ЛЕКЦИЯ 23 Сила Лоренца. Релятивистская форма уравнений

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
ЛЕКЦИЯ 23
Сила Лоренца. Релятивистская форма уравнений движения. Тензор электромагнитного поля. Преобразования Лоренца
для электрического и магнитного поля. Инварианты поля.
Сила Лоренца
Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом и магнитном поле в некоторой инерциальной системе K, называется силой Лоренца и записывается в виде
e
F = eE + [v × H],
c
(1)
где e — заряд частицы, v — её скорость. Это выражение можно также
считать определением электрического и магнитного полей в системе K.
С помощью этой формулы уравнение движения частицы в поле в классической (нерелятивистской) механике можно записать в виде:
dp
e
= eE + [v × H].
dt
c
(2)
Релятивистская форма уравнений движения
Наша задача сейчас — записать это уравнение, как говорят, в ковариантной форме, в которой оно было бы справедливо в любой инерциальной системе отсчета, т. е. представляло бы собой равенство двух
4-векторов. Первое, что надо сделать для перехода в релятивистскую
область, это считать p в этом уравнении пространственной компонентой
4-импульса:
m0 v
p= r
= mv.
(3)
2
v
1− 2
c
Или, что то же самое, считать массу частицы, зависящей от её скорости
обычным образом.
Оказывается, что этого изменения достаточно для того, чтобы это
уравнение описывало и движение частиц со скоростями, близкими к скорости света. Конструкторы современных ускорителей при своих расчетах
опираются именно на это уравнение. На этом можно было бы поставить
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
точку. Но постойте, скажете вы. Ведь величина dp/dt не представляет
собой пространственной компоненты какого-либо 4-вектора. А про правую часть мы вообще ничего не можем сказать, так как не знаем, как
преобразуются поля E и H при переходе к другой инерциальной системе
отсчета.
Поэтому давайте попытаемся все-таки представить это уравнение как
равенство двух 4-векторов. Мы увидим, что эта затея принесет нам много
интересной и полезной информации и позволит сделать важные выводы
о единстве и различии электрического и магнитного полей. Разберемся
для этого сначала с левой частью. Итак, dp/dt нас не устраивает. Исходя
из имеющегося у нас опыта было бы лучше иметь вместо этого dp/ds.
Тогда это будет пространственная
компонента некоторого 4-вектора, поp
2
2
скольку ds = cdt 1 − v /c — это скалярная величина в геометрии Минковского. Таким образом,
dp
=
ds
dp
r
cdt
v2
1− 2
c
= r
1
c 1−
dp
.
v 2 dt
(4)
c2
Величину dp/dt в этом равенстве можно заменить на силу Лоренца. Тогда получим
³
´ e
dp
1
e
e
= r
eE + [v × H] = u0 E + [u × H],
(5)
2
ds
c
c
c
v
c 1− 2
c
где мы ввели в игру 4-скорость



1

u = (u , u) =  r
,

v2
1− 2
c
i
0
r
v
c 1−


.
v2 
(6)
c2
Таким образом, слева в (5) у нас стоит пространственная компонента 4-вектора. Значит, справа тоже. Её можно считать пространственной
компонентой 4-силы f . Интересной особенностью этой величины является то, что она, как следует из выражения (5), — линейна по 4-скорости
частицы ui . А линейная связь между двумя 4-векторами всегда может
быть представлена в виде тензорного равенства
e
f i = F ik uk ,
c
2
(7)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
где коэффициенты пропорциональности представляют собой компоненты 4-тензора II ранга F ik 1 .
Тензор электромагнитного поля
В такой форме эти компоненты 4-тензора зависят только от проекций
электрического и магнитного поля E и H. Давайте найдем эти компоненты! Исходить будем из условия, что ковариантная форма уравнений
движения имеет вид:
dpi
e
= f i = F ik uk
(8)
ds
c
(мы убедились в этом для значений i = 1, 2, 3, соответствующих пространственным компонентам). Так, с одной стороны
¢
dp1
e
e¡ 1 0
= F 1k uk =
F 0 u + F 11 u1 + F 12 u2 + F 13 u3 .
ds
c
c
С другой стороны из уравнения (5)
¢
dp1
e¡ 0
=
u Ex + uy Hz − uz Hy .
ds
c
(9)
(10)
С учетом, что uy ≡ u2 , а uz ≡ u3 и сравнивая уравнения (9) и (10),
получаем
F 10 = Ex ,
F 11 = 0,
F 12 = Hz ,
F 13 = −Hy .
(11)
Аналогичным образом, сравнивая проекции на оси y и z уравнений (5)
и (8), получаем две дополнительных цепочки равенств
F 20 = Ey ,
F 21 = −Hz ,
F 30 = Ez ,
F 31 = Hy ,
F 22 = 0,
F 32 = −Hx ,
F 23 = Hx ,
(12)
F 33 = 0.
(13)
Таким образом, у нас есть выражения для всех компонент тензора F ik ,
за исключением 4-х компонент F 00 , F 01 , F 02 и F 03 .
Найдем эти компоненты, воспользовавшись законом сохранения энергии. Поскольку временная компонента 4-импульса p0 = E/c, то
dp0
=
ds
1
1
r
c2
1−
dE
.
2 dt
v
c2
Для удобства мы выделили из этого тензора множитель e/c.
3
(14)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
С другой стороны,
dE
dE dp
dp
=
·
=v·
= eE · v,
dt
dp dt
dt
(15)
т. е. изменение энергии частицы в единицу времени равно работе силы
в единицу времени. Член с магнитным полем вклада не дает, поскольку
v · [v × H] = 0, т. е. магнитное поле работу над частицей не производит.
Поэтому
dp0
=
ds
1
r
c2
v2
1− 2
c
eE · v =
¢
e
e¡
E·u=
Ex u1 + Ey u2 + Ez u3 .
c
c
(16)
Сравнивая это с (8)
¢
e¡ 0 0
dp0
e
F 0 u + F 01 u1 + F 02 u2 + F 03 u3 ,
= F 0k uk =
ds
c
c
находим недостающие 4 компоненты
F 00 = 0,
F 02 = Ey ,
F 01 = Ex ,
F 03 = Ez .
В итоге тензор F ik можно представить в виде

0 Ex
Ey
Ez
 Ex 0
Hz −Hy
F ik = 
 Ey −Hz
0
Hx
Ez Hy −Hx 0
(17)
(18)


.

(19)
Наиболее употребительна запись этого тензора через контрвариантные компоненты. Поднимая по известному правилу 2-ой индекс, получим


0 −Ex −Ey −Ez
 Ex 0 −Hz Hy 
.
(20)
F ik = 
 Ey Hz
0 −Hx 
Ez −Hy Hx
0
Этот антисимметричный 4-тензор II ранга называется тензором электромагнитного поля. С его помощью уравнение движения можно представить в ковариантном виде
e
dpi
= F ik uk .
ds
c
4
(21)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
Таким образом, мы видим, что требование ковариантности уравнений
движения 2 приводит нас к выводу о том, что электрическое и магнитное поле являются компонентами антисимметричного 4-тензора II ранга
F ik . Можно сказать, что этот результат демонстрирует единство электрического и магнитного полей.
Можно спросить: ну, а какая от этого польза? Польза довольно очевидна. Зная, как преобразуются компоненты 4-тензора при переходе от
одной инерциальной системы отсчета к другой, мы можем вывести отсюда формулы преобразования для электрического и магнитного полей,
связывающие эти величины в разных инерциальных системах отсчета.
Преобразования Лоренца для электрического и магнитного поля
Рассмотрим, как и ранее, две системы отсчета K и K 0 с параллельными
осями координат, причем система K 0 движется со скоростью V в положительном направлении вдоль оси x. В лекции 20 мы вывели формулу
(26) для преобразования компоненты произвольного тензора II ранга A01 .
Воспользовавшись ей, находим закон преобразования компоненты F 01
V 0 11 V 0 00 V 2 0 10
F + F + F + 2F
c
c
c
F 01 =
= F 0 01 ,
(22)
2
V
1− 2
c
т. е. эта компонента не меняется при переходе к другой инерциальной
системе отсчета. При выводе мы приняли во внимание факт антисимметричности тензора F ik , а именно то, что F 0 11 = F 0 00 = 0, и F 0 10 = −F 0 01 .
Теперь заметим, что поскольку координаты x2 и x3 не меняются, то
не меняется и компонента тензора F 23 (она преобразуется так же, как
произведение x2 x3 ). По той же причине компоненты F 12 , F 13 и F 02 , F 03
преобразуются соответственно как x1 и x0 :
0 01
F 23 = F 0 23 ,
F 12
V
F 0 12 + F 0 02
= r c
,
V2
1− 2
c
F 02
V
F 0 02 + F 0 12
= r c
.
V2
1− 2
c
(23)
И аналогично для компонент F 13 и F 03 .
Согласно специальной (и общей) теории относительности все законы природы должны выражаться в ковариантной форме.
2
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
В результате, переписывая это в компонентах тензора F ik (20), получим преобразования Лоренца для электрического и магнитного полей E
и H:
V
V
Ez0 − Hy0
Ey0 + Hz0
, Ez = r c
,
(24)
Ex = Ex0 , Ey = r c
V2
V2
1− 2
1− 2
c
c
V
V
Hy0 − Ez0
Hz0 + Ey0
Hx = Hx0 , Hy = r c , Hz = r c .
(25)
V2
V2
1− 2
1− 2
c
c
Формулы преобразования (24,25) значительно упрощаются для V ¿ c.
С точностью до членов порядка V /c имеем:
Ex = Ex0 ,
Ey = Ey0 +
V 0
H,
c z
Ez = Ez0 −
V 0
H,
c y
V 0
V
Ez , Hz = Hz0 + Ey0 .
c
c
Эти формулы могут быть написаны в векторном виде:
Hx = Hx0 ,
Hy = Hy0 −
(26)
(27)
1
1
E = E0 + [H0 × V], H = H0 − [E0 × V].
(28)
c
c
Формулы обратного преобразования от K 0 к K получаются из (28) перестановкой штриха и изменением знака у V.
Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и большинство
физических величин в теории относительности, — относительны, т. е.
их величина (и направление) различаются в разных системах отсчета. В
частности, электрическое (или магнитное) поле может быть равно нулю в
одной системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе.
Например, если в системе K 0 покоится заряд, то он создает вокруг
себя только электрическое поле E0 (по закону Кулона). Магнитное поле
неподвижного заряда H0 = 0. Тогда, согласно (28) при V ¿ c, электрическое поле этого заряда в системе K: E = E0 , но в дополнении к нему
в системе отсчета K имеется отличное от нуля магнитное поле (закон
Био-Савара-Лапласа):
1
H = [V × E].
(29)
c
Другой пример, это когда в системе отсчета K имеется отличное от
нуля магнитное поле H, а электрическое поле E = 0. Тогда в системе K 0
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
при V ¿ c магнитное поле H0 = H, но в ней еще имеется и отличное от
нуля электрическое поле:
1
E0 = [V × H].
(30)
c
Инварианты поля
Пользуясь преобразованиями Лоренца для полей, легко убедиться непосредственно, что имеются две комбинации (квадратичные по полю), инвариантные к преобразованиям от одной инерциальной системы отсчета
к другой. Эти инварианты имеют вид
H 2 − E 2 = inv,
E · H = inv,
(31)
причем второй инвариант является псевдоскаляром (в нашем обычном
3-х мерном пространстве).
Из инвариантности этих выражений вытекает следующее. Так, если
в какой-нибудь системе отсчета вектора E и H перпендикулярны друг
другу, т. е. E · H = 0, то они будут перпендикулярны и во всякой другой системе отсчета. Если в какой-нибудь системе отсчета абсолютные
значения векторов E и H равны друг другу (E 2 − H 2 = 0), то они будут одинаковы и в любой другой системе. Пример представляет собой
электромагнитная волна в вакууме у которой E = H и электрическое
и магнитное поле взаимно перпендикулярны друг другу. Поэтому она
выглядит одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
Задачи
1. Найти как преобразуется при преобразованиях Лоренца вектор Пойнтинга:
c
S=
[E × H],
4π
характеризующий собой плотность потока энергии электромагнитного поля.
2. Найти как преобразуется при преобразованиях Лоренца плотность
энергии электромагнитного поля:
W =
E2 + H 2
.
8π
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 23
Анекдот
На одной из своих лекций Давид Гильберт сказал:
— Каждый человек имеет некоторый определённый горизонт. Когда он
сужается и становится бесконечно малым, он превращается в точку. Тогда человек говорит: ”Это моя точка зрения”.
8