Получить текст лекции 13 в формате pdf на русском языке

Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая Школа Экономики).
Лекции по линейной алгебре
Владимир Черняк
Лекция 13. Собственные значения и собственные векторы.
Читать под музыку
“Baby be mine” (Suite Chic)
Собственные значения и собственные векторы
Определение Пусть A - n × n матрица. Действительное число λ является собственным
значением A тогда и только тогда, когда существует ненулевой n -вектор x , такой, что
Ax = λx . Соответственно, любой ненулевой вектор x , такой, что Ax = λx является
собственным вектором, соответствующим собственному значению λ .
В ряде учебников собственные значения называются также характеристическими числами,
а собственные векторы называются также характеристическими векторами.
Если x является вектором, соответствующим собственному значению λ для n × n матрицы
A , то, согласно приведенному выше определению, матричное произведение Ax
эквивалентно умножению на скаляр λx .
Таким образом, Ax является параллельным вектору x , удлиненным по отношению к x ,
если | λ | >1, или укороченным по отношению к x если | λ | <1. Разумеется, если λ = 0, то
Ax = 0 .
Заметим, что собственное значение может быть нулем. Однако, согласно определению,
собственный вектор никогда не может быть нулевым вектором.
ПРИМЕР 1. Рассмотрим 3× 3 матрицу
 − 4 8 − 12 


A =  6 − 6 12 
 6 − 8 14 


Заметим, что λ = 2 является собственным значением для A , так как
 4   − 4 8 − 12   4   8 
4
  
   
 
A 3  =  6 − 6 12   3  =  6  = 2 ⋅  3 
 0   6 − 8 14   0   0 
0
  
   
 
Легко убедиться, что x = ( 4, 3, 0) является собственным вектором, соответствующим
собственному значению 2, так как Ax = 2x . Фактически любой пропорциональный ему
вектор c ( 4, 3, 0) также является собственным вектором, соответствующим 2, поскольку
A( cx ) = cAx = c( 2x ) = 2( cx ) . Следовательно, существует бесконечно много собственных
векторов, соответствующих данному собственному значению.
1
Определени. Пусть A - n × n матрица, и предположим, что λ является собственным
значением
A . Тогда множество
называется собственным
E λ = {x | Ax = λ x }
подпространством для λ .
Собственное подпространство Eλ для конкретного собственного значения λ для матрицы A
состоит из всех собственных векторов для A , соответствующих λ , вместе с нулевым
вектором 0 , поскольку A0 = 0 = λ 0 , для любого x . Таким образом, для матрицы A в
примере 1, E2 содержит (по крайней мере) все векторы, параллельные ( 4, 3, 0) .
Характеристический многочлен матрицы
Наше цель состоит в том, чтобы найти метод определения всех собственных значений и всех
собственных векторов для любой n × n матрицы A . Если x является собственным вектором
для A , соответствующим собственному значению λ , то
Ax = λx = λI n x , or ( λI n − A )x = 0 .
где I n представляет собой единичную n × n матрицу.
Следовательно, x является нетривиальным решением однородной системы линейных
уравнений с матрицей коэффициентов ( λI n − A ) . Это означает, что | λI n − A | = 0 . Так как все
шаги приведенного рассуждения обратимы, то мы фактически доказали следующее:
Теорема 1. Пусть A - n × n матрица. Тогда λ является собственным значением A тогда и
только тогда, когда | λI n − A | = 0 . Собственные векторы, соответствующие λ , представляют
собой нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений ( λI n − A )x = 0 .
Собственное подпространство Eλ совпадает с полным набором решений этой однородной
системы уравнений.
ПРИМЕР 2. Рассмотрим снова матрицу
 − 4 8 − 12 


A =  6 − 6 12 
 6 − 8 14 


из Примера 1 1.
Чтобы найти собственные значения A теорема предлагает записать уравнение | λI n − A | = 0 ,
рассматриваемое относительно x :
λ + 4 −8
8 − 12 
12
λ 0 0 − 4

 

12  = − 6 λ + 6 − 12 = 0
0 λ 0− 6 −6
0 0 λ  6 −8
14 
−6
8 λ − 14

 
После упрощения этого уравнения получаем
λ3 − 4λ2 + 4λ = 0 ,
или
λ ( λ − 2) 2 = 0 ,
2
что дает два решения: λ1 = 2 и λ2 = 0 .
Мы можем найти собственные векторы, соответствующие λ 1= 2, используя преобразования
строк матрицы ( λI n − A )x = 0 , где λ = 2.
8 − 12 
 2 0 0  − 4

 

2I 3 − A =  0 2 0  −  6 − 6
12 
 0 0 2  6 − 8
14 

 
12 0 
 6 −8


Так что получаем  − 6
8 − 12 0 
− 6
8 − 12 0 

 1 − 43 2 0 


0 0 0
После выполнения операций над строками  0
0
0 0 0 

Далее используем метод определения базиса для выражения множества решений как
множества линейных комбинаций базисных решений, в итоге получаем
E2 = {a ( 4, 3, 0) + b( −2, 0, 1) | a, b ∈ R}
Далее находим собственные векторы, соответствующие λ2 = 0 , решая (0I 3 − A )x = 0 , точно
так же, как были найдены собственные векторы для λ1 = 2 путем решения системы
( 2I 3 − A )x = 0 . Более подробно это происходит следующим образом:
8 − 12
− 4

12
из  6 − 6
 6 −8
14

0
0
0
1

1 0


 получаем  0 1 − 1

0 0
0


0
0
0





что дает множество решений E0 = { c( −1, 1, 1) | c ∈ R }.
Следовательно, z = (−1, 1, 1) и все пропорциональные ему векторы представляют собой
собственные векторы A , соответствующие λ2 = 0 . Для проверки этого факта достаточно
заметить, что
8 − 12   − 1  0 
− 4
 − 1

   
 
Az =  6 − 6
12   1 =  0  = 0 ⋅  1 = 0z
 6 −8
 1
14   1  0 

 
Ввиду того, что определители вида | λI n − A | оказываются полезными для нахождения
собственных значений, мы можем дать следующее определение:
Определение Если A является n × n матрицей, то характеристический многочлен A
представляет собой многочлен степени n вида pA ( x ) = | xI n − A | .
Используя данную терминологию, мы можем перефразировать первое предложение теоремы
1 следующим образом:
Теорема 2. Собственные значения A совпадают с действительными корнями
характеристического многочлена pA ( x ) = | xI n − A | .
3
12 − 51
ПРИМЕР 3. Характеристическим многочленом для A = 
 служит
 2 − 11 
x − 12 − 51
 x 0  12 − 51
pA ( x ) = 
=
 − 
 =
2
x + 11
 0 x   2 − 11 
= ( x − 12)( x + 11) + 102 =
= x 2 − x − 30 = ( x − 6)( x + 5) .
Следовательно, собственные значения A являются решениями уравнения pA ( x ) = 0 , или,
λ1 = 6 и λ2 = −5 .
1 −1
 7


Аналогично, характеристическим многочленом для B =  − 11 − 3
2  является
 18
2 − 4 

x − 7 −1
1
pB ( x ) = 11 x + 3 − 2
− 18 − 2 x + 4
что упрощается до pB ( x ) = x 3 − 12 x − 16 или pB ( x ) = ( x + 2) 2 ( x − 4) . Следовательно, λ1 = −2 и
λ2 = 4 являются собственными значениями для B .
Вычисление характеристического многочления для матриц размерности 4 × 4 и более может
быть весьма утомительным. Еще большие трудности может представить определение корней
характеристического многочлена. Поэтому на практике для вычисления собственных
значений обычно используется калькулятор или компьютер с соответствующим
программным обеспечением.
Теорема 3 Собственные значения матрицы A , соответствующие различным собственным
значениям A , являются линейно независимыми.
Доказательство. Пусть x1 , x 2 , … , x k - собственные векторы, соответствующие попарно
различным собственным значениям λ1 , λ2 ,…, λk . Для k = 1 теорема, очевидно, верна. Пусть
теорема верна для k = m − 1 , и предположим, что для k = m она не выполняется:
c1x1 + c2 x 2 + ... + cm x m = 0; c1 ≠ 0 .
Умножая A на эту линейную комбинацию, получаем
A( c1x1 + c2 x 2 + ... + cm x m ) = c1Ax1 + c2 Ax 2 + ... + cm Ax m = .
= c1λ1x1 + c2 λ2 x 2 + ... + cm λm x m = 0 . (*)
С другой стороны, умножая линейную комбинацию на λ1 , получаем
c1λm x1 + c2 λm x 2 + ... + cm λm x m = 0 . (**).
Вычитая (**) из (*), имеем
c1 ( λ1 − λm )x1 + c2 ( λ2 − λm )x 2 + ... + cm ( λm − λm )x m = 0
или
c1 ( λ1 − λm )x1 + c2 ( λ2 − λm )x 2 + ... + cm −1 ( λm−1 − λm )x m = 0
что невозможно, так как c1 ≠ 0 и λ1 ≠ λm (линейная зависимость).
Библиография
Carl P. Simon, Lawrence Blume. Mathematics for Economists. W.W.Norton&Company. New-York,
London. 1994. Chapter 23
4