1 Теоретические вопросы.

1
Теоретические вопросы.
1. Закон Кулона в векторной форме. F~12 = −F~21 = . . ..
2. Определение напряженности электрического поля. Получить выражение для вектора напряженности поля точечного заряда. Принцип суперпозиции для непрерывного и дискретного распределения зарядов.
3. Работа сил электростатического поля по перемещению точечного заряда. Определение потенциала. Потенциал точечного заряда. Принцип суперпозиции для
потенциала.
~ = . . .). Теорема
4. Связь напряженности и потенциала (2 формулы: ϕ1 −ϕ2 = . . . и E
о циркуляции напряженности.
5. Теорема Гаусса. Применить теорему Гаусса для вычисления полей: точечного
заряда, заряженной сферы, бесконечно длинной заряженной нити, бесконечной
заряженной плоскости.
6. Что происходит в проводнике при внесении его в электрическое поле (явление
электростатической индукции). Чему равна напряженность электростатического
поля внутри проводника? Докажите. Доказать, что все точки проводника имеют
~ по отношению к поверхности
одинаковый потенциал. Как направлен вектор E
проводника? Где расположены заряды на проводнике? Почему.
7. Дать определение ёмкости уединенного проводника, ёмкости конденсатора. Вычислить ёмкость плоского воздушного конденсатора.
8. Что такое диполь, плечо диполя, дипольный момент. Что происходит с диполем
в электрическом поле.
9. Полярные и неполярные диэлектрики. Что происходит с диэлектриком во внешнем электрическом поле? Почему, где и как возникают связанные заряды? Чему
равна напряженность поля в диэлектрике?
10. Что такое вектор поляризованности. Как он связан с напряженностью электрического поля. Покажите как найти поверхностную плотность связанных зарядов
на границе диэлектрика и вакуума? Вектор электрического смещения. Теорема
~ Поляризованность и электрическое смещение для изоГаусса для вектора D.
тропных диэлектриков.
11. Чему равна напряженность электрического поля внутри диэлектрика, при условии что он занимает пространство между двумя эквипотенциальными поверхно~ D.
~ Получить из этих условий закон преломстями. Граничные условия для E,
ления силовых линий.
12. Напишите выражение для потенциальной энергии взаимодействия двух, трех
зарядов. Энергия проводника. Энергия конденсатора. Плотность энергии электрического поля.
2
Задачи.
1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1 = 40 нКл и q2 =
−10 нКл, находящимися на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить
напряженность Е поля и потенциал ϕ в точке, удаленной от первого заряда на
r1 = 12 см и от
на r2 = 6 см.
rвторого
2 2
2
r 2 +r 2 −d2
kq1
2
1
2
+ kq
− 2kr2qr12q2 1 2r12r2 = 34 кВ/м, ϕ = kq
+ kq
.)
(Ответ: E =
r1
r2
r2
r2
1
2
1 2
2. Тонкий стержень длиной l = 12 см заряжен с линейной плотностью τ = 200 нКл/м.
~ и потенциал ϕ электрического поля в точке, находящейНайти напряженность Е
ся на расстоянии r = 5 см от стержня против его середины.
q
R l/2
kτ l
dx
l
l2
1
(Ответ: E = q
, ϕ = 2kτ 0 √
= 2kτ ln r 2 + 4 + r 2 , ось x
2 + r2
l2
x
2
r 1+
4r 2
направлена вдоль стержня, x = 0 - середина стержня.)
3. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами,
несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями σ1 = 2 нКл/м2 и σ2 = −5 нКл/м2 . Определить напряженность Е и потенциал ϕ поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Потенциал первой пластины
принять за ноль.
|σ2 | − σ1
|σ2 | + σ1
−|σ2 | + σ1
(Ответ EIx =
, EIIx =
, EIIIx =
; ϕI = −EIx x,
2ε0
2ε0
2ε0
ϕII = −EIIx x, ϕIII = −EIIIx x + (EIIIx − EIIx )d.
I
и т.д., а также ϕI (x = 0) = ϕII (x = 0) и
Обратите внимание: EIx = − ∂ϕ
∂x
ϕII (x = d) = ϕIII (x = d)).
4. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить напряженность
~ и потенциал ϕ электрического поля, создаваемого таким распределенным заЕ
рядом в точке O, совпадающей с центром кривизны дуги. Угловой размер дуги
составляет α0 = 2π/3.
(Ответы E =
R α /2
2kτ
sin α0 ; ϕ = −α0 0 /2
R
kτ R
dα
R
= kτ α0 ).
5. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный заряд (τ = 0, 1 мкКл/м).
Определить работу А сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл вдоль перпендикуляра к нити из точки 1 в точку 2. Точка 1 находится на расстоянии r1 = a
от нити, а точка 2 на расстоянии
R r2 r2 = 2a.R r2 τ
Qτ
(Ответ: A = Q(ϕ1 − ϕ2 ) = Q r1 Edr = Q r1 2πε0 r dr = 2πε
ln 2.
0
6. Площадь пластин плоского конденсатора S = 0, 01 м2, расстояние между ними d = l см. К пластинам приложена разность потенциалов U = 300 В. В пространстве между пластинами находятся плоскопараллельная пластинка стекла
толщиной d1 = 0, 5 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной
d2 = 0, 5 см. Найти напряженности E1 и Е2 электрического поля и падения потенциала U1 и U2 в каждом слое. Каковы будут при этом емкость С конденсатора,
поверхностная плотность заряда σ на пластинах и поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектриках (на их границе с обкладками конденсатора)?
U
U
ε2 U
(Ответы: E1 = ε1 d2ε2+ε
, E2 = ε1 d2ε1+ε
; U1 = E1 d1 , U2 = E2 d2 ; σ = ε1εd02ε1+ε
;
2 d1
2 d1
2 d1
ε0 (ε1 −1)ε2 U
ε0 ε1 (ε2 −1)U
ε0 ε1 ε2 S
′
′
C = ε1 d2 +ε2 d1 , σ1 = ε1 d2 +ε2 d1 , σ2 = ε1 d2 +ε2 d1 .
7. Длинный парафиновый цилиндр радиусом R = 2 см несет заряд, равномерно
распределенный по объему с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м3. Определить
напряженность E и смещение D электрического поля в точках, находящихся от
оси цилиндра на расстоянии: 1) r1 = 1 см; 2) r2 = 3 см. Обе точки равноудалены
от концов цилиндра.
2
ρr1
ρR2
(Ответы: E1 = 2ε
, D1 = ρr21 ; E2 = 2ε
, D2 = ρR
)
2r
0ε
0r
8. В центре диэлектрического шара радиуса r с проницаемостью ε1 = 2 помещен
точечный заряд q. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью
ε2 = 4. Найти суммарную поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. (Ответ: σ ′ = −q/(16πr 2 ))
9. Плоский воздушный конденсатор емкостью С0 = 1, 11 нФ заряжен до разности
потенциалов U0 = 300 В. После отключения от источника тока расстояние между
пластинами конденсатора было увеличено в пять раз. Определить: 1) разность
потенциалов U на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу А
внешних сил по раздвижению пластин.
2
(Ответы: U1 = CC0 U1 0 = 5U0 ; A = W1 − W0 = q2 C11 − C10 = 0, 2 мДж)
10. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R1 = 6 см и
R2 = 10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = −0, 5 нКл. Определить зависимости E(r) и ϕ(r). Принять, что ϕ(r → ∞) = 0.
2
1
2
2
(Ответы: E1 = 0, E2 = k Qr21 , E3 = k Q1r+Q
; ϕ1 = k Q
+ kQ
, ϕ2 = k Qr1 + k Q
,
2
R1
R2
R2
Q2
Q1
ϕ3 = k r + k r )