Курс лекций, модуль 4 - Тольяттинский государственный

Тольяттинский государственный университет
Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина С.Н.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
2й семестр
Модуль 4
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Тольятти 2007
Содержание
Глава I. Электрическое поле в вакууме............................................................................................4
§1. Электрический заряд ...............................................................................................................4
§2. Закон Кулона............................................................................................................................5
§3. Распределение зарядов............................................................................................................7
§4. Электростатическое поле. Напряженность электрического поля ......................................9
§5. Поле диполя ...........................................................................................................................13
§6. Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля...........................................................................................................15
§7. Потенциал электростатического поля (ЭСП) .....................................................................17
§8. Напряженность как градиент потенциала. Связь между напряженностью и
потенциалом электростатического поля ...................................................................................18
§9. Эквипотенциальные поверхности........................................................................................19
§10. Теорема Гаусса ....................................................................................................................20
§11. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в
вакууме .........................................................................................................................................22
Пример 11.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости...............................22
Пример 11.2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных
плоскостей ...............................................................................................................................23
Пример 11.3.Поле равномерно заряженной сферической поверхности ...........................23
Пример 11.4. Поле объемно заряженного шара...................................................................24
Пример 11.5. Поле бесконечного круглого цилиндра, заряженного с линейной
плотностью заряда l...............................................................................................................24
§12. Теорема Гаусса в дифференциальной форме ...................................................................26
Пример 12.1. Линии напряжённости ЭСП не могут быть замкнуты.................................28
Пример 12.2. Возможна ли конфигурация ЭСП, для которой E = E (1+ky)? ...................28
Пример 12.3. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных
плоскостей ...............................................................................................................................28
Пример 12.4. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с
общим зарядом Q вне сферы (r>R) .......................................................................................29
Пример 12.5. Поле объёмно заряженного шара радиуса R с общим зарядом вне шара Q
(r>R)..........................................................................................................................................29
Пример 12.6. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R,
заряженного с линейной плотностью заряда l, вне цилиндра (r>R).................................30
Глава II. Проводники в электростатическом поле ........................................................................30
§13. Равновесие зарядов на проводнике....................................................................................30
§14. Проводник во внешнем ЭСП..............................................................................................31
§15. Электроемкость ...................................................................................................................32
§16. Конденсаторы ......................................................................................................................33
16.1. Емкость плоского конденсатора...................................................................................34
16.2. Емкость цилиндрического конденсатора ....................................................................34
16.3. Емкость сферического конденсатора...........................................................................34
16.4. Параллельное соединение конденсаторов...................................................................35
16.5. Последовательное соединение конденсаторов ...........................................................36
2
§17. Энергия уединенного заряженного проводника, конденсатора, энергия
электрического поля....................................................................................................................36
17.1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов....................................................36
17.2. Энергия заряженного уединенного проводника.........................................................37
17.3. Энергия заряженного конденсатора ............................................................................37
Пример 17.1. Cила, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу .....38
17.4. Энергия электрического поля.......................................................................................38
3
Глава I. Электрическое поле в вакууме
§1. Электрический заряд
В основе всего разнообразия явлений природы лежат 4 фундаментальных взаимодействия
между элементарными частицами: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.
Каждый вид взаимодействия связывается с определенной характеристикой частиц: например –
электромагнитное – с электрическим зарядом. Электрический заряд является неотъемлемым
свойством некоторых элементарных частиц. Элементарными частицами будем называть
мельчайшие известные в настоящее время частицы материи. Все тела в природе способны
электризоваться, т.е. приобретать электрический заряд. Электрический заряд частицы основная ее характеристика. Он обладает тремя фундаментальными свойствами:
1) электрический заряд существует в 2-х видах: положительный и отрицательный. Заряды
одного знака отталкиваются, а разных знаков - притягиваются друг другом.
Самая маленькая частица электрического заряда - называется элементарным зарядом.
Заряд всех элементарных частиц (если он не равен нулю) одинаков по абсолютной величине.
Положительный элементарный заряд будем обозначать символом (+е), отрицательный – (-е).
протон обладает элементарным зарядом - (+e)
ì
ï
Элементарные частицы - í
электрон обладает элементарным зарядом - (-е)
ï
нейтрон обладает элементарным зарядом qнейтр = 0.
î
Из протонов, электронов и нейтронов построены атомы и молекулы любого вещества.
Известны также частицы, называемые резонансами, заряд которых равен 2е.
Если тело нейтрально в электрическом смысле, то в нем присутствуют в равных количествах
и равномерно распределены частицы, имеющие заряды разных знаков. Тогда алгебраическая
сумма зарядов в любом элементарном объеме тела равна 0, и каждый такой объем будет
электрически нейтральным. Тело окажется заряженным, если каким-либо образом создать в
теле избыток частиц одного знака (соответственно недостаток частиц другого знака).
2) Всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, и является целым
кратным е.
q = ±N × e
(1.1)
Электрический элементарный заряд очень мал, поэтому можно считать возможную
величину макроскопических зарядов изменяющейся непрерывно.
3) Если физическая величина может принимать только определенные, дискретные
значения, то говорят, что эта величина квантуется. Электрический заряд квантуется.
Величина заряда, измеряемая в различных инерциальных системах отсчета, оказывается
одинаковой. Его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется
он или покоится.
Электрический заряд является релятивистски инвариантным. Электрические заряды
могут исчезать и возникать вновь. Но всегда возникают или исчезают 2 электрических заряда
противоположных знаков. Электрон и позитрон при встрече аннигилируют, т.е. превращаются в
нейтральные гамма-фотоны, при этом исчезают заряды +е и -е. Если гамма-фотон попадает в
поле атомного ядра, то рождается пара частиц – электрон и позитрон, при этом возникают
заряды +е и -е .
Закон сохранения электрического заряда. Он был установлен из обобщения опытных
данных и экспериментально подтвержден в 1843 г. физиком М. Фарадеем.
Электрически изолированной системой будем называть систему, если между ней и
внешними телами нет обмена электрическими зарядами. В такой системе могут возникать
4
новые электрически заряженные частицы, но всегда рождаются частицы, суммарный
электрический заряд которых равен нулю.
Алгебраическая сумма электрических зарядов любой электрически замкнутой системы
остается неизменной, какие бы процессы не происходили внутри этой системы.
N
åq
i
= const
(1.2)
i =1
Если есть электрически изолированная система из двух заряженных тел, то закон
сохранения электрического заряда можно представить в виде:
¢
¢
q1 + q 2 = q1 + q 2
(1.3)
где- q1 и q2 -заряды тел системы до взаимодействия, а q1¢ и q 2¢ - после взаимодействия.
Закон сохранения электрического заряда связан с релятивистской инвариантностью заряда.
Действительно, если бы величина заряда зависела от его скорости, то, приведя в движение
заряды одного какого-то знака, мы изменили бы суммарный заряд изолированной системы.
В нашей стране с 1982 введена система единиц СИ. Обозначается электрический заряд
буквами - q или Q. Единицей измерения электрического заряда в СИ является Кулон, ([q] = 1
Кл), кулон – производная единица измерения.
1 Кулон - это электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при
силе тока 1А за время 1 сек.
Основные единицы измерения в СИ:
[L ]- [м], [m]- [кг], [t]-[сек], [ I ]-[A], [T]- K,
1Кл = 2,998 ·109 СГСЭ единиц заряда; или 1СГСз = 1/3·10 -9 Кл, e = +1,6·10-19 Кл.
СГСЭ система - (см, г, с и СГСЭ единица заряда) называется абсолютной
электростатической системой единиц.
СГСЭ единица заряда это такой заряд, который взаимодействует в вакууме с равным ему и
находящимся на расстоянии 1 см зарядом с силой в 1 дину.
Элементарный заряд равен: e =+1,6·10-19 Кл = 4,80·10-10 СГСЭ - единиц заряда.
В СИ единицей силы служит ньютон (Н), 1Н= 105 дин.
§2. Закон Кулона
Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов (ТЗ) установлен в
1785 г. Ш. Кулоном (ранее этот закон был открыт Г. Кавендишем в 1773 году и оставался
неизвестным почти 100 лет). Взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется
посредством электрического поля (ЭП). Всякий заряд изменяет свойства окружающего его
пространства и создает в нем ЭП. Поле проявляет себя, воздействуя на заряд, помещенный в
какую-либо его точку, силой.
Точечным (ТЗ) называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого
пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он
взаимодействует. Точечный заряд (ТЗ) играет в учении об электричестве такую же важную
роль, как и МТ (материальная точка) в механике. С помощью крутильных весов (рис. 2.1),
сходных с теми, которые были использованы Кавендишем для определения гравитационной
постоянной, Кулон изменил силу взаимодействия двух заряженных шариков, в зависимости от
величины зарядов на них и расстояния между ними. При этом Кулон исходил из того, что при
касании к заряженному металлическому шарику точно такого же незаряженного шарика заряд
распределяется между обоими шариками поровну.
5
Рис.2.1.
Закон Кулона: Сила взаимодействия двух неподвижных ТЗ пропорциональна величине
каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Направление силы совпадает с соединяющей заряды прямой.
v
r
q1 × q 2 × r
(2.1)
F =k×
r3
(2.1) -векторная форма записи силы взаимодействия ТЗ в вакууме.
F21
+q1
r
+q2
F12
Рис. 2.2. Кулоновские силы
Запишем модуль силы взаимодействия одноименных, положительных зарядов q1 и q2:
r
r
1
F12 = F21 = k × q1 × q 2 2
r
r
где F12 - сила, действующая на заряд q1 со стороны заряда q2;
v
F21 - сила, действующая на заряд q2 со стороны заряда q1;
(2.2)
k-коэффициент пропорциональности;
q1,q2 - величины взаимодействующих зарядов;
v
r-расстояние между ними; r - вектор, направленный от q1 к q2.
Формула (2.2) – это запись закон Кулона в скалярной форме при взаимодействии ТЗ в
вакууме. Численная величина коэффициента пропорциональности равна:
k = 1/(4pe0) = 9·109 м/Ф; [ k ] = 1 H·м2/ Kл2 =1 м/Ф ,
e0 = 8,85·10-12 Ф/м - электрическая постоянная.
В системе единиц СИ закон Кулона записывается ещё и так:
v
v
1 q1 × q 2 e
F=
4pe 0 r 3
v
r.
(2.3)
w
Формула (2.3) - векторная форма записи силы взаимодействия ТЗ в вакууме, где e -орт оси
6
Из опыта следует, что сила взаимодействия 2 данных зарядов (точечных) не изменяется,
если вблизи них помещены еще какие-либо N заряды, а результирующая сила, с которой на
некоторый заряд qа действуют все N зарядов qi равна:
v N v
F = å Fai
(2.4)
i =1
v
где Fai - сила, с которой на заряд qa действует заряд qi, в отсутствие остальных (N-1) зарядов.
Соотношение (2.4) называют принципом суперпозиции (наложения) электрических
полей.
Формула (2.4) позволяет, зная закон взаимодействия между точечными зарядами, вычислить
силу взаимодействия между зарядами, сосредоточенными на телах конечных размеров.
Для этого необходимо каждый заряд протяженного тела разбить на столь малые заряды dq,
чтобы их можно было считать точечными, вычислить силу взаимодействия по формуле (2.1)
между зарядами dq, взятыми попарно, а затем произвести векторное сложение этих сил - т.е.
применить метод дифференцирования и интегрирования (ДИ). Во второй части метода
наиболее трудным являются: выбор переменной интегрирования и определение пределов
интегрирования. Для определения пределов интегрирования необходимо детально
проанализировать, от каких переменных зависит дифференциал искомой величины, и какая
переменная является главной, наиболее существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают
в качестве переменной интегрирования. После этого все остальные переменные выражают как
функции от этой переменной. В результате дифференциал искомой величины принимает вид
функции от переменной интегрирования. Затем определяют пределы интегрирования как
крайние (предельные) значения переменной интегрирования. После вычисления определенного
интеграла получают числовое значение искомой величины.
В методе ДИ большое значение имеет положение о границах применимости физических
законов. Содержание физического закона не является абсолютным, а его использование
ограничено рамками условий применимости. Часто физический закон можно распространить
(изменив его форму) и за границы его применимости с помощью метода ДИ.
В основе этого метода (ДИ) лежат два принципа:
1) принцип возможности представления закона в дифференциальной форме;
2) принцип суперпозиции (если величины, входящие в закон, аддитивны).
§3. Распределение зарядов
Для упрощения математических расчетов удобно заменить истинное распределение
точечных зарядов фиктивным непрерывным распределением, игнорируя тот факт, что заряды
имеют дискретную структуру. Удобно считать, что заряды определённым образом «размазаны»
в пространстве. Это позволяет значительно упростить расчёты, не внося в них сколько-нибудь
значительной ошибки. При переходе к непрерывному распределению вводят понятия о
плотностях зарядов: линейной -l, поверхностной-s, и объёмной -r.
Пусть dq - заряд, заключенный соответственно на длине dl, на поверхности dS и в объеме dV,
тогда по определению:
dq
l=
(3.1)
dl
dq
s =
(3.2)
dS
dq
r=
(3.3)
dV
7
Линейной плотностью электрического заряда называется величина l, численно равная
величине электрического заряда, приходящегося на единицу длины заряженной нити (3.1).
Поверхностной плотностью электрического заряда называется величина s, равная величине
электрического заряда, находящегося на единице площади поверхности заряженного тела, на 1
м2 (3.2).
Объемной плотностью электрического заряда называется величина r, численно равная
величине электрического заряда, находящегося в единице объема заряженного тела (3.3).
Зная плотность распределения заряда, его величину можно рассчитать по формулам (3.43.6.):
q = ò ldl
(3.4)
q = ò sdS
(3.5)
q = ò rdV
(3.6)
L
S
V
В СИ единицами измерения плотностей зарядов являются:
линейной - [l]=Кл/м, поверхностной -[s] = Кл/м2, объемной - [r] = Кл/м3.
Рассмотрим пример расчета силы взаимодействия между точечным и протяженным
зарядами.
П р и м е р 3 . 1 . Тонкая бесконечная нить равномерно заряжена с линейной плотностью l.
На расстоянии а от нити, против ее середины, находится точечный заряд q. Вычислить силу,
действующую на этот заряд, со стороны заряженной нити.
Дано: Решение:
а
Т.к. заряд расположен на бесконечно длинной нити (т.е. геометрическими размерами
нити
по сравнению с расстоянием до заряда пренебречь нельзя, заряд нити
q
неточечный). Для расчёта силы взаимодействия между протяжённым и точечным
F=?
зарядами применим метод дифференцирования и интегрирования - метод ДИ.
Метод ДИ.
Сначала разобьем нить на столь малые участки dl так, что каждый участок можно принять за
МТ, а заряд на участке dl - за точечный. Найдем элементарную силу взаимодействия- dFi
каждого такого точечного заряда нити dq с зарядом q. Т.к. dFi -вектор, то представим его в виде
векторной суммы составляющих: dFx , dFy . dFi = dFx + dFy.
Спроецируем силу dF на координатные оси x и y и найдем модуль элементарной силы
кулоновского взаимодействия между зарядами q и dq.
Затем найдем проекции вектора dF на координатные оси - dFx , dFy, а затем, просуммировав
величины всех соответствующих элементарных проекций сил, найдем и величины суммарных
проекций сил, которые соответственно равны: Fx = ò dFx ,Fy = ò dFy.
Т.е. задача сводится к нахождению двух интегралов и необходимо выбрать удобную для
интегрирования переменную.
По закону Кулона: dF = k ½dq½½q½ / r²2 , а k = 1 / 4pe0. Также учтем, что dq = l dl. Сделаем
рисунок. Из рисунка следует: dF = dFx + dFy; dFx = dF sin a; dFy = dF cos a; Восстановим из
середины нити перпендикуляр, и на нем, на расстоянии а от нити, поместим заряд q.
При перемещении точечного заряда dq, находящегося на участке длиной dl вдоль нити (от ее
середины вправо и от ее середины влево), будут изменяться и модуль вектора r и его модуль, а
также и величина угла между перпендикуляром, восстановленным из середи -ны нити и
вектором r. При движении вправо от середины нити до + ∞ угол a отсчитывается от
перпендикуляра, восстановленного из середины нити против часовой стрелки, следовательно,
берется со знаком плюс и изменяется от 0 до a2 = +p/2, а при движении влево до – ∞ угол
8
отсчитывается по часовой стрелке, т.е. берется со знаком минус и изменяется от 0 до a1= - p/2.
Для всех элементов нити dl взятых справа от ее середины все dFxi будут направлены в
отрицательном направлении оси х, а для всех элементов нити dl взятых слева от ее середины
все dFxi будут направлены в положительном направлении оси х, и вследствие симметрии нити
Fx = 0. Осталось найти Fy. В качестве переменной интегрирования удобно выбрать угол a,
тогда: òdFy = òdF cos a; Подставим значение dF в подынтегральное выражение и преобразуем
его к виду, удобному для интегрирования. Для этого рассмотрим два подобных треугольника: r
da/ dl = a/ r Þ dl = r 2da/ a.
y
dF
dFy
dFx
0
X
α
dα
rdα
B
α
A dℓ D
C
Рис. 3.1. Разбиение нити на точечные заряды
Тогда: Fy = ò dF cos a = ò (k l r 2½q½cos a da )/ a r2 = [ k q l/a] ò cos a da.
Проинтегрируем это выражение и подставим пределы интегрирования - нижний - (-p/2) и
верхний - (p/2). После подстановки пределов интегрирования будем иметь:
Fy = 2 kqλ⁄a , F=Fy; F↑↑j.
§4. Электростатическое поле. Напряженность электрического поля
Взаимодействие между покоящимися электрическими разрядами осуществляется
посредством электрического поля (ЭП). Всякий заряд qпроб изменяет определённым образом
свойства пространства - создаёт ЭП. Это поле проявляется в том, что любой "пробный" заряд,
помещённый в какую либо точку ЭП, испытывает на себе действие силы.
r
F
qпр
r
r
r
q
Рис. 4.1
9
Величину силы взаимодействия точечных неподвижных зарядов можно рассчитать при
помощи закона Кулона:
r
r
r
F = k | q || qпроб | 3 ,
(4.1)
r
Но, изменяя величину пробного заряда, помещенного в точку на расстоянии r от заряда q,
создающего поле, будем изменять и величину силы взаимодействия между ними. Силовой
характеристикой электростатического поля, не зависящей от величины пробного заряда,
является вектор напряженности электростатического поля (НЭСП), равный отношению
кулоновской силы к величине пробного, положительного заряда:
r
r
r
F
r
E=
=k|q| 3
(4.2)
| q проб |
r
Поле, созданное неподвижными электрическими зарядами, называется
электростатическим (ЭСП).
Вектор напряженности ЭСП равен силе, действующей на единичный, положительный,
неподвижный, пробный заряд.
r
r
F
E=
(4.3)
| qпроб |
Для qпроб > 0 - Е -- F ( вектор напряженности сонаправлен с вектором силы Кулона).
Для qпроб < 0 - E -¯ F (вектор напряженности противонаправлен с вектором силы Кулона).
Предполагаем, что пробный заряд достаточно мал, чтобы его внесение не приводило к
заметному искажению исследуемого поля.
Вектор Е направлен вдоль радиальной прямой, проходящий через заряд и данную
точку поля от заряда, если q > 0, и к заряду, если q < 0.
Напряжённость поля точечного заряда прямо пропорциональна величине заряда и обратно
пропорциональна квадрату расстояния от заряда до данной точки поля:
r
r
r
r
qr
E =kq 3 =
(4.4)
r
4pe 0 r 3
или
r
E=
r
q er
,
4pe 0 r 2
(4.5)
где er - орт вектора r, проведённого от начала отсчета (центра заряда q, создающего поле, до
интересующей нас точки наблюдения).
q
E=
(4.6)
4pe 0 r 2
- модуль вектора напряженности точечного заряда.
В СИ за единицу напряжённости ЭСП принимается напряжённость в такой точке, в
которой на заряд, равный 1 Кл, действует сила, величина которой равна 1 Н.
[E] = 1H/Kл = 1B/м
В вакууме заряд в 1 Кл создаёт на расстоянии 1м напряжённость Е= 9´10 9 В/м
Если имеется система зарядов, то
r
r
r
Fi
(4.7)
E = å = å Ei .
q
Напряжённость поля системы электрических зарядов равна векторной сумме
напряжённостей полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности.
10
Это утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения ) полей.
Принцип суперпозиции позволяет вычислить НП любой системы зарядов. Если один из
зарядов (или оба) не точечный, то для расчета применяем метод ДИ.
Разбив протяжённые заряды на достаточно малые доли - dq, любую систему зарядов можно
свести к совокупности точечных зарядов, напряженность для которых вычисляется по формулам (4.3), (4.4.), (4.5) или если dq= rdV, то
r
r
rr dV
1
E=
(4.8)
4pe 0 Vò r 3
Модуль Е рассчитывается по формуле (4.9)
E=
1
4pe 0
ò
V
rdV
r2
(4.9)
Электрическое поле можно описать, указав для каждой точки силовую характеристику и её
модуль, т.е. - E и Е.
E
E
Рис. 4.2
Графически ЭСП можно описать с помощью силовых линий (линий напряжённости).
Силовая линия (линия напряженности)- это воображаемая линия, в каждой точке которой
касательная к ней совпадает по направлению с вектором напряженности поля в данной точке. У
линий напряженности (силовых) есть пять свойств:
1) Силовые линии направлены также как и вектор напряжённости Е. Для точечных зарядов
линии Е представляют собой радиальные прямые, направленные от заряда, если он
положительный, и к заряду - если он отрицательный.
2) Густота силовых линий выбирается так, чтобы количество линий напряжённости,
пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную к ним, было бы равным
модулю вектора напряженности ЭСП. По картине линий напряженности можно судить о
направлении и величине
вектора Е в различных точках пространства (рис. 4.2).
3) Силовые линии напряжённости для всех ЭСП могут начинаться или оканчиваться лишь
на зарядах или уходить в бесконечность.
4) Силовые линии не соприкасаются и не пересекаются, т.к. в каждой точке вектор
напряженности имеет только одно определенное направление.
5) Силовые линии не прерываются в области пространства, в которой отсутствуют
электрические заряды, т.е. число линий напряжённости на любом расстоянии от заряда одно и
тоже.
11
Е+
Е-
-
+
Рис. 4.3. Силовые линии точечных зарядов
Вследствие большой наглядности графический способ представления электростатического
поля широко используется в электротехнике.
Рассчитаем поле (Е, Е) на оси тонкого, равномерно заряженного кольца.
П р и м е р 4 . 1 . Положительный заряд q0 равномерно распределен по тонкому кольцу
радиусом а. Найти напряженность электрического поля на оси кольца как функцию расстояния
z от центра кольца.
Дано:
Решение
q0
Сделаем рисунок (4.4).
Z
По условию задачи заряд q0 равномерно распределен по кольцу радиуса а,т.е.
l
= q0/2 pa. Обозначим через r – расстояние от элемента кольца длиной dl, до точки С.
a
Заряд кольца неточечный, следовательно, для расчета применим метод ДИ. Разобьем
E=?
кольцо на столь малые участки длиной dl, так чтобы заряд каждого участка можно
Е=?
было считать точечным, равным dq.
Тогда выделим на кольце около точки А элемент длиной dl. Заряд этого элемента кольца
точечный и равен dq= l dl =q0 dl/2pa. Модуль напряженности поля, создаваемого этим зарядом
в точке С равен: dE = k l dl/ r2, а для проекции dE на оси z и x получаем:
dEz = dE cos a; dEx = dE sin a. Тогда Еz = ò dEz , Ex = ò dEx, но в силу симметрии Ex = 0.
Z
dFcz
r
d FC
α
C
X
dFcx
α
r
dl
O
A
a
B
Рис. 4.4. Расчет поля заряженного кольца
12
Тогда, суммарный вектор Е = Еz и направлен вдоль перпендикуляра, восстановленного из
центра кольца.
При перемещении точечного заряда dq по кольцу расстояние от элемента dl до точки С
остается постоянным и равным r. Также для всех точек кольца (всех элементов dl) одинаковым
будет и угол a между осью z и r. Учтем, что ( из рис. 4.3.) r2 = z2 + a2, а
cos a = z /( a2 + z2)1/2 .
Рассчитаем теперь Ez . Ez = ò dEz = (k lcos a/r2 ) ò dl = k q0 z/ [( a2 + z2)3/2] В/м.
Ответ: Ez = k q0 z/ [( a2 + z2)3/2] В/м.
E -- j (вектор напряженности Е сонаправлен с положительным направлением оси z).
Если z >> a, то эта система ведет себя как точечный заряд: Ez = k q0/ z2 = q0/ 4 pe0 z2 ( В/м).
§5. Поле диполя
Электрический диполь - система 2 равных по модулю разноименных, точечных зарядов
(+q, -q), расстояние между которыми l значительно меньше расстояния до рассматриваемых
точек поля (рис.5.1.).
Осью диполя называется прямая, проходящая через оба заряда.
Q
Q
p
l
Рис. 5.1. Электрический диполь
r
Плечом диполя - l называется вектор, направленный по оси диполя от отрицатель-ного
заряда к положительному, модуль которого равен расстоянию между ними.
r
Электрическим моментом диполя, или дипольным моментом p - называется вектор,
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда½Q½на
r
плечо l :
r
r
(5.1)
p =| Q | l .
Приведем пример расчета напряженности ЭСП с использованием принципа суперпозиции.
П р и м е р 5 . 1 . Рассчитаем напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном
к оси диполя из середины плеча диполя.
Дано
Решение.
L
Сделаем рисунок.
r
+q
-q
E=?
Рис. 5.1. Расчёт напряженности поля диполя
13
Из рисунка видно, что DАВD подобен DEE+E-. Из подобия треугольников следует
пропорциональность сторон:
ЕВ/E+ = l /(r¢2 + l2/4)1/2 Þ ЕВ = E+ [l /(r¢2 + l2/4)1/2].
А модуль вектора напряженности поля созданного положительным зарядом равен:
E+ = Е - = k q /( r¢2 +l2/4).
Если l<< r¢, то E+ =k q/ r¢2; тогда, заменив (½q½l) = p, получим:
ЕВ = k q l/ r¢3 = k p/ r¢3 ;
r
r
Результирующий вектор напряженности в искомой точке В ( E В -¯ p ) противонаправлен с
r
вектором дипольного момента p (электрическим моментом диполя).
r
r
Ответ: ЕВ = k q l/ r¢3 = k p/ r¢3 (В/м); ( E В -¯ p ).
П р и м е р 5 . 2 . Рассчитаем напряженность поля на продолжении оси диполя в точке
А.
Сделаем рисунок, смотри рисунок 5.2.
При OC = l/2, OA = r , то из рисунка (5.2.) видно, что векторы напряженности полей,
созданных в точке А положительным и отрицательным зарядами диполя, противонаправлены
друг другу (Е+ ¯- Е-), а согласно принципу суперпозиции :
ЕА = Е+ +Е-. Проекции этих составляющих результирующей напряженности на ось диполя
имеют разные знаки, т.е.: ЕА = Е+ - Е -.
Модуль Е+ равен: Е+ = k q/(r - l/2)2;
модуль Е - равен: Е -= k q/ (r + l/2)2.
Тогда модуль ЕА = k q/(r - l/2)2 - kq/ (r + l/2)2 .
Если l/2 << r, то ЕА = 2k q l/r3 = 2 k p/r3.
Рис.5.2. Поле на продолжении оси диполя в точке А
Ответ: Модуль вектора напряженности в точке А равен: ЕА = 2k q l/r3 = 2 k p/r3 (В/м);
r
r
r
Направление этого вектора совпадает с направлением вектора E + , т.е. ( E А ↑↓ E +).
Рис. 5.3. Картина силовых и эквипотенциальных линий диполя
14
Видеомодели: 1) Электрическое поле ТЗ; 2) Взаимодействие ТЗ и поле диполя.
Видеозадача 1) Осаждение дыма.
§6. Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора
напряженности электростатического поля
Поле Е обладает двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогло глубже
проникнуть в суть самого понятия поля и сформировать его законы. Эти свойства - теорема
Гаусса и теорема о циркуляции вектора Е - связаны с двумя важнейшими математическими
характеристиками всех векторных полей: циркуляцией и потоком. Пользуясь только этими
двумя понятиями можно описать все законы. Рассмотрим эти свойства.
Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является
консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а определяется только
положением начальной и конечной точек перемещения. Именно таким свойством обладает
электростатическое поле - поле, образованное системой неподвижных точечных зарядов.
1. Рассчитаем работу при перемещении точечного заряда в электростатическом поле.
Пусть электростатическое поле создано зарядом + Q. Будем перемещать другой точечный
заряд q (q – пробный положительный точечный заряд) в электростатическом поле, созданном
зарядом (+Q) из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории (смотри рис. 6.1.). Работу будет
совершать сила FК – кулоновская сила, действующая на заряд q. Работа силы FК на
элементарном перемещении dl равна:
r r
kQq
dA = F dl = F dl cos a = 2 dl cos a
(6.1)
r
Из рисунка 6.1. видно: dl cos a = dr, и тогда формула (6.1.) принимает вид:
r r
kQq
dA = F dl = F (r ) dr = 2 dr
(6.2)
r
F
2
ά
1
dr
+
Q0
r1
dℓ
r
r2
+ Q
Рис.6.1. Работа перемещения точечного заряда в электростатическом поле
Для нахождения работы перемещения заряда q из точки 1 в точку 2 проинтегрируем (6.2) по
переменной r.
15
Работа перенесения заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории
перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек
перемещения, следовательно, электростатическое поле точечного заряда является
потенциальным, а кулоновские силы – консервативными.
æ1 1ö
kQq
dr = k Q qçç - ÷÷ .
(6.3)
2
r
è r1 r2 ø
Покажем, что работа сил ЭС поля по любому замкнутому пути равна 0.
Пусть перемещается положительный единичный заряд q из точки 1 в неё же по замкнутому
пути - 1а2b1- замкнутый контур Г (рис.6.2). Согласно соотношению (6.3) работа будет равна 0,
т.к. r1 = r2. Но, с другой стороны величину этой работы можем записать, используя связь между
r
r
кулоновской силой и вектором напряженности электростатического поля ( F = q E ) в виде:
r r
A1a2b1 = ò dA = q ò E dl .
(6.4)
r
Проекция вектора E на направление перемещения r равна:
r
(6.5)
E r =| E | cos a .
r
Но, модуль вектора напряженности точечного заряда равен kQ/r2=| E |, следовательно
элементарную работу сил электростатического поля можно представить в виде выражения:
dA = q Er dr .
(6.6)
A12 = ò dA = ò
Тогда работа кулоновских сил по замкнутому контуру равна:
r r
A1a2b1 = ò dA = q ò E dl = q ò E r dr = 0
G
G
(6.7)
2
a
b
1
Рис. 6.2
Интеграл
r r
Е
dr
=
Е
r
ò
ò dl - называют циркуляцией вектора Е.
Г
Г
Теорема о циркуляции вектора Е: Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля по произвольному замкнутому контуру тождественно равна
нулю.
Докажем теорему о циркуляции. Разобьём произвольный замкнутый путь на две части а и b.
Тогда работа всех сил на пути 1а2 равна:
r r
A1a2 = q ò E dl ,
(6.8)
1a2
где q - единичный, положительный, точечный заряд.
r r
A2b1 = q ò E dl ,
2b1
Но
16
(6.9)
r r
r r
E
d
l
=
E
ò
ò dl .
(6.10)
r r
E
ò dl = 0 .
(6.11)
1a2
Тогда
2b1
1a2b1
Теорема о циркуляции вектора Е позволяет сделать следующий вывод:
поле, для которого циркуляция вектора напряжённости по произвольному замкнутому
контуру равна нулю, называется потенциальным. Любое ЭСП является потенциальным.
§7. Потенциал электростатического поля (ЭСП)
Электростатическое поле потенциально, кулоновские силы - консервативные силы, а работа
консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии, т.е.
A12 = Wp1 - Wp2 ,
(7.1)
или
dA = -Wp ,
(7.2)
но тогда потенциальная энергия точечного заряда q в поле, созданном зарядом Q, задаётся
формулой (7.3)
Qq
Wp =
+C ,
(7.3)
4pe 0 r
где С - постоянная интегрирования, которая обычно выбирается так, что при удалении заряда q
на бесконечность – Wр = 0, т.е. C = 0.
Будем исследовать ЭСП при помощи пробных зарядов qпр 1, qпр2, qпр 3 –
Wp
Q
Q
=
=k ,
(7.4)
q пр 4pe 0 r
r
(считаем, что при удалении заряда Q на ¥, Wр=0). Для различных пробных зарядов отношение
(7.4) будет одним и тем же.
Введем еще одну характеристику электростатического поля – энергетическую, называемую
потенциалом поля в данной точке:
Wp
Q
j=
=k .
(7.5)
qпр
r
Потенциалом электростатического поля называется энергетическая характеристика поля,
численно равная отношению потенциальной энергии пробного электрического заряда,
помещённого в данную точку поля, к величине заряда.
Потенциал j численно равен потенциальной энергии -Wp, которой обладал бы в данной
точке поля единичный, положительный заряд.
Соотношение (7.5) определяет потенциал поля точечного, положительного заряда Q,
находящегося в вакууме, в точке, на расстоянии r от заряда, создающего поле.
Разностью потенциалов между двумя точками ЭС поля будем называть соотношение:
r r
Aкул
j1 - j 2 =
= ò E dl .
(7.6)
q
Пусть поле создается системой N точечных зарядов ( q1,........qN ), а расстояния от каждого
заряда до данной точки поля -( r1,...........rN ). Найдём работу, совершаемую силами этого поля
17
над пробным зарядом qi , она будет равна алгебраической сумме работ поля над каждым
отдельно взятым зарядом (Аi):
A = å Ai .
(7.7)
Тогда, воспользовавшись соотношениями (7.1) и (7.7) получим:
j = åji ,
(7.8)
если распределение зарядов дискретно.
Потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей,
созданных каждым зарядом в отдельности. В этом заключается принцип суперпозиции
потенциала электростатического поля.
Если заряды распределены непрерывно по всему объёму, то потенциал поля равен:
j = ò dj .
V
(7.9)
Формула (7.8) позволяет рассчитать потенциал поля, созданного системой зарядов, если
распределение зарядов дискретно, а формула (7.9) - если распределение зарядов непрерывно.
Зная распределение зарядов, можем найти потенциал поля любой системы.
Потенциалы полей складываются алгебраически, поэтому вычисление потенциалов обычно
проще, чем вычисление напряженностей ЭП.
В СИ единица измерения потенциала - [ j ] = 1Дж/Кл = 1В
За 1 вольт принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из
бесконечности заряда в 1 кулон, нужно совершить работу в 1 Джоуль.
1Дж=1Кл´1В
Единица работы в 1 эВ (электронвольт) равна работе, совершаемой силами поля над
зарядом равным заряду электрона, при прохождении им разности потенциалов в 1 В.
1 эВ = 1,6´10–19 Кл ´ 1В=1,6´10–19 Дж
Видеомодель: 1) Движение зарядов в электрическом поле; 2) Масс-спектрометр.
§8. Напряженность как градиент потенциала. Связь между
напряженностью и потенциалом электростатического поля
Из выражения (7.6) прошлого параграфа найдем взаимосвязь между напряженностью ЭСП и
потенциалом этого поля:
r r
Aкул
j1 - j 2 =
= ò E dl .
(8.1)
q
Представив это соотношение в дифференциальной форме, получим:
r r
E dl = - dj .
r r
E dl = El dl ; тогда
(8.2)
dj
.
(8.3)
dl
Формула (8.3) показывает, что проекция вектора Е на направление перемещения (El ) равна
взятой со знаком (-) первой частной производной потенциала по данному направлению
(символ частной производной это подчеркивает).
Если же d l-- оси X, то d l = i dx , где dx- приращение координаты, тогда:
r r rr
E dl = E i dx = E x dx .
(8.4)
El = -
18
Но вектор напряженности можно представить виде векторной суммы трех взаимно
перпендикулярных составляющих:
r
r r
r
r
r
r
E = Ex + E y + Ez = Exi + E y j + Ez k ,
(8.5)
а из (8.3) следует, что:
Ex= – ¶j / ¶x ; Еy= – ¶j / ¶y ; Еz= – ¶j / ¶z и тогда:
r
r r
r
r
r
r
æ r ¶j r ¶j r ¶j ö
÷.
E = E x + E y + E z = E x i + E y j + E z k = -çç i
+j
+k
(8.6)
¶y
¶z ÷ø
è ¶x
Для упрощения математической записи формул введем векторный символический оператор
набла - Ñ:
æ r ¶j r ¶j r ¶j ö
÷ = grad j .
+k
+j
Ñj = çç i
(8.7)
¶z ÷ø
¶y
è ¶x
Теперь вектор напряженности ЭСП можем представить так:
r
(8.8)
E = - grad j ,
или
или
Ñj = grad j ,
(8.9)
r
E = -Ñj .
(8.10)
Напряженность поля Е равна взятому со знаком минус (-) градиенту потенциала.
По формулам (8.8 – 8.10) можно восстановить поле Е(r), зная функцию j(r).
§9. Эквипотенциальные поверхности
Поверхность, во всех точках которой потенциал j имеет одно и то же значение, называется
эквипотенциальной.
Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной
поверхности. Из соотношения Е l = - j/l следует, что проекция вектора Е на любое направление,
касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна 0. Т.е. вектор Е
перпендикулярен к данной поверхности.
Куда же направлен вектор Е ? Пусть d l - вектор перемещения направлен по нормали к
поверхности в сторону убывания потенциала , тогда j < 0, а Е l = - j/l >0, т.е. Е l > 0.
Вектор напряженности Е направлен в сторону уменьшения потенциала, или в сторон,
противоположную вектору Ñ j.
Если поле создается точечным положительным зарядом +Q, то j=Q/4pe0 r и
эквипотенциальными поверхностями являются концентрические сферы.
Рис. 9.1. Картина силовых линий (линий напряженности) и эквипотенциальных линий
19
---- – эквипотенциальные поверхности.
– линии напряженности (Е) E-¯grad j.
Эквипотенциальные поверхности условимся проводить так, чтобы разность потенциалов для
х
2 соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда, по густоте эквипотенциальных
поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там где
эти поверхности расположены гуще, модуль вектора напряженности (|E|)больше.
Преимущества потенциала.
1) Зная j(r) можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении
точечного заряда Q из точки1 в точку 2 .
А = Q (j1 - j2 ) , где j1 и j 2 -потенциалы в точках 1 и 2.
2) Во многих случаях оказывается для расчета напряженности поля вектора Е легче сначала
найти j, а затем напряженность поля как градиент потенциала: Е= - grad j . Для вычисления
потенциала j нужно взять один интеграл, а для вычисления Е в случае пространственной
системы координат - три. Но для задач с достаточно хорошей симметрией находить
напряженность поля Е удобно с помощью теоремы Гаусса.
§10. Теорема Гаусса
Вычисление напряженности поля системы неподвижных электрических зарядов с помощью
принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, применяя
выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777 - 1855) теорему, определяющую поток вектора
напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность.
Воспользуемся графической картиной описания электростатического поля (с помощью
силовых линий), пусть густота силовых линий равна модулю Е - E, а поле однородно. Тогда
вектор напряженности поля в каждой его точке имеет лишь одно направление и постоянен по
величине, а линии напряженности параллельны вектору напряженности. Введем понятие
потока вектора напряженности. Будем обозначать эту величину так: ФЕ.
dS
n
En
α
E
Рис. 10.1. Поток вектора напряженности - ФЕ
Потоком вектора Е называют число силовых линий, пронизывающих элементарную
площадку dS, нормаль n которой составляет угол a с вектором Е (En= E cosa ).
r r
dF E = En dS = E dS ,
(10.1)
где
r
r
dS = dS n ,
(10.2)
т.е. dS - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке, а
Еn - проекция вектора Е на нормаль n к площадке d S.
20
Поток сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен:
r r
F E = ò E dS = ò En dS ,
S
S
(10.3)
где интеграл берется по замкнутой поверхности S.
Принято для замкнутых поверхностей нормаль брать наружу области, т.е. выбирать
внешнюю нормаль.
Поток вектора величина алгебраическая, она зависит не только от конфигурации поля Е,
но и от выбора направления нормали. Понятие потока относится к любому векторному
полю. Вычисление напряжённости поля системы электрических зарядов существенно
упрощается с применением электростатической теоремы Гаусса, которую мы в дальнейшем в
разделе «Электростатика» для краткости будем называть просто теоремой Гаусса.
Теорема Гаусса определяет поток вектора напряжённости электростатического поля
через произвольную замкнутую поверхность.
В СИ [ФE] = 1 В´м.
Сначала рассчитаем поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса
r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в её центре, он равен:
kq
q
F E = ò En dS = 2 4p r 2 = .
(10.4)
e0
r
S
Эта формула справедлива для замкнутой поверхности любой формы, если окружить сферу
произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряжённости, пронизывающая
сферу пройдёт и сквозь эту поверхность.
Рис. 10.2. Расчет потока вектора напряженности для сферической поверхности радиуса r
Пусть произвольная замкнутая поверхность охватывает заряд q. Поток считается
положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и, отрицательным, если
линии напряженности входят в поверхность. Нечетное число пересечений при вычислении
потока сводится к одному пересечению. Сформулирует теорему Гаусса для
электростатического поля.
Поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри
этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную e0 .
r r
å qi .
F E = ò E dS = ò En dS =
(10.5)
e0
S
S
Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским
математиком М.В. Остроградским (1801 - 1862), а затем независимо от него применительно к
электростатическому полю - К. Гауссом.
21
Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен 0.
Пусть произвольная поверхность окружает N зарядов, тогда Е = S Еi и поток вектора
напряженности:
r r
r r 1
F E = ò å Ei dS = å ò Ei dS = å qi ,
e0
S
S
(
)
(10.6)
Формула (10.6) описывает поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую
поверхность, охватывающую систему N зарядов, для электростатического поля в вакууме.
В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» - распределены с объемной
плотностью зарядов r, различной в разных местах пространства, тогда теорема Гаусса
принимает вид:
å q = ò r dV ,
(10.7)
r r 1
F E = ò En dS = ò E dS = ò r dV .
e0
S
S
(10.8)
i
и
В то время как само поле Е зависит от конфигурации всех зарядов, то поток вектора Е
сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической сум- мой
зарядов внутри поверхности S. Если передвинуть заряды без пересечения поверхности S, то
поток вектора Е через эту поверхность останется прежним.
§11. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических
полей в вакууме
Пример 11.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
E+
σ+
Рис. 11.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Бесконечная плоскость заряжена с поверхностной плотностью зарядов s=dq/dS. Линии
напряженности перпендикулярны плоскости и направлены в обе стороны от плоскости. В
качестве замкнутой поверхности выберем поверхность цилиндра, основания которого
параллельны бесконечной плоскости, а ось цилиндра ^ плоскости.
Т.к. образующие цилиндра параллельны линиям напряженности( a=0,cosa=1), то поток
вектора напряженности сквозь боковую поверхность равен 0, а полный поток сквозь
цилиндрическую поверхность равен сумме потоков сквозь его основания. Для основания: Еn =
E. Заряд, заключенный внутри построенной замкнутой поверхности, равен: s Sосн. Отсюда
численная величина потока равна:
ФЕ = Е 2 Sосн. . По теореме Гаусса: ФЕ = q/e0 = s Sосн /e0 , тогда:
22
E=
s
q
S осн =
.
2e 0
2e 0
(11.1)
Вывод: НЭСП, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, равна
E=s/2e0, не зависит от длины цилиндра и на любых расстояниях от плоскости одинакова по
модулю. Поле равномерно заряженной плоскости однородно.
Пример 11.2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей
E+
E+
E+
E-
E-
E-
2
1
3
Рис.11.2. Поле двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей
Пусть левая плоскость заряжена e + s, а правая с - s. Суммарное поле найдем как
суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности:
(11.2)
ЕІ =Е III = 0; EII =E+ + E - = s/e0 . E =s/e0.
Результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой
(11.2.), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна 0.
Пример 11.3.Поле равномерно заряженной сферической поверхности
Пусть имеется сферическая поверхность радиуса R равномерно заряженная с поверхностной
плотностью заряда +s . Поле обладает сферической симметрией, линии напряженности
направлены радиально. Выделим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с
заряженной сферой. Тогда, если r ³ R , то 4p r2 E = q/ e0 , Þ E = q/ 4pe0 r2; qсф=s4pR2.
E=
sR 2
.
e 0r 2
(10.7)
E
σ
R
0
E
E
r`
r
E
Рис. 11.3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности
23
Если r¢< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и ЭСП отсутствует (E = 0 )
E
~1/r2
0
r
r=R
Рис. 11.4. График зависимости E = f(r)
Пример 11.4. Поле объемно заряженного шара
Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью зарядов r = dq/dV . Поле
обладает сферической симметрией. В виде замкнутой поверхности возьмем сферу.
Если r ³ R , то 4pr 2E = q/e0.
E = q/4pe0 r2 = q/4pe0 R2
Если же r¢ < R , то сфера радиусом r¢ охватывает заряд q¢ , q¢ = q(r¢/R)3 (т.к. заряды относятся
как объемы, а объемы, как кубы радиусов).
Тогда согласно теореме Гаусса
E r¢ = k
q r ¢3
q r¢
q r¢
=k 3 =
, (r ¢ < R) .
3 2
R r¢
R
4pe 0 R 3
(11.4)
E
Emax
~r
0
ρ>0
~1/r2
r=R
r
Рис. 11.5. График зависимости E = f(r)
Внутри равномерно заряженного шара напряженность растет линейно с расстоянием
r от его центра, а вне убывает обратно пропорционально r2.
Пример 11.5. Поле бесконечного круглого цилиндра, заряженного с линейной плотностью
заряда l
Пусть цилиндр имеет радиус R. Линии напряженности направлены по радиусам круговых
сечений цилиндра с одинаковой густотой. Замкнутую поверхность возьмем в виде цилиндра,
24
радиуса r, высотой h. Поток вектора сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую
поверхность (Sбок = 2 p r h):
ФЕ =Е Sбок=2 p r h Е=lh/e0.
Тогда
lh
l
E=
=
, (r > R) .
2pe 0 r h 2pe 0 r
(11.5)
E
E
h
r
E
R
E
Рис. 11.6. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра
Если l > 0, то E > 0 т.е. вектор Е направлен от цилиндра. Если l < 0, то E < 0 и вектор Е
направлен к заряженному цилиндру. Еcли: r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не
содержит, поэтому в этой области Е = 0.
Внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра
поля нет.
Общие выводы: Результаты, полученные в примерах 1-5 можно было бы найти
непосредственным интегрированием формулы:
1
E=
r r dV .
(11.6)
4pe 0 r 3 Vò
где V – объем, в котором r отлично от 0.
Но применение теоремы Гаусса позволило решить эти задачи более простым путем.
Однако теорема Гаусса применима не всегда. Она эффективна лишь в тех случаях, когда
поле обладает специальной симметрией: плоской, цилиндрической или сферической.
Для применения теоремы Гаусса необходимо:
1) Специальная симметрия поля (плоская, цилиндрическая, сферическая);
2) Чтобы была возможность найти достаточно простую замкнутую поверхность, и
рассчитать ее площадь;
3) Вычисление потока ФЕ свести к простому умножению напряженности на площадь
поверхности.
Если эти условия не выполняются, то задачу о нахождении Е поля нужно решать другими
способами - например методом ДИ - дифференцирования и интегрирования.
Причем, если распределение зарядов дискретно, то:
Е = S Еi = k S qi er/ri2
Если распределение зарядов непрерывно, то
25
§12. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Гаусса выражает замечательное свойство электрического поля, которое позволяет
представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента
исследования и расчета. Найдем дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой
устанавливается связь между объемной плотностью заряда p и изменениями напряженности
(E) в окрестности данной точки пространства.
Пусть имеем заряд q в объеме V, охватываемом замкнутой поверхностью S, представим его
как
qвнут =< r > V ,
(12.1)
где < r> – среднее по объему V значение объемной плотности заряда. Запишем теорему Гаусса:
r r q
F E = ò E dS = .
(12.2)
e0
S
Тогда подставим это выражение в (12.1) и разделим обе части равенства на V. В результате
получим:
1 r r <r>
E dS =
.
(12.3)
V òS
e0
Теперь устремим объем V®0, стягивая его к интересующей нас точке поля. Тогда <r> будет
стремиться к значению r в данной точке поля, а левая часть уравнения будет стремиться к r/e0.
Величину, являющуюся пределом отношения ò Е dS к V при V®0, называют
дивергенцией поля Е и обозначают div E. То есть, по определению:
r
æ 1 r rö
div E = limçç ò E dS ÷÷ .
(12.4)
V ®0 V
è S
ø
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения
(12.4) следует, что дивергенция вектора E является скалярной функцией координат.
Чтобы найти дивергенцию Е надо взять бесконечно малый объем V, определить поток
вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого
потока к объему. Полученное выражение для дивергенции поля вектора Е будет зависеть от
выбора системы координат (в разных системах координат оно оказывается разным). Если есть
декартова система координат (x, y, z), то
r ¶E ¶E
¶E
div E = x + y + z .
(12.5)
¶x
¶y
¶z
Итак, мы выяснили, что при V ®0 в выражении (8.3) его правая часть стремится к r/e0, а
левая – к div E. Из (12.4) следует, что дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же
точке уравнением:
r r
div E = ,
(12.6)
e0
оно и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.
В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция
поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда r в той же точке и
больше ни от чего.
Написание многих формул и действия с ними значительно упрощаются, если ввести
векторный дифференциальный оператор Ñ (набла, или оператор Гамильтона), Под этим
вектором подразумевается вектор с компонентами /x, /y, /z. Следовательно, в декартовой
системе координат оператор Ñ имеет вид:
26
r r ¶ r ¶ r ¶
Ñ=i
+j
+k
,
¶z
¶x
¶y
(12.7)
где i, j, k – орты осей x, y, z. Сам по себе вектор Ñ смысла не имеет. Он приобретает смысл
только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически
r
умножается. При умножении вектора набла на скаляр φ получим вектор – Ñj . Если умножим
вектор Ñ скалярно на вектор Е, то получим скаляр:
r r æ r ¶ r ¶ r ¶ ö r ¶E x ¶E y ¶E z
r
= div E ,
+
+
+ k ÷÷ E =
+j
Ñ E = çç i
(12.8)
¶z
¶x
¶y
¶z ø
¶y
è ¶x
а это и есть по определению не что иное, как div E или Ñ Е. То есть дивергенция поля E
скаляр и может быть записана как div E или ÑЕ (в обоих случаях читается как – «дивергенция
вектора Е»).
r
Если умножить вектор Ñ векторно на a , то получится вектор с компонентами:
r r
¶a ¶a
Ñ, a = Ñ y a z - Ñ z a y = z - y ,
¶y
¶z
r
которые совпадают с компонентами rot a . Таким образом, существует два способа обозначений
градиента, дивергенции и ротора:
r
Ñj º gradj ;
rr
r
Ña º div a ;
r r
r
Ñ, a º rot a .
[ ]
[ ]
Обозначения с помощью оператора Ñ обладают рядом преимуществ, поэтому мы в
дальнейшем и будем применять их. Например,
r r
rr
div grad j = Ñ Ñj = ÑÑ j = Dj ,
( ) ( )
где Δ –оператор Лапласа;
[
] [
]
r r
r r
rot grad j = Ñ, Ñj = Ñ, Ñ j = 0 ,
(векторное произведение вектора самого на себя равно нулю);
r r r r
div rot a = Ñ Ñ, a = 0 ,
[ ]
(смешанное произведение векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на
перемножаемых векторах как на сторонах, если два из этих векторов совпадают, объём
параллелепипеда равен нулю).
Теорема Гаусса теперь может быть записана в виде:
r r r
ÑE = ,
e0
(12.9)
(12.10)
(12.11)
(12.12)
еще одна форма записи в дифференциальной форме теоремы Гаусса для электростатического
поля в вакууме.
Дифференциальная форма записи электростатической теоремы Гаусса – это одно из
замечательных свойств электрического поля. Т.е. в разных точках поля точечного заряда поле E
отличается друг от друга, это же относится, вообще говоря, и к пространственным
производным: Ex/x, Ey/y, Ez/z . Однако, по утверждению теоремы Гаусса, сумма этих
производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого
заряда) равной нулю. В тех точках поля, где div E>0 (дивергенция Е положительна), мы имеем
источники поля (положительные заряды), а там где она отрицательна – стоки (отрицательные
заряды).
Линии вектора Е выходят из источников поля, а заканчиваются в местах стоков.
Теорема Остроградского-Гаусса:
27
r r
r
r
a
ò × dS = ò Ña × dV – это соотношение справедливо для любых векторных полей, a –
S
V
векторная величина, характеризующая произвольное векторное поле.
r r
r r
a
×
d
l
=
Ñ
a
ò
ò × dS – теорема Стокса:
Г
S
r
r
Циркуляция вектора a по произвольному замкнутому контуру Г равна потоку вектора rot a
через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.
r
Она позволяет найти циркуляцию вектора a по контуру Г, ограничивающему поверхность S
r
(контур может быть не плоским), если известен ротор вектора a в каждой точке некоторой (не
обязательно плоской) поверхности S.
Рассмотрим несколько интересных на наш взгляд примеров расчета напряженности или
разности потенциалов для электростатического поля.
Пример 12.1. Линии напряжённости ЭСП не могут быть замкнуты
r r
Предположим, что линии вектора Е замкнуты. Тогда ò Е rdr = ò Е dl =0 , а это невозможно,
Г
Г
следовательно в ЭСП замкнутых линий вектора Е не существует. Линии вектора Е начинаются
на (+Q) и кончаются на (–Q) или уходят в бесконечность.
Пример 12.2. Возможна ли конфигурация ЭСП, для которой E = E (1+ky)?
Рис. 12.1
Предположим, что такое поле существует, тогда выберем замкнутый контур 1234 и
применим к нему теорему о циркуляции.
Но на участках 12 и 34 Е ^ dl, и циркуляция вектора напряженности на этих участках равна
0. А циркуляции на участках 2-3 и 4-1 противоположны по знаку и не одинаковы по модулю:
r r
r r
E
d
l
>
E
ò
ò dl , а это противоречит теореме о циркуляции, следовательно, поля такой
2 -3
3- 4
конфигурации не существует.
Ответ: Поля такой конфигурации не существует.
Пример 12.3. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей
Напряженность поля двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей
определяется формулой: Е= s/e0, где s - поверхностная плотность заряда. Если между
плоскостями расстояние равно: х2-х1 =d, то разность потенциалов между плоскостями равна:
s ( x1 - x2 )
j1 - j 2 = ò E x dx =
,
(12.13)
2e 0
28
или
j1 - j 2 = ò E x dx = ò
s dx s d
=
.
e0
2e 0
(12.14)
Пример 12.4. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим
зарядом Q вне сферы (r>R)
Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим
зарядом Q вне сферы (r>R) вычисляется по формуле: Е = kQ/r2.
j
~1/r
0
r=R
r
Рис. 12.2. График зависимости j=¦(r)
Тогда, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от
центра сферы (r1>R, r2 >R, r2 > r1), равна:
j1 - j 2 = ò E dx = ò
æ1 1ö
k Q dr
= k Qçç - ÷÷ .
2
r
è r1 r2 ø
(12.15)
Если принять r1=r, и r2=¥, то потенциал поля вне сферической поверхности согласно
формуле (12.15), определяется выражением:
kQ
j=
.
(12.16)
r
Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен:
Q
Q
j =k =
.
(12.17)
R 4p e 0 R
Пример 12.5. Поле объёмно заряженного шара радиуса R с общим зарядом вне шара Q
(r>R)
Напряженность поля объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом вне шара Q
(r>R) вычисляется по формуле:
Q
E=k 2 ,
(12.18)
r
r ³ R<, поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1и r2
от центра шара (r1 > R, r2 >R, r2 > r1), определяется формулой (12.15). В любой точке, лежащей
внутри шара на расстоянии r¢ от центра шара (r¢ > R), напряженность определяется
соотношением: Е = kQ r¢/R3. Следовательно, разность потенциалов между двумя точками,
лежащими на расстояниях r1¢ и r2¢ от центра шара (r1¢ < R, r2¢< R, r2¢ > r1¢), равна:
29
j1 - j 2 = ò E dr =
(
)
k Q r '22 - r '12
.
2R 3
(12.19)
Пример 12.6. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R,
заряженного с линейной плотностью заряда l, вне цилиндра (r>R)
Напряженность поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R,
заряженного с линейной плотностью заряда l, вне цилиндра определяется формулой: E= l/2p e0
r, тогда разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси
заряженного цилиндра ( r1 > R, r2 > R, r2 > r1), равна:
j1 - j 2 = ò E dr =
ær ö
l
l
dr
=
lnçç 2 ÷÷ .
ò
2pe 0 r 2pe 0 è r1 ø
(12.20)
Глава II. Проводники в электростатическом поле
§13. Равновесие зарядов на проводнике
Если поместить проводник в ЭСП, то на заряд проводника оно (ЭСП) будет действовать.
Носители зарядов в проводнике будут перемещаться под действием поля, это перемещение
будет происходить до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, т.е.
будут выполнены 2 условия:
1) Напряженность результирующего поля всюду внутри проводника должна быть равна 0:
r
(13.1)
E = 0,
т.е. j = const. потенциал внутри проводника должен быть постоянным.
2) Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена
по нормали к поверхности.
r
r
(13.2)
E = En .
Т.е. в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.
Если проводящему телу сообщен некоторый заряд, то он распределится так, чтобы
соблюдались условия равновесия. Т.е. при равновесии ни в каком месте внутри проводника
не может быть избыточных зарядов, все они распределяются по поверхности проводника
с некоторой плотностью s. Т.к. при равновесии внутри проводника избыточных зарядов нет,
то удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не
отразится на равновесном расположении зарядов.
Линии
напряженности
Эквипотенциальные
поверхности
30
Избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, по его
наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды
располагаться не могут.
Пусть поле создается заряженным проводником. Вблизи выступов эквипотенциальные
поверхности расположены гуще, т.е. плотность зарядов на выступах особенно велика, заряды
вследствие взаимного отталкивания стараются расположиться возможно дальше друг от друга.
А вблизи - углублений заряды расположены реже. Поэтому вблизи острия напряженность поля
может быть настолько большой, что возникает поляризация молекул газа, окружающего
проводник - возникает электрический ветер. Заряд проводника уменьшается, он как бы
стекает с острия и уносится электрическим ветром. Это явление называют истечением
заряда с острия.
§14. Проводник во внешнем ЭСП
Если во внешнее ЭСП внести нейтральный проводник, то свободные заряды (рис.14.1 –
ионы, + электроны) начнут перемещаться: +q – по полю, –q – против поля.
Т.е. у разных концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые
индуцированными зарядами. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряжённость
внутри проводника не станет равной 0, а линии напряжённости вне проводника –
перпендикулярными его поверхности.
Рис. 14.1
Рис. 14.2
Пусть внешнее ЭСП имеет направление показанное на рис.14.2:→-линии напряженности
поля после перемещения зарядов. Поле индуцированных зарядов направлено противоположно
внешнему полю и приводит к ослаблению поля в проводнике. Перераспределение носителей
r
r r
заряда происходит до тех пор, пока не станет: E =0, и E = E n Индуцированные заряды
распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется
31
r
полость, то при равновесном распределении зарядов внутри нее ( E =0) напряженность поля
равна 0.
На этом основывается электростатическая защита. Чтобы защитить какой-то прибор от
воздействия внешних электростатических полей, его окружают проводящим экраном. Внешнее
поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными
зарядами. Экран можно сделать в виде густой металлической сетки, которая является
эффективной при наличии не только постоянных, но и переменных электрических полей.
Свойство зарядов располагаться на внешней поверхности проводника используется для
устройства электростатических генераторов, предназначенных для накопления больших
зарядов и достижения разности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатический
генератор, изобретенный американским физиком Р. Ван-де-Граафом (1901–1967), состоит из
шарообразного полого проводника 1 (рис. 14.3), укрепленного на изоляторах 2. Движущаяся
замкнутая лента 3 из прорезиненной ткани заряжается от источника напряжения с помощью
системы остриев 4, соединенных с одним из полюсов источника, второй полюс источника
заземлен. Заземленная пластина 5 усиливает стекание зарядов с остриев на ленту. Другая
система остриев снимает заряды с ленты и передает их полому шару, и они переходят на его
внешнюю поверхность. Таким образом, сфере передается постепенно большой заряд и удается
достичь разности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатические генераторы
применяются в высоковольтных ускорителях заряженных частиц, а также в слаботочной
высоковольтной технике.
§15. Электроемкость
Уединенным проводником будем называть проводник, удаленный от других проводников,
тел и зарядов. Его потенциал прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что
разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные потенциалы. Для
уединенного проводника можно записать:
Q = Cj ,
(15.1)
где С – коэффициент пропорциональности.
Величину С=Q/ j , (15.1) называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного
проводника.
Емкость уединенного проводника зависит от его размеров, форм, но не зависит от
материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника.
В СИ: единица электроемкости – фарад: [ С ] = 1 Фарад =1Кл / В;
Фарад – это емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на
1 В, при сообщении ему заряда в 1 Кл.
Но мы знаем потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в вакууме:
Q
j =k ,
(15.2)
R
тогда емкость шара равна:
C шара = 4pe 0 R ,
(15.3)
Отсюда следует, что емкостью в 1 Фарад обладал бы уединенный шар радиусом R @ 9´106
км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (R @ 1400 R З).
Электроемкость Земли С3емли = 0,7мФ. Фарад - очень большая величина, поэтому на
практике используются дольные единицы:
1 миллифарад = 1 мФ =10-3 Ф;
1 микрофарад = 1 мкФ =10-6 Ф;
32
1 пикофарад = 1 пФ =10-12 Ф.
1 нанофарад = 1 нФ =10-9 Ф;
Из формулы (15.3) вытекает, что единица измерения электрической постоянной e0 фарад/метр; [e0]=Ф/м.
§16. Конденсаторы
Емкость уединенных проводников мала. Система проводников обладают значительно
большей емкостью. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью
накапливать значительный по величине заряд.
Конденсаторами называются устройства, обладающие способностью при малых размерах и
небольших, относительно окружающих тел потенциалах, накапливать значительные по
величине заряды.
Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают
индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими
к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно,
ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т.е. понижают потенциал проводника, что приводит к
повышению его электроемкости.
Простейший конденсатор состоит из 2-х проводников (обкладок), разделенных между собой
диэлектриком.
Для исключения влияния на емкость конденсатора окружающих тел, проводникам придают
такую форму, чтобы поле, было сосредоточено в узком зазоре между пластинами конденсатора.
Такому условию отвечают: 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две
концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на:
плоские, сферические, цилиндрические; от рода диэлектрика: с твердым диэлектриком,
жидким, газообразным; от емкости: с постоянной и переменой емкостью.
Под емкостью конденсатора понимается физическая величина равная отношению заряда Q
накопленного на обкладке конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:
Q
C=
,
(16.1)
j1 - j 2
Поскольку поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются
на одной обкладке и кончаются на другой. Свободные заряды, возникающие на разных
обкладках, равны по модулю, но противоположны по знаку.
φ1
φ2
Рис. 16.1
33
Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных
металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и
имеющих заряды +Q и -Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их
линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками
можно считать однородным (d<< l ).
16.1. Емкость плоского конденсатора
Рассчитаем ёмкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных
металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и
имеющего заряды +Q и –Q. Считаем, что расстояние между обкладками мало по сравнению с
их линейными размерами, т.е. краевыми эффектами можно пренебречь и поле между
обкладками считать однородным. Если между обкладками конденсатора находится диэлектрик
с диэлектрической проницаемостью ε, то разность потенциалов между обкладками равна: φ1φ2= σd/ ε ε 0. Q=σS – заряд на одной из обкладок конденсатора.
По определению электроёмкости получим:
ee S
Q
Q
=
= 0 .
C=
j1 - j 2 s d
d
(16.2)
ee 0
Формула (16.2) определяет ёмкость плоского конденсатора.
В общем случае S - площадь перекрывания пластин.
Видеомодель: Поле плоского конденсатора – ОФ версия 1.0.
16.2. Емкость цилиндрического конденсатора
Емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна e диэлектрика,
заполняющего пространство между обкладками.
Цилиндрический конденсатор состоит из 2-х полых коаксиальных цилиндров с радиусами r1
и r2 (r2 > r1), вставленных один в другой. Пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле
радиально - симметричным обкладкам.
j1 - j 2 =
ær ö
ær ö
l
q
lnçç 2 ÷÷ =
lnçç 2 ÷÷ ,
2pee 0 è r1 ø 2pee 0 l è r1 ø
2pe 0
q
C=
=
.
j1 - j 2
æ r2 ö
lnçç ÷÷
è r1 ø
(16.3)
(16.4)
Формула (16.4) определяет ёмкость цилиндрического конденсатора.
Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением.
Пробивное напряжение - это разность, потенциалов между обкладками конденсатора
при которой происходит пробой диэлектрика. Пробой – это электрический разряд через
слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависти т формы обкладок, свойств
диэлектрика и его толщины.
16.3. Емкость сферического конденсатора
Поле считаем радиально-симметричным, пренебрегаем краевыми эффектами.
Сферический конденсатор (рис. 16.2) состоит из 2-х концентрических шаровых обкладок,
разделенных сферическим слоем диэлектрика. Для расчёта ёмкости сферического
конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделённых сферическим слоем
диэлектрика, используем формулу (из §12 – 12.15):
34
j1 - j 2 = ò E dx = ò
æ 1
k Q dr
1 ö
= k Qçç - ÷÷ .
2
r
è R1 R2 ø
(16.5)
По определению емкости:
C сф =
4pee 0 R1 R2
Q
=
.
R2 - R1
æ 1
1 ö
k Qçç - ÷÷
è R1 R2 ø
(16.6)
Если R2 -R1=d, a R2 -R1 << R1, то R1 @ R2 @ R и тогда
C сф =
4pee 0 R 2
.
d
(16.7)
Но площадь сферической оболочки равна:
S сф = 4p R 2 ;
Подставив её в (16.1), получаем формулу:
C=
ee 0 S 4pee 0 R 2
.
=
d
R2 - R1
(16.8)
Т.е. при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы, выражения для ёмкости
сферического и плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для
цилиндрического конденсатора при малом зазоре между цилиндрами, по сравнению с их
радиусами.
Рис. 16.2
Для увеличения ёмкости и варьирования её возможных значений конденсаторы объединяют
в батареи, при этом используют их параллельное и последовательное соединения.
16.4. Параллельное соединение конденсаторов
Рис.16.3
При параллельном соединении конденсаторов в батарею разность потенциалов на обкладках
каждого из конденсаторов одинакова и равна: Δφ = φА- φВ. А ёмкости отдельных конденсаторов
С1, С2, С3. Тогда заряды на их обкладках равны
Q1= С1 (φА- φВ), Q2= С2 (φА- φВ), Q3 = С3 (φА- φВ);
35
Заряд батареи конденсаторов будет равен:
N
Q = å Qi =
i =1
N
å Ci ( φА- φВ).
i =1
Емкость батареи при параллельном соединении конденсаторов равна:
C парал
N
Q
=
= å Ci .
j A - j B i =1
(16.9)
Т.е. при параллельном соединении конденсаторов емкость батареи равна сумме ёмкостей
отдельных конденсаторов батареи.
16.5. Последовательное соединение конденсаторов
j
φ1
φ 2 φ3
φN
Рис.16.4
У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а
разность потенциалов на зажимах батареи равна:
D j=D j1 + D j2 + ....+ D jn
N
Тогда для любого рассматриваемого конденсатора Δφi= q/ Ci, но Δφ = Q/C= Q
i =1
1
C посл
1
åC
Þ
i
N
= Q å Ci .
(16.10)
i =1
При последовательном соединении конденсаторов емкость батареи всегда меньше
наименьшей емкости, используемой в батареи.
Для увеличения емкости и варьирования ее значений конденсаторы соединяют в батареи,
используя их параллельное и последовательное соединения.
§17. Энергия уединенного заряженного проводника, конденсатора, энергия
электрического поля
17.1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов
Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов
Δq. Пусть есть два неподвижных точечных зарядов: q1 и q2, находящиеся на расстоянии r друг
от друга. Так как электростатические силы консервативны, то система зарядов обладает
потенциальной энергией. Тогда
W p1 = q1j12 ,
(17.1)
а
W p 2 = q 2j 21 ,
а
36
(17.2)
j12 =
q2
q1
; j 21 =
,
4pe 0 r
4pe 0 r
W12 = Wn 2 =
(17.3)
q1q2
,
4pe 0 r
(17.4)
или
(W1 + W2 ) 1
= ( q1j12 + q2j 21 ) .
2
2
Для системы N неподвижных зарядов:
W=
W=
(17.5)
1 N
1
1
qij ik = qi å j ik = qij i ,
å
2 k =1
2
2
(17.6)
где jik - потенциал создаваемый в той точке, где находится заряд qi , всеми зарядами, кроме i-го.
17.2. Энергия заряженного уединенного проводника
Пусть есть уединенный проводник, для которого заряд - q, емкость - C, потенциал - j.
Увеличим заряд этого проводника на величину dq. Для этого заряд dq перенесем из
бесконечности на уединенный проводник, совершив при этом работу:
dA = dqj = Cj dj ,
(17.7)
j
cj 2
A = ò Cj dj =
.
2
0
(17.8)
Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить,
чтобы зарядить проводник.
W=
Cj 2
,
2
(17.9)
или учтя, что
Cj = q ,
(17.10)
получим
qj
,
(17.11)
2
c другой стороны j = q / C тогда W = q 2/2С. Объединим последние три выражения в одно:
W=
W=
qj q 2 Cj 2
=
=
.
2
2C
2
(17.12)
17.3. Энергия заряженного конденсатора
Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q, равен – j 1 , а
потенциал обкладки с зарядом (–q) – j 2 .
Т.к. для конденсатора Dj = U , то из формулы (17.2):
1
1
1
W p = [(+ q)j1 + (- q)j 2 ] = q(j1 - j 2 ) = qU ,
(17.13)
2
2
2
тогда можно записать для энергии заряженного конденсатора следующие три выражения:
qU CU 2 q 2
(17.14)
=
=
.
2
2
2C
С помощью потенциальной энергии можно найти силу взаимного притяжения пластин
конденсатора.
W=
37
Пример 17.1. Cила, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу
Для расчёта применим метод виртуальной работы.
Рис. 17.1
Представим себе, что расстояние между пластинами плоского конденсатора может
меняться. Пусть х – рас стояние между пластинами конденсатора. Начало оси х свяжем с левой
пластиной конденсатора, тогда координата х второй пластины будет определять зазор между
обкладками (d = x), а через dx обозначим величину изменения расстояние между ними
(обкладками конденсатора).
Тогда:
q2
(17.15)
,
2C
ee S
(17.16)
C= 0 .
d
(т.к. конденсатор заряжен до заряда q и отключен от источника). Теперь, подставив (17.16)
в(17.15), получим:
Wp =
Wp =
q2 x
.
2ee 0 S
(17.17)
Электростатическое поле потенциально, значит dA=- dWp и, учитывая, что
dA = Fx dx ,
(17.18)
получаем:
Fx = -
dW p
=-
dx
d æ q2 x ö
q2
çç
÷÷ = .
dx è 2ee 0 S ø
2ee 0 S
(17.19)
Знак минус (–) – показывает, что сила Fх противонаправлена оси х, т.е. является силой
притяжения, это выражение (17.19) согласуется с опытными данными.
17.4. Энергия электрического поля
Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие
электрическое поле в зазоре между обкладками. Для плоского конденсатора энергия
выражается соотношением (17.12):
W=
qU CU 2 q 2
=
=
.
2
2
2C
А ёмкость плоского конденсатора определяется формулой: С =
(17.20)
ee 0 S
, тогда:
d
ee 0 SU 2
(17.21)
,
2
а связь между напряженностью поля в конденсаторе и разностью потенциалов между его
обкладками задается соотношением:
(17.22)
U = Ed ,
1
W p = ee 0 SE 2 d ,
(17.23)
2
Wp =
38
но
Sd = V
(17.24)
- объем конденсатора.
r
r
Тогда учтём связь между D и E ( D = ee 0 E ), и получим:
ee 0 E 2V
(17.25)
Wp =
.
2
Введем понятие объёмной плотности энергии электрического поля – ω:
W
w= .
(17.26)
V
Объемная плотность энергии - это величина равная энергии единицы объема поля.
ee 0 E 2
(17.27)
2
- это выражение справедливо только для изотропного диэлектрика.
Из (17.27) следует, что плотность энергии поля напряженностью Е, созданного в среде с
проницаемостью ε, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля.
w=
q2
– определяет величину энергии поля конденсатора с зарядом q на его
2C
εε 0 Е 2
V энергию
обкладке через заряд и ёмкость конденсатора, а формула – Wp =
2
электрического поля через силовую характеристику поля.
Где же сосредоточена энергия, и что является носителем энергии – заряд или поле?
Однородное поле – поле W=const.
Рассчитаем силу притяжения между обкладками плоского конденсатора другим способом.
s
– напряженность поля, созданного одной пластиной, а q=sS.
Мы знаем, что F=E q. А E =
2e 0
Формула W p =
q
q2
Тогда F =
,и F =
- это выражение не согласуется с опытом, потому что, кроме
2Se 0
2e 0 S
«электрической силы» на обкладки со стороны диэлектрика (имеется виду жидкий или
газообразный диэлектрик) действуют еще механические силы, стремящиеся их раздвинуть.
Из опыта следует: носителем энергии является поле.
В электростатике поле и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. А вот
переменные во времени, электрические поля, могут существовать обособлено, независимо от
возбудивших их зарядов, и могут распространяться в пространстве в виде электромагнитных
волн, способных переносить энергию.
39