Основные понятия теории автоматического управления

Основные понятия теории автоматического управления (ТАУ)
Математическое описание САУ
Математическое описание САУ включает построение моделей процессов, протекающих как в самой
системе, так и в ее элементах. Математическое описание САУ осуществляют, описывая математическими
соотношениями все алгоритмические элементы системы и их взаимодействие между собой и с внешней
средой.
Таким образом под математическим описанием ( мат моделью) подразумевают совокупность
(систему) уравнений и граничных условий, которые в количественной форме описывают зависимость
выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах. В связи с этим различают два рода
уравнений САУ: статики и динамики.
В общем случае уравнения динамики являются дифференциальными или интегральнодифференциальными и полностью описывают поведение системы (элемента) в переходном режиме.
Уравнения статики (установившийся режим – режим с постоянной скоростью или состояние покоя)
представляют собой дифференциальное уравнение нулевого порядка, т.е. алгебраическое уравнение.
Статической характеристикой элемента (системы) называется зависимость выходной величины или
скорости ѐѐ изменения от входной от входной величины в установленном режиме.
Линейность и нелинейность уравнений.
1. Линеаризация дифференциальных уравнений
Анализ и решение нелинейных дифференциальных уравнений связан со значительными трудностями и
возможны лишь в некоторых частных случаях. Поэтому в инженерных расчетах прибегают к линеаризации
нелинейных дифференциальных уравнений, замене их приближенными линейными.
Наиболее распространенный метод линеаризации – метод малых отклонений, который основан на
предложении достаточно малых отклонений входов и выходов от их установившихся значений.
Пусть САУ описывается нелинейным диф. уравнением F(y(j); y(i)) = 0, Где y(i) – выходная
регулируемая величина и ее производные (i = 0,1,2,3,..,n). Установившийся режим наблюдается при y(j)=y0(j);
x(i) = x0(i) и уравнение для него F(y0(j); x0(i)) = 0.
Если в результате изменения входной величины x=x0+x произошло отклонение выходной величины
от установившегося режима, то уравнение переходного процесса: F(y0(j) + y(j); x0(i) + x(i)) = 0
(1).
Разлагаем в ряд Тейлора (функция гладкая и имеет непрерывные производные) в окрестности точки,
соответствующей установившемуся режиму:
F(y0(j) + y(j); x0(i) + x(i)) = F(y0; x0) +
 jF 

 y(j) +

j  0  yj  0
M
 i F 

 x(i) + R

i 

i  0  x 0 
0
iN
(2).
Где R – величина высшего порядка малости
Вычитаем из (2) ур-ние (1) и пренебрегая R получаем линеаризованное диф-ое уравнение:
 i F 
 j  y(j) = 
j  0  y  0
jM
 i F 
 i  x(i)

i  0  x  0
iN
(3).
Под знаком производных не сами переменные, а их отклонения y, x, поэтому ур-ние называется
ур-нием в отклонениях (линейно относительно отклонений с постоянными коэффициентами).
Разделив (3) на t (при t0), получим дифф уравнение в первом приближении:
 d j y (t )  i  N  d i x(t ) 
   bi 

a j 

i
j
j 0
 dt  i 0  dt 
 jF 
 ; j = 0, 1,..,m;
aj = 
j 
 y  0
j M
где m > n;
 i F 
 ; i = 0, 1,.., n;
i 
 x  0
bi = 
Линеаризация позволяет свести широкий класс элементов и образованных ими АС к изучению их
приближенных математических моделей. Статические характеристики линеаризуются методами:
1. малых отклонений;
2. касательной;
3. секущей (метод наименьших квадратов);
4. кусочно-линейной аппроксимации.
(4).
2. Решение линейных дифференциальных уравнений, преобразования Лапласа и передаточные
Функции
Линейные дифференциальные уравнения, с помощью которых описывают динамику элементов и САУ,
можно решить классическим методом или путем применения преобразования Лапласа.
Решение можно представить в виде суммы:
y(t) = yобщ(t) + yчаст(t).
Общего и частного решений соответственно однородного и неоднородного дифф уравнений.
yобщ(t) – составляющая решения определяет свободное движение системы и называется
переходной(свободной) составляющей ; yчаст(t) – определяет вынужденное движение системы,
обусловленное x(t), и зависит как от параметров aj bi системы, так и от закона изменения входа x(t).
yчаст(t) - характеризует установившийся процесс в системе.
Преобразование Лапласа состоит в том, что вместо функции времени x(t) или y(t) используют
функцию комплексной переменной x(p), где p =  + j. x(p) называется изображением функции x(t), которая
называется оригиналом ф-ции x(p). Операция перехода от x(t) к x(p) называется прямым односторонним
преобразованием Лапласа и обозначается L:

L(x(t)) = X(p) =
 x(t )e
 pt
dt .
0
c  j
Обратное преобразование: L-1[x(p)] = x(t) =
1
x( p)e pt dp

2j c  j
Для наиболее часто встречающихся функций существуют таблицы преобразований по Лапласу.
Таким образом, при использовании преобразований Лапласа имеется возможность (функциям
комплексного и переменного р).
Применяя прямое преобразование Лапласа к левой и правой частям ур – ния (4) при нулевых
начальных условиях, получаем операторную форму записи уравнения элемента (САУ):
jM

aj pj Y(p) =
j 0
iN

bi pi X(p)
in
Передаточная функция:
(5).
i 0
W(p) =
Y ( p)
=
X ( p)
b p
i 0
j m
a
j 0
Полиномы в развернутомвиде:
А(Р) = ам рм + ам-1 рм-1 + … + а1р + а0 ;
i
i
=
j
p
j
B( p)
A( p )
(6).
В(Р) = bn рn + bn-1 рn-1 + … + b1р + b0 ;
Передаточная функция представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной величины
к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция однозначно определяет динамические свойства системы.
Y(p) = W(p) X(p) ;
переходный процесс:
-1
Y(t) = L [ W(p) X(p) ]
Уравнение статики элемента Y(t) = W X(t);
Физически реализуемы элементы, для которых m > n
(7).
3. Временные динамические характеристики
Зависимость выходной величины системы (элемента) от времени при переходе системы из одного
установившегося состояния в другое в результате наступления на вход типового воздействия называется
временной динамической характеристикой.
X
1(t)
X
tи0
t
t
Единичное импульсное
воздействие
Единичное ступенчатое
воздействие
 0
1(t ) = 
 1
1
tи
при t < 0
при t  0
реакция системы (э) – изменение во времени y(t) – на единичное ступенчатое воздействие называют
пережодной функцией h(t).
При X(t) = А*1(t) и при t > 0 ступенчатое воздействие равно А, то такое воздействие называют
кривой разгона.
К таким понятиям относятся: мгновенное изменение задания регулятору; подключение напряжения, и т.п.
Под единичной импульсной нагрузкой понимается импульс, площадь которого равна единице
 1/tи при 0  t  tи
X(t) 
 0 при t < 0; t > tи
при tи = 0 единичная импульсная нагрузка превращается в некоторую математическую идеализацию,
называемую дельта-функцией (t), значение которой равно 0 при всех t, кроме t = 0 ((t) =   )

  (t)dt = 1

реакция системы (э) на входное воздействие в виде (t) при нулевых начальных условиях называют
импульсной переходной функцией (функцией веса) (t).
Эти функции адекватно описывают динамические свойства линейной системы и могут быть
преобразованы одна в другую
(t) = 1’(t), или (t) = h’(t)

  (t )dt = h(t)
0
Функция (t) связана с передаточной функцией W(p) обратным преобразованием Лапласа:
Y(p) = W(p) X(p)
Y(t) = L-1[W(p) X(p)]
Если X(t) = (t), то X(p) = 1 и Y(t) = (t), тогда
(t) = L-1[W(p)] или

W(p) = L[(t)] =

(t) e-p tdt
0
Переходная функция h(t) связана так же с W(p)
h(t) = L-1[W(p) 
1
].
p
Используя типовые воздействия, можно получить реакцию системы в переходном режиме на
произвольное изменение входной величины X(t), используя принцип суперпозиции (случай линейной
системы). В реальных инерционных системах: Y(  ) =

 h(t   ) x' ( )d
0


Y( t ) =  (t   ) x( )d
0
H(0) = 0 при t = 0 и при X(0) = 0
4. Частотные характеристики (чх)
Чх описывают вынужденные колебания на выходе системы, вызванные гармоническими воздействиями на ее
входе.
Пусть x(t) = A sin (t) при Авх = 1.
X(t)
Y(t)
Входное воздействие называется
единичным.
Авых
Aвх
=
2
угловая частота;
Tk
Tk – период колебаний.
0
t
Tk
По окончании переходного процесса на выходе системы устанавливаются гармонические колебания
y(t) = Aвых ()sin (t - ()) той же частоты, но с другой амплитудой Авых() и сдвинутые по фазе на ()
 t 
  2  t
T
 k
() = 
Если увеличивать частоту от 0 до +  и определять установившиеся амплитуду и фазу выходжных
колебаний для разных частот, можно получить зависимость
 Авых ( ) 

 Авх 
А() = 
И сдвига фазы
() = вых() - вх
выходных колебаний относительно входных. Эти зависимости
называются: А() – амплитудной частотной характеристикой (АЧХ)
() – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) САУ.
Для расчетов САУ и их исследований применяют преобразование Фурье, которое состоит в переходе
от оригинала ф – ции x(t) (или y(t)) к еѐ изображению по Фурье:
F[x(t)] = X(j)
F[x(t)] = X(j) =
1
2

 X ( j )e
jwt
d - обратное преобразование Фурье.

В ТАУ широко применяются АФХ (амплитудно-фазовая характеристика системы (э)):
W(j) =
Y(j  )
X(j )
jM
W(j ) =
Y(j  )
=
X(j )
b
j 0
j
iN
( j ) j
 a ( j )
i 0

i
B( j )
A( j )
i
bm ( j )  bm 1 ( j ) m 1  ...  b1 ( j )  b0
m
или
W(j ) =
a n ( j ) n  a n 1 ( j ) n 1  ...  a1 ( j )  a 0
;
W(j ) = R e () + j I m () – в алгебраической форме (АФХ)
Действит
мнимая
части
5. Соединения элементов (элементарных звеньев).
При решении задач анализа и синтеза линейных САУ (САР) целесообразно представлять их ввиде
совокупности соединенных между собой нескольких несложных элементов с определенными
динамическими свойствами. В результате такого представления получают структурную схему реального
элемента или САУ, которая достаточно точно и полно описывает их динамические свойства.
Элементарным звеном называют такое звено, которое невозможно подразделить на еще более простые
звенья. Их основные свойства:



Имеют одну входную и выходную величину;
Описываются дифф уравнениями 2го порядка;
Обладают детектирующим свойством, т.е. пропускают сигнал только в одном направлении.
Математическое описание САУ (элементов) осуществляют с помощью передаточных функций, а при
разбиении их на элементарные звенья получение передаточных функций сводится к получению
передаточных функций этих отдельных звеньев, соединенных между собой определенным образом.
Можно выделить три типа соединений звеньев: последовательное, параллельное и встречно –
параллельное.
Последовательное соединение:
X(p)
Y1(p)
Y(p)
W2(p)
W1(p)
Система изображающих уравнений для нее:
Y1(p) = W1(p) X(p),исключая Y1(p) получаем:
Y(p) = W2(p) Y1(p) ;
Y(p) = W(p) X(p) ;
(9)
W(p) = W1(p) W2(p)
Параллельное соединение:
Y1(p)
W1(p)
X(p)
Y(p)
W2(p)
Где
Y(p) = Y1(p) + Y2(p)
Y1(p) = W1(p) X(p)
Y2(p) = W2(p) X(p)
(10)
Y2(p)
Исключая Y1(p) и Y2(p), получаем
Y(p) = W(p) X(p)
W(p) = W1(p) + W2(p)
Встречно – параллельное соединение:
X(p)
X1(p)
1
W1(p)
+
Y1(p)
Y(p)
Y1(p)
W1 ( p)
1  W1 ( p)W2 ( p)
При |W1(p)|  
1
W1(p)
Y(p)
2
W2(p)
С отрицательной обратной связью
Элемент 2 – элемент обратной связи
Y(p) = W1(p) X(p)
X1(p) = X(p) + Y1(p)
Y1(p) = W2(p) Y(p), исключая X1(p) и Y1(p)
получаем Y(p) = W(p) X(p), где
W(p) =
W(p) =
X1(p)
--
2
W2(p)
С положительной обратной связью
Элемент 1 называют охватывающим
Y(p) = W1(p) X(p)
X1(p) = X(p) + Y1(p)
Y1(p) = W2(p) Y(p)
W(p) =
X(p)
W1 ( p)
1  W1 ( p)W2 ( p)
1
т.е. с увеличением модуля передаточной функции охватываемого
W ( p)
элемента передаточная функция встречно-параллельного соединения зависит от передаточной функции
элемента обратной связи:
При |W2(p)|  
W(p) = 0 это свойство лежит в основе управления по отклонениям.
Типовые звенья (элементы), с помощью которых можно представить любые САУ:
1. пропорциональное (статическое) : Y(t) = kX(t), W(p) = k;
 dY (t ) 
  Y (t )  kX (t ),
 dt 
2. апериодическое первого порядка: T 
W(p) =
k
;
Tp  1
k
 dY (t ) 
;
  Y (t )  kX (t ) , W(p) =
Tp  1
 dt 
T
3. неустойчивое первого порядка:
t
4.
1
идеально-интегрирующее: Y(t) =  x(t )dt ,
T 0
W(p) =
1
;
T
 dx(t ) 
 , W(p) = p;
 dt 
 d 2Y (t ) 
 dY (t ) 
  2T 
6. колебательное: T2 
  Y (t ) = kX(t),
2
 dt 
 dt 
5. идеально-дифференцирующее: Y(t) = 0 
W(p) =
7.
k
;
T p  2Tp  1
2
 d 2Y (t )
консервативное: Т2 
2
 dt
2

 Y (t )  kX (t )  ,

W(p) =
k
;
T p2 1
2
звено чистого запаздывания: Y(t) = X(t-),
W(p) = e-p
где
k, T, ,  - постоянные коэффициенты; К – коэффициент передачи с размерностью: единица
измерения выходной величины на единицу измерения входной величины; Т – постоянная времени , с;
 - коэф затухания (безразмерная величина 0 <  < 1 )  - коэф передачи; его размерность: единица
измерения выходной величины на единицу измерения скорости изменения входной величины;
 - постоянное время запаздывания.
1,4,5,8 – звенья без инерционные; такие звенья физически не реализуемы и поэотму называются
идеальными.
ОУ, описываемые дифф уравнением апериодического звена 1го порядка, а так же, которые можно
представить цепочкой из последовательно соединенных апериодических звеньев, называют объектами с
самовыравниванием
ОУ, описываемые дифф уравнениями интегрирующих звеньев называются астатическими объектами.
8.
6. Многомерный элемент.
На практике часто встречаются элементы (САУ) со многими входами и выходами – многомерные
элементы.
Элемент с m выходами и n входами описывается системой уравнений динамики, связывающие
входные Xi(t), i = 1, …,n и выходные Yj(t), j = 1,…,m переменные элемента, его параметры и время.
Используя преобразования Лапласа получаем
n
Yj (p) =
W
i 1
ji
( p) X i ( p)
j = 1;
(11)
Где Yj(p), Xi(p) – изображения по Лапласу переменных элемента
Yj(p) = L[Yj(t)],
Xi(p) = L[Xi(t)]
Wji (p) – передаточная функция элмента.
Представление многомерного элемента
X1(p)
Xn(p)
Как одномерного
Wi1(p)
Y1(p)
Win(p)
Wm1(p)
Wmn(p)
Ym(p)
7. Основные законы (алгоритмы) управления.
Управляющее устройство создается для реализации той или иной функциональной зависимости
управляющих воздействий от отклонений управляемых показателей от заданных значений, а так же от
возмущающих воздействий на объект управления.
Различают пять непрерывных законов управления (регулирования);
- пропорциональный (П - закон) : Y = k;
dY
 k p1 или
dt
k p1
Wи* ( p) 
p(Tин p  1)
- интегральный (И - закон) :
Wи(p) =
kp1
;
p
W П* ( p) 
WП(p) = kp;
Y=
k p1
dt
kp
Tин p  1
;
;
 d    
dY
 k p       ;
dt
 dt   Tи 

 1 
  

T
p

1
kз
 Tи   ;
*
и
WПИ
( p)  k p
WПИ(p) = kp+
;
Y = kp  

dt 
Tи p(Tин p  1)
Tи p




 d 
 d 2  
dY
- пропорционально-дифференциальный (ПД-закон):
 k p    T Д  2 
dt
 dt 
 dt 

 d 
или
WПД(p) = kp + kpTД p = kp(1 +TД p)
Y  k p   T Д   ;
 dt 

- пропорционально-интегральный (ПИ-закон):
- пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД-закон)
 d   
dY
 k p    
dt
 dt   Tи
WПИД(p) = kp +
kp
Tи p

 d 2  
  T Д  2 
 dt 

 k pT Д p ;
или
W *ПИД

 1
 d 

Y = kp     dt T Д 
 ;
 dt 
  Tи 
 1  TИ p  TИ T Д p 2
( p)  k p 
 TИ p(TИН p  1)


;


Где  = -z*(t) – Y(t) - отклонение (ошибки ) управляемой величины от заданного значения (цели);
Y – перемещение выходного вала исполнительного механизма;
kp, kp1 – коэффициенты передачи соответствующих регуляторов;
TИ – постоянная времени интегрирования;
ТД – постоянная времени дифференцирования;
ТИН – постоянная времени инерционного звена.
8. Устойчивость и качество САУ (САР)
При возмущениях в САУ возникают колебания Y(t), которые могут быть затухающими,
незатухающими, стремящимися к положению равновесия, или уходящими от него (последние системы не
работоспособны).
САУ называют устойчивой, если будучи выведенной из состояния равновесия, после снятия
возмущающего воздействия, она возвращается к прежнему положению или в конечную область,
примыкающую к этому положению.
Простейшая аналогия устойчивости и неустойчивости систем могут служить системы из вогнутой и
выпуклой поверхности и шарика от положения равновесия.
Y
Y
4
Y
2
3
t
t
5
1
1 – малое трение ;
2 – большое трение (апериодический процесс) ;
3 – очень большое трение (система устойчива);
4 – не возвращается в исходное положение (апериодический процесс) ;
5 – периодический в виде расходящихся колебаний.
При определении устойчивости системы рассматривается ее свободное поведение при равенстве
нулю возмущающих входных воздействий. Поэтому движение системы определяется однородным
дифференциальным уравнением замкнутой системы:
a n y (n) + a n-1 y (n-1) +…+a 1 y ’ + a0 = 0
характеристическое уравнение: a n p (n) + a n – 1 p(n-1) +…+a1 p’ + a0 = 0
(12)
n
Общее решение: Y(t) =
C e
k 1
k
PK t
если Pk – действительные корни.
Положение А.М. Ляпунова для определения устойчивости систем по корням характеристического
уравнения:
1) Если характерисстическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными
действительными числами, то система устойчива.
2) Если хотя бы один корень имеет положительную часть, то система неустойчива.
3) При наличии нулевых или чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда (даже
качественно) определяется еѐ линеаризованным уравнением.
Критерий устойчивости
1. алгеброический критерий Рауса- Гурвица.
САУ устойчива, если все коэффициенты однородного дифференциального уравнения замкнутой системы
имеют одинаковый знак, а все определители Гурвица больше нуля.
an-1
an
0
0
0
0
an-3
an - 2
an-1
an
0
0
an-5
an – 4
an-3
an - 2
0
0
…
…
…
…
…
…
0
0
0
0
a1
a2
0
a0
>0
n = a0n-1 >0
Практически используется до 4 – 5 порядков.
1 = an-1 > 0
2 =
a n 1 a n 3
a n a n2
>0
a n 1 a n 3 a n 5
3 = a n a n  2 a n  4
0a n 1 a n 3
>0
2. Частотный критерий Михайлова.
САУ устойчива, если годограф Михайлова начинается при  = 0 на положительной действительной
полуоси и с увеличением частоты от 0 до  проходит в положительном направлении (против часовой
стрелки) последовательно, нигде не обращаясь в нуль, n – квадрантов (n – порядок дифф уравнения системы).
Левая часть характеристического уравнения замкнутой САУ
Q(p) = a n p (n) + a n – 1 p(n-1) +…+a1 p’ + a0;
Подставим чисто мнимое значение p = j.
Q(j) = an(j)n + an-1(j)n-1 + … + a1 j + a0 - вектор Михайлова.
Если изменять  от 0 до  , то вектор опишет кривую – годограф Михайлова.
2
1
1,2 – устойчивая система
3 – неутойчивая
4 – на границе устойчивости
4
3
Критерий Найквиста
Для оценки систем с транспортным запаздыванием.
Преимущество – возможность суждения об устойчивости замкнутой САУ по характеристикам разомкнутой
системы.
n
АФХ разомкнутой системы: Wраз(j) =
  ( j ) ,
i
i 1
САУ устойчивая или нейтрально устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом, если АФХ
разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до  не охватывает на комплексной плоскости точку с
координатами (-1; j0)
C
1 – устойчивая система;
2 – на границе устойчивости;
3 – неустойчивая
J Im
2
1
-1

Re
3
Устойчивость является необходимым, но не достаточным САУ. Одна из основных характеристик
качества регулирования – это точность, под которой понимается величина ошибки регулирования в
различных установившихся режимах.
В системах стабилизации таким режимом является установившееся состояние (положение
равновесия) и точность системы характеризуется величиной статической ошибки хст.
Применение П - и ПД – законов регулирования не позволяет избежать статической ошибки(или ѐѐ
выхода за допустимые пределы в реальных системах). Если допустимая ошибка мала, или равнв 0,
необходимо применять регуляторы с интегральной составляющей в законе регулирования (И, ПИ, ПИД),
обеспечивающие регулирование без статической ошибки.
1
Y
1 – возмущение по заданию
Ycn = Y0 – Y()
2 – другие возмущения
Ycn =Y()
Ycn
Y0
Y()
0
Y0
t
2
Y()=Yст
Показатели качества делятся на две группы:
1. Определяемые непосредственно по кривой переходного процесса.
Y
Y3
Y1
t
tp
Y1 – динамическое отклонение т.е.
наибольшее отклонение управляемой
величины от задания.
Tp – время регулирования, т.е.
продолжительность переходного процесса
(характеризует быстродействие системы);
Y2
Y1  Y3
- степень затухания;
Y1
Y
 = 2  100 - перерегулирование, %;
Y1
=

интегральный критерий качества

I = Y (t ) dt
0

интегральный квадратичный критерий качества

I2 = Y 2 (t )dt
0