Семестр 2

Семестр 2
Лекция 2
Волны
Волны. Уравнение плоской монохроматической волны. Волновое
уравнение.
Вопросы.
Волна. Фронт волны. Волновая поверхность. Поперечные и продольные волны
(примеры). Уравнение плоской волны. Длина волны. Волновое число. Графическое
представление волны. Связь разности фаз волн с их разностью хода
Вывод дифференциального волнового уравнения. Общее решение волнового уравнения.
Сферические волны.
Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Связь между фазовой и групповой
скоростями.
Уравнение плоской волны.
Волна это процесс распространения колебаний в пространстве.
Фронт волны это геометрическое место точек, до которых волна дошла в данный момент
времени (или это поверхность, ограничивающая область пространства, где существуют
колебания).
Волновая поверхность это геометрическое место точек, где колебания происходят в
одинаковой фазе.
Волны бывают продольные и поперечные.
Продольная волна это волна, где колебания происходят вдоль направления
распространения волны. Поперечная волна это волна, где колебания происходят
перпендикулярно направлению распространения волны.
Примеры:
Волны в жидкостях и газах всегда продольные. Электромагнитные волны и свет –
поперечные. В твердых телах волны могут быть и продольными и поперечными, в зависимости
E
, поперечных
от способа возбуждения. В твердых телах скорость продольных волн: υ прод =
ρ
G
. E – модуль Юнга, G – модуль сдвига, ρ - плотность вещества.
ρ
Волны на поверхности воды являются одновременно
и продольными, и поперечными. Движение частиц воды
происходит по эллипсам. Форма эллипса зависит от
глубины водоема, плотности, поверхностного натяжения и
ускорения свободного падения.
Волны называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную во
времени разность фаз.
Пусть в начале координат находится источник гармонических колебаний.
волн: υ попер =
S – любая величина, способная совершать колебания.
S( t ,0) = ACos(ωt + ϕ 0 )
Для механических волн, S – смещение частиц среды.
За счет взаимодействия частиц среды, колебания распространяются во все стороны.
x
υ
колебания дойдут до точки x. В точке x колебания будут повторять колебания источника, но с
запаздыванием на время τ. Если пренебречь потерями энергии, то амплитуды колебаний в
точках O и x можно считать одинаковыми. Т.о. мы имеем:
S( t , x ) = ACos(ω( t − τ) + ϕ 0 )
Преобразуем фазу колебаний:
ω
ϕ = ω( t − τ) + ϕ 0 = ωt − ωτ + ϕ 0 = ωt + x + ϕ 0
υ
ω
Введем обозначение: k =
- волновое число.
υ
ω 2π 2 π
k= =
=
υ υT λ
λ=Tυ - длина волны.
Длина волны это путь, проходимый волной за период колебаний (или это расстояние
между точками, где колебания происходят в одинаковой фазе). Δϕ=2πm, m∈Z.
Δϕ=2π
2π
2π
S( t, x ) = ACos( t −
x + ϕ0 )
T
λ
или
S( t , x ) = ACos(ωt − kx + ϕ 0 )
Волновые поверхности в данном случае – это плоскости, перпендикулярные оси x.
Если ωt-kx – волна идет вдоль оси x, если ωt+kx – волна идет против оси x.
Уравнение произвольной плоской волны имеет вид:
r
S( t , r ) = ACos(ωt − k x x − k y y − k z z + ϕ 0 )
Если υ - скорость распространения колебаний (скорость волны), то за время τ =
ω
= k 2x + k 2y + k 2z
υ
k x = kCosα k y = kCosβ k z = kCosγ
k=
α, β, γ - углы междуr направлением
r r волны и координатными осями.
r
r
S( t , r ) = ACos(ωt − k r + ϕ 0 ) , k r - скалярное произведение.
Волновой вектор задает направление волны.
λ<λx<∞
Графическое представление волны (ϕ0=0).
1) Зависимость смещения от времени при фиксированных координатах.
x2>x1, x2 – сдвигается вправо.
2) Зависимость смещения от координат при фиксированном времени.
t2>t1
Найдем разность фаз колебаний в зависимости от разности хода волны.
S( t , x 1 ) = ACos(ωt − kx 1 + ϕ 0 )
S( t , x 2 ) = ACos(ωt − kx 2 + ϕ 0 )
Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 = ωt − kx 2 + ϕ 0 − ωt + kx 1 − ϕ 0 = − k ( x 2 − x 1 ) = −kΔx
2π
Δx
λ
Получим волновое уравнение, т.е. ДУ, которому подчиняется волна (ДУ волны).
S = ACos(ωt − kx )
S′t = − AωSin (ωt − kx ) S′x = kASin (ωt − kx )
Δϕ =
S′t′2 = − Aω 2 Cos(ωt − kx ) S′x′ 2 = −k 2 ACos(ωt − kx )
k 2 S′t′2 = ω 2 S′x′ 2
∂ 2S
1 ∂ 2S
=
∂x 2 υ 2 ∂t 2
Общим решением ДУ волны будет
S( t , x ) = f ( x − υt ) + g ( x + υt ) , где f и g – произвольные функции.
Сферические волны:
A
S( t , r, Θ, ϕ) = Cos(ωt ± kr + ϕ 0 )
r
«+» – сжимается, «-» - расширяется.
Фазовая и групповая скорости.
S = ACos(ωt − kx ), ϕ 0 = 0
ω 2π
=
υ λ
ω
υ ф = - фазовая скорость (скорость движения фазовых поверхностей).
k
k=
ϕ = ωt − kx = Const
dx
=0
dt
dx ω
υф =
=
dt k
Реально мы наблюдаем не плоскую волну, а волновой пакет.
Волновой пакет это результат сложения большого числа волн с близкими частотами.
ω−k
Плоская волна – бесконечный синус.
Волновой пакет – волна, ограниченная в
пространстве.
ω0 −
Δω
Δω
<ω<
+ ω0 ω0 >> Δω .
2
2
S = ACos(ωt − kx )
ω0 +
S=A
Δω
2
∫ Cos(ωt − kx)dω
ω0 −
Δω
2
Сложим
частотами
, k = f (ω) =
плоские
волны
с
в
ω
(υ = υ(ω))
υ
Дисперсия это зависимость фазовой скорости от частоты или длины волны.
⎡ω0 + Δ2ω
⎤
⎢
⎥
i ( ωt − kx )
S = A Re ⎢ ∫ e
dω⎥
⎢ω0 − Δω
⎥
⎣ 2
⎦
dk
k = k (ω 0 ) +
(ω − ω 0 ) + ...
dω
dk
(ω − ω 0 ) x =
ϕ = ωt − kx = (ω − ω0 ) t + ω0 t − kx ≈ (ω − ω0 ) t + ω0 t − k 0 x −
dω
dk
= (ω 0 t − k 0 x ) + ω′t −
ω′x , ω′ = ω − ω0
dω
одинаковыми
интервале
Δω
⎡
⎤
⎡ Δ2ω
⎤
dk
dk
2
i
(
t
ω′
x
)
iω′ ( t − x )
ω′
−
⎢
⎥
⎢
⎥
i ( ω0 t − k 0 x )
i
(
ω
t
−
k
x
)
dω
dω
S = A Re ⎢ ∫ e
e
dω′⎥ = A Re ⎢e 0 0 ∫ e
dω′⎥ =
Δω
⎢
⎥
⎢ − Δ2ω
⎥
−
2
⎣
⎦
⎣
⎦
Δω
dk
Δω
dk
dk
⎡
⎤
⎡
⎤
i
(t− x)
−i
(t− x)
iω′ ( t − x )
Δω
2
dω
2
dω ⎥
dω
⎢ i ( ω0 t − k 0 x ) e
⎥
⎢
e
e
−
i ( ω0 t − k 0 x )
2
= A Re ⎢e
⎥=
Δω ⎥ = 2A Re ⎢e
−
dk
dk
2
⎢
⎥
⎢
⎥
i( t −
x)
2i( t −
x)
dω
dω
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎡
dk ⎞ ⎤
⎛ Δω
Sin ⎜
(t −
x) ⎟
⎢
2
dω ⎠ ⎥⎥
⎝
i ( ω0 t − k 0 x )
⎢
= 2A Re e
dk
⎥
⎢
t−
x
⎥
⎢
dω
⎦
⎣
dk ⎞
⎛ Δω
Sin ⎜
(t −
x) ⎟
2
dω ⎠
⎝
S = 2A
Cos(ω 0 t − k 0 x )
dk
t−
x
dω
Мы имеем с частотой ω0, волновым числом k0, у которой амплитуда зависит от времени и
координат. S = A( t , x )Cos(ω0 t − k 0 x ) .
Волновой пакет.
Максимум волнового пакета, если
Δω
dk
x) = 0 .
(t −
dω
2
d
dk
(t −
x) = 0
dt
dω
dk dx
1−
=0
dω dt
dx dω
υ гр =
=
dt dk
Найдем связь между групповой и фазовой скоростью.
ω = kυ ф k = k (ω) υ ф = υ ф (ω)
dυ ф
dk
+k
dk
dk
dk
dυ ф
2π
2π
υ гр = υ ф +
k k=
dk = − 2 dλ
dk
λ
λ
dυ ф
2π dυ ф
υ гр = υ ф −
= υф − λ
λ 2π
dλ
dλ
2
λ
υ гр =
d(kυ ф )
= υф
Скорость распространения упругих волн. Стоячие волны. Звуковые
волны.
Вопросы.
Стоячая волна. Вывод уравнения стоячей волны. Амплитуда и фаза стоячей волны.
Сравнение свойств стоячей и бегущей волн. Узлы и пучности. График стоячей волны.
Продольные волны в твердом теле. Вывод дифференциального уравнения. Скорость
продольных и поперечных волн в твердом теле.
Колебания струны. Вывод дифференциального уравнения. Скорость поперечных волн в
струне.
Колебания струны. Вывод общего решения для струны закрепленной с обоих концов.
Собственные частоты.
Звуковые волны в газах. Вывод дифференциального уравнения. Скорость звука.
Громкость звука. Высота тона. Тембр звука.
Уравнение стоячей волны.
Стоячая волна образуется при сложении двух волн, бегущих навстречу друг другу.
Причем амплитуды и частоты волн должны быть одинаковыми.
S1 = ACos(ωt − kx + ϕ 01 )
S 2 = ACos(ωt + kx + ϕ 02 )
S1 + S 2 = A (Cos(ωt − kx + ϕ 01 ) + Cos(ωt + kx + ϕ 02 )) =
ϕ 02 − ϕ 01
ϕ + ϕ 01
)Cos(ωt + 02
)
2
2
S = BCos(kx + ψ 0 )Cos(ωt + ϕ 0 ) - уравнение стоячей волны.
= 2ACos(kx −
S = ACos(ωt − kx + ϕ 0 ) - уравнение плоской волны.
Амплитуда бегущей волны постоянна.
Амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки BCos(kx + ψ 0 ) .
Фаза бегущей волны зависит от времени и координаты (ωt − kx + ϕ 0 ) .
Фаза стоячей волны зависит только от времени (ωt + ϕ 0 ) .
В стоячей волне колебания всех точек происходят в одинаковой фазе.
Получим координаты узлов и пучностей стоячей волны.
ϕ 0 = ψ 0 = 0 ⇒ S = BCoskxCosωt
1) Узлы – это точки, где амплитуда колебаний равна нулю.
Coskx = 0
π
+ πm, m = 0,±1,...
2
2π
λ
k=
⇒ x m = (2m + 1)
λ
4
λ
Рассмотрим x m −1 = (2m − 1) .
4
λ
Δx = x m − x m −1 = - расстояние между соседними узлами.
2
2) Пучности – это точки, где амплитуда колебаний максимальна.
kx m =
Coskx = 1
kx m = πm, m = 0,±1,...
2π
λ
⇒ xm = m
λ
2
λ
x m −1 = (m − 1)
2
λ
Δx = x m − x m −1 = - расстояние между соседними пучностями.
2
3) Рассмотрим расстояние между узлом и пучностью.
λ
λ
λ
x mуу = m +
x mп = m
2
4
2
λ
Δx = x mуу − x mп =
4
График стоячей волны.
k=
Продольные волны в твердом теле.
Получим волновое уравнение продольных волн в твердом стержне и найдем их фазовую
скорость.
Рассмотрим кусок стержня малых размеров. В результате колебаний границы этого куска
сместятся. По второму закону Ньютона:
d 2ξ
ρSdx 2 = F(x + dx ) − F(x )
dt
Силы слева и справа отличаются незначительно, поэтому
dF
F(x + dx ) = F(x ) +
dx + ...
dx
d 2 ξ dF
ρSdx 2 =
dx
dx
dt
По закону Гука
σ = Eε σ =
F
S
ε=
dξ
dx
dξ
dx
d 2ξ
dF
= ES 2
dx
dx
2
d ξ
d 2ξ
ρS 2 = ES 2
dt
dx
2
2
ρd ξ d ξ
=
E dt 2 dx 2
E
υ=
ρ
F = ES
1 d 2ξ d 2ξ
=
υ 2 dt 2 dx 2
Частное решение имеет вид:
ξ( t , x ) = ACos(ωt − kx + ϕ 0 )
ω
ω - любая, k = .
υ
Любое другое решение можно разложить на плоские волны:
∞
ξ( t , x ) = ∫ A (ω)Cos(ωt − kx + ϕ(ω))dω
0
Аналогично получается, что скорость поперечных волн υ =
G
.
ρ
Колебания струны.
Движение – только вверх/вниз.
Если деформация струны мала, то можно считать, что натяжение струны везде одинаково
и направлено по касательной к струне.
По второму закону Ньютона:
d 2ξ
ρSdx 2 = TSinα( x + dx ) − TSinα( x )
dt
При малых деформациях углы α малы и синус можно заменить на тангенс, а тангенс –
это производная от ξ по x.
dξ
Sinα ~ tgα =
dx
dξ( x + dx ) dξ( x ) dξ( x ) d 2 ξ
Sinα(x + dx ) − Sinα(x ) ~ tgα(x + dx ) − tgα(x ) =
~
−
+ 2 dx −
dx
dx
dx
dx
2
dξ ( x ) d ξ
−
= 2 dx
dx
dx
d 2ξ
d 2ξ
dx
=
T
dx 2
dt 2
T
1 d 2ξ d 2ξ
= 2 ,υ =
- скорость волны в струне.
2
2
ρS
υ dt
dx
ρSdx
Рассмотрим решение волнового уравнения для струны, закрепленной с обоих концов.
Будем искать монохроматическое решение (с определенной частотой).
ξ( t , x ) = ξ( x )e iωt
dξ
d 2ξ
= iωξ( x )e iωt
= − ω 2 ξ ( x ) e i ωt
2
dt
dt
2
2
ω
d ξ ( x ) i ωt
− 2 ξ( x )e iωt =
e
υ
dx 2
ω
k=
υ
2
d ξ( x )
+ k 2ξ = 0
2
dx
ξ(x ) = ASin (kx + ϕ)
Постоянные A и ϕ определяются из граничных условий: ξ(0 ) = 0, ξ(l ) = 0 .
0 = ASinϕ Sinϕ = 0 ⇒ ϕ = 0, A ≠ 0
0 = ASinkl k n l = πn , n = 1,2,3...
πn 2π
2l
=
λn =
λn
l
n
Распространяются только волны с определенной частотой. Это значит, что частота
колебаний тоже принимает дискретный набор значений.
ω
πn 2πν n
nυ n T
- частоты, которые могут возбуждаться в
kn = n
=
⇒ νn =
=
υ
l
υ
2l 2l ρS
струне.
Общее решение уравнения колебаний струны:
kn =
∞
ξ( t , x ) = ∑ A n e iωn t Sink n x
n =1
An определяется из начальных условий. ξ(0, x ) = f ( x ) .
∞
f ( x ) = ∑ A n Sink n x
n =1
l
πn
πm
xSin
xdx
l
l
0
Покажем, что интеграл не равен нулю, если m=n.
I mn = ∫ Sin
l
I nm =
−
l
1
1
1
l
⎛ ( n + m) π ⎞
⎛ ( n − m) π ⎞
Cos⎜
x ⎟dx − ∫ Cos⎜
x ⎟dx =
∫
20
l
20
l
2 ( n + m) π
⎝
⎠
⎝
⎠
1
l
2 ( n − m) π
(n −m)π
1
l
∫ Cosydy = 2 (n + m)π Siny
( m+ n ) π
0
0
−
1
l
Siny
2 (n − m)π
(n+m)π
∫ Cosydy −
0
(m−n )π
0
= 0, m ≠ n
m=n
l
l
l
I mn
πn
1
1
2πn
l
= ∫ Sin ( x )dx = ∫ dx − ∫ Cos
xdx =
l
20
20
l
2
0
I nm
⎧0, n ≠ m
⎪
= ⎨l
⎪⎩ 2 , n = m
2
∞
f ( x ) = ∑ A n Sink n x
n =1
l
∫ (f (x )Sink
0
∞
m
l
x )dx = ∑ ∫ (A n Sink n xSink m x )dx = A m
n =1 0
l
2
l
An =
πn
2
(f ( x )Sin
x )dx
∫
l 0
l
l
l
πn
πn iωn t
2 ∞
ξ(t , x ) = ∑ ( ∫ (f ( x ' )Sin
= ∫ G (x , x ')f (x ')dx ' e iωn t
x ' )dx ' )Sin
xe
l n =1 0
l
l
0
πn
πn
2 ∞
Sin
xSin
x'
∑
l n =1
l
l
Нормальные колебания (моды) для струны.
n =1
G (x , x ' ) =
λ 1 = 2l
1 T
2l ρ S
главная мода
n=2
ν1 =
λ2 = l
ν2 =
1 T
l ρS
n=3
2
l
3
2 T
ν3 =
3l ρS
В струне возникают только те колебания, для которых длина струны равна целому числу
полуволн.
nλ
2l
l=
λ = , n = 1,2,3...
2
n
λ3 =
Звуковые волны в газах.
Рассмотрим небольшой объем газа. В результате колебаний объем изменится.
p’ – давление после изменения объема.
По второму закону Ньютона:
d 2ξ
ρSdx 2 = −S(p' ( x + dx ) − p' ( x ))
dt
dp' ( x )
p' ( x + dx ) = p' ( x ) +
dx + ...
dx
Разность давлений считаем малой.
d 2ξ
dp'
dx
ρdx 2 = −
dx
dt
d 2ξ
dp'
ρ 2 =−
dx
dt
Колебания происходят настолько быстро, что теплообменом с окружающей средой
можно пренебречь, процесс сжатия газа считается адиабатным.
Cp i + 2
Уравнение Пуассона: pV γ = Const , γ =
- показатель адиабаты. Cp –
=
Cv
i
теплоемкость при p=Const, Cv – теплоемкость при V=Const, i – число степеней свободы молекул
газа. Для воздуха: i=5, γ=1,4.
p(Sdx ) γ = p' (S(dx + dξ)) γ
dξ
p = p' (1 + ) γ
dx
dξ
<< 1 - изменение объема мало, по сравнению с объемом.
dx
dξ
dξ
(1 + ) γ = 1 + γ
+ ...
dx
dx
p
p' =
dξ
1+ γ
dx
1
≈ 1 − x ( x << 1)
1− x
dξ
p' = p(1 − γ )
dx
p=Const – давление газа.
dp'
d 2ξ
= − γp 2
dx
dx
2
d ξ
d 2ξ
ρ 2 = pγ 2
dt
dx
2
1 d ξ d 2ξ
=
υ 2 dt 2 dx 2
p
υ = γ - скорость звука в газе.
ρ
Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона.
m
m
ρ
pV = RT ρ =
p = RT
M
V
M
γRT
Отсюда: υ =
.
M
Звук это упругие волны с частотой от 20 до 20 тысяч Гц.
rr
ξ = ACos(ωt − k r + ϕ 0 )
Интенсивность звука определяется квадратом амплитуды I~A2.
Высота тона определяется частотой колебаний.
Тембр звука определяется спектром колебаний, т.е. набором частот волн, образующих
данный звук.
Человеческое ухо воспринимает громкость звука по логарифмической шкале.
G2
I
A
= lg 2 = 2 lg 2
G1
I1
A1
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.
Вопросы.
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.
1. Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура l
равна скорости изменения потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную
контуром, со знаком «минус».
r
r r
r
∂ r r
∂B
∫l Ed l = − ∂t ∫S BdS rotE = − ∂t
r
rotE равен скорости изменения индукции магнитного поля со знаком «минус».
Физический смысл: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.
2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна
сумме тока проводимости и тока смещения через поверхность, ограниченную контуром.
r
r
r r
r ∂D r
r r ∂D
∫l Hd l = ∫S ( J + ∂t )dS rotH = J + ∂t
r
rotH равен сумме плотности тока проводимости и плотности тока смещения.
Физический смысл: магнитное поле порождается током проводимости и переменным
электрическим полем.
Плотность
r тока смещения это производная по времени от вектора смещения.
r
∂D
J см =
∂t
3. Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность
всегда равен нулю.
r
∫ BdS = 0
r
divB = 0
S
r
divB равна нулю.
Физический смысл: в природе не существует магнитных зарядов, силовые линии
магнитного поля замкнуты или приходят и уходят в бесконечность.
4. Поток вектора смещения электрического поля через произвольную замкнутую
поверхность равен суммарному заряду внутри объема, ограниченного этой поверхностью.
r r
∫ DdS = ∫ ρdV
S
r
divD = ρ
V
r
divD равна плотности электрического заряда.
Физический смысл: источниками электростатического поля являются электрические
заряды. Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах,
заканчиваются на отрицательных зарядах. Или приходят и уходят в бесконечность.
r
r
r
i
j
k
r
∂A y r ∂A x ∂A z r ∂A y ∂A x r
∂A
∂
∂
∂
=( z −
rotA =
−
)i + (
)j+(
−
)k =
∂x ∂y ∂z
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Ax Ay Az
r
r
r
= rotA x i + rotA y j + rotA z k
r ∂A x ∂A y ∂A z
+
divA =
+
∂x
∂y
∂z
Система дифференциальных уравнений классической электродинамики
1. Уравнения Максвелла.
r
r
∂B
rotE = −
∂t
r
r r ∂D
rotH = J +
∂t
r
divB = 0
r
divD = ρ
2. Уравнения связи.
r
r
D = εε 0 E
r
r
B = μμ 0 H
3. Граничные условия.
E τ1 = E τ 2
- электрическое поле.
D n 2 − D n1 = σ
H τ 2 − H τ1 = J пов
- магнитное поле.
B n1 = B n 2
4. Уравнение непрерывности.
r
∂ρ
+ divJ = 0 - ток возникает, если заряды движутся.
∂t
5. Закон Ома в дифференциальной форме.
r
r
J = gE
6.
уравнения.
r Микроскопические
r
J = qnυ
r
r
r r
F = qE + q υ × B
7. Начальные условия.
Значения физических величин при t=0.
[
]
Волновое
уравнение
электромагнитного
поля.
электромагнитная волна. Скорость электромагнитных волн.
Плоская
Вопросы.
Электромагнитные волны. Вывод дифференциального уравнения. Скорость
электромагнитной волны. Показатель преломления. Уравнения для напряженности
электрического поля и индукции (напряженности) магнитного поля. Соотношения между
скоростью, напряженностью электрического поля и индукцией (напряженностью) магнитного
поля.
Электромагнитные волны.
Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
r
⎧ r
∂B
⎪rotE = −
∂t
⎪
r
r
r
r r
r
⎪⎪rotH = J + ∂D r
D = εε 0 E B = μμ 0 H
⎨
∂t
⎪ r
⎪divB = 0
⎪ r
⎪⎩divD = ρ
Предположим, что волна распространяется в среде, где нет свободных зарядов
r
ρ = 0, J = 0 .
r
⎧ r
∂H
⎪rotE = −μμ 0
∂t
⎪
r
⎪⎪ r
∂E
⎨rotH = εε 0
∂t
⎪ r
⎪divH = 0
⎪ r
⎪⎩divE = 0
r
r
r
r
r
∂
rot (rotE) = −μμ 0 (rotH) = grad(divE) − ∇ 2 E = −∇ 2 E
∂t
2
2
∂
∂
∂2
∇ 2 = 2 + 2 + 2 - набла (Δ = ∇ 2 )
∂x
∂y
∂z
r
r
r
∂
∂ 2D
∂ 2E
(rotH) = 2 = εε o 2
∂t
∂t r
∂t
2
r
∂ E
∇ 2 E = μμ 0 εε 0 2
∂t
1
м
= 3 ⋅ 10 8
c=
c
μ0ε0
n = με - показатель преломления.
c
υ = - скорость света в среде.
n
r
2
r
1
∂
E
∇2E = 2 2
υ ∂t
rr
r r
E = E m Cos(ωt − k r + ϕ 0 )
r
Аналогично можно
получить
для
H.
r
r
1 ∂2H
2
∇ H= 2 2
υ ∂t
rr
r r
H = H m Cos(ωt − k r + ϕ 0 )
rr
r r
r
r
E = E 0 e i ( ωt − kr ) E 0 = E m e iϕ0
rr
r r
r
r
H = H 0 e i ( ωt − kr ) H 0 = H m e iϕ0
r r
Подставим E и H в уравнения Максвелла.
r
⎧ r
∂H
⎪rotE = −μμ 0
∂t
⎪
r
r
⎪⎪rotH = εε ∂E
0
⎨
∂t
⎪ r
⎪divH = 0
⎪ r
⎪⎩divE = 0
r
r
r r
r
− i k × E 0 e i ( ωt − kr ) = −iωμμ 0 H 0 e i ( ωt − kr )
r
r
r r
r
− i k × H 0 e i ( ωt − kr ) = iωεε 0 E 0 e i ( ωt − kr )
r r
r
rotA → −i k × A
r r
r
k × E m = ωμμ 0 H m
r r
r
k × H m = −ωεε 0 E m
rr
r
divA → −ikA
rr
kH m = 0
rr
kE m = 0
[
[
[
[
]
]
]
]
[
]
r
r
Следовательно, электромагнитные волны – поперечные волны. H m ⊥E m - из второго
уравнения.
⎧kE m = ωμμ 0 H m
⎨
⎩kH m = ωεε 0 E m
k=
ω
υ
⎧ω
⎪⎪ υ E m = ωμμ 0 H m
⎨
⎪ ω H = ωεε E
0 m
⎪⎩ υ m
c
υ=
n
⎧n
⎪⎪ c E m = μμ 0 H m
⎨
⎪ n H = εε E
0 m
⎪⎩ c m
1
n = με c =
μ0ε0
Hm =
εε 0
Em
μμ 0
B m = μμ 0 H m =
Em
υ
Em
E m = υB m
υ
Получили однозначную связь между напряженностью электрического поля и индукцией
магнитного поля. υ - фазовая скорость электромагнитной волны в среде.
Bm =