Закон движения без учета вращения Земли Число точек

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Закон движения без учета вращения Земли
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ГРАФИКОВ
Число точек графиков
Закон движения с учетом вращения Земли
Закон движения без учета вращения Земли
ГРАФИКИ
Траектории движения и их проекции
64
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ТЕМА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ЭНЕРГИИ
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.1
Задание 7.1. Исследование потенциальной энергии и силы
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Вычисление проекции силы по известной зависимости потенциальной энергии от координаты
Потенциальная энергия и сила
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
65
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Значения переменной x
ГРАФИКИ
Потенциальная энергия и сила для разных значений параметров
a > 0, b > 0
a > 0, b < 0
a < 0, b > 0
a < 0, b < 0
66
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.2
Задание 7.2. Потенциальная яма
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Вычисление положения точек поворота для энергии, соответствующей нахождению тела в потенциальной яме
Потенциальная энергия
Точки поворота: Екин = 0, E = V
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Значения переменной x
Параметры потенциальной энергии (потенциальная яма)
Полная энергия
Точки поворота
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
67
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ГРАФИКИ
Потенциальная энергия, полная энергия и точки поворота в потенциальной яме
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.3
Задание 7.3. Фазовый портрет движения
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Потенциальная энергия (функция координаты)
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Параметры движения
Потенциальная энергия и полная энергия
ГРАФИКИ
Потенциальная энергия
68
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
Области изменения переменных и число точек
Фазовый портрет
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
69
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.4
Задание 7.4. Потенциальная энергия и закон движения
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Численное интегрирование одномерных уравнений движения для заданной потенциальной энергии
Потенциальная энергия
Сила
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Параметры движения и время движения
ГРАФИК
Потенциальная энергия
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
70
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ГРАФИКИ
Графики зависимостей координаты и скорости от времени
Фазовый портрет
ТЕМА 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ
СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 8.1 (MAPLE)
Задание 8.1. Аналитическое интегрирование уравнения движения
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (MAPLE)
Уравнения и начальные условия
> DE_1:=m*diff(x(t),t,t)=beta*diff(x(t),t)+beta*ux;
DE_2:=m*diff(y(t),t,t)=-beta*diff(y(t),t)+beta*uy;
DE_3:=m*diff(z(t),t,t)=-beta*diff(z(t),t)+beta*uzm*g;
IC:={x(0)=x0, y(0)=y0, z(0)=z0, D(x)(0)=v0x,
D(y)(0)=v0y, D(z)(0)=v0z};
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
71
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
2
d
⎛d
⎞
DE_1 := m ⎜ 2 x( t ) ⎟⎟ = −β ⎛⎜⎜ x( t ) ⎞⎟⎟ + β ux
⎜ dt
d
⎝ t
⎠
⎝
⎠
2
d
⎛d
⎞
DE_2 := m ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ = −β ⎛⎜⎜ y( t ) ⎞⎟⎟ + β uy
d
t
d
t
⎝
⎠
⎝
⎠
2
d
⎛d
⎞
DE_3 := m ⎜⎜ 2 z( t ) ⎟⎟ = −β ⎛⎜⎜ z( t ) ⎞⎟⎟ + β uz − m g
d
t
d
t
⎝
⎠
⎝
⎠
IC :={x( 0) = x0, y( 0) = y0, z( 0) = z0, D( x )( 0) = v0x, D( y )( 0) = v0y, D( z)( 0) = v0z}
Аналитическое интегрирование уравнений движения
> Syst:={DE_1,DE_2,DE_3}:
collect(combine(dsolve(Syst union
IC,{x(t),y(t),z(t)})),[beta,exp(-beta/m*t)]);
⎛− β t ⎞
⎧
⎟
⎜⎜
⎪
⎝ m ⎟⎠
⎪⎨
−
(
−
ux
+
v0x
)
m
e
− m ux + m v0x
⎪ x( t ) = ux t + x0 +
, z( t ) =
⎪⎪
β
⎩
t uz + z0 +
−( −uz + v0z) m e
y( t ) = uy t + y0 +
⎛ βt⎞
⎜⎜ −
⎟⎟
⎝ m⎠
2
− t m g − m uz + m v0z −m e
+
β
−( −uy + v0y ) m e
⎛− β t ⎞
⎟
⎜⎜
⎝ m ⎟⎠
β
⎛ βt⎞
⎜⎜ −
⎟⎟
⎝ m⎠
β
g + m2 g
2
,
⎫
⎪
− m uy + m v0y ⎪⎬⎪
⎪⎪
⎭
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 8.1
Задание 8.1. Аналитическое интегрирование уравнения движения
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Решения уравнения движения. Координаты
72
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
Скорости и ускорения
ПРЕДЕЛ ОТСУТСТВИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
73
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ВЫЧИСЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫСОТЫ
Вычисление времени подъема
has solution(s)
Вычисление максимальной высоты подъема
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 8.4
Задание 8.4. Механическая энергия
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Параметры движения
Время движения
74
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
(С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА)
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная энергия
ПРЕДЕЛ ОТСУТСТВИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
75
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ГРАФИКИ
Графики зависимостей кинетической энергии от времени для двух
значений горизонтальной скорости ветра и в пределе отсутствия сопротивления
Графики зависимостей потенциальной энергии от времени для двух
значений горизонтальной скорости ветра и в пределе отсутствия сопротивления
Графики зависимостей полной энергии от времени для двух значений
горизонтальной скорости ветра и в пределе отсутствия сопротивления
76
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ТЕМА 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 9.1
Задание 9.1. Упругое столкновение частиц
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Параметр массы
Законы сохранения импульса и энергии
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
77
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Особые точки
Угол вылета второй частицы
78
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ГРАФИКИ
Графики зависимостей скоростей и угла вылета с параметром:
Графики зависимостей скоростей и угла вылета с параметром
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
79
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 9.3
Задание 9.3. Неупругое столкновение частиц
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Параметр массы и Задание скоростей
Законы сохранения импульса и энергии
80
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Аналитические зависимости
ГРАФИКИ
Графики зависимостей угла от параметра n
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
81
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Графики зависимостей скоростей от параметра n
ТЕМА 10. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 10.1
Задание 10.1. Траектории точек катящегося колеса
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Угловая скорость и время движения
Параметрическое уравнение циклоиды
82
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ГРАФИКИ
Траектории точек колеса для скорости
Траектории точек колеса для скорости
ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 10.2
Задание 10.2. Опускание стержня
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Связь координат стержня
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
83
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Длина стержня
Траектория точек стержня
ГРАФИКИ
Траектории точек стержня
84
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ