Математическое моделирование взаимодействия дугового

Гипотезы, предложения
УДК 621.43.01
А.А. Тропина, канд. физ.-мат. наук
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДУГОВОГО
РАЗРЯДА С ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
Введение
двигателей внутреннего сгорания (при реализации
Воздействие сильных электрических полей на
процесса воспламенения смеси в предкамере).
различные газообразные среды приводит к появлению низкотемпературной плазмы. Возможность ста-
Анализ последних достижений и публикаций
ционарного существования этого вида самостоятель-
Общепринятым подходом к моделированию яв-
ного электрического разряда является основой все
лений в низкотемпературной плазме является под-
более широкого использования низкотемпературной
ход, основанный на системе уравнений магнитной
плазмы в технологических установках. Это и раз-
газодинамики, (МГД-подход) [1],[2]. Трудности мо-
личные виды электродуговых воспламенителей и
делирования подобных течений связаны с постанов-
генераторов плазмы (плазмотронов) и плазменные
кой граничных условий вблизи электродов, где про-
устройства сжигания отходов, плазменные активато-
исходит взаимодействие плазмы с электродом. В
ры топлива и т.д.
большинстве работ для задания граничных условий
Однако работы по усовершенствованию такого
используются экспериментальные данные о распре-
рода устройств и проектирование новых тормозятся
делении температуры вдоль электродов и радиусы
трудностями, возникающими при проведении экспе-
привязки дуги к электродам [3],[4]. При отсутствии
риментальных исследований, в связи с высокотемпе-
подобных экспериментальных данных, так напри-
ратурными режимами, реализующимися при их ра-
мер, при проектировании новых плазменных уст-
боте.
ройств, использование такого подхода становится
В таких условиях одним из основных источни-
невозможным. В данной работе для расчета характе-
ков получения информации о поведении низкотем-
ристик электрической дуги предлагается использо-
пературной плазмы является математическое моде-
вать метод, основанный на решении сопряженной
лирование. В настоящей работе приводится матема-
задачи, когда в расчетную область, помимо области,
тическая модель горения стационарной электриче-
занятой плазмой, включаются области, занятые ка-
ской дуги постоянного тока. На основе разработан-
тодом и анодом. Подобный подход использовался
ной модели был проведен анализ взаимодействия
авторами работы [5], однако авторы ограничились
турбулентного потока плазмообразующего газа (воз-
рассмотрением горения открытой электрической
духа) с низкотемпературной плазмой. Проведены
дуги в ламинарном режиме в области сильных токов.
численные расчеты характеристик промышленного
Однако, в связи с развитием энергосберегающих
плазмотрона, работающего на малых силах тока. По-
технологий все большее развитие получают плазмен-
добные высокоэффективные устройства можно рас-
ные устройства, работающие на малых силах тока
сматривать в качестве потенциальных источников
(до 10 А). Моделирование таких высокоэффектив-
зажигания и использовать результаты проведенных
ных потоков плазмы вызывает целый ряд вычисли-
расчетов при проектировании систем зажигания для
тельных проблем, связанных с высокими значениями
плотности тока вблизи электродов, особенно для
150
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
Гипотезы, предложения
плазмы молекулярных газов, что при прочих равных

 j i  p ij  ij  0 ,
x j

условиях может приводить к развитию численной
неустойчивости. Поэтому число работ, посвященных
их моделированию, является ограниченным и носит,
как правило, полуэмпирический характер [6]. Кроме
того, остается открытым вопрос о влиянии турбулентности и выбора модели, описывающей турбулентность газового потока, на основные параметры
электродуговой плазмы.



 j k 
x j
x j



 (   t ) k

 k x j

(2)



 ,




 (   t )   

  x j 

2


 c1 2 t S ij S ij   t ( S nn ) 2  kS nn  
3
k



 j  
x j
x j



Цель и постановка задачи
 c2
Целью исследования является постановка и решение задачи о взаимодействии турбулентного по-

 2
 C 3  S nn  R
k
( )h  j  E    (
тока молекулярного газа (воздуха) с низкотемпературной плазмой формирующейся дуги постоянного
    ik
тока при атмосферном давлении и малых силах тока
Для описания характеристик дуги используется
сациями электромагнитных величин можно пренебречь. Плазма предполагается квазинейтральной, поскольку длина дебаевского радиуса экранирования
намного меньше характерных размеров задачи. Со-
R  C 
H  j,
(5)
(6)
(7)
3 (1   / 0 ) 2
, ij  lij  tij ,
(1  3 ) k
S nn  ij 

k2
 ,  t  C
lij  2 Sij 
,
3 


1    j
S ij   i 
2  x j xi

,


R  Sk /  ,
 ij 
1  i  j

2  x j xi
гласно данным, приведенным в работе [7], для дуги,
горящей в воздухе при атмосферном давлении, мак-
,
j  ( E     E H ) ,
система уравнений МГД-приближения. Предполага-
чение осесимметричное, излучение объемное, пуль-
 T
)
cp
 i
x k
 E  0,
на основе разработанной математической модели.
ется, что протекающие процессы стационарные, те-
(3)
2
2
 2 t S ij Sij   t S nn
 k S nn  
3
S  2 ij  ij ,

,


симальное отклонение между температурой тяжелых
частиц и температурой электронов не превышает 1%,
где  j ( j  1,3) – компоненты вектора скорости  ,
что позволило считать плазму, находящейся в со-
lij (tij ) – тензор молекулярных (турбулентных) на-
стоянии локального термодинамического равновесия
пряжений,  t () – турбулентная (молекулярная) вяз-
(ЛТР-приближение).
кость, k – кинетическая энергия турбулентности, h –
Свойства турбулентного течения газа описыва-
энтальпия, p – давление, H  вектор магнитной
ются двухпараметрической k   моделью турбулентности (RNG модификация). Основные уравне-
индукции, E  вектор напряженности электрического поля,   проводимость среды, j  вектор плот-
ния имеют вид:

 j  0 ,
x j
 
(1)
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
ности тока,  E  магнитная проницаемость среды,
151
Гипотезы, предложения
S ij  тензор скоростей деформации,
  скорость
Ta  3000 K , G  G0 , H  
диссипации кинетической энергии турбулентности,
Дополнительные члены в уравнении энергии (5)
представляют собой джоулево тепловыделение, работу сил Лоренца и потери тепла  , связанные с
излучением дуги. Уравнения (6)-(7) представляют
собой систему уравнений Максвелла для электро-
I
,
2r
где G  массовый расход воздуха на входе в плазмотрон.
На твердых стенках ставятся условия прилипания, а на оси при r  0 выполняются условия симметрии.
В тонких слоях шириной порядка 10 8 м, непо-
магнитного поля.
Рассматривается электрическая дуга, горящая в
средственно примыкающих к электродам, происхо-
канале плазмотрона при атмосферном давлении. В
дит нарушение локального термодинамического
качестве плазмообразующего газа используется воз-
равновесия плазмы, и плазма становится неравно-
дух. Поскольку избыточное давление, создаваемое
весной. Именно в этих слоях нарушается и тепловое,
электромагнитными силами в электрической дуге
и ионизационное равновесие плазмы, и происходит
незначительно по сравнению с атмосферным [7], то
основное падение потенциала. Учет всего многооб-
его влиянием на теплофизические коэффициенты
разия эффектов, происходящих в приэлектродных
можно пренебречь. Таким образом, коэффициенты
слоях, является достаточно сложной самостоятель-
теплопроводности  и проводимости  считались
ной задачей [2].
известными функциями температуры и задавались с
использованием
линейнокусочной
интерполяции
экспериментальных данных, приведенных в моно-
В тоже время основные численные проблемы,
возникающие при рассмотрении процесса формирования дуги при малых силах тока, напрямую связаны
с тем, что использование приближения локального
графии [1].
Так как большинство конструкций плазмотронов
обладает осесимметричной геометрией, задача рассматривалась в осесимметричном приближении. Тогда, используя закон Ампера и Ома, уравнения Максвелла (6)-(7) могут быть сведены к одному уравнению для азимутальной компоненты магнитной ин-
термодинамического равновесия вблизи электрода, а
соответственно и значения проводимости, как функции температуры тяжелых частиц, приводит к развитию численной неустойчивости [9]. В связи с этим
многие исследователи отмечают невозможность численного расчета дуги при малых силах тока в приближении ЛТР.
дукции H  .
В данной работе учет отклонения состояния
Система уравнений (1)-(7) дополняется следующими граничными условиями:
1) на внешней границе катода:
Ir
Tc  300 K , H  
, u v 0,
2rc2
0
2) на внешней границе анода:
плазмы от ЛТР вблизи катода производится путем
введения в приэлектродных ячейках эффективной
проводимости, значение которой определяется путем
организации соответствующего итерационного процесса (в рамках основной схемы расчета).
Для этого в предположении постоянства темпе-
Ir
Ta  300 0 K , H  
, u v 0,
2ra2
ратуры электронов Te по толщине ионизационного
3) во входном сечении:
слоя определяется квазиравновесный состав плазмы
и определяется величина ионного тока. По известной
152
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
Гипотезы, предложения
в процессе основного расчета температуре стенки
гафниевой вставки и медной основной части и мед-
определяется ток эмиссии электронов по закону Ри-
ного (стального анода). Решение системы дифферен-
чардсона (на первой итерации без поправки Шотт-
циальных уравнений (1)-(7) проводилось методом
ки):
конечных разностей в физических переменных. Дискретизация уравнений осуществлялась методом конje  ATw2 exp(
eef
k BTW
),
(8)
трольного объема, при этом конвективные члены
аппроксимировались разностями, ориентированными
против потока. Поле давления рассчитывалось с по-
где A  константа Ричардсона, e  заряд электрона,
ef     , e  работа выхода,   eEc  по-
мощью метода SIMPLE.
Расчетная область включает в себя твердые тела
(катод, анод) и область, занятую газом и плазмой.
правка Шоттки, k B  константа Больцмана, E c 
Решение разностных уравнений осуществлялось
значение напряженности электрического поля. В
итерационным методом. При решении задачи в об-
расчетах используется усредненное по поверхности
ласти, занятой составным катодом, состоящим из
катода значение эмиссионного тока, а именно
гафниевой вставки, медной части и изолятора, исходная область разбивалась на три части, в каждой
rc
~
je 
2  je (r )dr
0
из которых использовались теплофизические свойст,
rc2
(9)
где je (r ) определяется соотношением (8), rc 
радиус вставки.
деляется катодное падение потенциала U c :
линейной зависимости коэффициентов электропро-
В рамках основного итерационного цикла для расчета эффективной проводимости в прикатодных ячейках на каждой итерации проводились дополнитель-
ji  i
Uc  ~ ,
je
(10)
 i  потенциал ионизации газа, в котором
горит дуга.
ные итерации согласно методике, приведенной выше.
Результаты расчетов
Для определения значения напряженности электрического
джоулева тепловыделения осуществлялось с учетом
водности отдельных частей катода от температуры.
Из баланса энергии в ионизационном слое опре-
где
ва конкретного материала. При этом моделирование
поля
используется
закон
Чайлда-
Ленгмюра:
Использование предложенного подхода позволило провести расчеты параметров дуги для силы
тока от 4 А до 30 А при варьировании расхода газа
Ec  5700  W
1/ 4
U c1 / 4 ji1/ 2
,
(11)
где W  атомный вес плазмообразующего газа. На
последнем этапе вычисляется значение эффективной
проводимости  e в приэлектродной зоне
e 
~
je
.
E
на входе в плазмотрон от 0.1 г/с до 1 г/с (угол закрутки газа 450 ).
На предварительном этапе исследовались зависимости приэлектродной проводимости и катодного
(12)
Расчеты были проведены для промышленного
падения потенциала, рассчитанные по соотношениям
(10), (12), от температурных характеристик горения
разряда.
плазмотрона с составным катодом, состоящим из
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
153
Гипотезы, предложения
Uc
На рис.1. представлены зависимости эффективной проводимости  e в прикатодных ячейках от
температуры катода для различных значений темпе-
20
ратуры электронов Te .
10
s
1
400
5
2
300
7 I
Рис.2. Катодное падение потенциала
в зависимости от силы разрядного тока
200
Этот процесс напрямую связан с увеличением
100
3
2600
2800
3000
3200
3400
T
Рис.1. Зависимости эффективной проводимости от
температуры катода для различных значений Te :
1  Te  0.5 eV , 2  Te  1eV , 3- Te  2 eV
тока термоэмиссии je , поскольку при постоянном
давлении газа величина ионного тока ji является
примерно постоянной величиной. При этом диапазон
изменения U c при силе тока I  5  10 A варьируется в пределах 5-20 В. Поскольку экспериментальные
данные о катодном падении потенциала для данного
Можно отметить увеличение проводимости с
ростом температуры катода, что связано с ростом
тока эмитирующих электронов. В тоже время увеличение температуры электронов приводит к снижению  e , что связано с увеличением доли ионного
тока и ростом напряженности электрического поля в
ионизационном слое. Если оценивать значение при-
плазмотрона в литературе отсутствуют, верификация
данных расчета была проведена путем сравнения
экспериментальных и расчетных вольтамперных характеристик (рис.3), причем расчет напряжения проводился с учетом величины U c . Можно отметить
удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных.
электродной проводимости в рамках ЛТР плазмы, то
ее значение по данным монографии [1], при тех же
U
условиях, на 1-2 порядка выше.
Поскольку к основным энергетическим характе-
180
ристикам плазмотрона относят прежде всего катодное падение потенциала U c , экспериментальное оп-
160
ределение которого, при малых силах тока весьма
затруднено, был проведен расчет U c при различных
значениях разрядного тока I . Соответствующая зависимость U c  U c (I ) приведена на рис.2, который
иллюстрирует снижение катодного падения потен-
140
4
8 I Рис.
6
3. Вольт-амперная характеристика плазмотрона
[8];
 расчетные данные
циала с ростом разрядного тока, что согласуется с
известными экспериментальными данными [2].
Что касается всей области горения дугового разряда, то результаты расчетов показали, что форми-
154
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
Гипотезы, предложения
рующаяся электрическая дуга состоит из плазменного ядра, непосредственно примыкающего к вставке, и основной области, непосредственно граничащей с турбулентным потоком газа.
Интенсивность джоулева тепловыделения оценивалась с помощью безразмерного параметра
 E 2d
I d  0 0 0 . При варьировании силы тока в преде0 0T0
лах от 1А до 30А, при следующих характерных зна-
Gin  G / G0 , где G  расход газа во входном сечении, G0  0,1 г / с . При этом вблизи анода температура начинает падать. Этот эффект наглядно демонстрируется радиальными профилями температур в
осевых сечениях, приведенными на рис. 4, для случая I d  6  103 и разных значений параметра Gin .
TT
0
0.8
чениях температуры, плотности, скорости, проводи-
3
2
1
мости, напряженности электрического поля:
T0  6000 0 K ,  0  0.044 кг / м 3 , 0  5 м / с ,
0.5
 0  80 (ом  м) 1 , E0  I /( d 02  0 ) ,
параметр
Id
варьировался
в
пределах
376  I d  7.5  105 . В качестве характерного линей-
ного
размера
был
выбран
диаметр
вставки
d 0  d c  0,002 м .
При увеличении параметра I d увеличивается
максимум температур в районе вставки, и происхо-
0.1
0.0
dc
2dc
r r0
Рис.4. Радиальные профили температур:
1 Gin  1; 2  Gin  2; 3 Gin  4.
дит расширение токопроводящего канала дуги. Кроме того, под действием собственных электромагнитных сил дуга удлиняется в аксиальном направлении,
и, начиная с I d  1,5  10 5 , при малых расходах газа
дуга занимает практически весь канал плазмотрона.
Этот эффект связан не только с увеличением джоулева тепловыделения с ростом силы тока, но и с
невозможностью ограничения роста диаметра дуги
аксиальным потоком газа в связи с малыми расходами.
При больших расходах газа ( Gin  10 ) газовый
поток начинает оттеснять дугу от анода, наблюдается процесс газодинамического обжатия столба дуги,
что приводит к ограничению роста ее диаметра, и
смещению вниз по потоку переходной области взаимодействия дуги с турбулентным потоком газа. На
рис.5 представлена зависимость максимальной температуры на оси плазмотрона от силы разрядного
тока (параметра I d ) при Gin  1 . Можно отметить
Результаты расчетов показали, что увеличение
расхода газа на входе в плазмотрон, при прочих равных условиях, приводит к ускорению газового пото-
практически линейный рост максимальной температуры на оси дуги с ростом тока.
ка в осевом направлении. Как следствие, зона прогрева газа дугой в аксиальном направлении увеличивается практически пропорционально параметру
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
155
Гипотезы, предложения
Так, на рис.7 представлены радиальные профили
TT
0
кинетической энергии турбулентности в различных
аксиальных сечениях вдоль оси канала для RNG
k   модели турбулентности и модели напряжений
2
Рейнольдса.
TT
0
1
0.3
3.7e4
1.5e5
3.0e5
Id
1
Рис.5. Зависимость максимальной температуры на
оси дуги от силы разрядного тока
0.2
2
Проведенные расчеты позволяют оценить температуру на выходе из плазмотрона, что является
особенно важным при использовании подобного рода устройств в качестве источников зажигания. Радиальные профили температуры в выходном сечении
плазмотрона при различных значениях параметра I d
0.05
dc
2dc
r r0
Рис.6. Профили температур на выходе из плазмотрона:
1  I d  1.5  103 , 2 I d  4  103
приведены на рис.6. Переходя к размерным переменным, получаем, что даже при относительно малой силе тока ( I  4 A ) значение максимальной тем-
Расчеты, проведенные с использованием модели
напряжений Рейнольдса, показывают более высокий
уровень генерации кинетической энергии турбу-
пературы на выходе ( T  12500 K ) превышает температуру воспламенения обедненной метановоздушной смеси.
лентности, и, как следствие, более увеличенную зону
прогрева газа дугой.
Можно отметить и тот факт, что значения кине-
Что касается взаимодействия формирующейся
тической энергии турбулентности, вычисленные с
дуги с турбулентным потоком газа, то для оценки
использованием двух моделей, не совпадают и в об-
такого взаимодействия был проведен анализ исполь-
ласти, непосредственно примыкающей к катодной
зования различных моделей турбулентности. Следу-
вставке, однако на результатах теплового расчета
ет отметить, что с ростом силы тока наблюдается
усиление интенсивности турбулентности на границе
газ-плазма, где находится основной источник гене-
дуги это не сказывается. Значения максимума температур в районе вставки совпадают для всех моделей
турбулентности, что является следствием процесса
рации турбулентных вихрей. Именно в этой области
ламинаризации потока в этой области, где сущест-
и фиксируются максимальные расхождения в значе-
венными оказываются процессы не турбулентного, а
ниях кинетической энергии турбулентности, вычис-
молекулярного переноса.
ленные с использованием различных моделей турбулентности.
156
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
Гипотезы, предложения
равновесных процессов, происходящих во всем межэлектродном промежутке.
Список литературы:
1. Энгельшт В.С., Гурович В.Ц. и др. Теория столба
электрической дуги. Низкотемпературная плазма.
Т.1. Новосибирск: Наука, 1990. 376 с. 2. Паневин
И.Г., Хвесюк В.И. и др. Теория и расчет приэлектродных процессов. Низкотемпературная плазма. Т.10.
Новосибирск: Наука, 1992. 197 с. 3. Aithal S.M.,
Рис.7. Радиальные профили кинетической энергии
турбулентности
Subramaniam V.V. Numerical model of a transferred
plasma arc// J. of Appl. Physics. 1998. V.84. N7. P.
3506-3517. 4. Yuan X., Li h., Zhao T., Wang F. Com-
Выводы
1. Представленная модель стационарного горения дуги при атмосферном давлении и малых силах
тока позволяет как на качественном, так и на количественном уровне описать основные закономерности
поведения низкотемпературной плазмы и ее взаимодействие с турбулентным потоком газа.
2. Обнаруженные расхождения в расчетах кинетической энергии турбулентности по различным
моделям требуют дальнейшей верификации применимости моделей турбулентности к описанию высокотемпературных потоков.
3. Для проведения расчетов и выработки рекомендаций по усовершенствованию более высокоэффективных плазменных систем, работающих на токах менее 1А, необходимо дальнейшее усовершенствование модели, что напрямую связано с учетом не-
ДВИГАТЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ 1'2007
parative study of flow characteristics inside plasma
torch with different nozzle configurations// Plasma
chemistry and plasma processing. 2004. V.24. N 4. P.
585-601. 5. Лелевкин В.М., Семенов В.Ф. Численное
моделирование открытой диафрагмированной электрической дуги// Вестник КРСУ. №22. 2002. С. 2534. 6. Risasher A., Larigaldie S., Bobillot G. Modelling
of a steady low-current arc discharge in air at atmospheric pressure// IEEE Trans. Plasma Science. 2000. V.
28. P. 189-192. 7. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987. 1987. 592 с. 8. Романовский
Г.Ф. , Сербин С.И. Плазмохимические системы судовой энергетики. Николаев: Изд-во УГМТУ, 1998. 246
с. 9. Тропина А.А., Костюк В.Е.. Численный анализ
характеристик дуги в турбулентном потоке газе //
Авиационно-космическая
техника
и
технология.
№9(35). 2006. С. 157-161.
157