2.4. Импульс. Общая формулировка второго закона динамики υ

2.4. Импульс. Общая формулировка
второго закона динамики
Выражения (2.4) и (2.6) справедливы только для материальной точки
постоянной массы. Наиболее общую формулировку второго закона динамики
можно получить, введя понятие импульса.
Произведение массы материальной точки и ее скорости называется импульсом
материальной точки
r
r
p = mυ .
Импульс — векторная физическая величина, которая совпадает по направлению с
r
вектором скорости, обозначается p и измеряется в кг·м/с. В литературе можно
встретить устаревшее название импульса — количество движения.
Формулу (2.6), выражающую второй закон Ньютона, можно представить в
виде:
r
dυ r
m
=F.
(2.8)
dt
Если массу m поднести под знак производной, получим
r
d ( mυ ) r
=F.
(2.9)
dt
Это общее выражение второго закона Ньютона, справедливое для
материальной точки как постоянной, так и переменной массы (более подробно о
движении тела переменной массы см. § 3.3).
Отметим, что это рассуждения, а не вывод. Законы Ньютона не выводятся, а
являются результатом обобщения опытных данных. Наоборот, из общего
выражения (2.9) могут быть получены частные случаи (2.4) и (2.6), которые
справедливы только для частиц (тел) постоянной массы.
Таким образом, второй закон Ньютона в наиболее общей форме является
законом изменения импульса: скорость изменения импульса материальной точки
равна действующей на эту точку силе:
r
dp r
=F.
(2.10)
dt
Примерно таким же образом сформулировал данный закон и сам Ньютон:
«Изменение количества движения пропорционально движущей силе и происходит
в направлении той прямой, по которой эта сила действует».
Второй закон Ньютона в общей форме правильно отражает динамические
закономерности во всех случаях движения материальной точки.
r
Импульсом силы называется произведение силы и времени ее действия Fdt .
Это векторная величина, которая по направлению совпадает с силой.
Введя понятие импульса силы, можно дать еще одну общую формулировку
второго закона Ньютона: изменение импульса материальной точки равно
импульсу действующей силы
r r
dp = Fdt .
(2.11)
Как видно из формулы (2.11), одно и то же изменение импульса может быть
вызвано как малой, но длительно действующей силой, так и большой, но
кратковременной. Никакая самая большая сила не может мгновенно изменить
импульс (а значит, и скорость) даже небольшого тела. Для изменения импульса
необходимо, чтобы сила действовала на протяжении определенного интервала
времени, причем тем большего, чем больше масса и меньше сила.
Рассмотрим случай, когда на материальную точку не действуют силы или их
действие скомпенсировано. В соответствии с формулой (2.11), при этом
r
изменение импульса dp = 0 , т. е. импульс остается постоянным:
r
p = const .
(2.12)
Поскольку импульс является векторной величиной,
то из (2.12) следует постоянство его модуля и
направления. При этом частица постоянной массы
r
сохраняет свою скорость υ = const . Изменение массы
частица обязательно приведет к изменению ее
Рис. 2.3
скорости, поскольку должен сохраниться импульс.
r
Если, например, масса частицы m, которая двигалась со скоростью υ ,
увеличилась в результате соединения с неподвижной частицей массой m1
r
(рис. 2.3), то новую скорость u можно найти исходя из сохранения импульса:
r
r
mυ = ( m + m1 ) u .
Пусть материальная точка, которая имела в момент времени t0 = 0 импульс
r
r
p0 , движется под действием силы F . Определим бесконечно малое приращение
импульса этой точки, воспользовавшись вторым законом Ньютона,
r r
dp = Fdt .
r r
r
Конечное изменение импульса ∆p = p1 − p0 за время ∆t = t1 − t0 найдем
интегрированием
t1
r
r r r
(2.13)
∆p = p1 − p0 = ∫ Fdt .
t0
Полученное соотношение представляет собой аналитический вид теоремы об
изменении импульса: изменение импульса материальной точки за конечный
интервал времени равно суммарному импульсу силы за данный интервал.
r
r
Зная закон изменения силы со временем F ( t ) и начальный импульс p0 при
t0 = 0 , по формуле (2.13) можно подсчитать изменение импульса и, значит,
определить импульс в любой момент времени
t
r
r
r
(2.14)
p ( t ) = p0 + ∫ F ( t ) dt .
0
Например, если сила постоянная, получаем линейную зависимость импульса
от времени
r
r
r
(2.15)
p ( t ) = p0 + Ft .
Если при этом масса не изменяется ( m = const ), то, разделив на m, получаем
следующую зависимость скорости от времени
r
r
r F
υ ( t ) = υ0 + t .
m
Теорема об изменении импульса применяется и для решения обратной задачи.
Пусть известно изменение модуля импульса ∆p . Тогда, зная величину
постоянной силы F, можно определить время ее действия
∆p
∆t =
.
(2.16)
F
И наоборот, зная продолжительность действия силы ∆t , можно найти ее
величину
∆p
F=
.
∆t
Если сила непостоянная, то ее среднее значение за время ∆t
ur ur ur
t
ur
∆ p p1 − p 0 1 ur
(2.17)
=
= ∫ Fdt .
F =
∆t
∆t 0
t1 − t0
Как уже отмечалось, даже большие, но кратковременные силы не могут
существенно изменить импульс точки. При периодических кратковременных
воздействиях этих сил их среднее значение может оказаться не очень большим.
Пусть, например, к точке приложена
сила F = 50 Н, которая повторяется с периодом T = 1 с и действует на протяжении
интервала времени ∆t =0,1 с (рис. 2.4).
Импульс этой силы
F ⋅ ∆t = 50 H ⋅ 0,1 c = 5 H ⋅ c , а среднее
значение F = F ∆t T = 5 Н, т. е.
Рис. 2.4
в 10 раз меньше приложенной силы. По этой причине, например, тонкий лед может
выдержать быстро идущего человека, но не выдерживает человека стоящего
неподвижно.