1. B 1 № 337283. Найдите значение выражения Решение
advertisement
Вариант № 786491 1. B 1 № 337283. Найдите значение выраж ения Решение. Выполним умнож ение, затем слож ение: Ответ: 24,52. 2. A 1 № 337346. Известно, что число отрицательное. На каком из рисунков точки с координатами располож ены на координатной прямой в правильном порядке? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Решение. Пос кольку , имеем: Пос кольку имеем: Правильный ответ указ ан под номером: 1. 3. A 2 № 337311. Между какими числами заключено число 1) 8 и 9 2) 72 и 74 3) 24 и 26 4) 4 и 5 Решение. Сравним квадраты приведённых в условии чисел: Число 73 лежит между числами 64 и 81, поэ тому Правильный ответ указ ан под номером 1. 4. B 2 № 338480. Решите уравнение Решение. Пос ледовательно получаем: Ответ: −1. заключено между числами 8 и 9. 5. B 3 № 339082. На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответс твие между знаками коэ ффициентов k и b и графиками функций. График и Коэффициенты А) k < 0, b<0 Б) k < 0, b > 0 В) k > 0, b < 0 Запишите в ответ цифры, располож ив их в порядке, соответс твующем буквам: А Б В Решение. Если значение функции возрастает с увеличением x, то коэффициент k положителен, если убывает — отрицателен. Значение b соответствует значению функции в точке x = 0, следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение b положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно. Таким образом, коэффициентам соответс твуют следующие графики: А — 2, Б — 1, В — 3. Ответ: 213. 6. B 4 № 340584. Даны пятнадцать чисел, первое из которых равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел. Решение. Последовательность, описанная в условии, образует арифметическую прогрессию с первым членом, равным шести, и разностью 4. Пятнадцатый член данной прогрессии равен: Ответ: 62. 7. B 5 № 338092. Найдите Решение. Имеем: если Ответ: 4. 8. A 3 № 338490. При каких значениях x значение выражения 9x + 7 меньше значения выраж ения 8x − 3? 1) x 2) x 3) x 4) x >4 <4 > − 10 < − 10 Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно решить неравенс тво Решим его: Правильный ответ указ ан под номером: 4. 9. B 6 № 339369. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градус ах. Решение. Пусть угол равен угол равен Сумма углов в треугольнике отк у да Аналогично, из треугольника сис тему уравнений: Таким образ ом, угол Ответ: 62. равен 62°. равна 180°, Получаем 10. B 7 № 339438. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градус ах. Решение. Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол OMK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол OMK равен 166°. В треугольнике OMK с тор оны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэ тому ∠OKM = ∠OMK = (180° − ∠KOM)/2 = (180° − 166°)/2 = 7°. Ответ: 7. 11. B 8 № 340197. В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD. Решение. Проведём высоту Средняя линия равна полусумме оснований: Площадь трапеции равна произведению полус уммы оснований на выс оту: Поскольку — средняя линия, поэтому по теореме Фаллеса получаем, что трапеции Ответ: 11. Отрезки и равны, Найдём площадь 12. B 9 № 316348. Найдите тангенс угла, изображённого на рис унке. Решение. Углы и в сумме образуют развёрнутый угол Значит, Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображённый на рисунке. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолеж ащего катета к прилеж ащему: Ответ: −3. 13. B 10 № 316323. Укаж ите номера верных утверж дений. 1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки. 2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°. 3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3. Если утверждений нес колько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. Решение. Проверим каждое из утверж дений. 1) «Любые три прямые имеют не более одной общей точки» — неверно, поскольку прямые могут совпадть и тогда точек перес ечения бесконечно много. 2) «Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°» — неверно, смежные углы и связ аны соотношением: . 3) «Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3» — верно,т. к. расстояние — длина кратчайшего отрезка до прямой, а все наклонные — длиннее. Ответ: 3. 14. A 4 № 337683. В таблице представлены цены (в рублях) на некоторые товары в трёх магаз инах. Магаз ин Орехи (за кг) Шоколад (за плитку) Зефир (за кг) «Машенька» 600 45 144 «Лидия» 585 65 116 «Камея» 660 53 225 Лариса Кузьминична хочет купить 0,4 кг орехов, 5 плиток шоколада и 1,5 кг зефира. В каком магазине стоимость такой покупки будет наименьшей, если в «Камее» проходит акция — скидка 20% на развесные продукты, а в «Машеньке» скидка 10% на весь асс ортимент? 1) в «Машеньке» 2) в «Лидии» 3) в «Камее» 4) во всех магаз инах стои мость покупки будет одинаковой Решение. Найдём стои мость покупки для всех трёх магаз инов. В магазине «Машенька» стоимость В магаз ине «Лидия» стои мость всей покупки сос тавит В магазине «Камея» стоимость всей всей покупки покупки составит составит Таким образ ом, стои мость такой покупки наименьшая в магаз ине «Машенька». Правильный ответ указ ан под номером: 1. 15. B 11 № 311521. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта в пункт и автобуса из пункта в пункт . На сколько километров в час скорость автомобиля больше скорос ти автобус а? Решение. Автобус проехал 240 км за 5 часов. Таким образом, его скорость равна 48 км/ч. Автомобиль проехал это же расстояние за 3 часа со скоростью 80 км/ч. Таким образом, скорость автомобиля больше скорос ти автобус а на 32 км/ч. 16. B 12 № 316351. На молочном заводе пакеты молока упаковываются по 12 штук в коробку, причём в каждой коробке все пакеты одинаковые. В партии молока, отправляемой в магазин «Уголок», коробок с полуторалитровыми пакетами молока втрое меньше, чем коробок с литровыми пакетами. Сколько литров молока в этой партии, если коробок с литровыми пакетами молока 45? Решение. Найдём количество коробок с полуторалитровыми пакетами молока: 45 : 3 = 15. Теперь расс читаем количес тво литров молока в этой партии: 45 · 12 · 1 + 15 · 12 · 1,5 = 810 л. Ответ: 810. 17. B 13 № 314845. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса. Решение. Задачу можно свести к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора её длина равна Ответ: 17. 18. B 14 № 315178. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн польз ователей. Какое из следующих утверж дений неверно? 1) Пользователей из России больше, чем польз ователей из Украи ны. 2) Больше трети польз ователей сети — из Украи ны. 3) Польз ователей из Беларус и больше, чем польз ователей из Швеции. 4) Польз ователей из Росс ии больше 4 миллионов. Решение. Проверим каждое утверж дение: 1) Из диаграммы видно, что число пользователей из России больше, чем пользователей из Украи ны. Первое утверж дение верно. 2) Из диаграммы видно, что пользователей из Украины меньше трети общего числа польз ователей. Второе утверж дение неверно. 3) Из диаграммы видно, что пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из "других стран", а значит, и больше, чем польз ователей из Швеции. Третье утверж дение верно. 4) Из диаграммы видно, что пользователей из России примерно две трети от общего числа пользователей. Всего пользователей 9 млн, значит пользователей из России около 6 млн, что больше 4 млн. Четвёртое утверж дение верно. Неверным являетс я утверж дение под номером 2. 19. B 15 № 316354. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окаж утс я небракованными? Решение. Вероятность того, что один случайно выбранный из партии фонарик — небракованный, составляет 1 − 0,02=0,98. Вероятность того, что мы выберем одновременно два небракованных фонарика равна 0,98 · 0,98 = 0,9604. 20. B 16 № 338056. Закон всемирного тяготения можно записать в виде где — сила притяжения между телами (в ньютонах), и — массы тел (в килограммах), — расстояние между центрами масс (в метрах), а — гравитационная постоянная, равная 6.67 · 10−11 H·м2/кг2. Пользуясь формулой, найдите массу тела Н, кг, а м. Решение. Выраз им заряд из закона всемирного тяготения: (в килограммах), если Подс тавляя, получаем: Ответ: 4000. 21. C 1 № 338058. Сократите дробь Решение. Сократим дробь: Ответ: 2,25. 22. C 2 № 339403. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, леж ащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34. Решение. По определению параллелограмма — секущая при параллельных прямых, следовательно, у глы и равны как накрест лежащие. П ос к ольк у треугольник — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник — равнобедренный и Стороны и равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно: Ответ: 17. 23. C 3 № 338561. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилис та, если известно, что она больше 40 км/ч. Решение. Пусть — расстояние между A и В, км/ч — скорость первого автомобилиста, тогда км/ч — скорость второго автомобилиста на первой половине пути,. Первый автомобилист проделал весь путь за часов, а второй за часов. Время, за которое они проехали весь путь от A до B одинаково, следовательно, можно сос тавить уравнение: По условию задачи скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч, следовательно, скорость первого автомобилис та равна 44 км/ч. Ответ: 44. 24. C 4 № 339506. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докаж ите, что треу гольники CBD и ADB подобны. Решение. У глы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках и следовательно, эти треугольники подобны по двум парам подобных сторон и углу между ними. 25. C 5 № 338207. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки. Решение. Упрос тим выраж ение: Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотой точкой Пос трои м график функции (см. рис унок). Этот график изображён на рис унке: Из графика видно, что прямая принадлеж ащем промеж утку Ответ: имеет с графиком функции ровно две общие точки при 26. C 6 № 339413. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, перес екает прямую AB в точке D. Найдите CD. Решение. У гол равен половине дуги на которую он опирается, поскольку это угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведённой через точку касания. Угол — вписанный, поэтому он также равен половине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треу гольники подобны, откуда Бисс ектрис а угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилеж ащим сторонам: Найдём Ответ: Получаем:
