Определение момента инерции тела из крутильных колебаний

Реклама
Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Кафедра теоретической и экспериментальной физики
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан ЕНМФ
__________Ю.И. Тюрин
________________2002 г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА
ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Методические указания к выполнению лабораторной работы М-08
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Томск-2002
УДК 53.076
Определение момента инерции тела из крутильных колебаний.
Методические указания к выполнению лабораторной работы М-08 по курсу
общей физики для студентов всех специальностей. Томск, Изд. ТПУ С.М.
2002 – 8 с.
Составители: доцент Н.С. Кравченко,
ст. преп. Н.И. Гаврилина
Рецензент: доцент к.ф.-м.н. А.Ф. Горбачев
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим
семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики.
Зав. кафедрой
Ю.Л. Пивоваров
«___»___________2002г.
2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА
ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
При поступательном движении тела, которое можно считать
материальной точкой, мерой инертности является его масса. При
вращательном движении абсолютно твердого тела мерой инерции является
момент инерции.
Моментом инерции материальной точки с массой m , находящейся на
расстоянии r от оси вращения, называется величина, численно равная
произведению массы этой точки на квадрат расстояния от оси вращения т.е.
I  mr
2
Для любого реального тела вращающегося относительно этой оси выразится
в виде суммы моментов инерции всех его материальных точек, на которые
можно разбить тело, т.е.
n
I   m i ri
(1)
i 1
где ri - расстояние i - й материальной точки тела до оси вращения.
В случае непрерывного распределения масс по объему тела эта сумма
сводится к интегралу
2
(2)
I   r dm
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом
случае есть функция положения точки относительно оси вращения с
координатами x , y , z .
Таким образом, момент инерции – мера инертности тела при
вращательном движении, зависящая не только от массы тела, но и того, как
эта масса распределена по объему тела.
Определение момента инерции тела может быть произведено
различными способами:
1. знание распределения массы и геометрических размеров тела дают
возможность использовать соотношение (2) для вычисления момента
инерции тела;
2. определение момента инерции тела относительно какой–либо оси
опытным путем.
Наиболее простым способом является определение момента инерции
при помощи крутильного маятника. Известно, что если подвесить данное
3
тело на нити и привести его в крутильные колебания, то период T колебаний
такого маятника определяется соотношением (смотрите работу М-18):
I
f
где I - момент инерции тела, f - крутящий момент (в случае крутильного
маятника равен модулю кручения подвеса).
Тело (в нашем случае диск) с моментом инерции I 1 , подвешенное на
упругой проволоке и совершающее крутильные колебания, будет колебаться
с периодом
T  2
I1
(3)
f
(3)Если изменить момент инерции тела (прибавить к диску дополнительный
груз в виде 2 – х или 4 – х одинаковых цилиндров или шаров на одинаковом
расстоянии от оси вращения), то период колебаний будет иной.
T1  2
I2
f
Момент инерции диска с дополнительными грузами I 2 будет равен сумме
моментов инерции тела (диска) I 1 и дополнительных грузов I 0 согласно
теореме Штейнера:
T2  2
I 2  I1  I0 ,
а модуль кручения подвеса останется неизменным
I1  I0
(4)
f
Уравнения (3) и (4) возведем в квадрат и разделив одно на другое, получим:
T2  2
2
T2

I1  I0
2
I1
T1
Отсюда находим момент инерции тела (диска)
2
I1  I0
T1
T2  T1
2
2
(5)
4
Момент инерции дополнительных грузов I 0 найдем согласно теореме
Штейнера, которая гласит, что момент инерции относительно произвольной
оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и
проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат
расстояния между осями.
Момент инерции цилиндров с радиусами r , расположенных на
расстоянии  от оси вращения и обладающих общей массой m , равен
I 0  0 ,5 mr  ml
2
2
(6)
Момент инерции шаров с радиусом
r , расположенных на расстоянии l
от оси вращения, и обладающих
общей массой m равен
2
2
2
(7)
mr  ml
5
С
помощью
установки
изображенной на рисунке 1 и
секундомера определив периоды
колебаний крутильного маятника
без прикрепленных тел (цилиндров
или шаров) и с прикрепленными
телами T1 и T2 , легко вычислить
искомый момент инерции диска I 1 .
I0
Рис. 1
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
1. Кронштейн с закрепленной проволокой, к которой прикреплено
используемое тело (диск).
2. Дополнительные тела (цилиндры или шары).
3. Секундомер.
4. Штангенциркуль.
5. Весы и разновесы.
5
ТАБЛИЦЫ НАБЛЮДЕНИЙ
rм
№
1
2
3
4
5
Среднее значение
№
1
2
3
4
5
N1
t 1 c
T1 c
N2
t 2 c
м
T2 c
m(кг)
I0 (кг м2) I1 (кг м2)
ПОРЯДОК РАБОТЫ.
1. Подвешенное к длинной проволоке испытуемое тело (диск) приводят
в крутильные колебания. Для этого диск поворачивают на небольшой угол
относительно оси, проходящей, вдоль подвеса и отпускают. Измеряют время
t 1 , которое требуется для совершения N 1 (не менее 10) колебаний, и
вычисляют период колебания T1 . Опыт повторять пять раз. (Угол поворота
должен быть тем же). Период – время одного полного колебания.
t
T ,
N
где t - время, N - число колебаний.
2. Закрепить добавочные тела (2 или 4 цилиндра или шара по указанию
преподавателя) на диске на одинаковых расстояниях от оси вращения.
3. Приведя диск с дополнительными грузами в крутильные колебания,
тем же способом определяют время t 2 , которое требуется для совершения
N 2 (не менее 10) колебаний и вычисляют период колебаний. Опыт повторить
5 раз.
4. Отделить дополнительные тела от диска и на весах определить их
общую массу (один раз).
6
5. Штангенциркулем измерить пять раз диаметры дополнительных
грузов (цилиндров или шаров) и расстояния закрепления тел на диске от оси
вращения.
~ ~
~
6. Вычислить средние арифметические значения величин T1 , T2 , ~r ,  .
7. Вычислить по формуле (6) или (7) момент инерции дополнительных
грузов I 0 . И по формуле (5) момент инерции диска I 1 и результат показать
преподавателю.
8. Подсчитать относительную погрешность для момента инерции
дополнительных грузов, находящихся на расстоянии  от оси вращения по
формуле:
a)
для цилиндров
2
2
2
2

 

2
~  
~


~
I 0
 m   2 l l   r r 
 




1
1
2
2
2
2
I0
m






l  r  l  r 

2  
2 
б) для шаров

  4 ~ 
2
~  
r r 

~
I 0
 m   2 l l   5
 
 

 
2
2
2
2
2
2
I0
m






l  r  l  r 
5  
5 

9. Подсчитать абсолютную погрешность
I 0  I 0
10. Записать в виде
I 0  I 0  I 0  кг м
2
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Какая физическая величина является мерой инертности при
поступательном движении?
2. Какая физическая величина является мерой инертности при
вращательном движении?
3. От чего зависит момент инерции абсолютно твердого тела?
4. Какими способами можно определить момент инерции абсолютно
твердого тела?
7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА
ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.
Методические указания
Составители: Нина Ивановна Гаврилина
Надежда Степановна Кравченко
Подписано к печати
Формат 60x84/16. Бумага офсетная
Плоская печать. Усл. Печ. л.
Уч.-изд.л.
Тираж 100 экз. Заказ
Бесплатно.
Типография. ТПУ 634004.
ИПФ ТПУ. Лицензия ЛТ №1 от 18.07.94.
Томск пр. Ленина, 30.
8
Скачать