КРАЕВАЯ ФОКУСИРОВКА Рассмотрим один магнит

КРАЕВАЯ ФОКУСИРОВКА
Рассмотрим
один
магнит
синхрофазотрона
с
прямолинейными
промежутками, в котором равновесная орбита горизонтальна. На торце
каждого магнита поле обрывается не резко, силовые линии выпучиваются
наружу образуя так называемое краевое поле. Если края магнита срезать под
прямым углом так, чтобы плоскость магнита была не просто вертикальна, но
и нормальна к равновесной орбите в прямолинейном промежутке, то силовые
линии краевого поля не будут иметь краевой компоненты. В противном
случае будет наличествовать радиальная компонента направленная внутрь
или наружу. Если продолжения плоскостей торцов магнита пересекутся в
точке, расположенной от центра магнита дальше мгновенного центра
кривизны, то радиальная составляющая направлена наружу; в противном
случае она направлена внутрь. Все три случая демонстрируются на рис.2.
а)
б)
в)
Рис.2.2. Различные ориентации скошенных краев магнита: а) вертикальная фокусировка,
радиальная дефокусировка; б) отсутствие фокусировки и дефокусировки; в)
вертикальная дефокусировка, радиальная фокусировка
Помимо замечания о точке пеерсечения торцов магнита имеется еще
один критерий, позволя.щий качественно оценить направления фокусировки
и дефокусировки краевого поля. Если внешняя нормаль к краю, в точке
пересечения орбитой торцевой поверхности расположена вне орбиты в
прямолинейном
промежутке
(θ>0),
то
краевое
поле
фокусирует
в
вертикальном направлении и дефокусирует в радиальном. В случае θ<0
ситуация противоположная (рис.2.2).
При конфигурации, представленной на рис. 2а, поле в среднем
несколько спадает при увеличении радиуса, так как частицы, двиужщееся по
орбитам большей длины, находятся в поле меньшую часть оборота. Поэтому
движение в вертикальном направлении будет устойчиво.
Рассмотрим магнит, у которого край срезан под положительным углом
θ. На расстоянии z над медианной плоскостью краевое поле имеет
составляющую Bh перпендикулярную торцу. Тогда радиальная составляющая
будет
Bh sin  .
Когда θ>0 радиальная составляющая
создает силу,
действующую на частицу по направлению к медианной плоскости.
Уравнение
движения
с
азимутальной
скоростью
v  dL dt
можно
представить в виде
mz  qvBh sin   0 ,
(2.23)
но, поскольку
z  dvz dL dL dt  v dvz dL ,
(2.24)
после замены получим
dvz dL   q m Bh sin .
(2.25)
Выберем точку L1 на средней плоскости прямолинейного промежутка
на таком расстоянии от магнита, чтобы можно было пренебречь всеми
составляющими краевого поля. Точку L2 выберем внутри магнита настолько
удаленной от края, чтобы можно было полагать, что там не происходит
искривления силовых линий и существует только вертикальная компонента
магнитного поля B0. Интегрирование уравнения (2.25) даст в этом случае
L2
L
L
2
2
q
q
L dvz   m sin L BhdL   m tan  L Bh cos dL .
1
1
1
(2.26)
Начнем движение из точки L1 на медианной плоскости и поднимемся
на расстояние z вверх, так как поле отсутствует, то работа поля будет
равняться нулю. Чтобы приблизиться к магниту по предполагаемой
траектории частицы (путь b на рис. 2.3), нужно совершить затратить
L2
энергию, пропорциональную
 B cos dL . При возвращении по пути c поле
h
L1
совершает работу, пропорциональную B0z. На последнем участке d никакой
работы не совершается, так как в медианной плоскости Bh равно нулю. В
L2
силу потенциальности поля, получаем
 B cos dL  B z .
h
0
L1
Рис. 2.3. Вертикальное сечение края магнита.
Уравнение (2.26) преобразуется к виду
vz
L2
 vz
L1

q
B0 z tan  .
m
(2.27)
Подставив в (2.27) vz  dz dt  v dz dL и разделив на v, получаем
q
z
 dz 
 dz 
B0 z tan    tan  .
     
mv
r
 dL  L2  dL  L1
(2.28)
Радиус кривизны магнита r вводится из выражения mv=qBr, которое
определяет изменение вертикального наклона орбиты при прохождении ее
через краевое поле. Для фокусирующего действия наклон «вниз» в точке L2
должен быть меньше наклона «вверх» в точке L1, т.е. правая часть (2.28)
должна быть отрицательной, как и есть на самом деле. По аналогии с
тонкими линзами в параксиальном приближении для малых углов
отклонения  имеем f z  z  . Из (2.28) получаем, что фокусное расстояние
краевого магнита есть
fz  
r
.
tan 
Знак
(2.29)
«-»
показывает,
что
при
положительном
θ
происходит
фокусировка в вертикальном направлении. Очевидно, что такая же
фокусировка происходит на выходе из магнита при тех же условиях. Вывод
формулы не совсем строгий, поскольку мы в неявном виде предположили,
что фокусирующее действие связано только с углом наклона, а не с
изменением смещения z. Последнее предположение справедливо, если
краевое поле представляет собой «ступенчатую» функцию с так называемым
«жестким краем», что возможно только тогда, когда величина зазора
бесконечно малая. При практически применяемых зазорах конечных
размеров поле имеет некую азимутальную протяженность, где непрерывно
действует вертикальная сила, в результате чего изменяется смещения,
вследствие чего изменяется вертикальная сила.
Рассмотрим теперь две параллельно движущиеся частицы, разделенные
по радиусу на расстояние x, попадающие на скошенный край магнита с
положительным значением θ (рис.2.4). Одна из частиц достигнет края
раньше, и, пока вторая будет двигаться к магниту, успеет пройти расстояние
d=xtanθ (если пренебречь незначительной кривизной траектории), т.е. она
отклонится на угол
  d r  x tan r .
(2.30)
Выражение (2.30) показывает, как расходятся орбиты в радиальном
направлении при наличии скошенного края. Вновь используя аналогию с
оптикой получаем
f x  x   r tan  .
(2.31)
Рис. 2.4. Радиальная дефокусировка краевым полем с положительным θ.