Закон преломления в векторной форме

Закон преломления в
векторной форме
Аннотация. В первом приближении можно сказать, что закон преломления был открыт голландским ученым Виллебрордом Снеллиусом в 1621 г. и опубликован Декартом в
1637 г. в его знаменитом Discours de la méthode. Здесь мы
запишем этот закон в векторной форме.
Ключевые слова: закон преломления, закон отражения,
векторная форма, лучевой вектор
Abstract. As a first approximation we can say that the law of
refraction was discovered by Dutch scientists Willebrord Snellius
in 1621 and was published by Descartes in 1637 in his famous
Discours de la méthode. Here we write this law in vector form.
Keywords: law of refraction, law of reflection, vector form,
optical ray vector
И закон отражения и закон преломления в своей традиционной формулировке оперируют с углами и их тригонометрическими функциями. Однако,
в случае компьютерных вычислений удобнее говорить на альтернативном языке и иметь дело с векторами и их скалярными произведениями.
Если векторная форма закона отражения имеет канонический вид и повсеместно используется в
вычислениях, то векторная форма закона преломления не так широко известна и нуждается, на наш
взгляд, в дополнительной популяризации. Тем не
менее, начнем с отражения.
1
Закон отражения в векторной
форме
Формулировка закона отражения крайне проста
угол падения равен углу отражения (рис. 1)
θ1 = θ2
с необходимым уточнением: падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к
отражающей поверхности в точке отражения.
2
θ1 θ2
Рис. 1. Угол падения θ1 равен углу отражения θ2
Чтобы получить закон отражения в векторной
форме, введем направляющий вектор падающего
светового луча ~v1 и направляющий вектор отраженного светового луча ~v2 , связанные дополнительным
условием |~v1 | = |~v2 |. Как видно на рис. 2, нормальные составляющие этих векторов отличаются всего
лишь знаком
~v1 · ~n = −~v2 · ~n,
здесь ~n — единичный вектор нормали в точке отражения. Что касается тангенциальных составляющих, то, как показывает тот же рисунок, они просто
равны
~v1 − (~v1 · ~n)~n = ~v2 − (~v2 · ~n)~n.
Объединяя два предыдущих равенства, приходим к
3
~n
~v1 θ1 θ2 ~v2
Рис. 2. Длины направляющих векторов равны
|~v1 | = |~v2 |,
равны и длины отмеченных отрезков
выводу, что
~v2 = ~v1 − 2(~v1 · ~n)~n.
(1)
Это и есть закон отражения в векторной форме.
Он одинаково верен при любом из двух возможных
выборов направления единичного нормального вектора.
Подчеркнем важный факт: направляющий вектор отраженного светового луча, вычисленный по
формуле (1), обязательно имеет ту же самую длину, что и вектор ~v1 , т. е. |~v2 | = |~v1 |.
Проведенные в этом пункте рассуждения послужат нам образцом для вывода векторной формы
закона преломления, хотя он потребует и бо́льших
4
вычислений.
2
Закон преломления
Пусть n1 — показатель преломления той среды,
из которой приходит световой луч, и пусть n2 —
показатель преломления той среды, в которую он
преломляется. Пусть θ1 и θ2 , соответственно, угол
падения и угол отражения (рис. 3). Тогда
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 .
(2)
Это и есть закон преломления Снеллиуса–Декарта
[1].
Чтобы познакомиться с историей вопроса, лучше всего сначала обратиться к [2], а для предварительного знакомства с различными вариантами
закона преломления в векторной форме к [2] и [3].
3
Геометрическая интерпретация
Пусть ~v1 и ~v2 лучевые векторы падающего и
преломленного световых лучей, т. е. направляющие
5
n1
θ1
n2
θ2
Рис. 3. Здесь θ1 —угол падения и θ2 — угол
преломления
векторы с длинами |~v1 | = n1 и |~v2 | = n2 . Такой выбор длин позволяет записать записать закон преломления (2) в виде
|~v1 | sin θ1 = |~v2 | sin θ2
(3)
Геометрическая интерпретация этого результата представлена на рис. 4 в виде равенства соответствующих отрезков.
6
~v1 θ1 ~n
n1
n2
θ2
~v2
Рис. 4. Здесь ~v1 и ~v2 — лучевые векторы т. е. |~v1 | = n1
и |~v2 | = n2 ;
из закона преломления следует, что отмеченные
отрезки равны
4
Закон преломления в векторной форме
Пусть ~n это единичный нормальный вектор к
преломляющей поверхности в точке преломления.
Покажем, что из закона преломления Снеллиуса–
Декарта, записанного в традиционной форме (2),
7
следует закон преломления в векторной форме, а
именно
s
!
n22 − n21
(4)
~v2 = ~v1 +
+ 1 − 1 (~v1 · ~n)~n.
(~v1 · ~n)2
Но прежде подчеркнем, что эту формулу можно
применять только при условии, что направляющий
вектор падающего светового луча ~v1 является лучевым, т. е. |~v1 | = n1 . Только в этом случае вектор
~v2 , вычисленный по формуле (4), будет направляющим вектором преломленного светового луча и,
более того, в этом случае он будет лучевым вектором, т. е. |~v2 | = n2
Приступим к выводу (4). Нормальная составляющая лучевого вектора ~v1 равна (~v1 · ~n)~n, нормальная составляющая лучевого вектора ~v2 равна
(~v2 · ~n)~n. Их тангенциальные составляющие — это
~v1 − (~v1 · ~n)~n и ~v2 − (~v2 · ~n)~n. Как следует из уравнения (3) и как видно на рис. 4, они равны между
собой
~v1 − (~v1 · ~n)~n = ~v2 − (~v2 · ~n)~n.
(5)
8
Перепишем это в виде
~v2 = ~v1 + (~v2 · ~n)~n − (~v1 · ~n)~n.
(6)
Здесь нужно только выразить выразить скалярное
произведение (~v2 ·~n) через известные величины n1 , n2 , ~v1 , ~n
и необходимый результат будет получен. Чтобы сделать это, возведем обе части (5) в квадрат
~v12 − 2(~v1 ·~n)2 + (~v1 ·~n)2~n2 = ~v22 − 2(~v2 ·~n)2 + (~v2 ·~n)2~n2 .
С учетом ~v12 = n21 , ~v22 = n22 , ~n2 = 1, имеем
n21 − (~v1 · ~n)2 = n22 − (~v2 · ~n)2 ,
и, значит,
(~v2 · ~n)2 = n22 − n21 + (~v1 · ~n)2 .
Теперь извлечем квадратный корень
q
~v2 · ~n = ± n22 − n21 + (~v1 · ~n)2 .
Здесь, на самом деле, в некоторых случаях должен
стоять плюс, а в других минус, в зависимости от выбора направления нормального вектора ~n, но после
9
вынесения (~v1 · ~n) из-под знака корня эта неопределенность исчезает
s
n22 − n21
~v2 · ~n =
+ 1 · (~v1 · ~n).
(~v1 · ~n)2
Она исчезает, потому что для падающего и преломленного луча скалярные произведения ~v1 · ~n и
~v2 · ~n имеют одинаковые знаки при любой ориентации вектора нормали ~n. Остается подставить это
выражение для ~v2 · ~n в уравнение (6)
s
n22 − n21
+ 1 · (~v1 · ~n)~n − (~v1 · ~n)~n.
~v2 = ~v1 +
(~v1 · ~n)2
и векторная форма закона преломления (4) доказана.
5
Самосогласованность векторных форм
При распространении светового луча в кусочно
однородной оптической среде он претерпевает неко10
торое количество отражений и некоторое количество преломлений, переходя при из среды с одним
показателем преломления в среду с другим показателем. В этой ситуации можно сказать, что основной областью применения законов отражения и
преломления является расчет траектории светового
луча.
Под самосогласованностью векторных форм этих
законов подразумевается следующее: если в начальный момент в качестве направляющего вектора светового луча выбран его лучевой вектор, то рассчитанный с помощью векторных формул (1) и (4) направляющий вектор всегда будет оставаться лучевым. Другими словами, его длина всегда будет равна показателю преломления того участка оптической среды, в которой в данный момент локализован световой луч.
В самом деле, после отражения световой луч
остается в той же среде с тем же самым показателем преломления, но и применение (1) длины вектора не меняет. Далее, при преломлении луч переходит в среду с новым показателем преломления,
но и в случае применения (4) длина лучевого вектора как раз становится равной новому показателю
11
преломления.
Эта самосогласованность обоих векторных законов является их дополнительным преимуществом
при компьютерной реализации.
Список литературы
[1] R. Descartes, Discours de la méthode plus La
dioptrique, Les Météores et La Géométrie, Leyde,
1637
[2] en.wikipedia, Snell’s law
[3] ru.wikipedia, Закон Снелла
12