Движение и взаимодействие одноименно заряженных частиц

Движение и взаимодействие одноименно заряженных частиц
Петров К.А. , Развина Т.И., Развин Ю.В. , Соколова С.Н.
Анализ выполнения заданий централизованного тестирования по
физике показывает, что учащиеся испытывают значительные трудности при
решении задач, основанных на комплексном применении законов механики и
электромагнетизма. В настоящей работе проведен анализ решения ряда
задач, в условиях которых представлено движение заряженных частиц
относительно друг друга.
Задача 1а. Частица массой m =1г с зарядом q = 1 мкКл движется к
закрепленному одноименно заряду q0 = 2 мкКл. На расстоянии r0 = 10 см от
заряда скорость частицы 0 = 30 м/с. Определим минимальное расстояние, на
которое частица приблизится к закрепленному заряду. Сопротивлением
воздуха и гравитационным взаимодействием пренебречь.
Решение
Двигаясь в электрическом поле одноименно заряда q0 , частица приближается
к заряду на некоторое минимальное расстояние rmin и останавливается.
Система «частица» – «закрепленная частица» является замкнутой. Для
определения расстояния rmin воспользуемся законом сохранения энергии:
kq0 q
kq0 q
m02 kq0 q kq0 q
m 2


, где
– кинетическая энергия частицы,
и
–
2
r0
rmin
2
r0
rmin
начальная и конечная энергии взаимодействия заряда q0 и заряженной
частицы q .
Покажем несколько нетрадиционный подход к расчету минимального
расстояния rmin между частицами.
kqq0 (r0  rmin ) m 2
2kqq0
0, 4r0
r

 min 
 0, 4  rmin 
 3см
r0 rmin
2
r0  rmin
mr0
1, 4
1б. Изменим условие задачи. Пусть частица массой m1 и зарядом q1
движется со скоростью 1 из бесконечности к покоящейся вначале частице
массой m2 и зарядом q2 . Определим в данном случае минимальное расстояние
rmin между заряженными частицами.
Решение
По мере приближения первой заряженной частицы ко второй, вторая
начинает движение по направлению от первой. Минимальное расстояние
между частицами будет в тот момент, когда относительная скорость частиц
станет равной нулю, т.е. скорости частиц будут направлены в одну сторону и
равны по величине  u1  u2  u  .
x
Воспользуемся законом сохранения импульса в проекции на ось Ох:
m11   m1  m2  u  p (импульс системы p  const ).
m112  m1  m2  u
kq q

 1 2
2
2
rmin
2
Воспользуемся законом сохранения энергии:
или
2kq1q2 m1  m1  m2  2kq1q2  m1  m2 
kq q
p2
p2

 1 2 . Отсюда rmin 

.
2m1 2  m1  m2  rmin
p 2 m2
m1m212
r  
Hм2 Кл 2 кг  с 2 кг  м  с 2
 2
м
Кл2 кг 2 м2
с  кг
1.в. Рассмотрим случай, когда эти две одноименно заряженные
частицы ( m1 > m2 )движутся навстречу друг другу со скоростями 1 и  2 ,
соответственно Первоначальное расстояние между ними r0 . Определим
минимальное расстояние на которое сблизятся частицы.
В процессе движения мгновенные силы кулоновского отталкивания
будут равны. Из второго закона Ньютона следует, что модуль мгновенного
ускорения будет больше у частицы меньшей массы. На некотором
расстоянии r ее скорость становится равной нулю, и она начинает движение в
противоположном направлении, совпадающим с направлением движения
первой частицы.
x
В момент времени, когда скорости частиц станут одинаковыми
( u1  u2  u ), т.е. их относительная скорость частиц станет равной нулю,
расстояние между частицами станет минимальным. Запишем
сохранения импульса в проекции на ось Ох: m11  m22  (m1  m2 )u
Закон
сохранения
энергии
будет
закон
иметь
вид:
kq q (r  r ) m   m   (m1  m2 )u
m
m
kq q
(m  m2 )u
kq q

 1 2  1
 1 2  1 2 0 min 
.
2
2
r0
2
rmin
r0 rmin
2
2
1 1
2
2 2
2
r0  rmin r0 (m112  m222  (m1  m2 )u 2 )

rmin
2kq1q2
2
1 1
2
2 2
2
Если
m1  2 103 кг, m2  103 кг,1  5
м
м
м
,2  4 , q1  2 106 Кл, q2  106 Кл, r0  10 м, то u  2 .
с
с
с
r0  rmin 10(2 103  25  103 16  3 103  4)

 15 . Тогда rmin  0,625 м=62,5 см
rmin
2  9 109  2 1012
2а. Два тела с зарядом q  10 мкКл и массой m  5г каждое удерживают на
горизонтальной поверхности на расстоянии r  1м друг от друга. Тела
отпускают, и они начинают скользить по поверхности, коэффициент трения о
которую  =0,5. Определим максимальную скорость, которую разовьют тела,
и расстояние, которое они пройдут до остановки.
Решение
В начальный момент сила кулоновского отталкивания Fк 
kq 2
больше,
r2
чем максимальная сила трения Fтр   mg ( Fк > Fтр ) . Поэтому, как только
max
тела освобождают, они начинают двигаться ускоренно до тех пор, пока
сила кулоновского отталкивания не станет равна силе трения по
модулю.
х
х
В этот момент времени ускорение становится равным нулю (а=0), а
скорость каждого тела – максимальной (max ). Для определения этой скорости
воспользуемся теоремой об изменении энергии системы:
m 2
kq 2
kq 2
kq 2 2 x
 2 max 
 2 mgx(1)  max 
 2 gx .
r  2x
2
r
mr (r  2 x)
Где
kq 2
– потенциальная энергия электрического взаимодействия тел
r  2x
2
mmax
на расстоянии ( r  2 x );
– максимальная кинетическая энергия каждого тела
2
kq 2
на расстоянии ( r  2 x ) друг от друга;
– начальная потенциальная энергия
r
электрического взаимодействия тел на расстоянии r ;  mgx – работа силы
трения, действующей на каждое тело при прохождении расстояния x .
Определим ( r  2 x ) и
взаимодействия равна силе трения
Чтобы
не
из условия, что сила кулоновского
2x
kq 2
  mg  r  2 x 
( r  2 x) 2
усложнять
r  2 x  6 м, 2 x  5 м;max  13, 2
расчеты,
kq 2
; 2x 
 mg
сразу
kq 2
r
 mg
определим
м
.
с
Для определения расстояния S , после прохождения которого тела
остановятся, также воспользуемся теоремой об изменении энергии и
запишем:
kq 2
kq 2
kq 2

 2 mgS 
  mg.
r  2S
r
r (r  2S )
Тогда r  2S 
kq 2
kq 2
r
S 
 .
 mgr
2 mgr 2
Н  м 2 Кл 2
 м.
S   2
Кл м  Н
S  17,5 м.
2б. Изменим условие предыдущей задачи. Пусть два тела находятся на
расстоянии r0  10 м друг от друга. Определим минимальную скорость,
которую нужно сообщить одному из тел, чтобы второе тело сдвинулось с
места.
Расчет показывает, что в начальный момент времени сила трения покоя
больше силы кулоновского отталкивания. Поскольку частицы одноименно
заряженные, то очевидно, что скорость необходимо сообщить одному телу в
направлении ко второму. Когда оно окажется на некотором расстоянии r от
второго тела, сила кулоновского отталкивания, действующая на второе тело,
станет равной силе трения и в этот момент оно сдвинется с места. Так как
требуется определить минимальную скорость, сообщаемую первому телу,
чтобы сдвинуть второе, то считаем, что первое тело в этот момент
остановится. Это случится на некотором расстоянии r между телами.
Определим это расстояние из условия равенства:
 mg 
kq 2
r
r2
kq 2
 6 м.
 mg
И вновь воспользуемся теоремой об изменении энергии системы:
2
kq 2 kq 2 mmin


   mg (r0  r ) .
r
r0
2
Определим минимальную скорость min =
2(r0  r )(kq 2   mgrr0 )
м
8 .
mrr0
с
3а. Перейдем к рассмотрению взаимодействия двух маленьких
m =150г
шариков
массой
каждое,
соединенных
непроводящей
Н
. После
м
сообщения шарикам одинаковых зарядов длина пружины становится l  100см
недеформированной пружиной длиной l0  50см , жесткостью k  10
. Определим минимальную скорость, которую надо сообщить каждому
шарику, чтобы они смогли сблизится до прежнего расстояния l0 .
При сообщении шарикам одинаковых зарядов на каждый из них
начинают действовать сила упругости со стороны пружины и сила
кулоновского отталкивания. Момент времени, когда эти две силы становятся
равными, соответствует максимальному растяжению пружины до длины l .
Поверхность гладкая – силы трения отсутствуют. Силы упругости и кулона
являются потенциальными (консервативными),
воспользоваться законом сохранения энергии:
следовательно
можем
2
k (l  l0 )2
mmin
q2
q2
q2
и
–начальная и конечная
2


(1) , где
4 0l
2
2
4 0l0
4 0l 4 0l0
q2
энергии
электрического
взаимодействия
шариков;
2
mmin
–минимальная
2
кинетическая энергия, сообщаемая каждому шарику(т.к. имеется в виду
минимальная скорость, сообщаемая шарикам, то конечная кинетическая
энергия их должна стать равной нулю);
k (l  l0 ) 2
– потенциальная энергия
2
упругодеформированной пружины в начальный момент времени.
Заряды, сообщаемые шарикам неизвестны. Определим их из условия,
что при растяжении пружины до длины l , силы упругости и кулона
q2
q2
становятся равными: k (l  l0 ) 

 kl 2 (l  l0 )(2).
2
4 0l
4 0
q 2 (l  l0 ) k  l  l0 

.
4 0ll0
2
2
2
Преобразуем выражение (1) к виду: mmin

Воспользуемся
min 
выражением
(2)
получим
kl (l  l0 ) k (l  l0 )
k (2l  l0 )
м

 (l  l0 )
. min  5 .
mll0
2m
2ml0
с
2
2
3б. Теперь представим, что после сообщения одинаковым шарикам,
соединенным непроводящей недеформированной пружиной, длиной l0  8см ,
заряда q  1мкКл каждому, шарики приходят в колебательное движение на
горизонтальной поверхности. Постепенно колебания прекращаются, длина
пружины остается равной l  10см. Определим количество энергии,
перешедшей в тепло, при затухании колебаний.
В начальный момент времени система обладает потенциальной
2
энергией электрического взаимодействия шариков W  q .
4 0l0
После прекращения колебаний энергия системы станет равной сумме
потенциальных энергий электрического взаимодействия шариков и упруго
2
2
деформированной пружины. W  q  k (l  l0 ) .
4 0l
2
Количество энергии Q , перешедшей в тепло, в этих затухающих
колебаниях определится разностью энергий начального и конечного
состояний
системы:
или
Q  W  W
Q
q2
4 0l0

q2
4 0l

k (l  l0 )2 q 2 (l  l0 ) k (l  l0 ) 2


(1)
2
4 0l0l
2
Для нахождения коэффициента жесткости пружины k воспользуемся
конечным состоянием системы, когда сила кулоновского отталкивания
q2
q2
становится равной силе упругости:
 k (l  l0 )  k 
(2)
4 0l 2
4 0l 2 (l  l0 )
q 2 (l  l0 )
q 2 (l  l0 )2
q 2 (l  l0 )(2l  l0 )
Подставим (2) в (1), получим: Q 


.
4 0l0l 8 0l 2 (l  l0 )
8 0l0l 2
Расчет показал, что в тепло перешло Q  0,135 Дж энергии.
3в. Рассмотрим два заряженных шарика, соединенных непроводящей
пружиной и расположенных на гладкой горизонтальной поверхности. Шарик
с зарядом q0  1мкКл закреплен, шарик массой m  10г и зарядом q  2 мкКл
подвижен и колеблется так, что минимальная длина пружины составляет
l1  10см , а длина ее в недеформированном состоянии l0  30см . Определим
максимальную скорость движения колеблющегося шарика, если в этот
момент, длина пружины l2  40см .
Данная система замкнутая, воспользуемся законом сохранения энергии:
2
k (l2  l0 )2 mmax
k (l1  l0 )2
q1q2
q1q2




(1)
4 0l2
2
2
4 0l1
2
В этом выражении левая часть представляет сумму энергий:
электрического взаимодействия заряженных шариков, упругой деформации
пружины и максимальной кинетической энергии шарика соответственно.
Правая часть – сумма энергий системы в состоянии максимальной
деформации пружины: энергия электрического взаимодействия заряженных
шариков на расстоянии l1 и потенциальная энергия упругой деформации
пружины соответственно.
Из
m
2
2
max

выражения
(1):
q1q2 (l2  l1 ) k
q q (l  l ) k
 ((l1  l0 )2  (l2  l0 )2 )  1 2 2 1  (l12  2l0 (l1  l2 )  l22 )(2)
4 0l1l2
2
4 0l1l2
2
Жесткость пружины определим из условия задачи: скорость шарика
максимальна, когда его ускорение равно нулю, что означает на расстоянии l2
силы кулоновского отталкивания и упругости становятся равными:
k (l2  l0 ) 
(2),
определим
максимальную
скорость
каждого
шарика:
q1q2 (l2  l1 ) q1q2 (l  2l0 (l1  l2 )  l )
q1q2 l2  l1 l  2l0 (l1  l2 )  l


(

),
2
2 0 ml1l2
4 0l2 (l2  l0 )m
2 0 m l1l2
2l22 (l2  l0 )
м
 5,5 .
с
max 
max
q1q2
q1q2
 жесткость пружины k 
(3) .Подставив (3) в
2
4 0l2
4 0l22 (l2  l0 )
2
1
2
2
2
1
2
2
Литература.
1.Черноуцан А.И. Физика. Задачи с ответами и решениями.–
М:КДУ,2005.–352с.
2. Физика:3800 задач для школьников и поступающих в вузы.–М.:
«Дрофа»,2000.–672с.
3. Развина Т.И. Физика. Электродинамика. –Минск.: БНТУ, 2011.–389с.