3.8. Момент импульса в квантовой механике Файл

1
3.8. Момент импульса в квантовой механике
3.8.1. Оператор момента импульса.

Ранее (см §3.1) мы записывали оператор импульса: p̂  i . В классической механике момент
импульса материальной точки относительно начала отсчета определяется:
  
 
L  r , p   mr , v 
(3.8.1)


где r – радиус-вектор частицы, а p – ее импульс. Аналогично этому определению вводится оператор
момента импульса в квантовой механике:
 
 
 ˆ
ˆ  
L  r , p̂  i r ,
(3.8.2)
Это векторный оператор, поэтому его можно представить как сумму операторов проекций:



ˆ
L  L̂ x e x  L̂ y e y  L̂ z e z ,
(3.8.3)
где операторы проекций момента импульса определяются:
 
 
L̂ x  i y  z 
y 
 z

 
L̂ y  i z
x 
z 
 x
 
 
L̂ z  i x
 y 
x 
 y
(3.8.4)
Легко получить коммутатор для двух проекций момента импульса:
L̂
x

 
  
  
  
 
, L̂ y   2  y  z  z
 x   z
 x  y  z   
y  x
z   x
z  z
y  
 z
(3.8.5)

 
 
 
 
  2  y
 x   i  i x
 y   iL̂ z
y 
x 
 x
 y

Т.е. для всех проекций получаем:
L̂
x , L̂ y
  iL̂ , L̂
z
y

, L̂z  iL̂ x ,
L̂ , L̂   iL̂
z
x
(3.8.6)
y
Коммутаторы проекций отличны от нуля, т.е. любые 2 проекции момента импульса не могут быть
одновременно измеримы. Отсюда следует важный вывод: Две любые проекции момента импульса не могут

одновременно иметь определенные значения. Следовательно, и сам вектор момента импульса L не имеет
определенного направления в пространстве.
В классической механике при движении частицы в центральном поле помимо энергии сохранялись
вектор момента импульса и соответственно его проекция, что говорило о плоской траектории частицы.
В квантовой механике в центральном поле векторная величина момента импульса, оказывается, не
может иметь определенное значение. Определенное значение имеют одновременно абсолютная величина
момента импульса (квадрат момента импульса сохраняется) и одна из его проекций.
3.8.2. Оператор проекции момента импульса (МИ).
Поскольку нас будет интересовать приложение теории МИ к движению частицы в центральном поле, то
удобнее представлять его в сферической системе координат (r,,):
(3.8.7)
x  rSinCos, y  rSinSin, z  rCos
Пусть меняется только одна координата – угол
(т.е. осуществляется вращение вокруг оси z):
, и найдем производную от функции  по координате 
  x  y  z 
 rSinSin   rSinCos    0   x   y  




 x  y  z  x
y
z
x 
 y
Тогда помножая последнее равенство на множитель “-i“, имеем:
2
 

 
 i x
 y   L̂ z
(3.8.8)

x 
 y
Итак, в сферической системе координат оператор проекции МИ на ось z определяется соотношением:

(3.8.9)
L̂ z  i

В принципе ось z – произвольная, т.к. нет выделенного направления в центральном поле, если нет каких-то
 i
внешних условий.
Решим уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекции момента
импульса:
L̂z   Lz 

 i
 Lz 

или
(3.8.10)
 i
 L z 
 
Решением уравнения (3.8.10) является осциллирующая экспонента:
i

 m  A  exp L z  


(3.8.11)
Условие однозначности решения означает, что функция должна остаться той же при повороте на целое
число оборотов (2 – полный оборот), в частности на 2,т.е.
(3.8.12)
 m    m   2
 


Тогда подставляя (3.8.11), имеем:
i
Lz 

Ae

i
i
Lz 
Lz 2 


Ae
e
i
2 Lz

e
и
1
и получаем условие на собственные значения Lz
Lz  m,
(3.8.13)
m  0,1,2,3,...
Число m определяет проекцию момента импульса частицы Lz и называется магнитным квантовым числом.
Подставляя (3.8.13) в (3.8.11), имеем собственную функцию оператора проекции момента импульса
 m    Ae im
(3.8.14)
Коэффициент А определяем из нормировки собственной функции:
2
0
2
*m  m d
A
2
0 e
im im
e
d  2A 2  1
Откуда получаем нормировочный множитель:
A
1
2
(3.8.14)
Легко видеть, что выполняется условие ортонормированности:
2
0  m'  m d   m' m
*
(3.8.15)
Окончательно получаем собственные функции и собственные значения оператора проекции МИ:
 m  
expim
2
L̂ z  m  m m
1
(3.8.16)
(3.8.17)
3
Итак, проекция МИ на выделенное направление квантована, т.е. проекция МИ может принимать
только значения кратные . Хотя направление оси z произвольно, но после выбора z – направления
проекции Lz квантуются и принимают определенные дискретные значения, а другие проекции остаются
неопределенными.