектором r при
/
движении в плоскости относительно оси OO , равен

M  r  F ; M  rF sin  ,


где  – угол между векторами r и F .
Приращение момента импульса системы за малое время dt равно
dL  L(t  dt )  L(t )  M внеш (t )dt .
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью имеет вид
I   M ,
где I – момент инерции тела относительно этой оси,  – угловое ускорение тела,
 M – алгебраическая сумма проекций моментов действующих на тело сил на ось
вращения.
Условия равновесия твердого тела имеют вид
 F  0;  M  0 .
Здесь
F  0
– равнодействующая всех приложенных к телу внешних сил,
 M  0 – векторная сумма моментов этих сил относительно любой оси вращения.
1.2751. Четыре однородных шара с массами m1
= 1 кг, m2 = 5 кг, m3 = 7 кг, m4 = 3 кг укреплены на
невесомом стержне так, что их центры находятся на
К задаче 1.275
равных расстояниях d = 0,2 м друг от друга (см. рисунок). На каком расстоянии x от центра третьего шара находится центр масс всей
системы?
1.2761. Две стороны проволочной рамки в форме равностороннего треугольника
сделаны из алюминиевой проволоки, а третья – из медной. Проволоки имеют одинаковые сечения. Сторона треугольника L = 1 м. Плотности алюминия и меди равны 1
= 2,7103 кг/м3 и 2 = 8,9103 кг/м3 соответственно. Найдите расстояние x от центра
масс системы до середины медной проволоки.
1
1.2771. На каком расстоянии x от дна находится центр масс цилиндрического
стакана, имеющего высоту h = 12 см и диаметр d = 8 см, если толщина его дна в два
раза больше толщины стенок?
1.2782. Однородная пластина имеет форму полукруга
радиуса r, соединенного с прямоугольником длины 2r и
ширины h (см. рисунок). Найдите отношение h/r, если
центр масс всей системы совпадает с геометрическим центром полукруга (точкой С). Расстояние от центра масс полукруга С1 до его геометрического центра C равно 4r/(3).
1.2792. Однородный полушар массы m1, имеющий радиус r, выпуклой стороной лежит на горизонтальной плоскости. На край полушара положен небольшой груз массы
m2. Под каким углом  к горизонту наклонится ограничиК задаче 1.278
вающий полушар круг? Расстояние от центра масс полушара до его геометрического центра равно 3r/8.
1.2802. В однородном тонком диске радиуса R вырезано отверстие радиуса r < R/2, центр которого находится на расстоянии R/2 от центра диска (см. рисунок).
На каком расстоянии x от центра диска находится центр
масс этой системы?
1.2811. Четыре одинаковых тела массы m каждое
расположены на плоскости в вершинах квадрата со стороной L. Чему равен момент инерции I этой системы
К задаче 1.280
относительно оси, проходящей через одно из тел этой
системы перпендикулярно плоскости?
1.2821. Вычислите момент инерции I колеса велосипеда диаметром d = 67 см.
Масса обода колеса с покрышками составляет m = 1,3 кг. Почему при расчете можно
пренебречь массой ступицы колеса?
1.2831. К веревке, намотанной вокруг колеса массы m = 4 кг и радиуса Ro = 33
см приложена сила F = 15 Н. Момент сил трения в ступице колеса Мmp = 1,1 Нм. С
каким угловым ускорением  вращается колесо, если считать массу колеса сосредоточенной в узком кольце радиуса R = 30 см? Веревка невесома и нерастяжима.
1.2842. К веревке, намотанной вокруг колеса (см. предыдущую задачу), прикрепили груз массы m1 = 1,53 кг (вместо того, чтобы на нее действовать постоянной силой F = 15 Н); колесо насажено на закрепленную горизонтальную ось. Найдите угловое ускорение  колеса, линейное ускорение a груза, а также угловую скорость 
колеса и линейную скорость v груза в момент времени t = 3,0 с, если колесо начинает двигаться из состояния покоя в момент времени to = 0.
1.2852. Шарик массы m, закрепленный на конце
нити, движется по окружности на гладкой поверхности
стола (см. рисунок). Другой конец нити пропущен
сквозь отверстие в столе. Первоначально шарик вращается с линейной скоростью v1 = 2,4 м/с по окружности радиуса R1 = 0,80 м. Затем нить начинает очень
К задаче 1.285
медленно протягиваться сквозь отверстие так, что ра-
Задачник школьника. Fizportal.ru
диус окружности уменьшается до значения R1 = 0,48 м. Определите величину скорости шарика v2 в этот момент.
1.2861. Два человека с равными по величине силами F тянут
за концы каната в противоположные стороны. Затем один конец
каната привязывают к неподвижной опоре, а за другой его конец
те же два человека с теми же по модулю силами F начинают тянуть вместе. Какую силу натяжения T испытывает канат в обоих
случаях?
1.2872. С какой минимальной силой Fmin, направленной горизонтально, нужно прижать плоский брусок массы m = 5,0 кг к
стене (см. рисунок), чтобы он не соскользнул вниз? Коэффициент К задаче 1.287
трения между бруском и стеной  = 0,1.
1.2884. Имеется подвеска, состоящая из стержней, соединенных шарнирно (см. рисунок). Стержни AD, ВС, DE,
СН сплошные. Между точками O и M натянута нить. Определите силу T натяжения нити ОМ, если масса всей системы
равна m.
1.2892. На столе лежит линейка массы m так, что 1/3 ее
длины свешивается со стола. Какую силу Fmin нужно приложить, чтобы сдвинуть линейку вдоль ее длинной стороны?
К задаче 1.288
Коэффициент трения между столом и линейкой равен .
1
1.290 . Фонарь массы m = 20 кг подвешен на двух
одинаковых тросах, образующих угол  = 120° (см.
рисунок). Найдите силу T натяжения тросов.
1.2912. При взвешивании на неравноплечих рычажных весах масса тела (по сумме масс уравновешивающих гирь) на одной чаше весов оказалась равной
К задаче 1.290
m1 = 2,2 кг, а на другой – m2 = 3,8 кг. Найдите истинную массу тела m.
1.2922. Однородный стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массы m = 1,2
кг находится в равновесии в горизонтальном поК задаче 1.292
ложении, если его подпереть на расстоянии 1/5
длины стержня от груза (см. рисунок). Найдите массу стержня М.
1.2932. На двух вертикально расположенных
пружинах, в недеформированном состоянии
имеющих одинаковую длину, горизонтально подвешен невесомый стержень (см. рисунок). Жесткости пружин k1 = 0,02 Н/м и k2 = 0,03 Н/м, расстояние между ними d = 1 м. На каком расстоянии x от
первой пружины нужно подвесить груз, чтобы
стержень остался в горизонтальном положении?
1.2942. К стене прислонена лестница массы m
К задаче 1.293
под углом  к вертикали (см. рисунок). Центр масс
лестницы находится на расстоянии 1/3 длины от ее верхнего конца. Какую горизон3
тальную силу F надо приложить к середине лестницы, чтобы ее верхний конец не оказывал давления на стену?
1.2952. Под каким минимальным углом  к горизонту
может стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикальной стене, если ее центр масс находится в середине?
Коэффициент трения между лестницей и полом равен .
1.2962. Однородная балка лежит на платформе так, что
один ее конец на 1/4 длины свешивается с платформы. К
К задаче 1.294
свешивающемуся концу прикладывают силу, направленную вертикально вниз. Когда эта сила становится равной F = 2000 Н, противоположный конец балки начинает подниматься. Найдите массу m балки.
1.2972. Два человека несут трубу массы m = 80 кг и длины L = 5 м. Первый человек поддерживает трубу на расстоянии a = 1 м от ее
конца, а второй держит противоположный конец трубы. Найдите силу давления трубы N, испытываемую
каждым человеком.
1.2983. Две одинаковые тонкие дощечки с закругленными краями поставлены на стол и опираются
друг на друга (см. рисунок). Каждая дощечка образуК задаче 1.298
ет с вертикалью угол . Каким должен быть коэффициент трения  между дощечками и столом, чтобы дощечки не падали?
1.2993. Две параллельные и противоположно направленные силы F1 = 10 Н и F2
= 25 Н приложены в точках A и B стержня, расположенных на расстоянии d = 1,5 м
друг от друга. Найдите силу F, уравновешивающую силы F1 и F2, и точку C ее приложения. Другие силы на стержень не действуют.
1.3002. Три человека несут однородную металлическую плиту, имеющую форму
равнобедренного треугольника с основанием a = 0,6 м и высотой h = 1,25 м. Толщина плиты d = 4 см, плотность материала плиты  = 3,6103 кг/м3. Какую силу давления N испытывает каждый носильщик, если все они держат плиту за вершины треугольника?
1.3013. С наклонной плоскости одновременно начинают соскальзывать брусок и
скатываться без проскальзывания обруч. Определите, при каком коэффициенте трения  между бруском и плоскостью оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга.
Угол наклона плоскости к горизонту равен .
Задачник школьника. Fizportal.ru
Ответы:
1.275. Центр масс системы находится между вторым и третьим шаром на рас2m1  m2  m4
стоянии x 
d  5,0 см от третьего шара.
m1  m2  m3  m4
1.276. x 
1 3
L  16,3 см.
2(2 1   2 )
h2
 4,5 см.
d  2h
h
2
1.278. 
.
r
3
8m
1.279.   arctg 2 .
3m1
1.277. x 
r 2R
.
2( R 2  r 2 )
1.281. I  4mL2 .
1
1.282. I  md 2  0,15 кгм2.
4
FRo  M mp
1.283.  
 10,7 рад/с2.
mR 2
m gR  M
1.284.   1 o 2 mp  10,7 ; a  Ro  3,53
mR
v   tRo  10,6 м/с.
R
1.285. v2  v1 1  4 м/с.
R2
1.286. T1  F ; T2  2 F .
mg
 490 Н.
1.287. Fmin 
1.280. x 
м/с2;
   t  32,1
рад/с;

1.288.
1.289.
1.290.
1.291.
1.292.
1.293.
1.294.
3
T  mg .
2
Fmin   mg .
mg
T
 196 Н.

2cos
2
m  m1m2  2,9 кг.
M  2m / 3  0,8 кг.
k2
xd
 0,6 м.
k1  k2
4
F  mgtg .
3
5
1.295.  min  arctg
1
.
2
F
 200 кг.
g
mgL
mg ( L  2a )
1.297. N1 
 490 Н; N 2 
 294 Н.
2( L  a )
2( L  a )
1
1.298.   tg .
2
dF2
 2,5 м, кроме случая, когда силы на1.299. F  F2  F1  15 Н; x  AC 
F2  F1
правлены вдоль стержня; тогда точка приложения силы F может быть любой.
ahd  g
 176,4 Н.
1.300. N1  N 2  N 3 
6
1
1.301.   tg .
2
1.296. m 