Бетатрон

БЕТАТРОН
Согласно уравнениям Максвелла при изменении магнитного потока
возникает вихревое электрическое поле, т.е. такое поле, силовые линии
которого замкнуты. В частности, если магнитный поток обладает осевой
симметрией распределения интенсивности магнитного поля, то силовые
линии индуцированного электрического поля будут представлять собой
концентрические окружности. Причем плоскость, в которой находятся эти
окружности, перпендикулярна оси магнитного поля. Двигаясь в вихревом
электрическом поле, заряженные частицы будут ускоряться таким образом,
что их траектория будет представлять собой плоскую спираль. Такой вариант
индукционного ускорителя во многих отношениях хуже, нежели вариант в
котором электроны движутся по окружностям. Следовательно, необходимо
указать способ, с помощью которого можно было бы удерживать
движущийся по силовой линии вихревого электрического поля электрон на
замкнутой вокруг магнитного потока орбите.
Данная возможность реализуется при использовании дополнительного
постоянного во времени магнитного поля, которое заставляет электрон
двигаться
по
окружности
радиуса

m0c 2 
.
eH
Напряженность
H
индуцирующего магнитного поля должна меняться со временем (в
противном
случае
dH
0
dt
и
индуцированное
электрическое
поле
отсутствует), и если бы речь шла об электроне, имеющем постоянную
скорость, то в зависимости от того нарастает или спадает магнитное поле,
электрон двигался бы по сворачивающейся или разворачивающейся спирали.
Поскольку электрон, ускоряясь непрерывно увеличивает свою скорость, то в
случае нарастающего магнитного поля возможна ситуация при которой
радиус орбиты остается постоянным. Т.е. возможна ситуация при которой
ускорение и удержание на орбите обеспечивается одним и тем же магнитным
полем. Принципиальная схема бетатрона приведена на рис. 6.1.
Рис.6.1. Принципиальная схема бетатрона. 1) яром магнита; 2) обмотки магнита;
3) вакуумная камера; 4) пучок электронов.
Импульс электрона p  m0c и соответствующая данному импульсу
при движении в магнитном поле величина магнитной жесткости H  ,
e
связаны соотношением: p  H  . Импульс электрона определяется силой
c
действующей на него со стороны ускоряющего электрического поля. В
случае аксиально-симметричного магнитного поля напряженность
E
индуцированного электрического поля на отстоящих на равном расстоянии
r0 от центральной оси магнитного поля окружностях, будет равна
E
1 d
,
2 r0c dt
(6.1)
где  - магнитный поток, через всю площадку, охватываемую окружностью
радиуса r0 . Из второго закона Ньютона следует F 
dp
e d
,
 eE 
dt
2 r0c dt
после интегрирования данного уравнения получаем
p  t   p0 
e
  t   0  ,
2 r0c
(6.2)
т.е. изменение импульса электрона пропорционально изменению магнитного
потока через площадь орбиты за то же время. Если предположить, что
p0 
e
0 ,
2 r0c
(6.3)
(смысл данного условия будет рассмотрен ниже), то вместо формулы (6.2)
получим
p t  
e
 t  .
2 r0c
(6.4)
Обозначим среднее значение напряженности магнитного поля внутри
окружности радиуса r0 через H . По определению имеем:
H

,
 r02
(6.5)
и уравнение (6.4) перепишется в виде
p t  
e
Hr0 .
2c
(6.6)
e
С другой стороны p  Hr0 , объединяя эти два выражения в одно, получаем
c
простое условие:
H t  
H t 
2
.
(6.7)
Электрон будет двигаться в нарастающем магнитном поле по
окружности постоянного радиуса, если напряженность магнитного поля в
точках этой орбиты в любой момент времени будет вдвое меньше средней
напряженности магнитного поля внутри орбиты.
Подчеркнем, что для выполнения условия (6.7) закон убывания поля по
мере удаления от центра не имеет существенного значения. В любом
аксиально-симметричном магнитном поле при достаточной интенсивности
его центральной части будет существовать минимум одна окружность, для
которой выполняется условие (6.7). Используя условия (6.5) и (6.7)
e
выражение (6.3) можно записать в виде p0  H 0 r0 . Начальное условие (6.3)
c
имеет следующий смысл: начальная интенсивность магнитного поля H 0 в
точках равновесной орбиты должна иметь такую величину, чтобы в этом
поле радиус кривизны орбиты электрона, приходящего на равновесную
орбиту по касательной к ней с импульсом
p0 , был равен радиусу
равновесной орбиты.
Процесс увеличения скорости электронов в бетатроне длится до тех
пор, пока продолжается нарастание магнитного потока. Так как для любой
магнитной цепи существует определенный технически достижимый предел
величины магнитного потока, то ток бетатрона может быть только
импульсным.
Так как средняя плотность потока в сердечнике должна вдвое
превышать плотность потока управляющего поля, то при слишком быстром
росте управляющего потока сердечник станет насыщаться раньше полюсных
наконечников, что приведет к нарушению условия «2:1». Получается, что
энергия, достижимая в бетатроне с заданным радиусом, ограничена
плотностью потока управляющего поля, а удвоенная плотность потока в
сердечнике не должна приближаться к точке насыщения. Для увеличения
энергии примерно вдвое используется метод подмагничивания, который
заключается в том, что независимо регулируется как поле сердечника, так и
управляющее поле. Причем когда управляющее поле меняется от нуля до
максимальной величины, поле сердечника меняется от –B до +B. Таким
образом, достигается двойное изменение потока через сердечник без
приближения к точке насыщения.
Максимальная энергия ускоренных частиц определяется, как и в
классическом бетатроне, «размахом» потока     t   inj определяется
из условия pmax  t   pinj 
e 
, где Cring - периметр орбиты. Разброс частиц
c Cring
по импульсу, приобретаемый электронами при индукционном ускорении,
определяется разницей в длительности пребывания частиц в кольце. Если
инжекция и выпуск частиц происходят за один оборот, то «первая»
инжектированная частица и последняя проходят ускоряющий зазор при
разном напряжении на нем.