Сазонов В.К. Методы Энскога-Чепмена и проекционных операторов в теории броуновского движения 1 Введение Предпосылкой для постановки и решения рассматриваемой задачи послужили семинарские занятия, предназначенные для группы статистической физики в восьмом семестре обучения. В качестве практики для освоения методов Энскога - Чепмена и проекционных операторов было предложено сначала получить из уравнения Фоккера - Планка уравнение диффузии, а потом вычислить некоторое количество поправок к нему. Поправки обращались в нуль одна за другой, и поэтому возникло естественное желание доказать их общее отсутствие, что и удалось осуществить. Методом Энскога - Чепмена было получено несколько приближений для функции распределения, разрешающей уравнение Фоккера - Планка, детальный анализ которых дал возможность угадать общий вид решения (соответствующего области применения метода Энскога - Чепмена). Метод проекционных операторов сводит задачу к нахождению минимального корня дисперсионного уравнения c заданной функцией памяти. Вычисление по теории возмущений показало, что таким корнем является, по-видимому, решение уравнения 1 диффузии, т.е. корень, пропорциональный k 2 , а возможные поправки, пропорциональные k 3 и k 4 , обращаются в нуль. Строгое доказательство этого утверждения составило отдельный интерес. Через некоторое время после получения этих результатов встал вопрос об обобщение задачи на случай наличия постоянного внешнего поля. Выяснилось, что переход к такому варианту осуществляется путем добавления в формулы некоторого дополнительного силового члена, поэтому в дальнейшем все будем излагать в данном наиболее общем виде, изредка полагая поле равным нулю. Задачу будем считать одномерной и рассмотрим уравнение Фоккера - Планка, как кинетическое уравнение на плотность распределения броуновских частиц в поле внешней постоянной силы: ∂t ρ + p ∂r ρ + F ∂p ρ − χ∂p ([p + kB T M ∂p ]ρ) = 0 , M (1) где M - масса броуновской частицы, T - температура окружающей среды, p, r - импульс и координата, χ = ζ M, ζ - коэффициент трения. Для того, чтобы можно было пренебречь взаимодействием броуновских частиц, естественно предположить, что расстояния между ними достаточно велики, и что основное воздействие на них оказывают более мелкие частицы термостата (окружающей среды). Предположим, что систему можно описать некоторой функцией распределения ρ0 , конкретный ее вид не имеет значения, т.к. в окончательные результаты она не войдет. Также введем характерное расстояние между броуновскими частицами по 2 формуле r0 =< r >ρ , физический смысл которой становится очевидным, если представить, что начало координат находится в одной из изучаемых частиц. Значения теплового импульса и длины тормозного пути определяются выражениями pT = √ √ kB T 2M kB T и rbr = 2M соответственно. Руководствуясь данными χM соображениями, оценим вклады от различных слагаемых в уравнение (1) ∂r ρ ≈ ρ0 , r0 ∂p ρ ≈ ρ0 ρ0 ρ0 =√ , ∂r2 ρ ≈ . pt 2M kB T 2M kB T (2) Определим операторы Λ̂ = −χM T ∂p2 − χp∂p − χ , ε̂ = p ∂r + F ∂p M (3) и предположим, что вклад от Λ̂, отвечающего за релаксацию по импульсам, много больше чем от ε̂, ответственного за пространственную релаксацию, оценим, при каких значениях параметров задачи данное условие выполнимо p F ρ0 + √ ρ0 | . (4) M r0 2M kB T Предполагая одинаковыми по порядку два слагаемых из вклада |Λ̂ρ| ≈ 3|χρ0 | , |ε̂ρ| ≈ | оператора ε̂ и пренебрегая коэффициентами, получаем условия: p ¿χ M r0 ⇔ rbr ¿1, r0 √ F ¿χ, 2M kB T (5) первое из которых соответствует условию разреженности броуновских частиц, а второе означает малость внешней силы. Для дальнейших вычислений будет удобным перейти к 3 безразмерным величинам. r χM r, =√ rbr 2M kB T p p 2F ξ= =√ , κ= √ . pT 2M kB T χ 2M kB T τ = χt , ν= (6) Операторы Λ̂ и ε̂ преобразуются к виду: 1 Λ̂ = −( ∂ξ2 + ξ∂ξ + 1) , 2 κ ε̂ = α( ∂ξ + ξ∂ν ) , 2 (7) где в определение ε̂ добавлен множитель α = 1, его степень будет являться меткой порядка малости. 2 Применение метода проекционных операторов Перепишем уравнение Фоккера - Планка через обозначения, введенные в предыдущем пункте ∂τ ρ = −(Λ̂ + ε̂)ρ = L̂ρ . (8) По причинам, изложенным во введении, считаем Λ̂ "главным оператором", а ε̂ - "оператором возмущения". Для дальнейших рассуждений является немаловажным то, что известны собственные функции оператора Λ̂ (будем также называть их гармониками или модами) Λ̂ϕk = kϕk , 2 ϕk = Hk (ξ)e−ξ , (9) где Hk (ξ) - k-ый полином Эрмита. Функции ϕk образуют базис в гильбертовом пространстве, определим в нем скалярное произведение 4 так, чтобы Λ̂ был самосопряженным: Z ∞ 1 2 (ϕ(ξ), ψ(ξ)) = √ dξ 0 eξ ϕ(ξ)ψ(ξ) . π −∞ Обозначим концентрацию броуновских частиц через Z n(ν, τ ) = dξρ(ν, ξ, τ ). (10) (11) Введем оператор проецирования на нулевую собственную функцию оператора Λ̂, обозначим его через P̂ 2 Z ∞ e−ξ P̂ ψ(ν, ξ, τ ) ≡ (ϕ0 , ψ)ϕ0 = √ dξ 0 ψ(ν, ξ 0 , τ ) . π −∞ (12) Функцию распределения, разрешающую уравнение (8), представим в виде ρ = ρl + δρ , (13) где ρl - проекция функции распределения на нулевую моду Λ̂ 1 2 ρl = P̂ ρ(ν, ξ, τ ) = (ϕ0 , ρ(ν, ξ, τ ))ϕ0 = √ e−ξ n(ν, τ ) π (14) и δρ - добавка, включающая в себя ϕk ⊥ϕ0 . Начальные условия выберем так, чтобы δρ(τ = 0) = 0, такой выбор подразумевает, что в рассматриваемое время τ = 0 система перешла в квазиравновесное состояние, которое будем считать нулевым приближением. Эту фазу эволюции системы назовем гидродинамической стадией. Продифференцируем по времени соотношение (13) и получим уравнение на δρ ∂τ δρ = L̂δρ + L̂ρl − ∂τ ρl , 5 (15) ∂τ ρl = ∂τ P̂ ρ = P̂ ∂τ ρ = P̂ L̂ρ = P̂ L̂ρl + P̂ L̂δρ . Обозначим через L̂0 ≡ (1 − P̂ )L̂ , ε̂0 ≡ (1 − P̂ )ε̂ , (16) Λ̂0 ≡ (1 − P̂ )Λ̂ редуцированные операторы и перепишем в терминах L̂0 выражение (15) 0 0 ∂τ δρ = L̂0 ρl + L̂0 δρ ⇔ ∂τ [e−L̂ τ δρ(τ )] = e−L̂ τ L̂0 ρl (τ ) ⇔ Z ⇔e −L̂0 τ τ δρ(τ ) = 0 0 dτ 0 e−L̂ τ L̂0 ρl (τ 0 ) . (17) (18) 0 Интегрируя, делая замену τ − τ 0 → −τ1 и используя (11), получим Z 2 0 δρ(τ ) = − dτ1 e −L̂0 τ1 −τ e−ξ (1 − P̂ )(Λ̂ + ε̂) √ n(ν, τ + τ1 ). pi (19) Учитывая, что Λ̂ϕ0 = 0 ∗ ϕ0 = 0, избавляемся от оператора Λ̂ и, т.к. H0 (ξ) = 1, находим: Z 0 1 0 2 δρ(τ ) = − √ dτ1 e−L̂ τ1 (1 − P̂ )ε̂H0 (ξ)e−ξ n(ν, τ + τ1 ). (20) pi −τ Теперь, исходя из (11) и (8), выразим производную по времени от концентрации через δρ Z Z ∞ ∂τ n = −∞ 1 ∂τ n = √ π Z Z τ dτ1 0 ∞ dξLρ(ν, ξ, τ ) = dξ ε̂(ρl + δρ) (21) −∞ ∞ 0 2 dξ ε̂eL̂ τ1 (1 − P̂ )ε̂H0 (ξ)e−ξ n(ν, τ − τ1 ) −∞ Z τ = dτ1 ψ(τ1 )n(ν, τ − τ1 ) (. 22) 0 6 Сделаем преобразование Фурье по переменной ν и преобразование Лапласа по τ , ν → k, ∂ν → ık, τ → z. Выражение (22) перепишется в следующем виде zn(k, z) − n(k, τ = 0) = ψ(z)n(k, z), (23) где Z ∞ 1 1 2 ε̂0 H0 (ξ)e−ξ . ψ(z) = √ dξ ε̂ π −∞ z + Λ̂0 + ε̂0 Воспользуемся тождеством 1 z + Λ̂0 + ε̂0 = 1 Λ̂0 − 1 z + Λ̂0 + ε̂0 (z + ε̂0 ) 1 Λ̂0 (24) (25) и получим, что ∞ X 1 1 = [ (− (z + ε̂0 ))R ] . z + Λ̂0 + ε̂0 Λ̂0 Λ̂0 R=0 1 Соотношение (24) преобразуется в Z ∞ ∞ X 1 1 1 2 dξ ε̂[ (− (z + ε̂0 ))R ] ε̂0 H0 (ξ)e−ξ , ψ(z) = √ π −∞ Λ̂0 Λ̂0 R=0 (26) (27) для того, чтобы его упростить, рассмотрим действия операторов ε̂ и 1 0 ε̂ Λ̂0 на собственные функции Λ̂ ık − κ κ 2 2 2 Hj+1 )e−ξ ε̂(Hj e−ξ ) = α( ∂ξ +ξ∂ν )(Hj e−ξ ) = α(ıkjHj−1 + 2 2 (28) 1 Λ̂0 2 ε̂0 (Hj e−ξ ) = α( ıkjHj−1 (ık − κ)Hj+1 −ξ 2 + )e . j−1 2(j + 1) 7 (29) В последней записи подразумевается отсутствие первого слагаемого в случае действия на собственные функции с первым и нулевым номерами. Можно заметить, что после применения операторов к линейной комбинации полиномов Эрмита, умноженных на 2 e−ξ , выражение останется подобной комбинацией. При интегрировании собственных функций Λ̂ ненулевой результат дает только функция ϕ0 . Поэтому, если предположить, что под действие оператора ε̂ (без штриха) попадает сумма различных гармоник, то после его работы совместно с интегрированием останется коэффициент перед первой гармоникой, умноженный на ık. Руководствуясь данными замечаниями, введем оператор, действующий по следующему правилу: X Q̂( Cj Hj ) = C1 H0 . (30) Перепишем (27), используя Q̂ Z ∞ X α2 ık(ık − κ) ∞ 1 2 √ ψ(z) = dξ Q̂[ (− (z + ε̂0 ))R ]H1 (ξ)e−ξ . 2 π Λ̂0 −∞ R=0 (31) В нулевом приближении ψ(z) = ψ0 = α2 ık(ık−κ) , 2 подставим его в (23) и найдем уравнение на n(k, z) n0 (k, z) = n(k, τ = 0) n(k, τ = 0) = . 2 z − ψ0 z − α ık(ık−κ) 2 (32) Отметим, что это выражение имеет полюс первого порядка при z = z0 = ψ0 , вычет в нем определяет результат обратного преобразования Лапласа, сделав которое поучим уравнение α2 ık(ık − κ) ∂τ n0 (ν, τ ) = n0 (ν, τ ) , 2 8 (33) переходящее при отсутствии внешнего поля (κ = 0) в обычное уравнение диффузии −α2 k 2 ∂τ n0 (ν, τ ) = n0 (ν, τ ) . 2 (34) Покажем, что при дальнейших приближениях значение z и уравнение (33) не изменяются, для этого необходимо доказать тождество: 1 1= √ π Z ∞ X 1 2 dξ Q̂[ (− (z0 + ε̂0 ))R ]H1 (ξ)e−ξ . Λ̂0 −∞ R=0 ∞ Каждый оператор 1 (−z0 Λ̂0 (35) − ε̂0 ) расщепляет одну моду j в три: в ту же, но умноженную на −z0 /j, моду (j − 1), умноженную на αıkj/(j − 1) и моду (j + 1), умноженную на ık−κ 2 /(j + 1). Вследствие того, что при интегрировании по всему пространству ненулевой результат дает только ϕ0 (свойство полиномов Эрмита) и определения оператора Q̂, на каждом этапе интересны только коэффициенты при первых гармониках, поэтому представим весь процесс как "путешествие"от моды с номером один и "возвращение"к ней. Для этого введем обозначения: 9 J - номер собственной функции Каждый путь - набор брусков и наклонных линий, представляет 10 отдельный моном в разложение правой части выражения (35). Будет удобным классифицировать пути по степени α. Переход по "бруску" соответствует умножению монома на α2 , а по наклонной линии - на α. Путешествие от уровня первой собственной функции и обратно возможно, только если по окончании в граф пути будет состоять из одинакового числа синих и красных наклонных линий и какого-то количества "брусков", а, следовательно, мономы с нечетными степенями α можно сразу выкинуть из рассмотрения. Будем складывать все пути с одинаковыми степенями αR и обозначим их через WR . Части графика, помеченные цифрой один и выделенные скобками, дают в соответствующий моном одинаковый вклад, поэтому в дальнейшем такие два случая будем обозначать лишь одним "Л"- образным изображением. Докажем тождество (35) по индукции. Выпишем базу. 11 W0 = 1 W2 = + 0 = + W4 = + + + + + + = 0 Теперь сделаем индукционный переход. W= W = W = W W = Набор диаграм WR отличается от WR+2 добавлением элементов двух типов и состоит из суммы графиков всевозможных комбинаций наклонных линий и "брусков", начинающихся и заканчивающихся 12 на уровне первой собственной функции. Поэтому число способов добавить в WR "брусок" и "Л" одинаковое. Прокомментируем данное утверждение подробнее. Пусть R = 2x + 2y, где x ∈ [0; R/2] - число брусков, а 2y = R − 2x - число "Л". Тогда добавление к сумме таких мономов "бруска" равносильно добавлению "Л" к сумме мономов с R = 2(x + 1) + 2(y − 1). Модули этих элементов равны, а знаки различны и, поскольку они добавляются в качестве множителя в каждое слагаемое, можно сделать вывод, что WR = 0. А это доказывает тождество (35) и отсутствие поправок к уравнению (33). 3 Применение метода Энскога - Чепмена По-прежнему будем рассматривать уравнение Фоккера - Планка в виде ∂τ ρ = −(Λ̂+ ε̂)ρ, ∂ξ2 Λ̂ = +ξ∂ξ +1, 2 κ ε̂ = α(ξ∂ν + ∂ξ ) . (36) 2 Естественным является предположение, что в пределе бесконечного времени должно установиться равновесие, т.е. происходит полная релаксация ρ = Ce−ξ 2 +κν . (37) Будем также интересоваться некоторыми промежуточными состояниями системы. Переход к равновесному распределению по скоростям происходит значительно быстрее, чем аналогичный по координатам. Т.к. оператор ε̂ является относительно "малым", то по нему возможно построение теории возмущения. Разложим 13 ρ по собственным функциям Λ̂. По вышеуказанным соображениям о сравнительных скоростях релаксации можно считать, что в какой-то момент времени максвелловское распределение по скоростям уже установилось, а больцмановское распределение по координатам еще нет, такое распределение соответствует квазиравновесию. Распределению Максвелла соответствует нулевая собственная функция оператора Λ̂, выделим ее особо и представим ρ в таком виде: ρ(ν, ξ, τ ) = n(ν, τ )ϕ0 (ξ) + ∞ X x(s) (ξ, ν|n(ν, τ )) . (38) s=1 Коэффициент n(ν, τ ) имеет смысл распределения по координате. В (38) суммирование ведется по порядку малости (по степени α) или, что тоже самое, по числу применений оператора ε̂. Собственные функции Λ̂ обладают свойством ортогональности, поэтому, в частности, можно выделить направление нулевой функции. Подставим в уравнение (36) ρ в виде (38): [ϕ0 ∂τ n0 + k−1 X x(s) ](k) = −Λx(k) − εxk−1 , (39) s=1 k - метка порядка малости. Рассмотрим проекции на направления коллинеарные и ортогональные ϕ0 , тогда (39) преобразуется к системе из двух уравнений, позволяющих делать итерации по малому оператору ε̂ (по степени α) 14 (k) [∂τ n0 ] = −(εx k−1 , ϕ0 ), k−1 X [ x(s) ](k) = −Λx(k) − [εxk−1 ]⊥ , s=1 (40) [...]⊥ означает операцию проекции на пространство, ортогональное ϕ0 . Приступим к вычислению итераций, учитывая свойства ортогональности полиномов Эрмита и формулу (28), характеризующую действие оператора ε̂ на собственные функции Λ̂. Для удобства также перейдем к Фурье представлению по ν → k. x(0) = nϕ0 = 1 π 1 4 2 H0 (ξ)e−ξ n(k, τ ) , (41) [∂τ n](0) = 0 , [∂τ n](1) = −(εnϕ0 , ϕ0 ) = ∞ 1 α(ık − κ) 2 = −√ dξ( H1 (ξ))e−ξ n0 (k, τ ) = 0 , 2 π −∞ Z x(1) = −[εx(0) ]⊥ = −[εnϕ0 ] = − α(ık − κ) 2π 1 4 (42) 2 H1 (ξ)e−ξ n(k, τ ) , (43) [∂τ n](2) = −(εx(1) , ϕ0 ) = Z α2 (ık − κ) ∞ (ık − κ) 2 √ = dξ(ıkH0 (ξ) + H2 (ξ))e−ξ n(k, τ ) = 2 2 π −∞ α2 (ık − κ)ık √ = n(k, τ ) (, 44) 2 π 15 Λx(2) = −[εx(1) ]⊥ − [∂τ x(1) ] = α2 (ık − κ) (ık − κ) −ξ 2 H (ξ))e n(k, τ ) = (ıkH (ξ) + 2 0 1 2 2π 4 (45) Слагаемое [∂τ x(1) ] было отброшено, т.к. вносит вклад, пропорциональный третьей степени малого параметра x(2) = α2 (ık − κ)2 8π 1 4 2 H2 (ξ)e−ξ n(k, τ ) . [∂τ n](3) = −(εx(2) , ϕ0 ) = 0 (46) (47) Все дальнейшие поправки [∂τ n](j) обращаются в нуль, это можно показать следующим образом. Заметим, что внимательно присмотревшись к x(0) , x(1) , x(2) , можно угадать общий вид функции распределения ρ(k, ξ, τ ) = ∞ X x(s) = Ce−(ξ+ α(ık−κ) 2 ) 2 n(k, τ ) , (48) s=0 где C можно получить из нормировки R∞ R∞ dk −∞ dξρ(k, ξ, τ ) = 1. Если при этом n(k, τ ) удовлетворяет −∞ уравнению (ık − κ)ık n(k, τ ) , (49) 2 которое является следствием выражения (44), ρ(k, ξ, τ ) разрешает ∂τ n(k, τ ) = уравнение Фоккера - Планка (в этом можно убедиться прямой подстановкой), что доказывает отсутствие поправок к уравнению диффузии во внешнем поле (49). 16 4 Заключение В предыдущем пункте в весьма общем виде была получена функция распределения, разрешающая уравнение Фоккера Планка, в случае если система броуновских частиц находится на гидродинамической стадии эволюции. Рассмотрим, какие изменения вносит такая плотность распределения в хорошо известное значение средней кинетической энергии в одномерном пространстве 12 kB T. Вычислим соответствующее среднее значение Z 2 ∞ <ξ >= dξ ξ 2 Ce−(ξ+ α(ık−κ) 2 ) 2 n(k, τ ) = −∞ (κ − ık)2 )n(k, τ ) . (50) 2 Выражение (50) можно переписать в координатном представлении. 1 < ξ 2 > = C(n(ν, τ ) + [∂ν2 n(ν, τ ) − 2κ∂ν n(ν, τ ) + κ 2 n(ν, τ )]) 2 (51) = C(1 + Стационарное решение уравнения (49) n0 (ν) = C2 + C1 eκν , но если потребовать выполнения условия нормировки при интегрировании по всему пространству, то необходимо положить C2 = 0, а тогда для такого координатного распределения формула (51) принимает следующий вид: < ξ 2 > = Cn0 (ν) . (52) Учитывая, что на уровне ν по координате средняя кинетическая энергия < K > = kB T < ξ 2 > = C = 12 . 17 1 2 kB T n0 (ν), находим, что В стационарном случае не наблюдается никаких поправок, поэтому решим полное уравнение диффузии, предполагая, что в начальный момент гидродинамической стадии частицы находятся в весьма малом объеме, такое распределение n(ν, τ = 0) смоделируем δ−функцией Дирака. Пусть N - число частиц, тогда n(ν, τ = 0) = N δ(ν), а n(k, τ = 0) = N . Проинтегрировав уравнение (49) по времени, получим: n(k, τ ) = n(k, τ = 0)e − (k 2 +κık)τ 2 , (53) сделаем обратное Фурье преобразование: Z ∞ n(ν, τ ) = N dke 2 ıkν− (k +κık)τ 2 −∞ − (κτ −2ν) 8τ e = N √ 2πτ 2 . (54) Подставим это выражение в (51) (κτ −2ν)2 1 e− 8τ ν 2 (νκ − 1) κ 2 < K > = N kB T √ (1 + [ 2 + + ]) . (55) 2 τ τ 4 2πτ Как видно из (55), два слагаемых из поправки существенны для малых времен и одно одинаково существенно на протяжение всего процесса. При этом надо учитывать, что для данного примера были выбраны специфические начальные условия, труднореализуемые на практике. Решение уравнения диффузии, а, как следствие, и изучаемой задачи, сильно зависят от граничных и начальных условий. Такие исследования представляют особый интерес, но далеко выходят за пределы рассматриваемой задачи. 18 5 Литература 1. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. "Физическая кинетика" Москва. Издательство "Наука". 1979. 528 с. 2. Куни Ф.М. "Статистическая физика и термодинамика" Москва. Издательство "Наука". 1981. 352 с. 3. Куни Ф.М., Аджемян Л.Ц. "Метод Энскога - Чепмена в теории неравновесных явлений" Санкт-Петербург. Издательство СПбГУ. 1998. 21 с. 4. Владимиров В.С. "Уравнения математической физики" Москва. Издательство "Наука". 1976. 528 с. 19