Уравнение Лагранжа(для экзаменов)

Уравнение Лагранжа(для экзаменов)
Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика/Под ред. А. И. Кириллова.–
М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002.– 384 c. (с. 300.)
Задача 30.1
Цилиндр радиусом R массой m1 катится без проскальзывания
2
по горизонтальной поверхности. На ободе цилиндра закреплена
M
ось колеса радиусом r, катящегося по боковой поверхности груза.
?
~
ϕ
F
Масса бруска m2 . К грузу, скользящему по гладкой поверхности,
приложена
горизонтальная сила F , к колесу — момент M . Соста1
вить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять угол поворота цилиндра ϕ.
30.9
Задача 30.2
R
9
M
?
A
ϕ
C
O
Диск радиусом r массой m1 катится по цилиндрической поверхности радиусом R = 4r. BC = 3r. К диску приложен момент
M . Масса стержня BC — m2 . AB = OC. Составить уравнение
движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня BC ϕ.
2
B
1
30.9
Задача 30.3
F~
?M
1
ϕ
2
Цилиндр радиуса R жестко соединен с однородным стержнем
массой m1 длиной a. Цилиндр вращается вокруг неподвижной
оси и нитью связан с диском массой m2 радиуса r. Составить
уравнение движения системы. За обобщенную координату принять ϕ.
30.9
Задача 30.4
F~
ϕ
?
2
1
Цилиндр массой m1 жестко соединен с невесомым стержнем длиной a, к которому приложена вертикальная сила F . Радиус цилиндра R. Цилиндр вращается вокруг неподвижной оси и нитью
связан с грузом массой m2 . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять ϕ.
30.9
Задача 30.5
2
B
M?
A
1
~
F
ϕ
O
Стержни OB и OA жестко скреплены под углом 90◦ . Бруски
массой m1 и m2 движутся в горизонтальных и вертикальных направляющих. Концы стержней A и B скользят по граням брусков
и приводят их в движение; OA = a, OB = b. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять
ϕ.
30.9
Задача 30.6
R
9
2
A
30.9
ϕ
C
O
1
B
M
Диск радиусом r массой m1 катится по цилиндрической поверхности радиусом R = 4r. BC = 3r. К стержню BC приложен
момент M . Масса стержня AB — m2 . AB = OC. Составить
уравнение движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня BC ϕ.
Задача 30.7
A
F~
1 B
ϕ
- M
O
Два диска шарнирно соединены спарником AB массой m1 . К
диску массой m2 приложен момент M и горизонтальная сила F .
Второй диск считать невесомым; AB||OO0 . Составить уравнение
движения системы. За обобщенную координату принять ϕ.
O0
2
30.9
Задача 30.8
x2
1
M 60◦
~
F
30◦
Цилиндр радиусом R зажат между муфтой, надетой на наклонный стержень, и призмой, скользящей по гладкой горизонтальной поверхности. Масса призмы m1 , муфты — m2 . К цилиндру
приложен момент M , к призме — горизонтальная сила F . Проскальзывание в точках контакта цилиндра отсутствует. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять x.
30.9
Задача 30.9
M
-2
~
F
-
ϕ
1
Цилиндр радиусом R массой m1 катится без проскальзывания
по горизонтальной поверхности. На ободе цилиндра закреплена
ось колеса радиусом r, катящегося по боковой поверхности груза.
Масса бруска m2 . К грузу, скользящему по гладкой поверхности,
приложена горизонтальная сила F , к колесу — момент M . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять угол поворота цилиндра ϕ.
30.9
Задача 30.10
B
M
C
A
2
~
F
1
ϕ
O
Цилиндр радиусом R массой m1 катается по вертикальной поверхности звена AB массой m2 шарнирного параллелограмма и
боковой грани бруска. К бруску приложена сила F , к звену BC
— момент M . AO = BC = a. Составить уравнение движения
системы. За обобщенную координату принять ϕ.
30.9
Задача 30.11
2
ϕ
R
~
F
- W
1
Груз массой m1 движется на невесомых подшипниках по горизонтальной плоскости. По цилиндрической поверхности груза радиусом R = 4r катится диск радиусом r, закрепленный на стержне
длиной 3r. К грузу приложена сила F . Масса стержня m2 . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять угол поворота стержня ϕ.
30.9
Задача 30.12
1
2
M
R
W
30.9
?
B ϕ
A
Оси двух дисков радиусами r соединены стержнем длиной 3r.
Диск A массой m1 катится по горизонтальной поверхности, другой, массой m2 , — по цилиндрической поверхности радиусом
R = 4r. К диску B приложен момент M . Составить уравнение
движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.
Задача 30.13
2
1A
O
M
ϕ
Невесомый кривошип OA = a приводит в движение колесо 1 массой m1 и вертикально движущийся поршень массой m2 . Колесо A
катается без сопротивления и без отрыва по нижней поверхности
поршня. Радиус колеса R. Момент M приложен к колесу. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять ϕ.
30.9
Задача 30.14
2
~
F
M1
ϕ
A
B
1
M2 C ?
α
Два цилиндра катятся по плоскости, наклоненной под углом α.
Точка массой m1 расположена на ободе невесомого цилиндра A
радиусом R. Стержень AB массой m2 лежит на невесомом цилиндре C радиуса R/2. Момент M1 приложен к цилиндру A, момент
M2 — к цилиндру C, горизонтальная сила F — к стержню. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять угол поворота ϕ цилиндра A.
30.9
Задача 30.15
По вертикальной направляющей движется муфта A, шарнирно
соединенная с диском радиусом R. Верхней точкой обода диск касается горизонтальной поверхности, нижней – бруска массой m1
на невесомых подшипниках. Масса муфты m2 . AB = a. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять ϕ.
B
F~-
M
1
ϕ
2
A
30.9
Задача 30.16
F~
ϕ
?
2
M
1
Цилиндр массой m1 жестко соединен с невесомым стержнем длиной a, к которому приложена вертикальная сила F . Радиус цилиндра R. Нить, параллельная основанию, по которому катится
цилиндр, связывает его с диском массой m2 радиуса r. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять ϕ.
30.9
Задача 30.17
M
-2
~
F
ϕ
1
Цилиндр радиусом R массой m1 катится без проскальзывания
по горизонтальной поверхности. На ободе цилиндра закреплена
ось колеса радиусом r, катящегося по боковой поверхности груза.
Масса бруска m2 . К грузу, скользящему по гладкой поверхности,
приложена горизонтальная сила F , к колесу — момент M . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять угол поворота цилиндра ϕ.
30.9
Задача 30.18
2
M
6 ϕ
30.9
1
Оси
цилиндров
соединены
спарником.
Верхний цилиндр катится без проскальзывания по вертикальной плоскости. Нижний цилиндр находится в зацеплении
с верхним и катится по пластинке массой m1 , скользящей
по горизонтальной плоскости. Радиусы цилиндров R. Масса
нижнего цилиндра m2 . К нижнему цилиндру приложен момент
M . Составить уравнение движения системы. За обобщенную
координату принять угол поворота спарника ϕ.
Задача 30.19
~
F
1
B
ϕ
A
2
Ось невесомого диска A, без проскальзывания катящегося по
вертикальной стенке, соединена стержнем AB длиной L c диском
B радиусом R массой m1 . Груз c массой m2 висит на вертикальной нити, навитой на диск A. Горизонтальная сила F приложена
к оси диска B. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.
30.9
Задача 30.20
B
Горизонтально движущийся ползун A массой m1 соединен с вертикально движущимся невесомым ползуном B. Масса однородного стержня AB равна m2 . AB = a. К стержню приложен момент
M . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять ϕ.
2
M
A
1
ϕ
30.9
M
Задача 30.21
1
A
2
B ϕ
R
W
Оси двух дисков радиусами r соединены стержнем длиной 3r.
Диск A массой m1 катится по горизонтальной поверхности, другой, массой m2 , — по цилиндрической поверхности радиусом
R = 4r. К диску A приложен момент M . Составить уравнение
движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.
30.9
Задача 30.22
Цилиндр радиусом R прижимается скошенным прессом (призмой) к пластине, скользящей по гладкой горизонтальной поверхности. Масса пластины m1 , призмы — m2 . К цилиндру приложен
момент M , к пластине — горизонтальная сила F . Проскальзывание в точках контакта цилиндра отсутствует. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять
перемещение пластины x.
2
α
M x
-
1
~
F
30.9
Задача 30.23
Оси
цилиндров
соединены
спарником.
Верхний цилиндр катится без проскальзывания по вертикальной плоскости. Нижний цилиндр находится в зацеплении
с верхним и катится по пластинке массой m1 , скользящей
по горизонтальной плоскости. Радиусы цилиндров R. Масса
верхнего цилиндра m2 . К верхнему цилиндру приложен момент
M . Составить уравнение движения системы. За обобщенную
координату принять угол поворота спарника ϕ.
M
?
2
ϕ
1
30.9
Задача 30.24
~
R
M
?
1
ϕ
A
2
30.9
F
B
Оси цилиндров
одинакового радиуса r соединены стержнем
√
AB = 3r 2 массой m1 . Цилиндры катятся по поверхности радиуса R = 4r. Масса цилиндра A равна m2 . К оси B приложена
горизонтальная сила F , к цилиндру A — момент M . Составить
уравнение движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.
Задача 30.25
1
F~I
B
Невесомый стержень AB длиной a шарнирно соединяет диск
массой m1 , движущийся по горизонтальной поверхности, и вертикальный поршень массой m2 . Сила F приложена к середине
стержня под прямым углом, сила P — к поршню. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять ϕ.
ϕ
A
2
P~ ?
30.9
Задача 30.26
R
M
F~ -
1
A
2
ϕ
B
Оси цилиндров
одинакового радиуса r соединены стержнем
√
AB = 3r 2 массой m1 . Цилиндры катятся по поверхности радиуса R = 4r. Масса цилиндра B равна m2 . К оси B приложена
горизонтальная сила F , к цилиндру A — момент M . Составить
уравнение движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.
30.9
Задача 30.27
Цилиндр радиусом R прижимается скошенным прессом (призмой) к пластине, скользящей по гладкой горизонтальной поверхности. Масса цилиндра m1 , призмы — m2 . К цилиндру приложен
момент M , к пластине — горизонтальная сила F . Проскальзывание в точках контакта цилиндра отсутствует. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять
перемещение пластины x.
2
α
M
x
-
1
~
F
-
30.9
Задача 30.28
F~
?
Диск радиусом r катится по поверхности неподвижного цилиндра радиусом R и находится в зацеплении с бруском массой m2 ,
скользящим по нижней грани пресса, движущегося вертикально.
Оси цилиндров соединены стержнем массой m1 . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять
угол поворота стержня ϕ.
2
M
A
'$
1
O
ϕ
30.9
Задача 30.29
1 A0
M
2
B
O0
A
1
O
Шарнирный параллелограмм состоит из стержней OA, A0 O0 массой m1 каждый и невесомого стержня AA0 . К стержню O0 A0 приложен момент M . Общая масса муфты B и горизонтально движущегося штока равна m2 ; OA = O0 A0 = a. Составить уравнение
движения системы. За обобщенную координату принять ϕ.
ϕ
30.9
Задача 30.30 A
6
F~
1
M
2
O
-~
F
30.9
ϕ
Шарнирный параллелограмм, состоящий из стержней одинаковой
длины a, приводит в движение цилиндр массой m1 , катящийся
без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Стержень OA
имеет массу m2 , остальные стержни считать невесомыми. Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату
принять ϕ.