Векторами

1
Занятие 1. Векторный анализ.
1.1. Краткое теоретическое введение.
Физические
величины,
Z
для определения которых
(M)
(M)
достаточно задать одно число
K
Y (положительное
или
K
отрицательное) называются
Y
скалярами.
Два
скаляра
X
X
одинаковой
размерности
равны, если их знаки и
Рис. 1.
численные
значения,
получающиеся при измерении одной и той же единицы измерения,
одинаковы. Следовательно, в силу равноправия координатных
систем, в любой системе координат скалярная физическая величина
будет определяться одним и тем же числом,
, где
и
значение заданной скалярной физической величины
в одной и той же точке М пространства в координатных системах К
и К' соответственно (рис.1).
Векторами называются физические величины, обладающие
определенным численным значением (модулем)
и
направлением
в
пространстве
и
подчиняющимся
определенным
законам
сложения, а именно, правилу векторного
треугольника, или, что эквивалентно, правилу
Рис. 2.
параллелограмма:
,
(рис.2).
Два вектора и одинаковой размерности равны, если их модули
одинаковы и направления совпадают. Модуль вектора является
скаляром и обозначается
или a.
Вектор, антипараллельный данному вектору и имеющий такой
же модуль, называется противоположным вектору
и
обозначается
.

Нулевым вектором 0 называется вектор, модуль которого
равен 0. Такому вектору можно приписать произвольное
направление в пространстве.
Произведением вектора на число
называется вектор с
модулем
, причем
при
и
при
.
Z
2
Из приведенных выше правил сложения векторов и умножения
их на число следуют утверждения:
1.
(сложение векторов коммутативно)
2.
(сложение векторов ассоциативно)
3.
(существование нулевого вектора)
4.
(существование противоположного вектора)
5.
(умножение ассоциативно)
6.
(умножение на число дистрибутивно)
7.
(сложение векторов дистрибутивно)
8.
Векторы , , …,
называются линейно зависимыми, если
существуют скаляры , , …,
не все равные нулю, такие, что
, то есть если существует линейная
комбинация n векторов, обращающаяся в нуль.
Коллинеарными называются два ненулевых вектора, лежащих
на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два линейно
зависимых вектора параллельны между собой, т.е. коллинеарны.
Векторы,
лежащие
в
одной
плоскости,
называются
компланарными. Три линейно зависимых вектора лежат в одной
плоскости, т.е. компланарны.
Векторным базисом трехмерного пространства называется
система любых трех линейно независимых векторов , , . В
силу свойств разложения можно любой вектор
единственным
образом представить в виде линейной комбинации:
.
Коэффициенты
,
,
называются координатами или
компонентами вектора в базисе , , . Если базисные вектора
  
e1 , e2 , e3 взаимно ортогональны, равны по модулю единице и не
зависят от выбора начала системы отсчета, которую они образуют,
то они называются ортами прямоугольной системы координат.
В этой системе координат орт, направленный по оси Х принято
обозначать через , по оси Y – через , по оси Z – через , а
проекции вектора  ,
и . Для сокращения записи также
используют следующие обозначения:
,
,
,
,
3
,
,
Тогда
(1.1)
Скалярным произведением векторов и
обозначаемый как
или
и равный:
называется скаляр,
(1.2)
Свойства скалярного произведения:
1.
, причем
если
2.
(коммутативность)
3.
(дистрибутивность)
4.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности
векторов и :
.
Векторным произведением
двух векторов называется
такой вектор
, модуль которого вычисляется по

c

b


a
Рис. 3.
формуле:
, а направление так, что
если смотреть с конца вектора на плоскость векторов
и , то кратчайший поворот от вектора векторов
к
вектору происходит против часовой стрелки.
(1.3)
В декартовой системе координат, имеют место следующие
тождества:
4
Система координат, заданная этими соотношениями называется
правой системой координат. Если система координат задана
соотношениями
то она является левой.
Свойства векторного произведения:
1.
(антикоммутативность)
2.
(дистрибутивность)
3. если векторы и параллельны, то
.
Смешанным произведением называется скаляр, построенный
по следующему правилу:
(1.4)
Из свойств определителя, следует, что
1.
2.
Двойное векторное произведение – это вектор, образованный
из тройки векторов одним из следующих способов:
или
. Поскольку каждый из этих способов дает различные
векторы, двойное векторное произведение не обладает свойством
ассоциативности. Непосредственной проверкой, разложив векторы,
можно получить, что
.
1.2. Практическая часть.
Пример 1.1. Доказать терему косинусов в треугольнике.
Решение.
Представим стороны треугольника ABC в
виде векторов
,
,
.
Тогда
. Возведем левую и
правую части в квадрат, получим:
Рис. 4.
формуле
Расписывая скалярное произведение по
, получим
5
где
.
Отсюда
Пример 1.2. Доказать, что
Указание: применить формулу
к двум
векторам и , модули которых равны 1, лежащим в плоскости
и составляющим углы и с осью X.
Решение.
Расположим два единичных вектора
и
в плоскости XY,
Y
обозначим углы между векторами и c
осью X через и , соответственно (рис.5).
Тогда скалярное произведение двух
X
векторов согласно (1.2) можно представить
как
Рис.5. К доказательству
формулы
косинуса
суммы двух углов
Y
.
Пользуясь
определением
тригонометрических функций косинуса и
синуса углов
и , а также тем, что
модули векторов и равны 1, получим:
Отсюда следует, что
Пример 1.3. Доказать, что
Решение.
Как и в предыдущем примере, рассмотрим
и в плоскости
Рис.6. К доказательству два единичных вектора
формулы
синуса XY и обозначим углы между векторами и
разности двух углов
и осью X через
и
соответственно
(рис.6). Векторное произведение, согласно
(1.3) можно расписать как:
X
6
В этом случае, из определения векторного произведения следует,
что результирующий вектор направлен вдоль оси Z и
>0. Тогда модуль векторного произведения:
Отсюда с учетом того, что вектора и по модулю равны 1, а
также пользуясь определениями синуса и косинуса углов, получим:
Таким образом, формула доказана.
Пример 1.4. Найти угол между векторами
и , если
,
Решение.
Воспользуемся определением (1.2):
Следовательно,
Поскольку угол между векторами меняется от 0 до π, угол
.
Пример 1.5. Найти площадь
построенного на векторах
Решение.
Площадь параллелограмма (рис.7)
и
,
высоту
параллелограмма,
7
Найдем векторное произведение:
Рис. 7.
.
Тогда площадь параллелограмма:
Высота параллелограмма:
.
, (
)
Пример 1.6. Разложить вектор
по трем
некомпланарным векторам
,
,
.
Решение.
Поскольку при переходе из одной системы координат в другую
сам вектор остается неизменным, то
Здесь x, y, z – координаты вектора в системе векторов
Перегруппируем правую часть:
Сравнивая коэффициенты при векторах ,
уравнений:
,
и
и , получим систему
Решим систему методом Крамера. Составим определитель из
коэффициентов при неизвестных:
Определители
,
6,
8
Отсюда
Таким образом,
Задание 1.1. Найти угол между векторами и , если
1.
,
2.
,
3.
,
4.
, вектор соединяет точки А(3,-3,0) и В(3,-2,1)
5.
, вектор соединяет точки А(-5,0,3) и В(2,-1,4)
Задание 1.2. Найти площадь и высоту параллелограмма,
построенного на векторах:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
Задание 1.3. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на
векторах:
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
Задание 1.4. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках:
1. A(0,0,0), B(3,-4,1), C(2,3,5), D(6,0,-3)
2. A(1,-1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5)
3. A(2,0,3), B(1,1,1), C(4,6,6), D(-1,2,3)
4. A(-3,1,1), B(0,-4,-1), C(5,1,3), D(4,6,-2)
5. A(2,1,-4), B(-3,-5,6), C(0,-3,-1), D(-5,2,-8)
6. A(1,1,4), B(2,1,2), C(1,-1,2), D(6,-3,8)
7. A(-1,3,2), B(0,0,0), C(-1,3,0), D(0,-1,0)
9
8. A(-1,2,-1), B(-3,0,1), C(-4, 1,3), D(1,1,0)
9. A(1,3,1), B(2,1,-1), C(1,-1,2), D(0,0,0)
10.A(-1,0,3), B(-2,0,1), C(1,-1,2), D(-2,-3,5)
Задание 1.5. Даны векторы
. Образуют ли эти векторы базис?
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
Задание 1.6. Вычислить
и
для векторов:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
Задание 1.7. Вычислить
для векторов:
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
Задание 1.8. Показать прямым вычислением, что
:
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
Задание 1.9. Показать прямым вычислением, что
:
1.
,
,
2.
,
,
10
3.
,
4.
,
5.
,
Задание 1.10. Доказать, что
,
Указание: применить формулу
,
,
к двум
векторам и , модули которых равны 1, лежащим в плоскости
и составляющим углы и с осью X.
Задание 1.11. Доказать, что
Задание 1.12. Вычислить скалярное произведение
, если
1.
,
;
2.
,
;
3.
,
;
4.
,
,
здесь и единичные взаимно перпендикулярные векторы.
Задание 1.13. Разложить векторы
1.
2.
3.
4.
5.
по трем некомпланарным векторам:
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,