Контур тока

Оптимизация контура тока с компенсированной ЭДС двигателя
и безынерционной обратной связью
Структурная схема контура тока с компенсированной ЭДС двигателя и безынерционной обратной связью приведена на рис. 1. Контур в
прямом канале имеет одну большую постоянную времени Т яц и одну
малую постоянную времени Т µт . Основное воздействие на входе контура – управляющее U зт , основной тип управляющего воздействия –
ступенчатое и линейное.
U зт
k тп
Т µт р + 1
W ( p) рт
(-)
U от
1
Rяц
iя
Т яц р + 1
k дт
k от
Рис. 1. Структурная схема контура тока с компенсированной
ЭДС двигателя и безынерционной обратной связью
Основные требования к работе контура тока – максимальное быстродействие и малое (не более 10%) перерегулирование. Большое перерегулирование
в контуре тока может приводить к срабатыванию токовой защиты и отключению привода при работе с предельными значениями тока в переходных режимах и в режиме стопорения. В электроприводах большой мощности дополнительно накладывается ограничение на максимальное значение скорости изме⎛ di ⎞
нения тока якоря ⎜⎜ я ⎟⎟ .
⎝ dt ⎠
Контур тока с компенсированной ЭДС и безынерционной обратной связью применительно к управляющему воздействию может быть оптимизирован
с ПИ-регулятором:
– по МО для системы 2-го порядка;
– по ЛО для системы 2-го порядка,
с П-регулятором (или без регулятора) по МО для системы 2-го порядка.
Тип регулятора тока и метод оптимизации контура предварительно могут быть выбраны в соответствии с табл. 1.
Примечание: В соответствии с [часть 7, раздел 3] контур тока с ПИрегулятором может быть настроен и на симметричный оптимум.
1
Таблица 1
Типы регуляторов и методы оптимизации контура тока с компенсированной внутренней обратной связью по ЭДС двигателя
Тип
регулятора
Тип оптимизации
МО
ПИ
ЛО
П
и без
регулятора
Т яц
Т µт
МО**
Тм
Т яц
≥8
≥1
I уст I макс
σ, %
I зад I зад
1.043
≥1
≥ 20
МО*
Тм
Тµ т
4.3
1.0
Не имеют
значения
1.0
> 0 .9
> 0 .8
1.0
Примечание
0
≤ 1.043
Процессы
в контуре
не зависят
от I с и
4.3
ωдв
Быстродействие
Принято за
базовое
Меньше в
2.3 раза
Больше
1.043
* – типовая настройка
** – настройка с компенсацией статической ошибки.
Расчет параметров цепи обратной связи
Коэффициент обратной связи контура по току
U
В
k т = зт.макс , ,
I эп.макс А
где
U зт.макс – максимальное значение управляющего напряжения на входе
контура тока в аналоговых системах U зт.макс ≤ 10 В ;
I эп.макс – максимальный допустимый ток электропривода, А.
Коэффициент передачи входной цепи канала обратной связи регулятора
тока
k от =
kт
,
k дт
где k дт – коэффициент передачи датчика тока,
В
.
А
Оптимизация контура тока с ПИ-регулятором
Для настройки контура тока выбирается ПИ-регулятор с передаточной
функцией
Т рт ⋅ р + 1
.
W ( p ) рт = k рт ⋅
Т рт ⋅ р
2
Оптимизация контура тока по МО
Т яц
≥ 1. Для точной
Т µт
оптимизации контура тока по МО коэффициент усиления и постоянная времени ПИ-регулятора определяется по выражениям:
Rяц ⋅ Т яц
k рт =
;
k тп ⋅ k т ⋅ 2 ⋅ Т µт
Контур оптимизируется при значении отношения
Т рт = Т яц .
Настроенный таким образом контур тока имеет следующие передаточные функции:
1
W ( p ) т.раз =
2 ⋅ Т µ2т ⋅ р 2 + 2 ⋅ Т µт ⋅ p
– разомкнутого контура;
1
kт
W ( p) т.зам =
2 ⋅ Т µ2т ⋅ р 2 + 2 ⋅ Т µт ⋅ p + 1
– замкнутого контура по управлению.
Настройка контура тока по управлению соответствует типовой настройке на МО, замкнутый контур представляет собой колебательное звено
1
2-го порядка с коэффициентом демпфирования ξ =
= 0.707 и эквивалент2
ной постоянной времени оптимизированного контура
Т т = 2 ⋅ Т µт .
Контур является астатической системой 1-го порядка по управлению и
обеспечивает точную отработку заданного значения тока
I уст = I зад =
U зт
, А.
kт
Ожидаемые показатели качества работы оптимизированного контура
тока:
– установившаяся статическая ошибка по управлению при постоянном
значении задающего сигнала, А,
∆I у.ст = 0 ;
– установившаяся скоростная ошибка при линейном изменении задающего
сигнала U зт (t ) , А,
∆I у.ск =
2 ⋅ Т µт dU зт
⎛ di ⎞
⋅
= 2 ⋅ Т µт ⋅ ⎜ я ⎟ ;
dt
kт
⎝ dt ⎠ зад
3
– полоса пропускания контура по модулю и фазе,
рад
,
с
0.71
;
ω(пм ) = ω(пф ) =
Т µт
– показатели работы при отработке ступенчатого управляющего воздействия:
σ = 4.3 % – перерегулирование;
( 5)
t ру1
= 4.1 ⋅ Т µт – время первого вхождения в 5% зону, с;
( 5)
t ру2
= 4.1 ⋅ Т µт – время переходного процесса, с.
Максимальное значение производной тока (скорости изменения тока)
при отработке ступенчатого входного воздействия U зт. макс
U зт. макс
I эп. макс А
⎛ diя ⎞
= 0.6448 ⋅
= 0.6448 ⋅
, .
⎜
⎟
k т ⋅ 2 ⋅ Т µт
2 ⋅ Т µт с
⎝ dt ⎠макс
В практике электропривода производную тока принято измерять в номи⎛I
⎞
нальных токах двигателя I дв.н за секунду ⎜⎜ дв.н ⎟⎟ , тогда
⎝ с ⎠
I эп. макс
⎛ diя ⎞
,
=
0
.
6448
⋅
⎜
⎟
I дв.н ⋅ 2 ⋅ Т µт
⎝ dt ⎠макс
⎛ I дв.н ⎞
⎜⎜
⎟⎟ .
с
⎝
⎠
Оптимизация контура тока по ЛО
Оптимизация контура по ЛО применяется при необходимости исключить перерегулирование тока. Контур настраивается при любом значеТ
нии отношения яц ≥ 1. Для точной оптимизации контура по ЛО коэффиТ µт
циент усиления и постоянная времени ПИ-регулятора определяются по
выражениям
k рт =
Rяц ⋅ Т яц
k тп ⋅ k т ⋅ 4 ⋅ Т µт
Т рт = Т яц .
;
Настроенный таким образом контур тока имеет следующие передаточные функции:
W ( p ) т.раз =
1
4 ⋅ Т µ2т ⋅ р 2 + 4 ⋅ Т µт ⋅ p
– разомкнутого контура;
4
1
W ( p) т.зам =
kт
4 ⋅ Т µ2т ⋅ р 2 + 4 ⋅ Т µт ⋅ p + 1
– замкнутого контура.
Настройка контура тока по управлению соответствует типовой настройке на ЛО, замкнутый контур представляет собой апериодическое звено
2-го порядка с коэффициентом демпфирования ξ = 1 и эквивалентной постоянной времени оптимизированного контура
Т т = 4 ⋅ Т µт .
Контур является астатической системой 1-го порядка по управлению
и обеспечивает точную отработку заданного значения тока
I уст = I зад =
U зт
, А.
kт
Ожидаемые показатели качества работы оптимизированного контура
тока:
– установившаяся статическая ошибка по управлению при постоянном значении задающего сигнала, А,
∆I у.ст = 0 ;
– установившаяся скоростная ошибка при линейном изменении задающего сигнала U зт (t ) , А,
∆I у.ск =
4 ⋅ Т µт dU зт
⎛ di ⎞
⋅
= 4 ⋅ Т µт ⋅ ⎜ я ⎟ ;
kт
dt
⎝ dt ⎠зад
– полоса пропускания контура по модулю и фазе,
рад
,
с
0.35
;
ωп(м ) = ω(пф ) =
Т µт
– показатели работы при отработке ступенчатого управляющего воздействия:
σ = 0% ;
( 5)
( 5)
t ру1
= t ру2
= 9.5 ⋅ Т µт , с.
Максимальное значение производной тока при отработке ступенчатого
входного воздействия U зт. макс
U зт. макс
I эп. макс А
⎛ di я ⎞
=
0
.
6445
⋅
=
0
.
6445
⋅
,
⎜
⎟
k т ⋅ 4 ⋅ Т µт
4 ⋅ Т µт с
⎝ dt ⎠ макс
5
⎛I
⎞
или в единицах измерения ⎜⎜ дв.н ⎟⎟
⎝ с ⎠
I эп. макс
⎛ di я ⎞
.
= 0.6445 ⋅
⎜
⎟
I дв.н ⋅ 4 ⋅ Т µт
⎝ dt ⎠ макс
Оптимизация контура тока с П-регулятором по МО
Контур настраивается при любом значении отношения
Т яц
Т µт
≥ 1. Пере-
даточная функция П-регулятора тока
W ( p ) рт = k рт ,
где
k рт =
Rяц ⋅ Т яц
k тп ⋅ k т ⋅ 2 ⋅ Т µт
⎛ Т µ2т ⎞
⋅ ⎜1 + 2 ⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
⎝
– коэффициент усиления регулятора (часть 7, раздел 3).
Настроенный таким образом контур имеет следующие передаточные
функции:
⎛ Т µ2т ⎞
⋅ ⎜1 + 2 ⎟
2 ⋅ Т µт ⎜ Т яц ⎟
⎝
⎠
=
Т яц ⋅ Т µт ⋅ р 2 + Т яц + Т µт ⋅ р + 1
Т яц
W ( p) т.раз
(
)
– разомкнутого контура;
1+
W ( p) т.зам
Т µ2т
2
Т яц
1
⋅
kт ⎛ Т ⎞2
⎜1 + µт ⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
⎝
=
2 ⋅ Т µ2тэ ⋅ р 2 + 2 ⋅ Т µтэ ⋅ р + 1
– замкнутого контура по управлению, где
Т µтэ =
Т µт
< Т µт
Т µт
1+
Т яц
– эквивалентная малая постоянная времени оптимизированного контура.
6
Контур тока является статической системой по управлению с коэффициентом передачи замкнутого контура меньше расчетного
1+
k т.зам
Т µ2т
2
Т яц
1
1
.
=
⋅
<
kт ⎛ Т ⎞2 kт
⎜1 + µт ⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
⎝
По этой причине контур отрабатывает заданное значение тока с ошибкой и, следовательно, установившееся значение тока будет меньше заданного
1+
I уст
Т µ2т
2
Т яц
U зт
U
=
⋅
< I зад = зт .
2
kт ⎛ Т ⎞
kт
⎜1 + µт ⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
⎝
Характеристическое уравнение передаточной функции замкнутого контура тока по управлению соответствует характеристическому уравнению оптимизированной по МО системы 2-го порядка с эквивалентной малой постоянной
времени Т µтэ < Т µт и эквивалентной постоянной времени оптимизированного
контура
Тт = 2 ⋅
Т µт
.
Т µт
1+
Т яц
Это определяет соответствие динамических характеристик контура тока с П-регулятором характеристикам системы 2-го порядка, оптимизированной по МО.
Ожидаемые показатели качества работы оптимизированного замкнутого контура тока:
– установившаяся статическая ошибка при постоянном значении задающего сигнала
2⋅
∆I у.ст =
Т µт
2⋅
Т µт
Т яц
Т яц
U зт
I
, А;
=
⋅
⋅
зад
2
kт ⎛ Т ⎞2
Т
⎞
⎛
⎜1 + µт ⎟
⎜1 + µт ⎟
⎜ Т ⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
яц ⎠
⎝
⎝
– полоса пропускания контура по модулю и фазе
7
ω(пм ) = ω(пф ) = 0.71 ⋅
1+
Т µт
Т яц
Т µт
,
рад
;
с
– показатели работы при отработке ступенчатого управляющего воздействия:
σ = 4.3 % ;
( 5)
( 5)
t ру1
= t ру2
= 4.1 ⋅ Т µтэ = 4.1 ⋅
Т µт
, с.
Т µт
1+
Т яц
При отработке линейно изменяющегося управления U зт (t ) динамическая ошибка контура определяется суммой двух ошибок – статической и скоростной
∆I дин = ∆I у.ст + ∆I у.ск .
Статическая ошибка с изменением величины управления U зт (t ) изменяется в соответствии с выражением
2⋅
∆I у.ст =
Т µт
Т яц
U зт (t )
⋅
,
2
kт
⎛ Т µт ⎞
⎜1 +
⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
⎝
а скоростная ошибка остается постоянной
∆I у.ск =
2 ⋅ Т µт
kт
1+
⋅
Т µ2т
2
Т яц
⎛ Т µт ⎞
⎜1 +
⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
⎝
3
⋅
dU зт
, А.
dt
В результате динамическая ошибка контура не достигает установившегося значения.
Максимальное значение производной тока при отработке ступенчатого
входного воздействия U зт. макс
⎛ di я ⎞
= 0.6448 ⋅
⎜
⎟
t
d
⎝
⎠ макс
1+
Т µ2т
2
Т яц
⎛ Т µт ⎞
⎟
2 ⋅ Т µт ⋅ ⎜⎜1 +
⎟
⎝ Т яц ⎠
8
⋅
U зт. макс
kт
=
1+
= 0.6448 ⋅
Т µ2т
2
Т яц
⎛ Т µт ⎞
⎟
2 ⋅ Т µт ⋅ ⎜⎜1 +
⎟
Т
яц ⎠
⎝
А
с
⋅ I эп.макс ,
⎛I
⎞
или в единицах измерения ⎜⎜ дв.н ⎟⎟
⎝ с ⎠
⎛ di я ⎞
= 0.6448 ⋅
⎜
⎟
⎝ dt ⎠ макс
1+
Т µ2т
2
Т яц
⎛ Т µт ⎞
⎟
2 ⋅ Т µт ⋅ ⎜⎜1 +
⎟
Т
яц ⎠
⎝
⋅
I эп. макс
I дв.н
.
Компенсация статической ошибки контура тока с П-регулятором
Для исключения статической ошибки контура тока с П-регулятором
достаточно увеличить значение максимального задающего напряжения на
входе контура до значения
2
⎛ Тµт ⎞
⎜1 +
⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
'
⎝
U зт
, В.
макс = k т ⋅ I эп макс ⋅
Т µ2 т
1+
2
Т яц
Однако в системах электропривода с унифицированными сигналами
управления сделать это затруднительно.
В системах электропривода с унифицированными сигналами управления для исключения статической ошибки контура тока с П-регулятором необходимо уменьшить значение коэффициента обратной связи по току
Т µ2т
Т µ2т
1+ 2
1+ 2
Т яц
Т
U
В
яц
,
=
⋅
,
k т' = зт.макс ⋅
k
т
2 А
I эп.макс ⎛ Т ⎞ 2
⎛ Т µт ⎞
⎜1 + µт ⎟
⎜1 +
⎟
⎜ Т ⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
яц ⎠
⎝
⎝
а коэффициент усиления регулятора тока соответственно увеличить
9
'
k рт
=
Rяц ⋅ Т яц
k тп ⋅ k т' ⋅ 2 ⋅ Т µт
⎛ Т µ2т ⎞
Rяц ⋅ Т яц
⋅ ⎜1 + 2 ⎟ =
⎜ Т ⎟ k ⋅ k ⋅ 2 ⋅Т
µт
яц ⎠
тп
т
⎝
2
⎛ Т µт ⎞
⎟ .
⋅ ⎜⎜1 +
⎟
Т
яц ⎠
⎝
Тогда передаточная функция замкнутого контура тока принимает вид
1
W ( p) т.зам =
kт
2 ⋅ Т µ2тэ ⋅ р 2 + 2 ⋅ Т µтэ ⋅ р + 1
и контур отрабатывает заданное значение тока без ошибки
I уст = I зад =
U зт
, А.
kт
В результате такой настройки установившаяся статическая ошибка контура становится равной нулю ∆I у.ст = 0 , а производная тока при отработке
максимального скачка задания U зт.макс возрастает до значения
1+
Т µт
1+
Т µт
Т яц U зт. макс
Т яц
А
⎛ di я ⎞
= 0.6448 ⋅
⋅
= 0.6448 ⋅
⋅ I эп. макс ,
⎜
⎟
kт
2 ⋅ Т µт
2 ⋅ Т µт
с
⎝ dt ⎠ макс
⎞
⎛I
или в единицах измерения ⎜⎜ дв.н ⎟⎟
⎝ с ⎠
1+
Т µт
Т яц I эп. макс
⎛ di я ⎞
= 0.6448 ⋅
⋅
.
⎜
⎟
2 ⋅ Т µт
I дв.н
⎝ dt ⎠ макс
Динамическая ошибка контура при отработке линейно изменяющегося
входного воздействия U зт (t ) равна скоростной ошибки, установившееся значение которой определяется выражением
∆I у.ск =
2 ⋅ Т µт
dU зт
, А.
⎛ Т µт ⎞ d t
⎟
k т ⋅ ⎜⎜1 +
⎟
⎝ Т яц ⎠
⋅
Оптимизация контура тока без регулятора по МО
Результаты, аналогичные полученным при настройке контура тока с Прегулятором, можно получить и при настройке контура тока без регулятора,
если коэффициент обратной связи и максимальное значение напряжения
управления выбрать равными:
10
kт =
Rяц ⋅ Т яц
k тп ⋅ 2 ⋅ Т µт
⎛ Т µ2т ⎞ В
⋅ ⎜1 + 2 ⎟ , ;
⎜ Т ⎟ А
яц ⎠
⎝
U зт.макс = k т ⋅ I эп.макс , В.
Для исключения статической ошибки в контуре тока, настроенном согласно без регулятора тока, необходимо максимальное значение задающего
напряжения на входе контура выбрать равным значению
2
'
U зт.макс
⎛ Т µт ⎞
⎜1 +
⎟
⎜ Т ⎟
яц ⎠
= k т ⋅ I эп.макс ⋅ ⎝
, В.
Т µ2т
1+ 2
Т яц
Сравнительная оценка способов настройки контура тока
Полученные расчетные выражения позволяют сравнительно оценить
способы настройки контура тока с компенсированной внутренней обратной
связью по ЭДС двигателя по основным показателям качества отработки ступенчатых и линейно изменяющихся управляющих воздействий. На рис. 2 для
различных настроек приведены графики зависимости показателей качества
Т
работы контура тока от отношения постоянных времени яц .
Т µт
Из анализа приведенных зависимостей следует, что наибольшим быстродействием обладает контур тока с П-регулятором (или без него). Однако,
из-за статической ошибки такую настройку контура тока следует применять
Т
только при отношении постоянных времени яц ≥ 20 (статическая ошибка в
Т µт
этом случае не превышает значения 10%). Если же статическая ошибка в
контуре с П-регулятором будет компенсирована, то такая настройка обеспечивает контуру тока лучшие качественные показатели работы по управлению
при любых отношениях постоянных времени. Следует иметь в виду, что контур тока без регулятора имеет неунифицированное значение задающего напряжения.
Настройка контура тока с ПИ-регулятором на МО обеспечивает технически оптимальные показатели работы контура вне зависимости от отношеТ
ния постоянных времени яц и является практически наиболее часто примеТ µт
няемой.
11
о.е.
I уст
о.е.
3.0
I зад
1.2
*
t ру2
2.5
0.8
2.0
П-РТ
kт
0.6
t ру (МО )
ПИ-РТ
k т'
1.0
t ру
1.5
1.0
0.4
5
10 15
а
20
25 30 о.е.
⎛ di ⎞ ⎛ di ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ МО
о.е.
2.5
2.5
ПИ-РТ ЛО
*
t ру1
ПИ-РТ СО
*
t ру1
ПИ-РТ МО
П-РТ
Т яц
Т µт
5
о.е. ⎜
*
t ру1
*
t ру1
Т яц 0.5
Т µт
0.2
ПИ-РТ СО
∆I ск
10
15
б
ПИ-РТ ЛО
2.0
ПИ-РТ СО
П-РТ
1.5
1.5
k т'
1.0
ПИ-РТ МО
1.0
kт
ПИ-РТ СО
0.5
ПИ-РТ ЛО
Т яц
k т'
0.5
10
15
в
20
25 30 о.е.
П-РТ
Т яц
kт
Т µт
5
25 30 о.е.
∆I ск (МО )
ПИ-РТ МО
2.0
20
5
Т µт
10
15
г
20
25
30 о.е.
Рис. 2. Показатели качества работы контура тока по управлению
при разных способах настройки: а – установившееся значение тока относительно заданного; б – время реакции на ступенчатое задание; в – максимальное значение производной при ступенчатом задании; г – скоростная
ошибка при отработке линейно изменяющегося задания
Настройку контура тока с ПИ-регулятором на ЛО следует применять в
системах электропривода, в которых к быстродействию не предъявляется жестких требований и необходимо исключить перерегулирование тока. Для повышения быстродействия настройку контура тока на ЛО можно применить с
П-регулятором (или без него).
Сделанные выводы относятся к настройке контура тока только с компенсированной внутренней обратной связью по ЭДС двигателя.
12
о.е.
1.0
I уст
I зад
1, 2, 4
0.8
3
1 − ПИ - РТ, МО
2 − ПИ - РТ, ЛО
3 − П - РТ, МО (типовая настройка)
4 − П - РТ, МО (с компенсацией статической
ошибки)
Т яц
0.6
0.4
0.2
Т µт
5
10
15
20
25
30
35
40 о.е.
Рис. 3
о.е.
2.0
1.8
(5)
t ру1
(5)
t ру1
МО
2
1.6
1 − ПИ - РТ, МО
2 − ПИ - РТ, ЛО
3 − П - РТ, МО (типовая настройка)
1.4
4 − П - РТ, МО (с компенсацией статической
1.2
1.0
ошибки)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
3, 4
Т яц
Т µт
5
10
15
20
Рис. 4
13
25
30
35
40 о.е.
Влияние некомпенсированной ЭДС двигателя
на процессы в контуре тока
е дв
U зт
РТ
(-)
U от
k ⋅Ф
(-)
е тп
k тп
Т µт р + 1
ω дв
1
k ⋅Ф
Jэ ⋅ р
i
Rяц
Т яц р + 1
k от
k дт
а
U зт
РТ
(-)
Тм
⋅р
Rяц
е тп
k тп
Т µт р + 1
U от
i
Т м ⋅ Т яц ⋅ р 2 + Т м ⋅ р + 1
kт
б
Рис. 1. Структурная схема контура тока с безынерционной обратной связью и
учетом ЭДС двигателя: а – исходная; б - преобразованная
e дв
(k ⋅ Ф )
2
Jэ ⋅ р
U зт
U от
Wрт ( p)
(-)
k тп
Т µт р + 1
e тп
(-)
1
Rяц
(-)
Iс
i дин
iя
Т яц ⋅ р + 1
k от
k дт
Рис. 2. Структурная схема контура тока с учетом ЭДС двигателя и статической нагрузки
14
о.е.
1.0
I уст
I зад
МО
0.8
ЛО
0.6
0.4
0.2
Тм
Т µт
5
10
15
20
25
30
40 о.е.
35
Рис. 3. Зависимость установившегося значения тока в контуре с
некомпенсированной ЭДС двигателя от отношения постоянных времени
%
70
σ
60
Тм
= 0.25
Т яц
50
40
Tм
Tµ т
0.5
1
30
20
2
4
10
Тм
Т µт
10
5
10
15
20
25
30
35
40 о.е.
Рис. 4. Зависимость перерегулирования тока в контуре с
некомпенсированной ЭДС двигателя, ПИ-регулятором и настройкой на МО
15
%
70
σ
60
Тм
= 0.25
Т яц
50
40
0.5
30
1
20
2
10
Тм
Т µт
4
5
10
15
20
25
30
35
40 о.е
Рис. 5. Зависимость перерегулирования тока в контуре с
некомпенсированной ЭДС двигателя, ПИ-регулятором и настройкой на ЛО
16