манипулирование в задаче дележа для двух участников

c
°
2011 Ç.
û×ÁÒà ä. á.
(çÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÷ÙÓÛÁÑ ûËÏÌÁ üËÏÎÏÍÉËÉ)
íáîéðõìéòï÷áîéå ÷ úáäáþå äåìåöá äìñ ä÷õè
õþáóôîéëï÷
÷ ÚÁÄÁÞÅ ÄÅÌÅÖÁ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÉÇÒÏËÏ× ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÞÅÓÔÅÎ É ÓÏÏÂÝÁÅÔ Ó×ÏÉ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ. ÷ÔÏÒÏÍÕ ÉÇÒÏËÕ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ É ÏÎ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÙÇÏÄÎÏ ÄÌÑ ÓÅÂÑ
ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÀ. óÔÁÔØÑ, ÐÏ ÓÕÔÉ, | ÒÅËÏÍÅÎÄÁÃÉÑ ×ÔÏÒÏÍÕ
ÉÇÒÏËÕ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ
ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÒÏÃÅÄÕÒÙ ÄÅÌÅÖÁ (ÅÓÌÉ ÐÏÓÌÅÄÎÑÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚÕÍÎÁ, Ô.Å. ÅÓÌÉ
ÐÒÉ ÄÁÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÅ ÄÅÌÅÖÉ, ÐÒÏÃÅÄÕÒÁ ÐÒÅÄÌÁÇÁÅÔ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ).
1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
úÁÄÁÞÁ ÄÅÌÅÖÁ ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÄÏÌÇÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ, ËÁË É ÓÁÍÏ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Ï. ÷
÷ÅÔÈÏÍ úÁ×ÅÔÅ ÇÏ×ÏÒÉÔÓÑ Ï á×ÒÁÁÍÅ É ìÏÔÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÒÁÎÓÔ×Ï×ÁÌÉ ×ÍÅÓÔÅ É ÐÏÐÁÌÉ × ÓÔÒÁÎÕ, ÇÄÅ ÎÅ È×ÁÔÁÌÏ ÐÒÏÐÉÔÁÎÉÑ ÄÌÑ ÉÈ ÓÅÍÅÊ. îÁÞÁÌÉÓØ ÓÓÏÒÙ ÍÅÖÄÕ ÉÈ
ÐÁÓÔÕÈÁÍÉ. òÅÛÅÎÉÅ, ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ á×ÒÁÁÍÏÍ ìÏÔÕ, ÂÙÌÏ ÐÒÏÓÔÙÍ:
€. . . ÄÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÚÄÏÒÁ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÀ É ÔÏÂÏÀ, É ÍÅÖÄÕ ÐÁÓÔÕÈÁÍÉ ÍÏÉÍÉ É ÐÁÓÔÕÈÁÍÉ Ô×ÏÉÍÉ, ÉÂÏ ÍÙ ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÉ; ÎÅ ×ÓÑ ÌÉ ÚÅÍÌÑ ÐÅÒÅÄ ÔÏÂÏÀ? ÏÔÄÅÌÉÓØ ÖÅ ÏÔ
ÍÅÎÑ: ÅÓÌÉ ÔÙ ÎÁÌÅ×Ï, ÔÏ Ñ ÎÁÐÒÁ×Ï; Á ÅÓÌÉ ÔÙ ÎÁÐÒÁ×Ï, ÔÏ Ñ ÎÁÌÅ×ρ (âÙÔ. 13:8|9).
ìÏÔ ×ÙÂÒÁÌ ÄÏÌÉÎÕ éÏÒÄÁÎÁ, Á á×ÒÁÁÍ ÏÓÔÁÌÓÑ ÎÁ ÚÅÍÌÅ èÁÎÁÁÎÓËÏÊ. ôÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÂÙÌÁ ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÚÁÄÁÞÁ, ÎÏ É ÏÐÉÓÁÎ ÓÐÏÓÏ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÊ
ÐÏÚÖÅ ÓÔÁÌ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÐÒÏÃÅÄÕÒÏÊ "ÄÅÌÉ É ×ÙÂÉÒÁÊ".
ðÏÈÏÖÁÑ ÔÒÁËÔÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÄÅÌÅÖÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ É × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ. åÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÂßÅËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÄÏ ÐÏÄÅÌÉÔØ ÍÅÖÄÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ, ÐÒÉÞÅÍ ÃÅÎÎÏÓÔØ
ÏÂßÅËÔÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÎÏÊ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÄÅÌÅÖÁ.
îÁÉÂÏÌÅÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ × ÜÔÕ ÔÒÁËÔÏ×ËÕ ×ÐÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÅÌÅÖÁ ÎÁÓÌÅÄÓÔ×Á
ÉÌÉ ÒÁÚÄÅÌÁ ÉÍÕÝÅÓÔ×Á ÐÏÓÌÅ ÒÁÚ×ÏÄÁ ÓÕÐÒÕÇÏ× [1].
úÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÕÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÅÇÏ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÁ ÐÅÒÅÇÏ×ÏÒÁÈ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ
1
×ÏÓÐÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÚÁÄÁÞÕ ÄÅÌÅÖÁ. òÏÌØ ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÐÒÅÄÍÅÔÏ× ÚÄÅÓØ ÉÇÒÁÀÔ ÐÕÎËÔÙ
ÐÅÒÅÇÏ×ÏÒÏ×. ðÏÓÌÅ ÄÅÌÅÖÁ ÐÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÐÕÎËÔÏ× ÐÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÔÏÊ
ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÏÔÏÒÏÊ ÕÐÏÍÑÎÕÔÙÊ ÐÕÎËÔ ÄÏÓÔÁÌÓÑ. åÓÌÉ ÐÕÎËÔ ÐÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ
ÍÅÖÄÕ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ, ÐÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÏÍÐÒÏÍÉÓÓÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
÷ [2] ÜÔÏÔ ÐÏÄÈÏÄ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ÔÒÕÄÏ×ÙÍ ÓÐÏÒÁÍ, Á × [3] | Ë ÐÒÏÂÌÅÍÅ ÓÌÉÑÎÉÑ
ÆÉÒÍ.
÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ, ×ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÏÂÏÉÈ
ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, É ËÁË ÜÔÏ ÐÏÎÑÔÉÅ ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ËÏÎÃÅÐÃÉÑ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ, ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÎÁÑ ó. âÒÁÍÓÏÍ É á. ôÅÊÌÏÒÏÍ ([4, 5]).
åÓÌÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÄÅÌÅÖÁ Ä×ÏÅ (Á ÐÒÉ ÄÅÌÅÖÅ ÉÍÕÝÅÓÔ×Á ÐÒÉ ÒÁÚ×ÏÄÅ, ÔÒÕÄÏ×ÙÈ
ÓÐÏÒÁÈ É ÓÌÉÑÎÉÉ ÆÉÒÍ ÜÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁË), Á ËÏÍÐÒÏÍÉÓÓÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ
ÐÒÉÎÑÔØ ÐÏ ÌÀÂÏÍÕ ÐÕÎËÔÕ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ ÄÅÌÅÖ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÓÅÇÄÁ É ÓÔÒÏÉÔÓÑ Ó
ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÏÓÔÏÊ É ÐÒÏÚÒÁÞÎÏÊ ÐÒÏÃÅÄÕÒÙ, ÎÁÚ×ÁÎÎÏÊ ó. âÒÁÍÓÏÍ É á. ôÅÊÌÏÒÏÍ
"ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ" ([4]).
åÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÐÕÎËÔÙ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÅÌØÚÑ, ÚÁÄÁÞÁ ÓÌÏÖÎÅÅ É ×ÏÚÍÏÖÎÙ ÓÉÔÕÁÃÉÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊ ×ÓÅÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÄÅÌÅÖ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. éÓÞÅÒÐÙ×ÁÀÝÉÊ
ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÐÒÏÓ, ÐÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÅ ÄÅÌÅÖÉ ÄÌÑ Ä×ÕÈ
ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ÄÁÎ × ÐÒÅÐÒÉÎÔÅ [6].
ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ ÕÚÎÁÌÁ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ ÄÒÕÇÏÊ. ëÁË ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÀ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÐÏÌØÚÏÊ? ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ×ÏÐÒÏÓ ÍÏÖÎÏ
ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Á:
1. ïÐÐÏÎÅÎÔÕ ÐÒÉÄÅÔÓÑ ÏÔÄÁÔØ ËÁË ÍÉÎÉÍÕÍ ÐÏÌÏ×ÉÎÕ (Ó ÅÇÏ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ), ÉÎÁÞÅ
ÏÎ ÎÅ ÓÏÇÌÁÓÉÔÓÑ ÎÁ ÄÅÌÅÖ. ëÁË ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÓÔÁ×ÛÁÑÓÑ ÞÁÓÔØ ÂÙÌÁ
(Ó ÍÏÅÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ) ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÃÅÎÎÏÊ?
2. ëÁËÉÅ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÏÏÂÝÉÔØ ×ÍÅÓÔÏ ÉÓÔÉÎÎÙÈ, ÞÔÏÂÙ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÒÏÃÅÄÕÒÙ ÄÅÌÅÖÁ ÂÙÌ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎ ÄÅÌÅÖ ÉÚ Ð. 1?
ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÐÅÒ×ÙÊ ×ÏÐÒÏÓ | ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁËÓÉÍÉÚÁÃÉÉ. ãÅÌØ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ |
ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ×ÏÐÒÏÓ.
2
2. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ N = {1; : : : ; n} ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ n ÐÒÅÄÍÅÔÏ× (ÐÕÎËÔÏ×), ËÏÔÏÒÙÅ
ÄÅÌÑÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÉÇÒÏËÉ A1 ; A2 ; : : : ; Ak . ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÐÕÎËÔÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÄÅÌÅÎ ÍÅÖÄÕ ×ÓÅÍÉ ÉÇÒÏËÁÍÉ (ÔÏÇÄÁ ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÌÉÍÙÍ) ÉÌÉ ÏÔÄÁÎ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÉÇÒÏËÏ× (ÎÅÄÅÌÉÍÙÊ ÐÕÎËÔ). äÅÌÅÖÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ n-ÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
XA1 ; : : : ; XAk , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ j :
k
P
i=1
XAi ;j = 1
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ j ,
XAi ;j ∈ [0; 1] ÄÌÑ ÄÅÌÉÍÙÈ ÐÕÎËÔÏ×,
XAi ;j ∈ {0; 1} ÄÌÑ ÎÅÄÅÌÉÍÙÈ ÐÕÎËÔÏ×,
ðÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ËÁË
k
X
i=1
XAi = 1;
ÇÄÅ 1 | ×ÅËÔÏÒ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÏÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉÃ. ÷ÅËÔÏÒ XA ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÌÅÊ ÉÇÒÏËÁ A.
äÅÌÅÖ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÔÙÍ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÐÕÎËÔÏ× ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏÓÔÁÅÔÓÑ ËÁËÏÍÕÌÉÂÏ ÉÚ ÉÇÒÏËÏ×, Ô.Å. ∀i; j XAi ;j ∈ {0; 1}.
÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ, ÐÏ ÂÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔÉ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÌÅÖ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÉÇÒÏËÁÍÉ
(ËÏÔÏÒÙÅ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÕÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ A É B ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÅÌÅÖ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ÄÏÌÅÊ A (XA ). âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÅ ÐÒÏÓÔÏ X , ÔÏÇÄÁ XB = 1 − X .
óÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÐÒÏÓ | ÏÃÅÎËÉ ×ÙÉÇÒÙÛÅÊ ÉÇÒÏËÏ×. âÕÄÅÍ ÐÏÄÈÏÄÉÔØ Ë ÐÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉ, × ÓÔÉÌÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [4]. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÄÅÌÅÖÁ
ÍÏÖÅÔ ÞÉÓÌÅÎÎÏ ÏÃÅÎÉÔØ ÐÏÌÅÚÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ É ÜÔÉ ÐÏÌÅÚÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ
ÐÕÎËÔÏ× ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ, Ô.Å. ÌÀÂÏÍÕ ÉÇÒÏËÕ A ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ ÐÏÌÅÚÎÏÓÔÅÊ
ÐÕÎËÔÏ× wA , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÁ×ÎÁ 1. ÷ÙÉÇÒÙÛ ÉÇÒÏËÁ Ai (WAi )
ÐÒÉ ÄÅÌÅÖÅ X ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
WAi (X ) =
X
j ∈N
wAi ;j xAi ;j :
3. áËÓÉÏÍÙ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ
ï Ð Ò Å Ä Å Ì Å Î É Å 1 [4]. äÅÌÅÖ X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ:
3
ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÉÇÒÏËÏ× ÓÞÉÔÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 1=k
ÏÔ ×ÓÅÇÏ ÄÅÌÉÍÏÇÏ (× ÓÌÕÞÁÅ Ä×ÕÈ ÉÇÒÏËÏ× | ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ):
∀A
1
WA (XA ) > ;
n
Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÏÔ ÚÁ×ÉÓÔÉ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÉÇÒÏËÏ× ÓÞÉÔÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌ ÎÅ
ÍÅÎØÛÅ ÌÀÂÏÇÏ ÉÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ:
∀A; B
WA (XA ) > WA (XB );
ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ ×ÙÉÇÒÙÛÉ ×ÓÅÈ ÉÇÒÏËÏ× ÒÁ×ÎÙ:
∀A; B
WA (XA ) = WB (XB );
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ ÉÌÉ ðÁÒÅÔÏ-ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÙÌ ÂÙ ÌÕÞÛÅ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×, ÎÅ ÂÕÄÕÞÉ ÈÕÖÅ ÄÌÑ
ÄÒÕÇÏÇÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÁ;
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÏÓÔÉ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ
É ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÚÁ×ÉÓÔÉ.
üÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÄÅÌÅÖÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ×ÓÅÇÄÁ | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÔÄÁÔØ ×ÓÅ ÐÕÎËÔÙ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÉÇÒÏËÏ×. á ×ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ 3 ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÏÇÕÔ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÔØÓÑ ÎÉ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ
ÄÅÌÅÖÁ: ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÐÒÉÍÅÒ | ÄÅÌÅÖ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÎÅÄÅÌÉÍÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ.
÷ ÓÌÕÞÁÅ Ä×ÕÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ×ÅÒÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. åÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, × [1], ÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÏ ÏÞÅÎØ ÐÒÏÓÔÏ É ÐÏÌÅÚÎÏ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ, ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ ÅÇÏ ÚÄÅÓØ.
ð Ò Å Ä Ì Ï Ö Å Î É Å 1. ðÕÓÔØ ÄÅÌÅÖ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÉÇÒÏËÁÍÉ. ôÏÇÄÁ:
1) ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁ×ÎÙÊ ÄÅÌÅÖ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÒÁ×ÎÙÊ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ
ÄÅÌÅÖ;
2) ÅÓÌÉ ÄÅÌÅÖ ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÙÊ É ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ, ÔÏ ÏÎ Ó×ÏÂÏÄÅÎ ÏÔ ÚÁ×ÉÓÔÉ.
ä Ï Ë Á Ú Á Ô Å Ì Ø Ó Ô × Ï. 1. ðÕÓÔØ WA (X ) = WB (X ). åÓÌÉ ×ÙÉÇÒÙÛ A ÍÅÎØÛÅ
ÐÏÌÏ×ÉÎÙ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÅÌÅÖ 1 − X , ÅÓÌÉ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÔÏ | ÐÒÏÓÔÏ X . òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÄÅÌÅÖ ÂÕÄÅÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÉÇÒÙÛ A ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ,
4
Á ×ÙÉÇÒÙÛ B ÒÁ×ÅÎ ×ÙÉÇÒÙÛÕ A.
2. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÁ ÉÇÒÏËÁ ÓÞÉÔÁÀÔ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ, Á
ÚÎÁÞÉÔ, ÄÏÌÑ ÏÐÐÏÎÅÎÔÁ ÐÏ ÉÈ ÏÃÅÎËÁÍ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÅÌÅÖ Ó×ÏÂÏÄÅÎ
ÏÔ ÚÁ×ÉÓÔÉ.
ú Á Í Å Þ Á Î É Å 1. åÓÌÉ ÉÇÒÏËÏ× Ä×Á, ÔÏ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ
ÍÏÖÎÏ ÕÂÒÁÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÚÁ×ÉÓÔÉ.
åÓÌÉ ÉÇÒÏËÏ× ÂÏÌØÛÅ Ä×ÕÈ, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ É ÕÐÏÍÑÎÕÔÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÅÌÅÖÁ (ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÓÔØ, ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÏÓÔØ, ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÚÁ×ÉÓÔÉ) ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
4. ðÒÏÃÅÄÕÒÙ ÄÅÌÅÖÁ
óÁÍÁÑ ÐÒÏÓÔÁÑ É, ×ÅÒÏÑÔÎÏ ÓÁÍÁÑ ÄÒÅ×ÎÑÑ ÉÚ ÐÒÏÃÅÄÕÒ | "ÄÅÌÉ É ×ÙÂÉÒÁÊ".
ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÉÇÒÏËÏ× ÄÅÌÉÔ ×ÅÓØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÊ ×ÙÉÇÒÙÛ ÎÁ ÒÁ×ÎÙÅ, Ó ÅÇÏ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ,
ÄÏÌÉ, Á ×ÔÏÒÏÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÉÚ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÎÉÈ.
üÔÏÔ ÓÐÏÓÏ ÄÅÌÅÖÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÅÎ × ÎÁÍÎÏÇÏ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ | Õ
ÉÇÒÏËÏ× ÎÅÔ ÏÃÅÎÏË, ÎÏ ËÁÖÄÙÊ ÕÍÅÅÔ ÄÅÌÉÔØ ×ÅÓØ ×ÙÉÇÒÙÛ ÐÏÐÏÌÁÍ (× ÓÌÕÞÁÅ ÂÏÌÅÅ
ÞÅÍ Ä×ÕÈ ÉÇÒÏËÏ× | ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÙÈ, Ó ÅÇÏ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ, ÞÁÓÔÅÊ).
ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ "ÄÅÌÉ É ×ÙÂÉÒÁÊ" ÄÅÌÅÖ ÂÕÄÅÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÚÁ×ÉÓÔÉ (Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ A ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÙ, Á B
ÓÞÉÔÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÂÒÁÌ ÌÕÞÛÕÀ), ÎÏ ÎÅ ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÙÍ (A ÓÞÉÔÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌ ÐÏÌÏ×ÉÎÕ, B | ÞÔÏ ÂÏÌØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ) É ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ (× ÓÌÕÞÁÅ ÄÅÌÉÍÙÈ
ÐÕÎËÔÏ× A ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÓÔÏ ÐÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÐÏÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ ÐÕÎËÔÙ ÐÏÐÏÌÁÍ, ÞÔÏ, ÓËÏÒÅÅ
×ÓÅÇÏ, ÎÅ ðÁÒÅÔÏ-ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏ).
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÚÁÄÁÎÉÅ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ ÉÇÒÏËÏ× ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÄÅÌÅÖÁ | Õ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ×ÙÂÏÒÁ.
÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ ÄÅÌÅÖ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÐÒÏÃÅÄÕÒÁ "ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ", ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÎÁÑ ó. âÒÁÍÓÏÍ É á. ôÅÊÌÏÒÏÍ [4].
õÐÏÒÑÄÏÞÉÍ ÒÅÓÕÒÓÙ ÐÏ ÕÂÙ×ÁÎÉÀ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ai =bi , Ô.Å. ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ
a1 =b1 > a2 =b2 > : : : > an =bn (ÚÄÅÓØ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÒÅÓÕÒÓÙ ÉÍÅÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÃÅÎÎÏÓÔØ, Ô.Å. ai > 0 É bi > 0). ðÕÓÔØ r | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ i, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ
ai =bi > 1.
5
îÁ
ÐÅÒ×ÏÍ
ÛÁÇÅ
ÐÒÏÃÅÄÕÒÙ
€ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ
ÐÏÂÅÄÉÔÅÌ؁
ÕÞÁÓÔÎÉËÕ A ÐÒÉÐÉÓÙ×ÁÀÔ ×ÓÅ ÒÅÓÕÒÓÙ Gi , ÇÄÅ 1 6 i 6 r, Á ÕÞÁÓÔÎÉËÕ B |
ÒÅÓÕÒÓÙ Gi , ÇÄÅ r + 1 6 i 6 n.
åÓÌÉ ×ÙÉÇÒÙÛÉ ÓÔÏÒÏÎ ÒÁ×ÎÙ, ÔÏ ÐÒÏÃÅÄÕÒÁ ÚÁËÏÎÞÅÎÁ. éÎÁÞÅ ÉÚÕÞÁÅÔÓÑ, ËÁË
ÎÕÖÎÏ ÐÅÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÅÓÕÒÓ G Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÉÍ Ë ÅÄÉÎÉÃÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ai =bi , ÞÔÏÂÙ
ÓÔÏÒÏÎÙ ÂÙÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÙ: ÜÔÏ ÒÅÓÕÒÓ Gr , ÅÓÌÉ ÐÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÛÁÇÁ ÂÏÌØÛÅ ÏÞËÏ× ÎÁÂÒÁÌ ÕÞÁÓÔÎÉË A, ÉÌÉ Gr+1 , ÅÓÌÉ ÂÏÌØÛÅ ÏÞËÏ× ÎÁÂÒÁÌ
B . ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÐÅÒÅÄÁÔØ ×ÅÓØ ÜÔÏÔ ÒÅÓÕÒÓ G ÐÏËÁ ÐÒÏÉÇÒÙ×ÁÀÝÅÍÕ
ÕÞÁÓÔÎÉËÕ, ÔÏ ÏÎ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÐÒÏÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÍ. ôÏÇÄÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÅÒÅÄÁÔØ ÅÍÕ ×ÅÓØ
ÜÔÏÔ ÒÅÓÕÒÓ É ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ (Gr−1 ÉÌÉ Gr+2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ), ÐÏËÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ
ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÞËÏ×, ÐÏÌÕÞÁÅÍÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ.
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÄÅÌÅÖ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ k, 1 6 k 6 n,
ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÒÅÓÕÒÓÙ Ó ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏ (k − 1)-Ê ÐÏÌÕÞÁÅÔ A, Ó k +1 ÐÏ n-Ê | B , Á k-Ê ÒÅÓÕÒÓ
ÄÅÌÉÔÓÑ ÍÅÖÄÕ A É B ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÞËÏ×.
÷ÅÒÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ.
ô Å Ï Ò Å Í Á 1 [5]. åÓÌÉ ÐÒÏÃÅÄÕÒÁ "ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ" ÓÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÄÅÌÅÖ | ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ ÎÅÔ ÐÕÎËÔÏ× Ó
ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ai =bi , ËÁË Õ ÄÅÌÑÝÅÇÏÓÑ ÐÕÎËÔÁ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ ÄÅÌÅÖ | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ.
ðÒÏÃÅÄÕÒÁ "ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ" ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÔÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÄÅÌÉÍ ÏÄÉÎ ÉÚ ÐÕÎËÔÏ×, ÎÏ ÐÏÓËÏÌØËÕ, ÎÅ ÚÎÁÑ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ ÉÇÒÏËÏ×, ÎÅÌØÚÑ ÓËÁÚÁÔØ
ÚÁÒÁÎÅÅ, ËÁËÏÊ ÜÔÏ ÐÕÎËÔ, ÐÒÉÈÏÄÉÔÓÑ, ËÁË É × ÐÒÏÃÅÄÕÒÅ "ÄÅÌÉ É ×ÙÂÉÒÁÊ" ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÐÕÎËÔÙ ÄÅÌÉÍÙ.
åÓÌÉ ÖÅ ÞÁÓÔØ ÐÕÎËÔÏ× ÎÅÄÅÌÉÍÁ, ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ ÓÌÏÖÎÅÅ É ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ. ëÒÉÔÅÒÉÊ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ ÐÒÉ×ÅÄÅÎ × [6], ÚÄÅÓØ ÖÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÒÏ×.
ð Ò É Í Å Ò 1. äÅÌÉÔÓÑ 2 ÐÕÎËÔÁ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÄÅÌÉÍ ÐÅÒ×ÙÊ. ïÃÅÎËÉ ÉÇÒÏËÏ×:
1 2
A 0,7 0,3
B 0,6 0,4
úÄÅÓØ ÎÅÔ ÎÉ ÒÁ×ÎÏÇÏ, ÎÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ. ëÔÏ-ÔÏ ÄÏÌÖÅÎ ÚÁÂÒÁÔØ
6
ÐÅÒ×ÙÊ ÐÕÎËÔ É ÐÏÌÕÞÉÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 0,6, ÔÏÇÄÁ ÅÇÏ ÏÐÐÏÎÅÎÔ ÐÏÌÕÞÉÔ ×ÔÏÒÏÊ ÐÕÎËÔ
(ÉÌÉ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÅÇÏ ÞÁÓÔØ), Ô.Å. ÍÅÎÅÅ 0,5).
éÄÅÉ Ä×ÕÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÉÍÅÒÏ× ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÐÒÅÐÒÉÎÔÁ [6].
ð Ò É Í Å Ò 2. äÅÌÑÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅ ÐÕÎËÔÁ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÍ ÔÏÌØËÏ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ.
ïÃÅÎËÉ ÉÇÒÏËÏ×:
1
2
3
4
A 0,4 0,1 0,45 0,05
B 0,49 0,01 0,45 0,05
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÁ×ÎÙÊ É ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÄÅÌÅÖ | ÏÔÄÁÔØ A ÐÅÒ×ÙÊ É ×ÔÏÒÏÊ
ÐÕÎËÔÙ, Á B | ÏÓÔÁÌØÎÙÅ. ïÂÁ ÉÇÒÏËÁ ÐÏÌÕÞÁÔ ÐÏ 0,5. îÏ ÜÔÏÔ ÄÅÌÅÖ ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ.
åÓÌÉ ÏÔÄÁÔØ A ×ÔÏÒÏÊ É ÔÒÅÔÉÊ ÐÕÎËÔÙ, ÅÇÏ ×ÙÉÇÒÙÛ ÓÔÁÎÅÔ ÒÁ×ÎÙÍ 0,55, Á Õ B |
0,54.
ð Ò É Í Å Ò 3. äÅÌÑÔÓÑ ÔÒÉ ÐÕÎËÔÁ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÍ ÔÏÌØËÏ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ. ïÃÅÎËÉ
ÉÇÒÏËÏ×:
1
2
3
A 0,52 0,43 0,05
B 0,38 0,52 0,1
äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÄÅÌÅÖ ÂÙÌ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ, ÉÇÒÏË A ÄÏÌÖÅÎ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÐÅÒ×ÙÊ
ÐÕÎËÔ, Á B | ×ÔÏÒÏÊ. ìÀÂÏÊ ÉÚ ÄÅÌÅÖÅÊ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ, É ÓÒÅÄÉ
ÎÉÈ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁ×ÎÙÊ | ÉÇÒÏË A ÐÏÌÕÞÁÅÔ 2/3 ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÕÎËÔÁ, ÉÇÒÏË B
| 1/3, Ô.Å. ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ ÄÅÌÅÖ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÏ ÎÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÏÃÅÄÕÒÅ "ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ", ÐÏÓËÏÌØËÕ ÐÏ ÎÅÊ ÎÁ ÐÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ B ÏÔÄÁÀÔÓÑ ×ÔÏÒÏÊ
É ÔÒÅÔÉÊ ÐÕÎËÔÙ, Á ÚÁÔÅÍ ÞÁÓÔØ ×ÔÏÒÏÇÏ (Á ÎÅ ÔÒÅÔØÅÇÏ!) ÐÕÎËÔÁ ÐÅÒÅÄÁÅÔÓÑ A.
äÁÌÅÅ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÐÏÄÒÏÂÎÏ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÐÒÏÃÅÄÕÒÅ ÄÅÌÅÖÁ, ÎÏ
ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÉÚ ÎÉÈ ×ÙÂÒÁÎÁ, Ô.Å. ÉÇÒÏËÉ ÓÏÏÂÝÁÀÔ Ó×ÏÉ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ, É ÐÏ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÄÅÌÅÖ. äÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÐÏÔÒÅÂÕÅÍ
ÔÏÌØËÏ Ä×Å ×ÅÝÉ:
åÓÌÉ × ÚÁÄÁÞÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÅÌÅÖÉ, ÔÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ
ÎÉÈ. åÓÌÉ ÉÈ ÎÅÔ, Ô.Å. ÐÏÄÅÌÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÂÁ ÉÇÒÏËÁ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ,
ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÉËÁËÏÊ ÄÅÌÅÖ ÎÅ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ.
•
•
åÓÌÉ × ÚÁÄÁÞÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÅ ÄÅÌÅÖÉ, ÔÏ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ.
7
éÇÒÏËÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÏÊ ÖÅ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÅÊ. ïÎÉ ÍÏÇÕÔ ÎÅ ÚÎÁÔØ, ËÁË ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÎÏ Õ×ÅÒÅÎÙ, ÞÔÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ ÄÅÌÅÖ ÂÕÄÅÔ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÏÏÂÝÅ ÅÓÔØ.
5. íÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÄÌÑ ÉÇÒÏËÁ B ÓÉÔÕÁÃÉÀ: B ÚÎÁÅÔ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ A É
Õ×ÅÒÅÎ, ÞÔÏ A ÓÏÏÂÝÉÔ Ó×ÏÉ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ B ÍÏÖÅÔ ÐÙÔÁÔØÓÑ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, Ô.Å. Õ×ÅÌÉÞÉÔØ Ó×ÏÊ ×ÙÉÇÒÙÛ, ÓÏÏÂÝÉ× ×ÍÅÓÔÏ Ó×ÏÉÈ ÉÓÔÉÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ ÉÚÍÅÎÅÎÎÙÅ. éÓÓÌÅÄÕÅÔÓÑ ×ÏÐÒÏÓ, Ë ÞÅÍÕ ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ.
ï Ð Ò Å Ä Å Ì Å Î É Å 2. îÁÚÏ×ÅÍ ÄÅÌÅÖ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ
1) ÏÎ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌÅÎ | É A, É B ÐÏÌÕÞÁÀÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ;
2) ×ÙÉÇÒÙÛ B ÍÁËÓÉÍÁÌÅÎ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÐÒÉ ÐÅÒ×ÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÄÅÌÅÖÅÊ.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ WB∗ ×ÙÉÇÒÙÛ B ÐÒÉ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏÍ ÄÅÌÅÖÅ.
ú Á Í Å Þ Á Î É Å 2. WB∗ | ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ÄÌÑ ×ÙÉÇÒÙÛÁ B Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÐÒÏÃÅÄÕÒÁ ÄÅÌÅÖÁ ×ÙÄÁÅÔ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÔÏ
ÜÔÏÔ ÄÅÌÅÖ ÂÕÄÅÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ A É
ÉÚÍÅÎÅÎÎÙÈ B , Ô.Å. A ÐÏÌÕÞÉÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÉÂÏ B ÐÏÌÕÞÁÅÔ
ÍÅÎØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ (Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ), ÌÉÂÏ | ÂÏÌØÛÅ, ÎÏ ÔÏÇÄÁ ÄÅÌÅÖ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌÅÎ ÕÖÅ É Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ ÉÇÒÏËÏ×.
÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×ÙÉÇÒÙÛ B ÎÅ ÐÒÅ×ÙÛÁÅÔ WB∗ .
äÏËÁÖÅÍ ÌÅÍÍÕ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ.
ì Å Í Í Á 1. 1. B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÄÅÌÅÖÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÚÁÄÁÞÅ ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÄÅÌÅÖ;
2. åÓÌÉ ×ÙÉÇÒÙÛ A ÂÏÌØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ, ÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ÄÅÌÅÖ ÞÉÓÔÙÊ É, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ,
×ÓÅ ÄÅÌÉÍÙÅ ÐÕÎËÔÙ ÚÁÂÉÒÁÅÔ B ;
3. åÓÌÉ ×ÙÉÇÒÙÛ A | ÒÏ×ÎÏ ÐÏÌÏ×ÉÎÁ, ÔÏ ÄÅÌÅÖ ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ ÔÏÌØËÏ
ÐÏ ÐÕÎËÔÁÍ Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ ai =bi É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÌÅÖ Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ×ÙÉÇÒÙÛÁÍÉ A É B , × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÅÌÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÐÕÎËÔÏ×.
ä Ï Ë Á Ú Á Ô Å Ì Ø Ó Ô × Ï.
8
1. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÄÅÌÅÖÅÊ ÚÁÍËÎÕÔÏ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÉÇÒÙÛÁ A ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ, ÔÁËÖÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÂÕÄÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÌÅÖÅÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÉÇÒÙÛ A ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ. æÕÎËÃÉÑ ×ÙÉÇÒÙÛÁ B ÔÁËÖÅ
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ËÏÍÐÁËÔÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÁ ÎÅÍ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ.
2. åÓÌÉ á ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÂÏÌØÛÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ É ÓÒÅÄÉ ÅÇÏ ×ÙÉÇÒÙÛÁ ÅÓÔØ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÄÅÌÉÍÁÑ ÞÁÓÔØ, ÔÏ ÍÁÌÅÎØËÕÀ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÊ ÞÁÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÄÁÔØ B , ÎÅ ÕÍÅÎØÛÉ× ×ÙÉÇÒÙÛ
B É ÎÅ ÎÁÒÕÛÉ× ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, Ô.Å. ×ÙÉÇÒÙÛ B ÂÙÌ ÎÅ ÍÁËÓÉÍÁÌÅÎ. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.
3. ðÕÓÔØ ÄÅÌÑÔÓÑ Ä×Á ÐÕÎËÔÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÞÅÒÅÚ i É j . âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ
ai =bi > aj =bj . óÒÁ×ÎÉÍ ÏÃÅÎËÕ A ÞÁÓÔÉ, ÄÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ B ÐÒÉ ÄÅÌÅÖÅ ÐÕÎËÔÁ i (ai (1 −
xi )) É ×ÙÉÇÒÙÛ A ÏÔ ÄÅÌÅÖÁ ÐÕÎËÔÁ j (aj xj ). ÷ÏÚÍÏÖÎÙ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ:
Á) ai (1−xi ) > aj xj . ïÔÎÉÍÅÍ Õ A ×ÓÀ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÐÕÎËÔÁ j É ÐÅÒÅÄÁÄÉÍ ÅÍÕ (aj xj =ai )
ÞÁÓÔØ ÐÕÎËÔÁ i. ÷ÙÉÇÒÙÛ A ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ ÎÁ −aj xj + ai · (aj xj =ai ) = 0, Á ×ÙÉÇÒÙÛ B
| ÎÁ bj xj + bi · (aj xj =ai ) > 0.
Â) ai (1 − xi ) 6 aj xj . ïÔÎÉÍÅÍ Õ B ×ÓÀ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÐÕÎËÔÁ i É ÐÅÒÅÄÁÄÉÍ ÅÍÕ
(ai (1−xi )=aj ) ÞÁÓÔØ ÐÕÎËÔÁ j . ÷ÙÉÇÒÙÛ A ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ ÎÁ ai (1−xj )+aj ·(ai (1−xi )=aj ) =
0, Á ×ÙÉÇÒÙÛ B | ÎÁ −bi (1 − xj ) + bj · (ai (1 − xi )=aj ) > 0.
åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÃÅÎÏË ÐÕÎËÔÏ× i É j ÉÇÒÏËÁÍÉ ÎÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ, Ô.Å. ai =bi > aj =bj ,
ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÐÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÏÂÍÅÎÁ ×ÙÉÇÒÙÛ A ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, Á ×ÙÉÇÒÙÛ B
Õ×ÅÌÉÞÉÔÓÑ, ÞÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÉÇÒÙÛÁ B .
åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÃÅÎÏË ÐÕÎËÔÏ× i É j ÉÇÒÏËÁÍÉ ÒÁ×ÎÙ (ai =bi = aj =bj ), ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂÍÅÎÁ ×ÙÉÇÒÙÛÉ A É B ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, ÎÏ ÞÉÓÌÏ ÐÕÎËÔÏ×, ÐÏ ËÏÔÏÒÙÍ
ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÄÅÌÅÖ, ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎ. âÕÄÅÍ ÐÏ×ÔÏÒÑÔØ ÏÂÍÅÎ ÄÏ ÔÅÈ ÐÏÒ, ÐÏËÁ
ÎÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÄÅÌÑÝÉÊÓÑ ÐÕÎËÔ.
ó Ì Å Ä Ó Ô × É Å 1. óÒÅÄÉ B-ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÄÅÌÅÖÅÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÌÅÖ, × ËÏÔÏÒÏÍ
ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ.
äÌÑ ÏÐÉÓÁÎÉÑ "ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ" B ÐÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÍÍ.
ì Å Í Í Á 2. ðÕÓÔØ X = (x1 ; : : : ; xn ) | ÞÉÓÔÙÊ ÄÅÌÅÖ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ A ÐÏÌÕÞÁÅÔ
ÂÏÌÅÅ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ, ÎÏ ÎÅ ×ÓÅ. ôÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÐÏÄÏÂÒÁÔØ ÏÃÅÎËÉ B : (b1 : : : bn ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ
X ÂÕÄÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ ÄÅÌÅÖÏÍ.
9
P
ä Ï Ë Á Ú Á Ô Å Ì Ø Ó Ô × Ï. 1. ðÕÓÔØ = ( ai xi ) − 0; 5, Á k | ÞÉÓÌÏ ÐÕÎËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ
ÄÏÓÔÁÀÔÓÑ B ÐÒÉ ÄÅÌÅÖÅ X . ðÏÓËÏÌØËÕ A ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÎÅ ×ÓÅ, ÔÏ k > 0. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ
bi =


ai − n2
, ÅÓÌÉ xi = 1;
−k
 a + 2 , ÅÓÌÉ x = 0:
i
i
k
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ×ÙÉÇÒÙÛ B ÐÒÉ ÄÁÎÎÙÈ ÏÃÅÎËÁÈ É ÄÅÌÅÖÅ X :
n
X
n
X
n
n
X
X
2
2
bi (1 − xi ) = (ai + )(1 − xi ) =
(1 − xi ) + ai (1 − xi ) =
k
k
i=1
i=1
i=1
i=1
=
n
n
X
X
2
k+
ai −
ai xi = 2 + 1 − (0; 5 + ) = 0; 5 + ;
k
i=1
i=1
ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÅÌÅÖ | ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÙÊ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÓÕÍÍÁ ×ÙÉÇÒÙÛÅÊ A É B ÐÒÉ
ÄÅÌÅÖÅ X ÒÁ×ÎÁ 1 + 2, Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ×ÙÉÇÒÙÛÅÊ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ
ÄÅÌÅÖÅ ÒÁ×ÎÁ
n
X
2
max(ai :bi ) = k + ai = 1 + 2;
k
i=1
i=1
n
X
ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÅÌÅÖ ÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, X | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÄÅÌÅÖ Ó ÓÕÍÍÏÊ ×ÙÉÇÒÙÛÅÊ 1 + 2, ÐÏÜÔÏÍÕ X | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÁ×ÎÙÊ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ, Á ÚÎÁÞÉÔ, É
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ ÄÅÌÅÖ.
ì Å Í Í Á 3. ðÕÓÔØ X = (x1 ; : : : ; xn ) | ÄÅÌÅÖ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ A ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÐÏÌÏ×ÉÎÕ, ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÅ ÎÁÃÅÌÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ É B ÐÏÌÕÞÁÅÔ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÞÁÓÔØ
ÄÅÌÉÍÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÍÏÖÎÏ ÐÏÄÏÂÒÁÔØ ÔÁËÉÅ ÏÃÅÎËÉ B:
(b1 : : : bn ), ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ ÄÅÌÅÖ, ×ÙÉÇÒÙÛ B ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ ×ÙÉÇÒÙÛÁ B ÏÔ X ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÎÁ ".
ä Ï Ë Á Ú Á Ô Å Ì Ø Ó Ô × Ï. ðÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ ÐÕÎËÔÙ ÔÁË: ÐÅÒ×ÙÅ m × ÄÅÌÅÖÅ X ÄÏÓÔÁÀÔÓÑ A, (m + 1)-Ê | ÌÉÂÏ ÐÕÎËÔ, ÄÅÌÑÝÉÊÓÑ ÎÅ ÎÁÃÅÌÏ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÅÓÔØ), ÌÉÂÏ ÏÄÉÎ
ÉÚ ÄÅÌÉÍÙÈ ÐÕÎËÔÏ×, ÄÏÓÔÁÀÝÉÈÓÑ B , Á ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ k ÐÕÎËÔÏ× ÄÏÓÔÁÀÔÓÑ B (Ô.Å.
m + k + 1 = n).
÷ ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ (m + 1)-Ê ÐÕÎËÔ ÄÅÌÉÔÓÑ: 1 − p ÏÔ ÎÅÇÏ
ÄÏÓÔÁÅÔÓÑ A, Á p ÄÏÓÔÁÅÔÓÑ B , p > 0, ÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ p = 1. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ
10
(1)
WA (X ) = (1 − p)am+1 +
(2)
WB (X ) = pbm+1 +
m
X
i=1
n
X
ai = 0; 5;
i=m+2
bi :
÷ÙÂÅÒÅÍ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ < min(pam+1 ; am"+1 ) É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ 3 ÓÌÕÞÁÑ:
Á) k; m > 0. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ
bi =



a − ;

 i m




ÅÓÌÉ
i 6 m;
ai + k ;
ÅÓÌÉ
i > m + 1:
ai , ÅÓÌÉ i = m + 1;
ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÏÃÅÄÕÒÕ "ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ". îÁ ÐÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÐÕÎËÔÙ
Ó ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏ m + 1-Ê ÄÏÓÔÁÀÔÓÑ A, Ó m + 2 ÐÏ n-Ê | B . õ A
m
+1
X
i=1
ai = am+1 +
m
X
i=1
Ã
ai = pam+1 + (1 − p)am+1 +
m
X
i=1
!
ai = pam+1 + 0; 5 > 0; 5:
÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÆÏÒÍÕÌÁ (1). B (ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÉÚÍÅÎÅÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ) ÐÏÌÕÞÁÅÔ
n
X
Ã
!
n
n
X
X
(ai + ) = +
ai = − pam+1 + pam+1 +
ai = − pam+1 + 0:5 < 0:5;
k
i=m+2
i=m+2
i=m+2
ÐÏÓËÏÌØËÕ < pam+1 . ÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÆÏÒÍÕÌÁ (2). ðÏÜÔÏÍÕ
ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÉ×ÁÎÉÑ ÄÏÌÅÊ ÎÁÄÏ ÐÅÒÅÄÁÔØ ÞÁÓÔØ (m + 1)-ÇÏ ÐÕÎËÔÁ ÏÔ A Ë B , ÐÏÓËÏÌØËÕ
ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ai =bi = 1, Á Õ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ A ÐÕÎËÔÏ× | ÂÏÌØÛÅ
ÅÄÉÎÉÃÙ. ðÕÓÔØ q | ÞÁÓÔØ, ÐÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÁÑ B . ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
0; 5 + pam+1 − qam+1 = − pam+1 + 0; 5 + qam+1 ;
2pam+1 = + 2qam+1 ;
;
q =p−
2am+1
11
q ÍÅÎØÛÅ p, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, q < 1. éÚ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ q
ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ. ðÏÓËÏÌØËÕ (m + 1)-Ê ÐÕÎËÔ ÄÅÌÉÍ, ÐÏÌÕÞÉÌÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÙÊ ÄÅÌÅÖ.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ Y . ôÏÇÄÁ
WB (Y ) = qbm+1 +
n
X
i=m+2
µ
bi = p −
=−
2am+1
¶
bm+1 +
n
X
i=m+2
n
X
bi =
bm+1
b
+ pbm+1 +
bi = − m+1 + WB∗ > WB∗ − ";
2am+1
2am+1
i=m+2
ÐÏÓËÏÌØËÕ < "=am+1 , Ô.Å. WB∗ − WB (Y ) < ".
Â) k = 0. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÚÁÄÁÞÅ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÐÕÎËÔÏ×, m = n − 1 > 0. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ:


ai − n− 1 ; ÅÓÌÉ i < n;
bi =
 a + ;
ÅÓÌÉ i = n:
i
ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÏÃÅÄÕÒÕ "ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ". îÁ ÐÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ×ÓÅ
ÐÕÎËÔÙ ËÒÏÍÅ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÄÏÓÔÁÀÔÓÑ A, n-Ê | B . õ A ÂÕÄÅÔ
n−1
X
i=1
ai =
n−1
X
i=1
ai + (1 − p)an − (1 − p)an = 0; 5 − (1 − p)an 6 0; 5:
B (ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÉÚÍÅÎÅÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ) ÐÏÌÕÞÁÅÔ an + = pan + + (1 − p)an =
0; 5 + + (1 − p)an > 0; 5. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÉ×ÁÎÉÑ ÄÏÌÅÊ ÎÁÄÏ ÐÅÒÅÄÁÔØ ÞÁÓÔØ n-ÇÏ
ÐÕÎËÔÁ ÏÔ B Ë A. ðÕÓÔØ q | ÞÁÓÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ ÄÏÓÔÁÎÅÔÓÑ A. ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
0; 5 − (1 − p)an + qan = 0; 5 + + (1 − p)an − q(an + ):
îÁÈÏÄÉÍ q:
2(1 − p)an + :
2an + ðÏÓËÏÌØËÕ 0 6 q 6 1 É n-Ê ÐÕÎËÔ ÄÅÌÉÍ, ÐÏÌÕÞÉÌÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÙÊ ÄÅÌÅÖ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÅÇÏ Y . ôÏÇÄÁ
q=
µ
¶
2(1 − p)an + WB (Y ) = (1 − q)bn = pbn − (p − (1 − q))bn = WB − −(1 − p) +
bn =
2an + µ
µ
¶
¶
p
∗
∗
:
= WB −
b > WB −
2an + n
2an
∗
12
ðÏÓËÏÌØËÕ < "=an , WB∗ − WB (Y ) < ".
×) m = 0. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÚÁÄÁÞÅ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÐÕÎËÔÏ×, k > 0. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ:
bi =


ai − , ÅÓÌÉ
i = 1;
 a + , ÅÓÌÉ i > 1:
i
n−1
ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÏÃÅÄÕÒÕ "ÐÏÄÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÐÏÂÅÄÉÔÅÌØ". îÁ ÐÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ×ÓÅ
ÐÕÎËÔÙ ËÒÏÍÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÄÏÓÔÁÀÔÓÑ B , ÐÅÒ×ÙÊ | A. ÷ÙÉÇÒÙÛ A: WA (X ) = a1 =
(1 − p)a1 + pa1 = 0; 5 + pa1 > 0; 5. B (ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÉÚÍÅÎÅÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÊ) ÐÏÌÕÞÁÅÔ:
n µ
X
i=2
ai +
n−1
¶
= + −pa1 + pa1 +
n
X
i=2
ai = 0; 5 + − pa1 6 0; 5;
ÐÏÓËÏÌØËÕ < pa1 . ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÉ×ÁÎÉÑ ÄÏÌÅÊ ÎÁÄÏ ÐÅÒÅÄÁÔØ ÞÁÓÔØ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÕÎËÔÁ ÏÔ A Ë B . ðÕÓÔØ q | ÞÁÓÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ ÄÏÓÔÁÎÅÔÓÑ B . ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
0; 5 + pa1 − qa1 = 0; 5 + − pa1 + q(a1 − ):
îÁÈÏÄÉÍ q:
2pa1 − :
2a1 − ðÏÓËÏÌØËÕ 0 6 q 6 1 É ÐÅÒ×ÙÊ ÐÕÎËÔ ÄÅÌÉÍ, ÐÏÌÕÞÉÌÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÙÊ ÄÅÌÅÖ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ Y . ôÏÇÄÁ
q=
n
X
n
X
µ
¶
2pa1 − WB (Y ) = qb1 +
bi = (qb1 − pb1 ) + pb1 +
bi =
− p b1 + WB∗ =
2
a
−
1
i=2
i=2
b (1 − p)
= WB∗ − 1
> WB∗ − :
2a1 − a1
ðÏÓËÏÌØËÕ b1 6 1, 1 − p < 1 É < pa1 6 a1 . îÁËÏÎÅÃ, ÐÏÓËÏÌØËÕ < "=an , WB∗ −
WB ( Y ) < " .
÷Ï ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÄÅÌÑÝÉÊÓÑ ÐÕÎËÔ ÉÍÅÅÔ ÕÎÉËÁÌØÎÏÅ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÐÕÎËÔÏ×
ÄÅÌÅÖÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ai =bi . ðÏÜÔÏÍÕ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1 × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÄÅÌÅÖ
| ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÚÁËÏÎÞÅÎÏ.
éÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÌÅÍÍ 1-3 ÓÏÂÉÒÁÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÉ.
13
ô Å Ï Ò Å Í Á 2. ðÕÓÔØ × ÚÁÄÁÞÅ ÄÅÌÅÖÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÄÅÌÅÖ.
ôÏÇÄÁ
1. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÄÅÌÅÖÉ;
2. B Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÂÏÌØÛÅ WB∗ ;
3. åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÄÅÌÅÖÅÊ ÅÓÔØ ÔÁËÏÊ ÄÅÌÅÖ X , ÞÔÏ WA (X ) > 0; 5,
ÔÏ B Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÄÏÂÉÔØÓÑ ×ÙÉÇÒÙÛÁ WB∗ ;
4. åÓÌÉ ÔÁËÏÇÏ ÄÅÌÅÖÁ ÎÅÔ, ÎÏ ÅÓÔØ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÄÅÌÅÖ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ B
ÐÏÌÕÞÁÅÔ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÞÁÓÔØ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÄÅÌÉÍÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 B Ó
ÐÏÍÏÝØÀ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÄÏÂÉÔØÓÑ ×ÙÉÇÒÙÛÁ WB∗ − ".
ä Ï Ë Á Ú Á Ô Å Ì Ø Ó Ô × Ï. 1 | ÞÁÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÌÅÍÍÙ 1.
2 | × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ 2.
3. ðÏ ÌÅÍÍÅ 1 ÄÅÌÅÖ X ÞÉÓÔÙÊ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÌÅÍÍÅ 2 B ÍÏÖÅÔ ÓÏÏÂÝÉÔØ
ÔÁËÉÅ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ, ÞÔÏ X ÂÕÄÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ ÄÅÌÅÖÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ É
ÂÕÄÅÔ ×ÙÂÒÁÎ. ÷ÙÉÇÒÙÛ B ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÎÏ WB∗ .
4. ðÏ ÌÅÍÍÅ 2 B ÍÏÖÅÔ ÓÏÏÂÝÉÔØ ÔÁËÉÅ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ ÄÅÌÅÖÏÍ ÂÕÄÅÔ ÄÅÌÅÖ Y ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 WB∗ − WB (Y ) < ".
éÍÅÎÎÏ ÄÅÌÅÖ Y É ÂÕÄÅÔ ×ÙÂÒÁÎ.
ú Á Í Å Þ Á Î É Å 3. ÷ ÏÓÔÁ×ÛÅÍÓÑ ÓÌÕÞÁÅ (×ÙÉÇÒÙÛ A ×Ï ×ÓÅÈ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÄÅÌÅÖÁÈ | ÒÏ×ÎÏ ÐÏÌÏ×ÉÎÁ, ÐÒÉÞÅÍ B ÄÏÓÔÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÅÄÅÌÉÍÙÅ ÐÕÎËÔÙ) ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÐÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ × ÚÁÄÁÞÅ Ä×Á
ÐÕÎËÔÁ, Á ÎÅÄÅÌÉÍ ÐÅÒ×ÙÊ. ïÃÅÎËÉ ÉÇÒÏËÏ×:
1 2
A 0,5 0,5
B 0,6 0,4
B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÄÅÌÅÖ ÚÄÅÓØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ: B ÚÁÂÉÒÁÅÔ ÐÅÒ×ÙÊ ÐÕÎËÔ, A | ×ÔÏÒÏÊ. îÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÂÌÉÚËÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ B ÕÄÁÓÔÓÑ, ÅÓÌÉ
ÚÁÑ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÐÅÒ×ÙÊ ÐÕÎËÔ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÐÒÅÄÐÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÊ ×ÔÏÒÏÇÏ, ÔÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÙÈ
ÄÅÌÅÖÅÊ, ÅÓÌÉ ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÐÅÒ×ÙÊ ÐÕÎËÔ ÄÏÓÔÁÎÅÔÓÑ A, Á B ÐÏÌÕÞÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ×ÅÓØ
×ÔÏÒÏÊ (Ô.Å 0,4). åÓÌÉ, ÎÁËÏÎÅÃ, B ÚÁÑ×ÉÔ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ 0,5 ÎÁ 0,5, ÔÏ ÏÂÁ ÞÉÓÔÙÈ
ÄÅÌÅÖÁ (ÐÅÒ×ÙÊ ÐÕÎËÔ ÏÔÄÁÔØ A, ×ÔÏÒÏÊ | B ÉÌÉ ÎÁÏÂÏÒÏÔ) ÂÕÄÕÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
ÒÁ×ÎÙÍÉ É ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÙÍÉ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÐÒÏÃÅÄÕÒÙ ÄÅÌÅÖÁ.
14
6. úÁËÌÀÞÅÎÉÅ
åÓÌÉ ÐÒÉ B -ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏÍ ÄÅÌÅÖÅ A ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÐÏÌÏ×ÉÎÕ, ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÌÉÛÅÎÏ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÏÃÅÎËÉ B ÐÏÞÔÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ
Ó ÏÃÅÎËÁÍÉ A. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÓÅ ÄÅÌÅÖÉ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÒÁ×ÎÏÃÅÎÎÙ, É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
×ÙÂÒÁÎ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÎÉÈ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ËÒÁÊÎÅ ÎÅ×ÙÇÏÄÎÙÊ ÄÌÑ B .
éÌÉ ÅÓÌÉ A ÔÁËÖÅ ÚÎÁÅÔ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ B , ÔÏ ÏÎ, ÐÙÔÁÑÓØ ÏÐÔÉÍÁÌØÎÏ ÍÁÎÉÐÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ×ÙÄÁÅÔ ÏÃÅÎËÉ, ÍÁÌÏ ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÏÔ ÏÃÅÎÏË B , × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ A É B
"ÍÅÎÑÀÔÓÑ" Ó×ÏÉÍÉ ÏÃÅÎËÁÍÉ É, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÄÏÌÑÍÉ ÐÒÉ ÄÅÌÅÖÅ, ÞÔÏ ÎÅ×ÙÇÏÄÎÏ
ÄÌÑ ÏÂÏÉÈ.
åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ×ÓÔÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑÈ îÜÛÁ × "ÉÇÒÅ ÄÅÌÅÖÁ", ×
ÕÓÌÏ×ÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÈÏÄÉÔ ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÐÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÄÅÌÅÖ, É Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ
ÎÅÍÁÎÉÐÕÌÉÒÕÅÍÙÈ ÐÒÁ×ÉÌ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏ, ÜÔÏ ÓÔÁÎÅÔ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ.
óðéóïë ìéôåòáôõòù
1. áÌÅÓËÅÒÏ× æ.ô., èÁÂÉÎÁ ü.ì., û×ÁÒà ä.á. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÇÒÁÆÙ É ËÏÌÌÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. í.: éÚÄ. ÄÏÍ çõ ÷ûü, 2006.
2. áÌÅÓËÅÒÏ× æ.ô., ñÎÏ×ÓËÁÑ à.í. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ Ë
ÔÒÕÄÏ×ÙÍ ÓÐÏÒÁÍ // õÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÅÒÓÏÎÁÌÏÍ. 2003. ‚ 1. ó. 59|61.
3. áÌÅÓËÅÒÏ× æ.ô. óÌÉÑÎÉÅ ÆÉÒÍ: ÁÎÁÌÉÚ ÔÒÅÈ ËÌÀÞÅ×ÙÈ ÐÒÏÂÌÅÍ // æÉÎÁÎÓÏ×ÙÊ
ÂÉÚÎÅÓ. 2002. ‚ 6. ó. 3|7.
4. Brams S.J., Taylor A.D. Fair division. From cake-cutting to despute resolution. Cambridge University Press, 1996.
5. âÒÁÍÓ ó., ôÅÊÌÏÒ á. äÅÌÉÍ ÐÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ. í.: óéîôåç, 2003.
6. òÕÂÞÉÎÓËÉÊ á.á. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÅ ÄÅÌÅÖÉ Ó ÄÅÌÉÍÙÍÉ É ÎÅÄÅÌÉÍÙÍÉ ÐÕÎËÔÁÍÉ (ÎÁ
ÁÎÇÌ. ÑÚ.). í.: éÚÄ. ÄÏÍ çõ ÷ûü, WP7/2009/05.
15