Лабораторная работа №1.5К

Лабораторная работа 1.5K
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА.
С.В. Соломатин
Цель работы: изучение закона сохранения импульса.
Задание: измерив угловые скорости вращения системы при
различных положениях грузов, вычислить моменты импульса, и
убедиться в выполнении закона сохранения момента импульса.
Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить понятия момента силы, момента инерции материальной точки и твердого тела, момента импульса системы, закон сохранения момента импульса. Изучить описание лабораторной установки и уметь выводить
расчетную формулу для момента инерции исследуемой системы.
Библиографический список
1. Савельев И.В. «Курс общей физики». – М.: Наука, 1987, т. 1.
гл. 5, параграфы 36 – 43.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Контрольные вопросы к работе
Дайте определение момента силы относительно неподвижной
оси.
Что такое угловая скорость и как определяется направление
вектора угловой скорости ω?
Дайте определение момента инерции материальной точки и
твердого тела относительно некоторой оси.
Что такое импульс системы?
Что называют моментом импульса системы?
Сформулируйте закон сохранения момента импульса системы.
При каких условиях возможно изменение угловой скорости
замкнутой системы при вращательном движении?
Каким образом проверяется закон сохранения момента импульса в лабораторной работе?
Опишите метод измерения угловой скорости в автоматизированной лабораторной установке.
2
10. Оцените погрешность измерения момента импульса системы в
данной лабораторной работе.
Описание аппаратуры и метода измерений
При описании вращательного движения тел наиболее удобной является полярная система координат, расположенная в
плоскости перпендикулярной оси вращения. Центр системы координат выбирается так, что ось вращения проходит через него.
При таком выборе положение тела в любой момент времени может быть однозначно описано углом поворота относительно некоторого первоначального направления ϕ . По аналогии с кинематикой поступательного движения, можно ввести угловую скорость ω и угловое ускорение β таким образом, что ω = dϕ dt , а
β = dω dt = d 2ϕ dt 2 . Для описания вращательного движения
справедливы следующие кинематические соотношения:
ϕ = ϕ0 + ω ⋅ t + ( β ⋅ t 2 ) / 2
ω = ω0 + β ⋅ t
(1)
(2)
Наряду с кинематическими соотношениями (1), (2) для описания вращательного движения используются законы динамики и
законы сохранения. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:
(3)
M = J ⋅β,
где M – момент сил, приложенных к телу, относительно оси вращения, β - угловое ускорение тела относительно этой оси.
Уравнение (3) является аналогом второго закона Ньютона
для поступательного движения. Момент инерции J является мерой инертности тела при вращательном движении. Для твердого
тела произвольной формы момент инерции определяется следующей формулой:
J = ∫ r 2 dm = ∫∫∫ ρ (r , ϕ , z )r 3 drdϕdz ,
(4)
r ,ϕ , z
где dm = ρdV - элементарная масса тела, ρ − плотность тела,
r , ϕ , z − соответствующие цилиндрические координаты, ось z
совпадает с осью вращения, а интегрирование производится по
3
всему объему тела.
Момент импульса тела относительно оси вращения выражается через момент инерции J и угловую скорость вращения тела
ω следующим образом
(5)
L = J ⋅ω .
Если суммарный момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю относительно некоторой оси вращения, то момент импульса тела относительно этой оси сохраняется, т.е.
(6)
L = J ⋅ ω = const .
Как видно из уравнения (6), в отсутствие момента внешних сил,
изменение момента инерции тела приводит к изменению угловой
скорости его вращения.
Данная лабораторная работа посвящена проверке закона сохранения момента импульса. В ней используется система тел, момент инерции которой может изменяться в процессе вращения. Схематически
система с переменным моментом инерции изображена на рис. 1.
Рис.1
Она представляет собой муфту, в которой закреплены два
тонких жестких стержня, по которым могут свободно перемещаться грузы. С помощью специального приспособления муфта
приводится во вращение при минимальном удалении грузов от
оси вращения. После освобождения грузов они скользят по
стержням до установленных заранее упоров. Момент инерции
системы при этом возрастает, а угловая скорость уменьшается.
Угловая скорость в процессе вращения измеряется компью-
4
терной измерительной системой. Измерение геометрических характеристик системы позволяет определить начальное и конечное значения момента инерции. Это позволяет рассчитать момент импульса
в начальном и конечном состоянии системы (при максимальной и
минимальной угловой скорости) и сравнить эти значения. Поскольку экспериментальные величины определяются с погрешностью, то
вместо соотношения (6) должно выполняться неравенство:
J1 ⋅ ω1 − J 2 ⋅ ω2 < Δ( J1 ⋅ ω1 ) + Δ( J 2 ⋅ ω2 ) .
(7)
Целью работы является экспериментальная проверка неравенства (7). Схема экспериментальной установки для проверки
закона сохранения момента импульса приведена на рис. 2.
Момент инерции системы тел рассчитывается по формуле
J = J 0 + J1 ,
где
m1 R 2
l2 ⎞
⎛ 2
(8)
+ m2 ⎜ R + R ⋅ l + ⎟ ,
J0 =
2
3⎠
⎝
Рис. 2
5
(
J1 = 2 ⋅ m ⋅ r 2 + J г
и
(
)
)
m
3R12 + 3R2 2 + H 2 .
12
Здесь m1 − масса муфты, m2 − масса спицы, m − масса груза,
R − радиус муфты, R1, R2 − внешний и внутренний радиусы груза, H − длина груза, r − радиус центра масс груза.
Остановимся теперь на методе измерения угловой скорости
ω . С муфтой жестко связан датчик угловой скорости, который
при вращении выдает импульсы, поступающие в измерительный
блок компьютера. Количество импульсов за единицу времени пропорционально угловой скорости вращения датчика. Таким
образом, измеряя количество импульсов поступивших в измерительную систему за некоторый постоянный интервал времени в
разные моменты времени t: t = Δt × k , где k = 1, 2, 3,…, получаем
зависимость угловой скорости от времени ω (t ) .
Jг =
Порядок выполнения работы
1. Запустите программу, выберите пункт меню «Список
опытов» и в появившемся на экране списке выберите лабораторную работу «Закон сохранения момента импульса».
2. Установите резиновые шайбы ограничители на одинаковом расстоянии от центра муфты и измерьте расстояния от оси до
центров масс грузов до и после разлета.
3. Включите режим регистрации данных компьютером, выбрав в меню пункт «ЗАПУСК». Запись данных будет производиться в течение приблизительно 20 секунд.
4. Раскрутите систему грузов с помощью специального устройства и резко поднимите его вверх, чтобы позволить грузам
разлететься до резиновых ограничителей.
5. После завершения записи данных на экран выводится график зависимости угловой скорости вращения системы от времени.
6. Определите начальные и конечные скорости ω1 и ω2 . Для
этого подведите вертикальную черту курсора к соответствующим
6
точкам графика. Значение угловой скорости выводится в квадрате в верхней части экрана.
7. Повторите действия, описанные в п.п. 2 – 6 не менее 5 раз.
8. Установите резиновые ограничители на другом расстоянии и повторите опыт 3 – 7.
Обработка результатов измерений
1. Результаты измерений оформить в виде таблицы
№
ω1
ω2
L1
L2
L1 − L2
ΔL1 + ΔL2
2. Для данного положения ограничителей вычислить значения
момента инерции системы по формулам (8) и значения соответствующих моментов импульса системы по формуле (7).
3. Рассчитать погрешности измерений угловой скорости по формуле:
n
Δω = α n, p
∑ Δω j 2
j =1
n(n − 1)
4. Рассчитать погрешности вычисленных значений момента
инерции по формуле: ΔJ = ΔJ 0 + ΔJ 1
⎞
⎛ R2
l2 ⎞
⎛ 2
⎜ Δm1 + ⎜ R + Rl + ⎟Δm2 + (m1 + 2m2 )RΔR + ⎟
2
3⎠
⎝
⎟
ΔJ 0 = J 0 ⎜⎜
⎟
2l ⎞
⎛
⎟⎟
⎜⎜ + m2lΔR + m2 ⎜ R + ⎟Δl
3⎠
⎝
⎠
⎝
⎛ 2
⎞
2
2
2 Δm
+⎟
⎜ r Δm + 2mrΔr + (3R1 + 3R2 + H )
12 ⎟
ΔJ 1 = 2 J 1 ⎜
⎜ m
⎟
⎜ + (3R1ΔR1 + 3R2 ΔR2 + HΔH )
⎟
⎝ 6
⎠
5. Вычислить значения момента импульса (5) и его погрешности:
Δω ΔJ
ΔL = E ⋅ L , где E =
+
ω
J
6. Убедиться в справедливости неравенства (7).